bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Kim Quyên BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VỚI KỲ DỊ MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Kim Quyên BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VỚI KỲ DỊ MẠNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin giảng viên trường Đại học Sư phạm TP HCM nhiệt tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hoàn thành Luận văn Thạc sĩ Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn – Người trực tiếp bảo, hướng dẫn suốt trình nghiên cứu hoàn thành Luận văn Thạc sĩ Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến cho hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, khuyến khích suốt trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2013 Học viên thực Huỳnh Kim Quyên MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CÁC KÝ HIỆU CHƯƠNG 1: CÁC BỔ ĐỀ BỔ TRỢ 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Bổ đề dãy nghiệm toán bổ trợ .8 1.3 Các bổ đề đánh giá tiên nghiệm 17 CHƯƠNG 2: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VỚI KỲ DỊ MẠNH 28 2.1 Định lí Fredholm 28 2.2 Các định lí tồn nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh .47 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Lý thuyết toán biên cho phương trình vi phân đời từ kỷ 18, song đến phát triển mạnh nhờ công dụng ngành vật lý, học, kỹ thuật, sinh học…Nội dung luận văn trình bày lại kết hai nhà toán học R.P.AGARWAL I.KIGURADZE báo [1] Các kết luận văn định lí tồn nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh = u (n) m ∑ p (t )u i =1 ( i −1) i + q (t ) (1.1) với điều kiện biên u (i −1) (a) = (i=1,…,m) u ( j −1) (b) = (j=1,…,n-m) (1.2) với điều kiện biên u (i −1) (a) = (i=1,…,m) u ( j −1) (b) = (j=m+1,…,n) (1.3) Phương trình tương ứng với toán (1.1) m u ( n ) = ∑ pi (t )u (i −1) (1.10) i =1 Với n ≥ m phần nguyên n/2, −∞ < a < b < +∞ , u (i −1) (a) , u ( j −1) (b) giới hạn bên phải giới hạn bên trái điểm a b Trong toán (1.1),(1.2) n = 2m hàm số pi ∈ Lloc ((a, b)) (i = 1, , m) , q(t ) ∈ L n − m − 2,2 m − ((a, b)) n=2m+1 p1 thỏa thêm điều kiện t lim sup (b − t ) m −1 ∫ p1 ( s )ds < +∞ với c = t →b c a+b Đối với toán (1.1),(1.3) hàm số pi ∈ Lloc ((a, b]) (i = 1, , m) , q (t ) ∈ L n − m − ((a, b])  Nghiệm toán (1.1),(1.2) toán (1.1),(1.3) hàm u (t ) ∈ C  n −1,m ((a, b]) u (t ) ∈ C n −1, m ((a, b)) Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Các bổ đề bổ trợ Trong chương này, trình bày bổ đề dãy nghiệm toán bổ trợ bổ đề đánh giá tiên nghiệm để làm sở cho việc chứng minh định lí tồn nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh Chương 2: Tính giải toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh Trong chương 2, tìm hiểu định lý dẫn đến tính chất Fredholm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh, từ sử dụng định lí để tìm điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh CÁC KÝ HIỆU x+ x • [ x ]+ phần dương số x: [ x ]+ = • Lloc ((a, b)) không gian hàm γ : (a, b) → R với γ khả tích đoạn [ a + ε , b − ε ] với ε >0 bé tùy ý • Lloc ((a, b]) không gian hàm γ : (a, b) → R với γ khả tích đoạn [ a + ε , b] với ε >0 bé tùy ý • Lα , β ((a, b)) không gian hàm γ : (a, b) → R (t − a)α (b − t ) β chuẩn γ khả tích với trọng lượng b Lα ,β α β = ∫ (t − a) (b − t ) γ (t ) dt a • L2α , β ((a, b)) không gian hàm γ : (a, b) → R bình phương khả tích với trọng 1/2 α β lượng (t − a) (b − t ) chuẩn γ L2α ,β b  = ∫ (t − a )α (b − t ) β γ (t )dt  a  • = Ta kí hiệu L([a, b]) L= L20,0 ((a, b)) 0,0 (( a, b)), L ([ a, b]) •  α2 , β ((a, b)) không gian hàm γ ∈ L ((a, b)) cho γ ∈ L2 ((a, b)) với L loc α ,β = γ (t ) t γ ( s )ds, c ∫= c • a+b  α2 ((a, b]) không gian hàm γ ∈ L ((a, b]) cho γ ∈ L2 ((a, b)) với L loc α ,0 b γ (t ) = ∫ γ ( s )ds t •  2α , β ((a, b)) L  2α ((a, b]) định nghĩa sau Lα2 ,β Lα2 chuẩn L 1/2  t  t    a +b  α γ Lα2 ,β max   ∫ ( s − a)  ∫ γ (τ )dτ  ds  : a ≤ t ≤ =    s    a   1/2  b  s    a+b   β + max   ∫ (b − s )  ∫ γ (τ )dτ  ds  : ≤ t ≤ b   t   t     1/2  t  t      α   γ Lα2 max  ∫ ( s − a)  ∫ γ (τ )dτ  ds : a ≤ t ≤ b  = s    a    • n −1 ( n −1)  loc liên tục tuyệt ((a, b)) không gian hàm γ : (a, b) → R cho γ ', , γ C đối đoạn [a + ε , b − ε ] với ε >0 bé tùy ý • n −1 ( n −1)  loc liên tục tuyệt C ((a, b]) không gian hàm γ : (a, b] → R cho γ ', , γ đối đoạn [a + ε , b] ) với ε >0 bé tùy ý • n −1  n −1,m ((a, b)) không gian hàm γ ∈ C  loc ((a, b)) cho C b ∫γ (m) ( s ) ds < +∞ (m) ( s ) ds < +∞ a • n −1  n −1,m ((a, b]) không gian hàm γ ∈ C  loc ((a, b]) cho C b ∫γ a • hi : (a, b) × (a, b) → [0, +∞) (i = 1, , m) hàm số định nghĩa sau t n−2m n−m h1 (t ,τ ) = ∫ (s − a) [(−1) p1 (s)]+ ds τ t n−2m hi (t ,τ ) = 2, , m) ∫ (s − a) pi (s)ds (i = τ CHƯƠNG 1: CÁC BỔ ĐỀ BỔ TRỢ 1.1 Giới thiệu toán Trong chương này, trình bày bổ đề bổ trích dẫn từ báo [1] hai nhà toán học R.P.AGARWAL I.KIGURADZE để chương sử dụng bổ đề chứng minh định lí tính giải toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh = u (n) m ∑ p (t )u ( i −1) i i =1 + q (t ) (1.1) với điều kiện biên u (i −1) (a) = (i=1,…,m) u ( j −1) (b) = (j=1,…,n-m) (1.2) với điều kiện biên u (i −1) (a) = (i=1,…,m) u ( j −1) (b) = (j=m+1,…,n) (1.3) Phương trình tương ứng toán (1.1) m u ( n ) = ∑ pi (t )u (i −1) (1.10) i =1 Với n ≥ m phần nguyên n/2, −∞ < a < b < +∞ , u (i −1) (a) , u ( j −1) (b) giới hạn bên phải giới hạn bên trái điểm a b Trong toán (1.1),(1.2) n = 2m hàm số 1, , m) , q(t ) ∈ L n − m − 2,2 m − ((a, b)) pi ∈ Lloc ((a, b)) (i = (1.2’) n=2m+1 p1 thỏa them điều kiện lim sup (b − t ) t →b m −1 t ∫ p (s)ds < +∞ với c = c a+b (1.2’’) Đối với toán (1.1),(1.3) hàm số pi ∈ Lloc ((a, b]) (i = 1, , m) , q (t ) ∈ L n − m − ((a, b])  Nghiệm toán (1.1),(1.2) toán (1.1),(1.3) hàm u (t ) ∈ C  n −1,m ((a, b]) u (t ) ∈ C (1.3’) n −1, m ((a, b)) 1.2 Bổ đề dãy nghiệm toán bổ trợ Giả sử a < t0 k < t1k < b (k = 1, 2, ) , lim t0 k = a , lim t1k = b k →+∞ k →+∞ (1.4) Với số k tự nhiên xét phương trình vi phân = u (n) m ∑ p (t )u i i =1 ( i −1) + qk (t ) (1.5) với điều kiện biên u (i −1) (= t0 k ) 0= t1k ) 0= (i 1, , m), u (i −1) (= (i 1, , n − m) (1.6) u (i −1) (= t0 k ) 0= (i 1, , m), u (i −1)= (b) 0= (i m + 1, , n) (1.7) Trong toán (1.5),(1.6) n=2m hàm số  22 n − m − 2,2 m − ((a, b)) pi ∈ Lloc ((a, b)) (i = 1, , m), qk ∈ L (1.8) n=2m+1 pi thỏa thêm điều kiện  def ρi sup (b − t ) m −i =   ( ) : p s ds t t b ≤ < (1.1) (1.10) có dạng (n) u= λ (t − a ) n u + ( g n (v) − λ )(t − a )v − n , u (n) = λ (2.53) u ( 2.530) = λ g n (m − ) (2.54) (t − a ) n Nếu ta xét 44 Thì từ (2.50), (2.51) dễ thấy phương trình đặc trưng g n ( x) = λ (2.55) có nghiệm thực xi (i=1,… ,n) cho x1= x2 = 1/2 n=2 x1 >…………> xm-1 > m-1/2 = xm= xm+1>…… > x2m n=2m (2.56) x1 >…………> xm > m-1/2 > xm+1 >…… > x2m +1 n=2m+1  1,1 ((a, b)) Do rõ ràng n=2, toán (2.530) nghiệm thuộc không gian C  n −1,m ((a, b)) có (n-m-1) n>2 tất nghiệm toán (2.530) không gian C chiều với sở (t − a) x1 , , (t − a) xn−m−1 (2.57) Do toán (2.530),(1.2) (bài toán (2.530),(1.3)) có nghiệm tầm thường không  n −1,m ((a, b)) Tuy toán (2.53),(1.2) (bài toán (2.53),(1.3)) nghiệm gian C  n −1,m ((a, b)) Thật vậy, n=2 toán (2.53) có nghiệm không gian C  1,1 ((a, b)) nghiệm không thỏa điều kiện (1.2) Nếu u (t )= (t − a)v không gian C  n −1,m ((a, b)) có dạng n>2 nghiệm tùy ý (2.53) không gian C = u (t ) n − m −1 ∑ c (t − a) i =1 i xi + (t − a )v (2.58) nghiệm thỏa điều kiện biên (1.2) (điều kiện biên (1.3)) c1 , , cn − m −1 nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính n − m −1 ∑ i =1 g k ( xi )(b − a ) xi ci = 0, , n − m − 1) − g k (v)(b − a )v (k =  n − m −1  xi m, , n − 1)  − g k (v)(b − a )v (k =  ∑ g k ( xi )(b − a ) ci =  i =1  (2.59) với g ( x) ≡ 1, g k ( x)= x( x − 1) ( x − k + 1), k ≥ Tuy nhiên, hệ nghiệm lớn v Do ý ta xét hàm pi (i = 1,…,m) thỏa (2.49), (2.51) thỏa điều kiện (2.31) (điều kiện (2.41)) hệ 2.8 (hệ 2.11) với cách chọn λ11 = λ , λ1i = λ21 = λ2i = (i = 2, , m) (λ1 = λ , λi = (i = 2, , m)), p0i ≡ (i = 1, , m), 45 2n −i +1 λ1i = (2n − 2m − 1)!! ∑ i = (2m − 2i + 1)!! m  m  2n −i +1 λ1 = (2n − 2m − 1)!! ∑  i =0 (2m − 2i + 1)!!  Do ta thấy điều kiện định lí 2.6, định lí 2.9 hệ điều kiện thiếu dẫn đến tính chất Fredholm toán (1.1),(1.2) (1.1),(1.3) Bây giờ, ta xét < (−1) n − m λ < (−1) n − m g n (m − ) (2.60) Từ (2.49) (2.52) hàm pi (i = 1, , m) thỏa mãn điều kiện hệ 2.8 2.11 không thỏa điều kiện (2.45) định lý 2.12 Mặt khác, từ (2.50) (2.51) phương trình đặc trưng (2.55) có nghiệm thực x1 , , xn cho x1 > > xn − m > m − > xn − m +1 > > xn (2.61) với xn − m +1 > m −  n −1,m ((a, b)) có (n-m) chiều với Do tập hợp nghiệm toán (1.530) không gian C sở (t − a) x1 , , (t − a) xn−m nên toán (2.530),(1.2) toán (2.530), (1.3) có nghiệm tầm thường Theo hệ 2.8 2.11 nên toán (2.53),(1.2) (2.53),(1.3) có nghiệm không  gian C n −1, m ((a, b)) Dễ thấy toán (2.53),(1.2) (2.53),(1.3) có tập hợp nghiệm vô hạn không n −1  loc (i 1, , n − m + 1) hàm gian C ((a, b]) Thật vậy, với ci ∈ R= = u (t ) n − m +1 ∑ c (t − a) i =1 i xi + (t − a )v n −1  loc nghiệm toán (2.53) không gian C ((a, b]) với điều kiện biên u (i −1)= (a) 0= (i 1, , m) Hàm thỏa mãn điều kiện biên (1.2) (điều kiện (1.3)) c1 , , cn − m nghiệm phương trình đại số 46 n−m ∑g i =1 k ( xi )(b − a ) xi ci = (k 0, , n − m − 1) − g k ( xn − m +1 )(b − a ) xn−m+1 cn − m +1 − g k (v)(b − a )v =  n−m  xi  ∑ g k ( xi )(b − a ) ci =   i =1  xn−m+1 v  −g (x cn − m +1 − g k (v)(b − a ) (k = n − m, , m)   k n − m +1 )(b − a ) với cn − m +1 ∈ R Tuy nhiên, với cn − m +1 tùy ý cố định hệ có nghiệm nhấ Do toán (2.53),(1.2) (bài toán (2.53),(1.3)) có họ tham số nghiệm không gian n −1  loc ((a, b]) C □ 2.2 Các định lí tồn nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh Định lí 2.14 Nếu tồn t0 ∈ (a, b) số không âm l1i , l2i (i = 1, , m) cho (t − a) m −i hi (t ,τ ) ≤ l1i với a < t ≤ τ ≤ t0 (b − t ) m −i hi (t ,τ ) ≤ l2i với t0 ≤ τ ≤ t < b (2m − i )2n −i +1 l1i [...]...  □ 27 CHƯƠNG 2: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VỚI KỲ DỊ MẠNH 2.1 Định lí Fredholm Trong chương này, chúng ta sử dụng các kết quả của chương 1 để chứng minh các định lí về tồn tại nghiệm duy nhất của hai bài toán (1.1),(1.2) và (1.1),(1.3) Xét bài toán thuần nhất tương ứng với bài toán (1.1),(1.2) và (1.1),(1.3) lần lượt là bài toán (1.10),(1.2)... ) = ∑ pi (t )u (i −1) (1.10) i =1 với điều kiện biên u (i −1) (a) = 0 (i=1, ,m) u ( j −1) (b) = 0 (j=1,…,n-m) (1.2) hoặc với điều kiện biên u (i −1) (a) = 0 (i=1,…,m) u ( j −1) (b) = 0 (j=m+1,…,n) (1.3) Định nghĩa 2.1  n −1,m ((a, b)) Bài toán (1.1),(1.2) ((1.1),(1.3)) gọi là có tính chất Fedholm trong không gian C  (trong không gian C n −1, m ((a, b])) nếu bài toán thuần nhất tương ứng (1.10),(1.2)... số không âm li (i = 1, , m) sao cho Nếu pi ∈ Lloc ((a, b]) (i = (t − a) 2 m −i hi (t ,τ ) ≤ li , a < t ≤ τ ≤ a0 (i = 1, , m) (1.79) (2m − i )2n −i +1 li 0 và (kl )l+∞=1 sao cho  n (i −1)  max ∑ ukl (t ) − u (i −1) (t ) : a +... =1 (2m − 2i + 1)!!(2m − 1)!! m nên tồn tại γ ∈ (0,1) sao cho 24 2  22 n−2 m−2 L     (1.82) (2m − i )22 m −i +1 li < µn − γ ∑ i =1 (2m − 2i + 1)!!(2m − 1)!! m (1.83) Đặt r0 = 22 m + 2 γ −2 (1.84) Giả sử t0 ∈ (a, a0 ), q ∈ L 2 n − 2 m − 2 ((a, b]) bài toán (1.1),(1.81) có nghiệm là u Nhân (1.1) với 2 (−1) n − m (t − a) n − 2 m u (t ) và tích phân từ t0 tới b, theo bổ đề 1.8 ta có 2 2 t0 − a ( m )... +∞ và hàm số p ∈ Lloc ((t0 , t1 ]) sao t0 cho t1 ∫ p(τ )dτ (t − t0 ) 2 m − j ≤ l0 , t0 < t ≤ t1 (1.61) t với j ∈ {1, , m}, l0 > 0 Thì   (2m − j )22 m − j +1 ( j −1) ≤ + p ( s ) u ( s ) u ( s ) ds l ( t ) ρ ρ (t1 )  , t0 < t ≤ t1 0  ∫t (2m − 1)!!(2m − 2 j + 1)!!   t1 (1.62) với t ρ (t ) = ∫ u ( m ) ( s ) ds 2 (1.63) t0 Chứng minh Theo công thức tích phân từng phần, ta có t1 p ( s )u ( s )u (... < +∞ và hàm số p ∈ Lloc ([t0 , t1 )) sao 2 t0 cho (t1 − t ) 2 m − j t ∫ p(τ )dτ ≤ l0 , t0 ≤ t < t1 (1.67) t0 với j ∈ {1, , m}, l0 > 0 Thì   (2m − j )22 m − j +1 ( j −1) ≤ + ( ) ( ) ( ) ( ) p s u s u s ds l t ρ ρ (t0 )  , t0 ≤ t < t1 0  ∫t (2m − 1)!!(2m − 2 j + 1)!!   0 t (1.68) với t1 ρ (t ) = ∫ u ( m ) ( s ) ds t Chứng minh Theo công thức tích phân từng phần, ta có 19 2 (1.69) t p ( s )u (... ≤ t ≤ t1k với ρ * = ρ0 (b − t1 )1/2 + 2( ρ + ρ0 ) Nếu m=1, từ (1.43), (1.48),(1.52) và (1.53) ta có s  −1/2 (t ) ≤ ∫  ρ0 + ρ (b − s ) + ∫ qk (τ )dτ t  t1  t1 k u (m) k  ds  ≤  ρ0 (b − t1 )1/2 + 2 ρ + ρ0  (b − t )1/2 , t1 ≤ t < t1k Từ (1.4),(1.39),(1.41) và (1.54) ta có u ( m ) (t ) ≤ ρ * (b − t )1/2 , t1 ≤ t < b 16 Cho t → s thì u ( m ) (b) = 0 Do đó u là một nghiệm của bài toán (1.1),(1.2) ... toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh Chương 2: Tính giải toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh Trong chương 2, tìm... đến tính chất Fredholm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh, từ sử dụng định lí để tìm điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi. .. PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VỚI KỲ DỊ MẠNH 28 2.1 Định lí Fredholm 28 2.2 Các định lí tồn nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với kỳ dị mạnh