Toán tử đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính

1 MỤC LỤC trang MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Toán tử đặc trưng và sự ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Toán tử đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.3 Một số dấu hiệu ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số là toán tử hầu tuần hoàn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Chương 2. Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn và sự Ψ-ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C d . . . . . . . .21 2.1 Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Toán tử Ψ-đặc trưng và sự Ψ-ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian C d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . 45 LỜI NÓI ĐẦU Trong toán học, phương trình vi phân và phương trình sai phân như hai người bạn đồng hành, được quan tâm nghiên cứu song song. Sự khác nhau giữa chúng ở chỗ phương trình vi phân nghiên cứu các hàm xác định trên các tập số liên tục còn phương trình sai phân nghiên cứu trên các tập số rời rạc. Tuy vậy, hầu hết các kết quả của phương trình vi phân đều có kết quả tương ứng của phương trình sai phân. Sự phát triển của Toán học dẫn tới sự khái quát các khái niệm, các không gian đã có. Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của nghiệm phương trình vi phân được bắt đầu nghiên cứu bởi Akinyele, sau đó được tiếp tục nghiên cứu bởi Morchalo, Diamandescu, Gupta, Srivastava ([4], [12], [16]). Không chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình vi phân, nhiều tác giả còn xem xét sự Ψ-ổn định và vấn đề dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân khi có "nhiễu" Ψ ([11], [7], [15]). Do sự tương đồng giữa phương trình vi phân và phương trình sai phân, một cách tự nhiên người ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình sai phân. Vấn đề này bắt đầu bởi Han, Hong ([18]) và được Diamandescu tiếp tục nghiên cứu ([13], [14]). Từ đây, nảy sinh tự nhiên vấn đề sự Ψ-ổn định của nghiệm phương trình sai phân mà luận văn này đề cập đến. Khi nghiên cứu phương trình sai phân trong không gian hữu hạn chiều, lý thuyết ma trận được ứng dụng rất hiệu quả. Tuy nhiên, khi nghiên cứu phương trình sai phân trong không gian vô hạn chiều, lý thuyết ma trận không còn áp dụng được nữa. Aulbach, Nguyễn Văn Minh và Zabreiko đã xây dựng toán tử đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính thuần 2 3 nhất. Sử dụng toán tử này, các tác giả đã nghiên cứu các tính chất của phương trình sai phân tuyến tính như tính nhị phân mũ, sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số dấu hiệu về sự ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banach. Chúng tôi đề xuất khái niệm Ψ-ổn định đều và tìm ra một số dấu hiệu về sự Ψ-ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C d . Dựa trên cách xây dựng toán tử đặc trưng của Aulbach, Nguyễn Văn Minh và Zabreiko, chúng tôi xây dựng toán tử Ψ-đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C d . Toán tử Ψ-đặc trưng là công cụ chính để nghiên cứu sự Ψ-ổn định, sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính. Luận văn có cấu trúc như sau. Ngoài các phần: Mục lục, Lời nói đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung chính của Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Toán tử đặc trưng và sự ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banach. Chương 2: Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn và sự Ψ-ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C d . Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số dấu hiệu ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính. Trong chương này, toán tử đặc trưng là một trong các công cụ được sử dụng để nghiên cứu tính ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính. Trong chương 2, trước hết, chúng tôi trình bày một vài kết quả đã có về sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn trên Z của phương trình sai phân tuyến tính. Sau đó, chúng tôi đề xuất khái niệm Ψ-ổn định đều và toán tử Ψ-đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính. Trong chương này, toán tử Ψ-đặc trưng là công cụ chính được sử dụng để nghiên cứu tính Ψ-ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính. Vì khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn chắc hẳn sẽ không 4 tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm của thầy giáo PGS. TS. NGƯT. Phạm Ngọc Bội và sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh cùng với gia đình và bạn bè. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phạm Ngọc Bội, người đã dành cho tác giả sự quan tâm giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh, các thầy cô trong khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh đã trang bị những kiến thức và những kinh nghiệm bổ ích cho tác giả, xin cảm ơn tập thể lớp CH20-Toán đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn của mình. Nghệ An, năm 2014 Tác giả CHƯƠNG 1 TOÁN TỬ ĐẶC TRƯNG VÀ SỰ ỔN ĐỊNH ĐỀU CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH 1.1 Một số kiến thức cơ sở 1.1.1 Định nghĩa. ([2]). Cho B là không gian tuyến tính phức. Ánh xạ  ·  : B → R được gọi là chuẩn nếu (i) u  0, ∀u ∈ B; (ii) u = 0 ⇔ u = 0; (iii) λu = |λ|u, ∀u ∈ B, λ ∈ C; (iv) u + v  u + v, ∀u, v ∈ B. Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach. 1.1.2 Định nghĩa. ([3]). Cho B là không gian Banach. (i) Ánh xạ A : B → B gọi là toán tử tuyến tính nếu A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ B, λ, µ ∈ C. (ii) Toán tử tuyến tính A : B → B là bị chặn nếu A := sup u≤1 Au < ∞. Tiếp theo chúng tôi điểm lại một số kết quả của lý thuyết phổ sẽ được sử dụng đến trong luận văn. Giả sử B là một không gian Banach. Kí hiệu [B] là không gian định chuẩn các toán tử tuyến tính bị chặn từ B vào B, 6 khi đó [B] là không gian Banach ([2]). Phần tử f ∈ [B] gọi là khả nghịch nếu tồn tại g ∈ [B] sao cho gf = fg = I B , trong đó I B là toán tử đồng nhất thuộc [B]. 1.1.3 Định nghĩa. ([2]). Giả sử B là không gian Banach, f ∈ [B]. Số phức λ được gọi là giá trị chính quy đối với f nếu (λ − f) = λI B − f khả nghịch. Tập các số chính quy đối với f được gọi là giải thức của f và kí hiệu là ρ(f), tập C\ρ(f) được gọi là tập phổ của f kí hiệu là σ(f). 1.1.4 Định nghĩa. ([2]). Ta gọi bán kính phổ của f ∈ [B] là số r σ (f) := sup{|λ| : λ ∈ σ(f)}. Vấn đề ổn định nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian R d là bài toán quen thuộc, đã được nhiều tài liệu kinh điển trình bày. Tuy nhiên, vấn đề ổn định nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banach là bài toán mới. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự ổn định theo nghĩa Liapunov đối với nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banach. Trong luận văn, chúng tôi ký hiệu B là không gian Banach, trên đó ta xét các phương trình sai phân và ký hiệu J là tập hợp các số tự nhiên N hoặc tập hợp các số nguyên Z = { , ±3, ±2, ±1, 0}, {A(n) ∈ [B], n ∈ J} là một dãy toán tử tuyến tính của không gian Banach: và f : J → B là một dãy nhận giá trị trong B. Phương trình x(n + 1) = A(n)x(n) + f(n). (1.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất trong B. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.1) là x(n + 1) = A(n)x(n). (1.2) Phương trình sai phân (1.2) là trường hợp riêng của phương trình (1.1) khi f ≡ 0, cho nên mọi tính chất của phương trình sai phân (1.1) cũng đúng cho phương trình sai phân (1.2). Một trong các hướng chính nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính là sự ổn định của nghiệm phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.2) và mối liên hệ giữa sự ổn định đó với sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.1). Một phương pháp thường dùng để nghiên cứu sự ổn định của phương trình sai phân tuyến tính là sử dụng hàm Liapunov. Khi B hữu hạn chiều, lý thuyết ma trận là công cụ nghiên cứu chính. Nhưng khi B là một không gian Banach bất kì thì công cụ ma trận không có hiệu lực nữa, một trong những công cụ nghiên cứu có hiệu lực là toán tử đặc trưng. Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp của Aulbach, Nguyễn Văn Minh và Zabreiko, sử dụng toán tử đặc trưng để nghiên cứu sự ổn định của phương trình sai phân tuyến tính. Ngoài lớp phương trình sai phân tuyến tính chung, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới một lớp phương trình sai phân tuyến tính trong đó dãy toán tử hệ số của phương trình là hầu tuần hoàn hoặc tuần hoàn. Để phân biệt giữa những không gian Banach, chuẩn của không gian Banach E được ký hiệu là  ·  E . Tuy nhiên, để cho gọn, chuẩn  ·  B của không gian Banach B mà trên đó ta xét các phương trình được viết là  ·. Điều kiện chung cho toàn Chương 1 là sup n A(n) [B] = M < +∞. (1.3) 1.2 Toán tử đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach 1.2.1 Định nghĩa. ([1], [18]). a) Nghiệm của phương trình sai phân (1.1) trên J là một ánh xạ x : J → B sao cho đẳng thức (1.1) thỏa mãn với mọi n thuộc J. Ta thường viết nghiệm của phương trình sai phân dưới dạng dãy x = {x(n), n ∈ J} hoặc đơn giản hơn là {x(n)} khi J được ngầm định. Giả sử J 1 8 là một tập hợp con của J, ta gọi dãy {x(n), n ∈ J 1 } là nghiệm của phương trình (1.1) trên J 1 nếu dãy này thỏa mãn (1.1). Nghiệm {x(n), n ∈ J 1 } của phương trình (1.1) được gọi là bị chặn trên J 1 nếu sup n∈J 1 x(n) < ∞. b) Nghiệm { x(n), n ∈ J} của phương trình (1.1) được gọi là ổn định đều trên J (theo nghĩa Liapunov) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho với mỗi nghiệm {x(n), n ∈ J 1 } của phương trình (1.1) trên J 1 = [n 0 , +∞), n 0 nào đó thuộc J, nếu thỏa mãn x(n 0 ) − x(n 0 ) < δ thì x(n) − x(n) < ε với mọi n thuộc J 1 . c) Nghiệm {x(n), n ∈ J} của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều trên J, nếu nó ổn định đều trên J và tồn tại một số δ 0 > 0 sao cho với mỗi ε > 0 đều tồn tại một số tự nhiên T = T(ε) > 0 tương ứng sao cho với mỗi nghiệm {x(n)} của phương trình (1.1) trên J, nếu x(n 0 ) − x(n 0 ) < δ 0 với n 0 nào đó thuộc J thì x(n) − x(n) < ε với mọi n > n 0 + T , thuộc J. d) Nghiệm {x(n), n ∈ J} của phương trình (1.1) được gọi là ổn định mũ trên J nếu tồn tại các số K và q : K > 0, 0 < q < 1 sao cho nếu {x(n), n ∈ J} là nghiệm bất kì của phương trình (1.1) thì x(n)−x(n) ≤ Kq n−m x(m) − x(m) ∀n, m ∈ J, n ≥ m. e) Phương trình (1.1) được gọi là ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ ) trên J nếu mọi nghiệm của phương trình (1.1) ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ) trên J. 1.2.2 Định nghĩa. (Toán tử Cauchy). Kí hiệu X(n, m) :=  A(n − 1)A(n − 2) A(m), n > m I, n = m trong đó m, n ∈ J, I là toán tử đồng nhất. Toán tử X(n, m) được gọi là toán tử Cauchy của phương trình sai phân (1.2). Dễ dàng nhận thấy rằng với k ≥ n ≥ m thì X(k, n)X(n, m) = X(k, m). Nghiệm x = {x(n), n ∈ J} của phương trình (1.2) có tính chất: nếu x(m) = u thì x(n) = X(n, m)u với mọi n ≥ m. 9 1.2.3 Định lý. a) Phương trình (1.1) ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ) khi và chỉ khi nghiệm x ≡ 0 của phương trình (1.2) ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ). b) Phương trình (1.1) ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ) khi và chỉ khi phương trình (1.2) ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ). Chứng minh. Ta có nhận xét: nếu {x(n)} và {y(n)} là các nghiệm của (1.1) trên J thì {z(n) = y(n) − x(n)} là các nghiệm của (1.2) trên J. a) Giả sử nghiệm tầm thường z ≡ 0 của (1.2) ổn định đều trên J. Lấy một nghiệm bất kỳ {x(n)} của (1.1), ta chứng minh {x(n)} ổn định đều. Giả sử {y(n)} là nghiệm tùy ý của (1.1). Theo nhận xét trên, {z(n) = y(n) − x(n)} là nghiệm của (1.2). Mặt khác, theo giả thiết nghiệm tầm thường của (1.2) ổn định đều, ta suy ra, với mọi ε > 0, ∃ δ > 0 sao cho nếu y(n 0 ) − x(n 0 ) = z(n 0 ) < δ thì y(n) − x(n) = z(n) < ε với mọi n ≥ n 0 . Vì thế, suy ra nghiệm {x(n)} ổn định đều. Chứng minh hoàn toàn tương tự cho chiều ngược lại. Lập luận tương tự cho trường hợp ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ. b) Chọn f = 0, áp dụng a) ta có phương trình (1.2) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thường x ≡ 0 của nó ổn định đều. Kết hợp với a) ta có điều phải chứng minh. Lập luận tương tự cho trường hợp ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ. 1.2.4 Hệ quả. Phương trình (1.2) ổn định mũ trên J nếu tồn tại các số K và q : K > 0, 0 < q < 1 sao cho nếu {x(n), n ∈ J} là nghiệm bất kì của phương trình (1.2) thì x(n) ≤ Kq n−m x(m) với ∀n, m ∈ J, n ≥ m. Chứng minh. Suy từ nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.2) ổn định mũ. Định lý 1.2.3 nói trên, rất có ích khi nghiên cứu sự ổn định của phương trình sai phân tuyến tính. Định lý này chỉ ra rằng việc nghiên cứu tính ổn 10 định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ), của phương trình (1.1) có thể đơn giản hóa bằng cách nghiên cứu tính ổn định đều (tương ứng: ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ) của phương trình (1.2). Vì thế từ đây trở đi, chúng tôi chỉ nói đến tính ổn định đều, tính ổn định tiệm cận đều và tính ổn định mũ của phương trình (1.2). 1.2.5 Định nghĩa. (Toán tử đặc trưng [5], [6]). a) Giả sử J = Z, gọi L = {v : Z → B| sup n∈Z v(n) < +∞}, với chuẩn v L = sup n∈Z v(n). Ta lập toán tử T : L → L như sau: (T v)(n) := A(n − 1)v(n − 1) với mọi n ∈ Z. Dễ thấy L là một không gian Banach và với điều kiện (1.3) thì T ∈ [L]. b) Giả sử J = N, gọi D = {v : N → B| sup n∈N v(n) < +∞}, với chuẩn v D = sup n∈N v(n). Ta lập toán tử S : D → D như sau: (Sv)(n) :=  0, khi n = 0 A(n − 1)v(n − 1), khi n ≥ 1 thì D cũng là một không gian Banach và với điều kiện (1.3) thì S ∈ [D]. T và S được gọi là toán tử đặc trưng của phương trình (1.2). Kí hiệu σ(Q), r σ (Q) tương ứng là phổ và bán kính phổ của toán tử tuyến tính liên tục Q. Kết quả sau đây cho bởi Aulbach, Nguyễn Văn Minh và Zabreiko. 1.2.6 Định lý. ([5], [6]). Xét toán tử đặc trưng T và S của phương trình (1.2), ta có các khẳng định sau a) r σ (T ) = inf{q > 0/∃N q > 0 : X(n, m)x ≤ N q q n−m x, ∀m, n ∈ Z, n ≥ m, x ∈ B}.(1.4) r σ (S) = inf{q > 0/∃N q > 0 : X(n, m)x ≤ N q q n−m x, ∀m, n ∈ N, n ≥ m, x ∈ B}. (1.5) b) Phổ của T và S bất biến với mọi phép quay với tâm là gốc tọa độ: σ(T ) = e iα σ(T ), σ(S) = e iα σ(S), ∀α ∈ R. [...]... (2.1) Trong phần sau của chương này, chúng tôi đề xuất các khái niệm Ψ-ổn định của phương trình sai phân tuyến, xây dựng toán tử Ψ -đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và sử dụng nó để nghiên cứu sự Ψ-ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính 2.1 Sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Cd Trong mục này, chúng tôi trình bày điều kiện... 2.1.4 và Định lý 2.1.5 2.2 Toán tử Ψ -đặc trưng và sự Ψ-ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Cd Trong phần này, chúng tôi sẽ xây dựng toán tử Ψ -đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Chúng tôi tìm một số điều kiện Ψ-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Các kết quả này đã được công bố trong một bài báo của Tạp chí Khoa học, Trường... bài toán mới Năm 2007, J Han và Y Hong tìm được một điều kiện để phương trình sai phân tuyến tính tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn trên N ([18]), sau đó A Diamandescu tìm được một vài điều kiện để phương trình sai phân tuyến tính tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn trên Z ([13], [14]) Trong chương này, phần đầu, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm Ψ-bị chặn trên Z của phương trình sai phân tuyến tính. .. c) Phổ của σ(S) là một hình tròn đóng: σ(S) = {λ||λ| ≤ rσ (S)} Những câu hỏi đã đặt ra là: các kiểu ổn định của phương trình (1.2) liên quan với nhau như thế nào? sự ổn định của phương trình (1.2) liên quan với phổ của toán tử đặc trưng như thế nào? Phần sau đây chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu về nội dung nói trên 1.3 Một số dấu hiệu ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính trong... có nghiệm duy nhất thuộc P d) Nếu phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều trên Z thì với mỗi f ∈ P , phương trình x(n + 1) = A(n)x(n) + f (n + 1) có nghiệm duy nhất thuộc P CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Ψ-BỊ CHẶN VÀ SỰ Ψ-ỔN ĐỊNH ĐỀU CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN CD Vấn đề tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình sai phân tuyến tính trên Z là bài toán quen thuộc, đã có nhiều kết... chặn trên Z của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian 21 22 Banach Cd Điều kiện này được A Diamandescu phát biểu và chứng minh với phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Rd ([13]) Cách chứng minh của chúng tôi dựa theo cách chứng minh của Diamandescu Chúng tôi vẫn sử dụng các ký hiệu và quy ước như đã dùng trong Chương 1 Với x = (x1 , x2 , , xd )T ∈ Cd , chuẩn của x, ký hiệu... đều thì với dãy toán tử tuyến tính bị chặn {B(n), n ∈ J} có chuẩn đủ nhỏ thì phương trình x(n + 1) = [A(n) + B(n)]x(n) (1.10) cũng ổn định tiệm cận đều Chứng minh Gọi T (tương ứng S ) là toán tử đặc trưng của phương trình (1.10) Do rσ (T ) < 1 (tương tự rσ (S) < 1) và sự phụ thuộc liên tục của bán kính phổ của toán tử tuyến tính theo chuẩn ([10]), cho nên, nếu sup B(n) [B] ≤ ε với ε đủ nhỏ thì rσ (T... vậy các điều kiện đã cho đối với điều kiện A được chuyển thành điều kiện của T hoặc S , áp dụng Định lý 1.3.2 ta có điều phải chứng minh Sau đây ta xét phương trình (1.1) và (1.2) trong đó {f (n)} là dãy hầu tuần hoàn trong B , {A(n)} là dãy toán tử hầu tuần hoàn trong [B] 17 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số là toán tử hầu tuần hoàn 1.4.1 Định nghĩa ([1], [17]) Dãy {u(n), n ∈ J} trong một... Trong khi đó δ < δ 2 Nghĩa là nghiệm x ≡ 0 của phương trình (1.2) không ổn định đều Theo y(k) = Định lý 1.2.3 thì phương trình (1.2) không ổn định đều, mâu thuẫn với giả thiết Vậy mọi nghiệm của phương trình (1.2) trên mỗi tập hợp [k, +∞), với k ∈ J bị chặn b) Nếu phương trình (1.2) ổn định mũ, với bất kì n0 ∈ J và x = {x(n)} là một nghiệm tùy ý của phương trình (1.2) thì tồn tại các số K và q sao cho... với toán tử S Định lý đã được chứng minh 16 1.3.3 Hệ quả ([1]) Nếu phương trình (1.2) ổn định đều trên J thì rσ (T ) ≤ 1 hoặc rσ (S) ≤ 1 Chứng minh Giả sử rσ (T ) > 1 Từ Định lý 1.3.2.c suy ra phương trình (1.2) không ổn định đều điều đó mâu thuẫn với giả thiết Vậy rσ (T ) ≤ 1 Tương tự cho trường hợp rσ (S) 1.3.4 Hệ quả ([1]) Nếu phương trình (1.2) ổn định tiệm cận đều thì với dãy toán tử tuyến tính . trên Z của phương trình sai phân tuyến tính. Sau đó, chúng tôi đề xuất khái niệm Ψ-ổn định đều và toán tử Ψ -đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính. Trong chương này, toán tử Ψ -đặc trưng là. sai phân tuyến tính. Ngoài lớp phương trình sai phân tuyến tính chung, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới một lớp phương trình sai phân tuyến tính trong đó dãy toán tử hệ số của phương trình là hầu. đều của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian C d . Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số dấu hiệu ổn định đều của phương trình sai phân tuyến tính. Trong chương này, toán tử đặc