sai phân dạng và sự phân dạng của phương trình sai phân tuyến tính

11 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần nhất hệ số hằng.. 13 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm lũy thừa.. 14 2.1.6 Phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

ĐỖ THỊ PHƯỢNG

SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN MINH KHOA

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân 2

1.1.1 Định nghĩa sai phân 2

1.1.2 Tính chất của sai phân 3

1.2 Áp dụng 6

1.2.1 Áp dụng tính tổng 6

1.2.2 Áp dụng tìm công thức tổng quát của dãy số 8

2 PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 10 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 10

2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một 10 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng số 11

2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần nhất hệ số hằng 12

2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải là đa thức của n 13

2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm lũy thừa 14

2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa 14

2.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng với vế phải là hàm lượng giác 15

2.1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng dùng nguyên lý chồng chất nghiệm để giải 16

2.1.9 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng

giải bằng phương pháp biến thiên hằng số 17

2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số 18 2.2.1 Định nghĩa 18

2.2.2 Cách giải 18

2.2.3 Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số 18

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng số 35 2.4 Một số ứng dụng mở rộng 38

2.4.1 Ứng dụng giải hệ phương trình sai phân 38

2.4.2 Giải phương trình sai phân phân thức 40

2.5 Một số bài toán thi học sinh giỏi và Olympic 41

MỞ ĐẦU

Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình sai phân đãđược nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Nhiềubài toán thực tế (hệ thống mạng điện, quá trình sản xuất,quản lý xí nghiệp,điều tra dân số, ) được mô tả bởi phương trình sai phân Các nghiên cứuđịnh tính, các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình sai phân đã được nghiêncứu khá đầy đủ, nhất là các phương trình sai phân tuyến tính trong khônggian hữu hạn chiều Nhưng để tạo lập được cách tiếp cận phù hợp, hiệu quả,

có tính hệ thống cho chương trình giảng dạy nâng cao hướng đến các kì thiolympic quốc gia và quốc tế đối với học sinh phổ thông, ở đây trong luậnvăn này tác giả trình bày một số nghiên cứu định tính và phân dạng phươngtrình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số Luận văn gồm hai chương:Chương 1 Trình bày một số khái niệm về sai phân

Chương 2 Phân dạng các phương trình sai phân tuyến tính

Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tác giả đã cố gắng chứngminh chi tiết các tính chất, giải tường minh các ví dụ miêu tả Đặc biệt làmsáng tỏ các khái niệm và các kết quả, các ví dụ được tính toán cẩn thận, đầy

đủ và chi tiết Các tính toán này thường không được trình bày trong các tàiliệu trích dẫn

Tác giả chân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoaKhoa học cơ bản, ĐH Điện Lực, người thầy đã hướng dẫn tận tâm tác giảhoàn thành luận văn này Xin được cảm ơn trường ĐH Khoa học (ĐH TháiNguyên) nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệttình của các thầy cô Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã độngviên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn để hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 8, 2014

Tác giả

Đỗ Thị Phượng

a Định nghĩa sai phân bậc một

Ta gọi sai phân hữu hạn bậc một của hàm số x(n) = xn với n ∈ N là

b Định nghĩa sai phân cấp cao

Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân của sai phân bậc một của

xn và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân

Từ đó ta có các công thức của sai phân cấp cao như sau

• Sai phân cấp 2 của hàm xn là

Tính chất 1.1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trịhàm số theo công thức

kXi=0

Giả sử (1.1) đúng với k tức là ta có giả thiết qui nạp

kXi=0

(−1)iCkixn+k−i

Ta chứng minh (1.1) đúng với k + 1 tức là:

kXi=0

(−1)iCkixn+1+k−i−

kXi=0

(−1)iCkixn+k−i

Ở tổng thứ hai ta đổi chỉ số i = i0− 1, sau đó thay i0 = i ta nhận được

kXi=0

(−1)iCkixn+k−i =

k+1X

(−1)iCkixn+k+1−i+

k+1Xi=1

(−1)iCki−1xn+k+1−i

=

kXi=1

(−1)iCkixn+k+1−i+ xn+k+1 +

kXi=1

(−1)iCki−1xn+k+1−i

=

kXi=1

(−1)i(Cki + Cki−1)xn+k+1−i+ xn+k+1 + (−1)k+1xn

=

kXi=1

(−1)iCk+1i xn+k+1−i+ xn+k+1 + (−1)k+1xn

=

k+1Xi=0

(−1)iCki(αxn+k+i+ βyn+k−i)

=α

kXi=0

(−1)iCkixn+k−i+ β

kXi=0

(−1)iCkiyn+k−i

Tính chất 1.3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:

Vậy ta có tính chất trên đúng với k = s + 1 < m.

Tức là ta đã chứng minh được (1) theo nguyên lý quy nạp

2 Khi k = m,( theo chứng minh 1), ta có

Tính chất 1.5 Công thức sai phân từng phần

Giải Xuất phát từ hệ thức sau và tính chất của tổng sai phân

Giải Vì k.k! = (k + 1)! − k! = ∆k! nên

S =

nPk=1

k.k! =

nPk=1

Ví dụ 1.6 Tính tổng S =

nPk=1

Giải Ta có S =

nPk=1

k + 3 − kk(k + 1)(k + 2)(k + 3)

Ví dụ 1.8 Tìm công thức tổng quát của dãy số un thỏa mãn u1 = 1 và

nXk=1

12

32

32

n+1

Vậy un = 3n− 2n

Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài ra

Ví dụ 1.9 Tìm công thức tổng quát của dãy số un thỏa mãn u1 = 1 và

Giải Ta có (1.2) ⇔ un+1 + (n + 1) + 2 = 2(un+ n + 2)

nên vn = 2n−1.4 suy ra un = 2n+81− n − 2

Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài ra

Ví dụ 1.10 Tìm công thức tổng quát của dãy số un thỏa mãn u1 = 1

và

Chương 2

PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG

TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Các định nghĩa, định lý và các tính chất liên quan tới phương trình sai phântrong chương này được trích theo tài liệu [2], [3]

Định nghĩa 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình

có dạng:

trong đó x(n), x(n + 1) là cặp giá trị liền nhau bất kì của hàm đối số nguyêncần tìmx(n); còna(n), b(n), f (n) là những hàm của đối số nguyên cho trước.Như thông lệ trong lý thuyết phương trình sai phân các tác giả thường lýluận hàm của đối số nguyên chẳng hạnZ(n) bằng Zn Như vậy phương trình

an, bn được gọi là hệ số, xn là ẩn, fn là vế phải

Ví dụ 2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính bậc một

ii Nếu fn 6= 0 thì phương trình (2.2) gọi là phương trình không thuần nhất.iii Nếu an, bn là hằng số không phụ thuộc n thì phương trình (2.2) được gọi

là phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng

iiii Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hay được dùng để mô tả các

mô hình kinh tế, mô hình quản lý xã hội

Ví dụ 2.2 Sản phẩm của xí nghiệp X tăng trung bình mỗi tháng 2% Sảnphẩm của tháng đầu là α Hãy mô tả tình hình sản xuất sản phẩm của xínghiệp

Giải Ta gọi sản phẩm tháng thứ n của xí nghiệp là xn, khi đó xn+1 =

Vậy ta có phương trình sai phân xn+1 = 1, 02xn; x1 = α

Ví dụ 2.3 Mô tả biến động của thị trường, tại thời điểm thứ n

Giải Gọi Pn là giá, Sn là cầu, Dn là cung Khi đó tốc độ giá cả là :

n

−ba

Thay vào (2.3) ta có:

Ta gọi phương trình aλ + b = 0 là phương trình đặc trưng của (2.3)

phương trình (2.3)

Nếu cho giá trị ban đầu x0 thì ta được một nghiệm riêng là xn = qnx0

Ví dụ 2.4 Năm 1990, Hà Nội có 1,6 triệu người Tốc độ tăng dân số hàngnăm là 1% Hỏi năm 2000 Hà Nội có bao nhiêu người?

Giải Đánh số thứ tự sao cho n = 0 ứng với năm 1990, n = 1 ứng với năm1991, n = 10 ứng với năm 2000

Gọi xn là số người của Hà Nội tại thời điểm thứ n

Theo bài toán ta có phương trình xn+1 = 1, 01xn; x0 = 1, 6 triệu Vậy

nhất hệ số hằng

Định nghĩa 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuầnnhất hệ số hằng là phương trình có dạng:

Cách giải Nghiệm tổng quát của (2.4) có dạng xn = ¯xn +x∗n,

trong đó x¯n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứngdạng x¯n = cλn với λ = −b

2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải là

đa thức của n

Định nghĩa 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với

vế phải là đa thức của n có dạng:

Pm(n) là đa thức bậc m của n

Cách giải Nghiệm tổng quát xn =¯xn +x∗n, trong đó nghiệm riêng x∗n đượctìm như sau

Trường hợp 1 Nếu λ 6= 1 thì x∗n được tìm dưới dạng đa thức cùng bậc m

Trường hợp 2 Nếu λ = 1 thì x∗n = n.Qm(n)

Ví dụ 2.6 Giải phương trình xn+1 − 15xn = −14n + 1; x0 = 2014

Giải Dễ thấy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất làx¯n= c.15n

Thay vào phương trình ban đầu ta có:

a(n + 1) + b − 15(an + b) = −14n + 1

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được a = 1; b = 1 suy ra x∗n = n

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

Từ giả thiết x0 = 2014 suy ra c = 2014

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là xn = 2014.15n + n

Ví dụ 2.7 Giải phương trình xn+1 − xn = −2n − 1; x0 = 100

Giải Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

Do đó nghiệm riêng x∗n = n(an + b); x∗n+1 = (n + 1)[a(n + 1) + b]

Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được : a = −1; b = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm riêng là: x∗n = −n2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: xn = ¯xn + x∗n = c − n2

Từ giả thiết ta có x0 = 100 suy ra c = 100

Vậy nghiệm của phương trình là xn = 100 − n2

2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với

vế phải là hàm lũy thừa

Định nghĩa 2.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với

vế phải là hàm lũy thừa là phương trình có dạng axn+1 + bxn = α.βn (2.6)

Cách giải Ta tìm nghiêm riêng x∗n như sau

Trường hợp 1 Nếu λ 6= β thì x∗n = cβn

Trường hợp 2 Nếu λ = β thì x∗n = c.n.βn

Ví dụ 2.8 Giải phương trình xn+1 − 3xn = 5n; x0 = 100, 5

Giải Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất x¯n = c.3n

Thay vào phương trình đã cho ta có c = 1

vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa

Định nghĩa 2.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với

vế phải làm hàm đa thức nhân lũy thừa là phương trình có dạng:

Giải Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất x¯n = c.2n

Suy ra xn+1 = (n + 1)[a(n + 1) + b]2n+1 Thay vào phương trình, ta được:

vế phải là hàm lượng giác

Định nghĩa 2.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng với

vế phải là hàm lượng giác là phương trình có dạng:

Biến đổi và rút gọn ta được −A sin nπ

nπ

nπ4

suy ra A = −1; B = 0 suy ra x∗n = cosnπ

n

2.1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng

dùng nguyên lý chồng chất nghiệm để giải

Định nghĩa 2.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng códạng:

2.1.9 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng giải

bằng phương pháp biến thiên hằng số

Định nghĩa 2.9 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng giảibằng phương pháp biến thiên hằng số có dạng:

Giải Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là x¯n = c.5n

Ta tìm nghiệm riêng ở dạng x∗n = cn.5 Thay vào phương trình ta được:

x0 = 1 suy ra c = 1.Vậy nghiệm của phương trình là xn = 5n+ 2n.5n

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là xn = c + n!

Bài tập Giải các phương trình sai phân sau

2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

Giải Gọi xn là sản lượng điện của tháng thứ n Ta có:

số hằng số

Dạng 1 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng

số dạng:

Cách giải Phương trình (2.14) có nghiệm tầm thường xn = 0.

Ta tìm nghiệm khác 0 ở dạng xn = αλn, α 6= 0, λ 6= 0

Thay vào phương trình (2.14) ta nhận được

Ta gọi (2.15) là phương trình đặc trưng của (2.14) Nghiệm của (2.14)

phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng (2.15)

Trường hợp 1 Nếu (2.15) có hai nghiệm thực λ1 6= λ2 thì nghiệm tổngquát của (2.14) là

xn = Aλn1 + Bλn2 với A, B là hai hằng số tùy ý

Trường hợp 2 Nếu (2.15) có nghiệm kép λ1 = λ2 = λ thì

Trường hợp 3 Nếu(2.15)có nghiệm phức λ = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì nghiệm

tổng quát của (2.14) là

Ví dụ 2.15 Giải phương trình sai phân

Giải Phương trình đặc trưng λ2 − 2λ + 4 = 0 có nghiệm λ = 1 ± i√

i, nhận đượcB = 0 Vậy

nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu của phương trình làxn = 2ncos nπ

Ví dụ 2.18 Giải phương trình sai phân xn+2− 6xn+1 + 6xn = 2016

Giải Phương trình đặc trưng λ2 − 6λ + 5 = 0 có nghiệm λ1 = 1, λ2 = 5

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

Vậy x∗n = −504n.

Ta có nghiệm tổng quát của phương trình là: xn = A = B.5n − 504n

Ví dụ 2.19 Giải phương trình xn+2 + 4xn+1− 5xn = 12n + 8

Giải Phương trình đặc trưng λ2+ 4λ − 5 = 0 có nghiệm λ1 = 1, λ2 = −5

nên ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

ở dạng x∗n = n(An + B) suy ra x∗n+2 = (n + 2)A(n + 2) + B, x∗n+1 =

Thay vào phương trình, đồng nhất hệ số hai vế ta được : a = 1, b = 0 suy

ra x∗n = n2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

Giải Phương trình đặc trưng λ2 − λ − 2 = 0 có nghiệm λ1 = −1, λ2 = 2.

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

trong đó Pk(n) là đa thức cụ thể bậc k của n

Cách giải Nghiệm tổng quát của (2.18) là:

• xn là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

• x∗n là nghiệm riêng của (2.18) được tìm như sau

Trường hợp 1 Nếuλ = β không là nghiệm của phương trình đặc trưng thìnghiệm riêng ở dạng

với Qk(n) là đa thức bậc k của n chưa biết hệ số

Trường hợp 2 Nếu λ = β là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì

Trường hợp 3 Nếu λ = β là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì

Ví dụ 2.21 Giải phương trình

Giải Phương trình đặc trưng λ2 − 3λ + 2 = 0 có nghiệm λ1 = 1, λ2 = 2

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

Thay vào phương trình, đồng nhất hệ số hai vế ta được: a = 1

12

suy ra x∗n = 1

12

• xn là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

• x∗n là nghiệm riêng được tính như sau:

Giải Phương trình đặc trưng λ2 − 10λ + 25 = 0 có nghiệm λ1 = λ2 = 5.

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

• xn là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

• x∗n là nghiệm riêng của (2.20)

Ta có x∗n = x∗(1)n + x∗(2)n , với x∗(1)n là nghiệm riêng của phương trình:

còn x∗(2)n là nghiệm riêng của phương trình:

Ví dụ 2.23 Giải phương trình

Giải Phương trình đặc trưng λ2 − 5λ + 6 = 0 có nghiệm λ1 = 2, λ2 = 3

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

Nghiệm riêng của phương trình là: x∗n = x∗(1)n + x∗(2)n

Với x∗(1)n là nghiệm riêng của phương trình:

• xn là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

• x∗n là nghiệm riêng của (2.21)

Với x∗(1)n là nghiệm riêng của phương trình:

còn x∗(2)n là nghiệm riêng của phương trình:

Ví dụ 2.24 Giải phương trình xn+2 − 4xn+1+ 3xn = (2n + 1)2n+ n2.5n.Giải Phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 3 = 0 có nghiệm λ1 = 1, λ2 = 3

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:



Ví dụ 2.25 Giải phương trình 2xn+2+ 5xn+1+ 2xn = (35n + 51).3n+ 2n.5n

Giải Phương trình đặc trưng 2λ2+ 5λ + 2 = 0 có nghiệm λ1 = −2; λ2 =

với Pm(n) là đa thức bậc m của n; Qk(n) là đa thức bậc k của n

Giải Gọi l = max(m, k)

Trường hợp 1 Nếu cos β ± i sin β không là nghiệm của phương trình đặctrưng thì nghiệm riêng có dạng x∗n = Hl(n) cos βn + Klsin βn.

Trường hợp 2 Nếu cos β ± i sin β là nghiệm của phương trình đặc trưngthì nghiệm riêng có dạng x∗n = n [Hl(n) cos βn + Kl sin βn]

Giải Phương trình đặc trưng λ2 − 3λ + 2 = 0 có nghiệm λ1 = 1; λ2 = 2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

Giải Phương trình đặc trưng λ2 − λ − 2 = 0 có nghiệm λ1 = −1; λ2 = 2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

nπ2