2 PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN
2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng số
số
Dạng 15. Phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số hằng số (k > 2)
Cách giải. Ta tìm nghiệm dưới dạng xn = Cλn, C 6= 0 đi đến λ phải thỏa mãn phương trình đặc trưng:
akλk +ak−1λk−1 + ...+a1λ+ a0 = 0.
Trường hợp 1.Nếu phương trình đặc trưng cóknghiệm phân biệtλ1, λ2, ..., λk
thì nghiệm tổng quát của phương trình là :
xn = C1λ1n+C2λ2n +...+Ckλkn
với C1, C2, ..., Ck là k hằng số tùy ý.
Ví dụ 2.33. Giải phương trình sai phân:
xn+3 −10xn+2+ 31xn+1 −30xn = 0.
Giải. Phương trình đặc trưng:
λ3 −10λ2 + 31λ−30 = 0 ⇔ (λ−2)(λ −3)(λ−5) = 0 ⇔ λ1 = 2 λ2 = 3 λ3 = 5
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
xn = C1.2n +C2.3n+C3.5n.
Trường hợp 2.Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội, chẳng hạn λ1
có bội S. λ1 = λ2 = ...= λS thì bằng cách lấy u1 = λ1n, u2 = nλ1n, ..., uS =
nS−1λ1n là những nghiệm riêng độc lập tuyến tính ứng với λ1, λ2, ..., λS.
Ví dụ 2.34. Giải phương trình sai phân
xn+3−7xn+2 + 16xn+1 −12xn = 0,
thỏa mãn điều kiện ban đầu x0 = 0, x1 = 1, x2 = −1. Giải. Ta có phương trình đặc trưng
λ3 −7λ2 + 16λ−12 = 0 ⇔ λ1 = λ2 = 2, λ3 = 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình:
Theo điều kiện ban đầu ta có: c1 +c3 = 0 2(c1 + c2) + 3c3 = 1 4(c1 + 2c2) + 9c3 = −1 ⇔ c1 = 5 c2 = 3 c3 = −5
Vậy nghiệm riêng của phương trình là:
xn = (5 + 3n).2n−5.3n.
Trường hợp 3. Phương trình đặc trưng có nghiệm phức, chẳng hạn λ1 =
r(cosα+isinα) nên sẽ có nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα−isinα). Khi đó ứng với 2 nghiệm λ1n, λ2n ta thay bằng rncosnα, rnsinnα.
Ví dụ 2.35. Giải phương trình xn+3 −xn = 0. Phương trình đặc trưng λ3 −1 = 0 ⇔ (λ−1)(λ2 +λ+ 1) = 0 ⇔λ1 = 1, λ2 = cos2π 3 +isin 2π 3 , λ3 = cos 2π 3 −isin 2π 3 .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình:
xn = C1 + C2cos 2nπ
3 + C3sin
2nπ
3 .
Dạng 16. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k hệ số hằng số (k > 2)
Dạng. akxn+k +ak−1xn+k−1 + ...+a0xn = fn, fn 6= 0. Cách giải. Nghiệm tổng quát của phương trình là:
xn = ¯xn +x∗n,
trong đóx¯n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất; x∗n là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình.
Nghiệm riêng phụ thuộc vào fn, cách tìm kiểu như phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng .
Ví dụ 2.36. Giải phương trình xn+3 −3xn+1+ 2xn = 1. Giải. Phương trình đặc trưng xn+3 −3xn+1 + 2xn = 0
⇔ λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
¯
Phương trình đặc trưng có nghiệm kép nên nghiệm riêng x∗n = an2 , thay vào phương trình đồng nhất hệ số hai vế ta được: a = 1
6 suy ra x
∗
n = 1 6n
2. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
xn = ¯xn+x∗n = C1 +C2.n+C3.(−2)n + 1 6n
2.
Ví dụ 2.37. Giải phương trình sai phân
xn+3 −3xn+1+ 2xn = 1.
Giải. Phương trình đặc trưng λ3 − 3λ + 2 = 0 có nghiệm λ1 = λ2 = 1;λ3 = −2 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
xn = (c1 +c2n) +c3(−2)n.
Vì phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ2 = 1 nên nghiệm riêng có dạng:
x∗n = An2 ⇒ x∗n+1 = A(n+ 1)2, x∗n+3 = A(n+ 3)2.
Thay vào phương trình ta có:
A(n+ 3)2 −3A(n+ 1)2 + 2An2 = 1 ⇒A = 1 6.
Vậy nghiệm riêng x∗n = n
2
6 . Do đó nghiệm tổng quát của phương trình:
xn = xn+ x∗n = c1 +c2n+c3(−2)n+ n
2
6 .
2.4 Một số ứng dụng mở rộng