Sai phân dạng và sự phân dạng của phương trình sai phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ PHƯỢNG SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ PHƯỢNG SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI PHÂN 1.1 Các khái niệm sai phân 1.1.1 Định nghĩa sai phân 1.1.2 Tính chất sai phân 1.2 Áp dụng 1.2.1 Áp dụng tính tổng 1.2.2 Áp dụng tìm cơng thức tổng qt dãy 2 6 số PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số số 2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc khơng hệ số 2.1.4 Phương trình sai phân bậc hệ số với vế phải đa thức n 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hệ số với vế phải hàm lũy thừa 2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hệ số với vế phải hàm đa thức nhân lũy thừa 2.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số với vế phải hàm lượng giác 2.1.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số dùng nguyên lý chồng chất nghiệm để giải i 10 10 10 11 12 13 14 14 15 16 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hệ số giải phương pháp biến thiên số Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số số 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Cách giải 2.2.3 Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số số Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao với hệ số số Một số ứng dụng mở rộng 2.4.1 Ứng dụng giải hệ phương trình sai phân 2.4.2 Giải phương trình sai phân phân thức Một số toán thi học sinh giỏi Olympic 2.1.9 2.2 2.3 2.4 2.5 17 18 18 18 18 35 38 38 40 41 Kết Luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii MỞ ĐẦU Do nhu cầu thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình sai phân nhiều nhà toán học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Nhiều tốn thực tế (hệ thống mạng điện, trình sản xuất,quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, ) mơ tả phương trình sai phân Các nghiên cứu định tính, hệ điều khiển mơ tả phương trình sai phân nghiên cứu đầy đủ, phương trình sai phân tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều Nhưng để tạo lập cách tiếp cận phù hợp, hiệu quả, có tính hệ thống cho chương trình giảng dạy nâng cao hướng đến kì thi olympic quốc gia quốc tế học sinh phổ thông, luận văn tác giả trình bày số nghiên cứu định tính phân dạng phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số Luận văn gồm hai chương: Chương Trình bày số khái niệm sai phân Chương Phân dạng phương trình sai phân tuyến tính Để hiểu trình bày vấn đề cách dễ dàng, tác giả cố gắng chứng minh chi tiết tính chất, giải tường minh ví dụ miêu tả Đặc biệt làm sáng tỏ khái niệm kết quả, ví dụ tính tốn cẩn thận, đầy đủ chi tiết Các tính tốn thường khơng trình bày tài liệu trích dẫn Tác giả chân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoa Khoa học bản, ĐH Điện Lực, người thầy hướng dẫn tận tâm tác giả hoàn thành luận văn Xin cảm ơn trường ĐH Khoa học (ĐH Thái Nguyên) nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình thầy Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn để hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 8, 2014 Tác giả Đỗ Thị Phượng Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI PHÂN Các định nghĩa, định lý tính chất liên quan tới sai phân chương trích theo tài liệu [1], [4] 1.1 Các khái niệm sai phân 1.1.1 Định nghĩa sai phân a Định nghĩa sai phân bậc Ta gọi sai phân hữu hạn bậc hàm số x(n) = xn với n ∈ N hiệu ∆xn = xn+1 − xn Ví dụ 1.1 Hàm xn cho dạng bảng n xn 1 2 Có sai phân hữu hạn bậc ∆x0 = x1 − x0 = − = 1; ∆x1 = x2 − x1 = 2; ∆x2 = x3 − x2 = 3; ∆x3 = x4 − x3 = −2 b Định nghĩa sai phân cấp cao Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân bậc xn nói chung sai phân cấp k hàm xn sai phân sai phân cấp k − Từ ta có công thức sai phân cấp cao sau • Sai phân cấp hàm xn ∆2 xn = ∆(∆xn ) = ∆xn+1 − ∆xn = xn+2 − xn+1 − (xn+1 − xn ) = xn+2 − 2xn+1 + xn • Sai phân cấp hàm số xn ∆3 xn = ∆(∆2 xn ) = ∆2 xn+1 − ∆2 xn = xn+3 − 2xn+2 + xn+1 − (xn+2 − 2xn+1 + xn ) = xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn • Tổng quát sai phân cấp k xn ∆k xn = ∆(∆k−1 xn )= ∆k−1 xn+1 − ∆k−1 xn = k (−1)i Cki xn+k−i i=0 Ví dụ 1.2 Xét hàm xn ví dụ 1.1 ta có: ∆2 x0 = x2 − 2x1 + x0 = 1; ∆2 x1 = x3 − 2x2 + x1 = 1; ∆2 x2 = x4 − 2x3 + x2 = −5; ∆3 x0 = x3 − 3x2 + 3x1 − x0 = 0; ∆3 x1 = x4 − 3x3 + 3x2 − x1 = 6; ∆4 x0 = x4 − 4x3 + x2 − 4x1 + x0 = −7 1.1.2 Tính chất sai phân Tính chất 1.1 Sai phân cấp biểu diễn qua giá trị hàm số theo công thức k k (−1)i Cki xn+k−i ∆ xn = (1.1) i=0 Chứng minh Ta chứng minh công thức (1.1) theo phương pháp qui nạp Với k = ta có: ∆xn = xn+1 − xn = C10 xn+1 − C11 xn , công thức (1.1) Giả sử (1.1) với k tức ta có giả thiết qui nạp k k (−1)i Cki xn+k−i ∆ xn = i=0 Ta chứng minh (1.1) với k + tức là: k k+1 ∆ k k k i xn = ∆ xn+1 − ∆ xn = (−1) Cki xn+1+k−i − i=0 (−1)i Cki xn+k−i i=0 Ở tổng thứ hai ta đổi số i = i − 1, sau thay i = i ta nhận k k+1 (−1) i Cki xn+k−i i=0 (−1)i −1 Cki −1 xn+k+1−i = i =1 Do ta nhận được: k k+1 ∆ k+1 i xn = (−1) Cki xn+k+1−i i=0 k = (−1)i Cki−1 xn+k+1−i + i=1 k (−1) i Cki xn+k+1−i (−1)i Cki−1 xn+k+1−i + xn+k+1 + i=1 i=1 +(−1)k+1 xn k (−1)i (Cki + Cki−1 )xn+k+1−i + xn+k+1 + (−1)k+1 xn = i=1 k i (−1)i Ck+1 xn+k+1−i + xn+k+1 + (−1)k+1 xn = i=1 k+1 i (−1)i Ck+1 xn+k+1−i = i=0 Vậy công thức (1.1) với k + 1, theo nguyên lý qui nạp công thức (1.1) với giá trị k ∈ N Tính chất 1.2 Sai phân cấp hàm số tốn tử tuyến tính Chứng minh Ta phải chứng minh k k (−1)i Cki (αxn+k+i + βyn+k−i ) ∆ (αxn + βyn ) = i=0 k =α k (−1) i=0 k i Cki xn+k−i (−1)i Cki yn+k−i +β i=0 =α∆ xn + β∆k yn Tính chất 1.3 Sai phân cấp k đa thức bậc m là: Đa thức bậc m − k k < m Hằng số, k = m Bằng k > m Chứng minh Do tính chất 2, sai phân cấp tốn tử tuyến tính, nên ta việc chứng minh cho đơn thức Pm (n) = nm đủ Ta có ∆nm = (n + 1)m − nm m m = Cm + Cm n + + Cm n − nm m−1 m−1 = Cm + Cm n + + Cm n = Pm−1 (n) Giả sử tính chất với k = s < m ta chứng minh với k = s + < m Ta có ∆s+1 nm = ∆(∆s nm ) = ∆s (n + 1)m − ∆s nm = ∆Pm−s (n) = Pm−s−1 (n) Vậy ta có tính chất với k = s + < m Tức ta chứng minh (1) theo nguyên lý quy nạp Khi k = m,( theo chứng minh 1), ta có ∆m nm = Pm−m (n) = P0 (n) = C(const) Khi k > m ta có ∆k nm = ∆k−m (∆m nm ) = ∆k−m C = ∆k−m−1 (∆C) = Tính chất 1.4 N n=n0 ∆k xn = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xn0 với k ∈ Z+ Chứng minh Ta có N N k ∆(∆k−1 xn ) ∆ xn = n=n0 n=n0 k−1 =∆ xn0 +1 − ∆k−1 xn0 + + ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xN = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xn0 Tính chất 1.5 Công thức sai phân phần ∆(xk yk ) = xk ∆yk + yk+1 ∆xk Chứng minh Ta có ∆(xk yk ) = xk+1 yk+1 − xk yk = xk+1 yk+1 − xk yk+1 + xk yk+1 − xk yk = yk+1 (xk+1 − xk ) + xk (yk+1 − yk ) = xk ∆yk + yk+1 ∆xk n ∆xk = xk+1 − x1 Tính chất 1.6 (Tổng sai phân) k=1 Chứng minh n ∆xk = ∆x1 + ∆x2 + + ∆xn−1 + ∆xn k=1 = x2 − x1 + x3 − x2 + + xn − xn−1 + xn+1 − xn = xn+1 − x1 1.2 1.2.1 Áp dụng Áp dụng tính tổng n Ví dụ 1.3 Tính tổng Sn = 3k−1 sin3 k=1 x 3k Xuất phát từ hệ thức sau tính chất tổng sai phân sin3 x = [3 sin x − sin 3x] x ta nhận Sn = [3n sin n − sin x] n Ví dụ 1.4 Tính tổng Sn = 2k+1 tan2 k=1 x x tan 2k 2k−1 ∗(1) Vậy xn = (n + 6).2n ∗2) Cịn xn nghiệm riêng phương trình: nπ nπ + 7(n + 1) sin 2 nπ nπ ∗(2) Ta có xn = (cn + d) cos + (en + f ) sin 2 nπ nπ ∗(2) xn+1 = −(cn + c + d) sin + (en + f + e) cos 2 nπ nπ ∗(2) + (en + f + 2e) sin xn+2 = (cn + 2c + d) cos 2 Thay vào phương trình cho, rút gọn so sánh hệ số ta được: xn+2 − 7xn+1 + 12xn = (13n + 2) cos  13c − 7e = 13     13e + 7c = ⇔  −7e − 7f + 13d + 2c =    2e + 13f + 7d + 7c = nπ ∗(2) Vậy xn = n cos Phương trình cho có nghiệm là: c=1 e=d=f =0 xn = C1 3n + C2 4n + (n + 6).2n + n cos nπ Dạng 13 Phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp hệ số số dạng: axn+2 +bxn+1 +cxn = Hm (n) cos βn+Kl (n) sin βn+Rk (n) cos γn+Ri (n) sin γn ∗(1) Ta có x∗n = xn ∗(2) ∗(1) + xn Với xn nghiệm phương trình: axn+2 + bxn+1 + cxn = Hm (n) cos βn + Kl (n) sin βn ∗(2) Còn xn nghiệm phương trình: axn+2 + bxn+1 + cxn = Rk (n) cos γn + Ri (n) sin γn Ví dụ 2.31 Giải phương trình sai phân nπ nπ nπ + 2(n + 1) sin + (n2 + n − 1) cos − xn+2 + xn = 2(n2 + n + 1) cos 2 nπ (n2 + 3n + 5) sin Giải Phương trình đặc trưng λ2 + = có nghiệm λ = ±i Ta có : 32 λ = ±i = cos π π ± i sin 2 nên nghiệm tổng quát có dạng: nπ nπ + B sin 2 nπ nπ + 2(n + 1) sin Xét phương trình: xn+2 + xn = 2(n2 + n + 1) cos 2 có nghiệm riêng là: x¯n = A cos nπ nπ + (a2 n2 + b2 n + c2 ) sin 2 Thay vào phương trình cho, rút gọn so sánh hệ số ta được: x∗(1) = n (a1 n2 + b1 n + c1 ) cos n  2a1 =     6a + 2b = 1  12a1 + 4b1 + 2c1 =    8a1 + 4b1 + 2c1 =  2a2 =     6a + 2b = 2  12a2 + 4b2 + 2c2 =    8a2 + 4b2 + 2c2 = Vậy a1 = a2 = b2 = 0; b1 = 1; c1 = −1; c2 = nπ nπ ∗(1) + n sin Suy xn = n(n − 1) cos 2 nπ nπ Xét phương trình xn+2 + xn = (n2 + n − 1) cos − (n2 + 3n + 5) sin 4 có nghiệm riêng là: nπ nπ + (a4 n2 + b4 n + c4 ) sin 4 Thay vào phương trình cho, rút gọn so sánh hệ số ta được: x∗(2) = (a3 n2 + b3 n + c3 ) cos n     a + a = a3 =         b3 + 4a4 + b4 = b3 =        c + 4a + 2b + c = −1  c = −1 4 ⇔   a4 − a3 = −1 a4 =           b4 − 4a3 − b3 = −3 b4 =       c4 − 4a3 − 2b3 − c3 = −5 c4 = −2 33 nπ nπ + (n − 2) sin 4 Nghiệm riêng phương trình cho là: ⇒ x∗(2) = (n2 − 1) cos n x∗n = x∗(1) + x∗(2) n n Vậy phương trình cho có nghiệm xn = x ¯n + x∗n nπ nπ nπ nπ nπ nπ +B sin +n(n−1) cos +n sin +(n2 −1) cos +(n−2) sin 2 2 4 Dạng 14 Phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp hệ số số dạng: = A cos axn+2 + bxn+1 + cxn = Pm (n) + A.β n + Hl (n) cos γn + Kj (n) sin γn ∗(1) Ta có nghiệm riêng phương trình là: x∗n = xn ∗(1) Với xn nghiệm phương trình: ∗(2) + xn ∗(3) + xn axn+2 + bxn+1 + cxn = Pm (n) ∗(2) Cịn xn nghiệm phương trình: axn+2 + bxn+1 + cxn = A.β n ∗(3) Và xn nghiệm phương trình: axn+2 + bxn+1 + cxn = Hl (n) cos γn + Kj (n) sin γn Ví dụ 2.32 Giải phương trình sai phân: xn+2 − 7xn+1 + 12xn = (n + 1) + 5.5n + (13n + 2) cos nπ nπ + 7(n + 1) sin 2 Giải Phương trình đặc trưng λ2 − 7λ + 12 = ⇔ λ1 = 3, λ2 = Suy nghiệm tổng quát phương trình là: x¯n = C1 3n + C2 4n ∗(1) Nghiệm riêng phương trình x∗n = xn nghiệm riêng phương trình: ∗(2) + xn xn+2 − 7xn+1 + 12xn = n + 34 ∗(3) ∗(1) + xn Với xn ∗(1) Ta có xn ∗(1) Vậy xn = an + b thay vào phương trình ta được: a(n + 2) + b − [a(n + 1) + 7] + 12(an + b) = n + ⇔ 6an − 5a + 6b = n + 1   a =   6a = ⇔ ⇔  −5a + 6b =    b = 11 36 11 = n+ 36 ∗(2) Gọi xn nghiệm riêng phương trình: xn+2 − 7xn+1 + 12xn = 5.5n ∗(2) Ta tìm xn = C.5n thay vào phương trình ta được: C.5n+2 − 7C.5n+1 + 12C.5n = 5.5n ⇔ 2C = ⇔ C = = 5n ∗(3) Cuối xn nghiệm riêng phương trình: nπ nπ xn+2 − 7xn+1 + 12xn = (13n + 2) cos + 7(n + 1) sin 2 nπ nπ ∗(3) + (cn + d) sin Thay vào phương trình Ta có xn = (an + b) cos 2 nπ ∗(3) so sánh hệ số ta được: a = 1, b = c = d = suy xn = n cos 11 n nπ Vậy x∗n = n + + + n cos 36 2 Phương trình cho có nghiệm: ∗(1) Vậy xn 11 n nπ + + n cos xn = C1 3n + C2 4n + n + 36 2 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao với hệ số số Dạng 15 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số số (k > 2) Dạng ak xn+k + ak−1 xn+k−1 + + a0 xn = 35 Cách giải Ta tìm nghiệm dạng xn = Cλn , C = đến λ phải thỏa mãn phương trình đặc trưng: ak λk + ak−1 λk−1 + + a1 λ + a0 = Trường hợp Nếu phương trình đặc trưng có k nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , , λk nghiệm tổng quát phương trình : xn = C1 λ1 n + C2 λ2 n + + Ck λk n với C1 , C2 , , Ck k số tùy ý Ví dụ 2.33 Giải phương trình sai phân: xn+3 − 10xn+2 + 31xn+1 − 30xn = Giải Phương trình đặc trưng: λ3 − 10λ2 + 31λ − 30 = ⇔ (λ − 2)(λ − 3)(λ − 5) =  λ1 =  ⇔  λ2 = λ3 = Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: xn = C1 2n + C2 3n + C3 5n Trường hợp Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội S λ1 = λ2 = = λS cách lấy u1 = λ1 n , u2 = nλ1 n , , uS = nS−1 λ1 n nghiệm riêng độc lập tuyến tính ứng với λ1 , λ2 , , λS Ví dụ 2.34 Giải phương trình sai phân xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 0, thỏa mãn điều kiện ban đầu x0 = 0, x1 = 1, x2 = −1 Giải Ta có phương trình đặc trưng λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = ⇔ λ1 = λ2 = 2, λ3 = Nghiệm tổng quát phương trình: xn = (C1 + C2 n) 2n + C3 3n 36 Theo điều kiện ban đầu ta có:      c1 =  c1 + c3 = ⇔ c2 = 2(c1 + c2 ) + 3c3 =     c3 = −5 4(c1 + 2c2 ) + 9c3 = −1 Vậy nghiệm riêng phương trình là: xn = (5 + 3n).2n − 5.3n Trường hợp Phương trình đặc trưng có nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cos α + i sin α) nên có nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cos α − i sin α) Khi ứng với nghiệm λ1 n , λ2 n ta thay rn cos nα, rn sin nα Ví dụ 2.35 Giải phương trình xn+3 − xn = Phương trình đặc trưng λ3 − = ⇔ (λ − 1)(λ2 + λ + 1) = 2π 2π 2π 2π ⇔ λ1 = 1, λ2 = cos + i sin , λ3 = cos − i sin 3 3 Vậy nghiệm tổng quát phương trình: xn = C1 + C2 cos 2nπ 2nπ + C3 sin 3 Dạng 16 Phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp k hệ số số (k > 2) Dạng ak xn+k + ak−1 xn+k−1 + + a0 xn = fn , fn = Cách giải Nghiệm tổng quát phương trình là: xn = x¯n + x∗n , x ¯n nghiệm tổng quát phương trình nhất; x∗n nghiệm riêng phương trình Nghiệm riêng phụ thuộc vào fn , cách tìm kiểu phương trình tuyến tính cấp hai hệ số Ví dụ 2.36 Giải phương trình xn+3 − 3xn+1 + 2xn = Giải Phương trình đặc trưng xn+3 − 3xn+1 + 2xn = ⇔ λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: x¯n = C1 + C2 n + C3 (−2)n 37 Phương trình đặc trưng có nghiệm kép nên nghiệm riêng x∗n = an2 , thay vào 1 phương trình đồng hệ số hai vế ta được: a = suy x∗n = n2 6 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: xn = x¯n + x∗n = C1 + C2 n + C3 (−2)n + n2 Ví dụ 2.37 Giải phương trình sai phân xn+3 − 3xn+1 + 2xn = Giải Phương trình đặc trưng λ3 − 3λ + = có nghiệm λ1 = λ2 = 1; λ3 = −2 nên nghiệm tổng quát phương trình là: xn = (c1 + c2 n) + c3 (−2)n Vì phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ2 = nên nghiệm riêng có dạng: x∗n = An2 ⇒ x∗n+1 = A(n + 1)2 , x∗n+3 = A(n + 3)2 Thay vào phương trình ta có: A(n + 3)2 − 3A(n + 1)2 + 2An2 = ⇒ A = Vậy nghiệm riêng x∗n n2 = Do nghiệm tổng quát phương trình: xn = xn + x∗n n2 = c1 + c2 n + c3 (−2) + n 2.4 Một số ứng dụng mở rộng 2.4.1 Ứng dụng giải hệ phương trình sai phân  xn+1 = pxn + qyn (i)    y n+1 = rxn + syn (ii)  x0 = α    y0 = β Cách giải Từ (i) thay n n + ta có: xn+2 = pxn+1 + qyn+1 (i) 38 Thế (ii)vào (i) ta được: xn+2 = pxn+1 + q(rxn + syn ) Hay xn+2 = pxn+1 + qrxn + qsyn Rút qyn từ (i) thay vào ta có: xn+2 = pxn+1 + qrxn + s(xn+1 − pxn ) x0 = α; x1 = px0 + qy0 = pα + qβ Như ta đưa hệ phương trình cho phương trình tuyến tính cấp hai hệ số Ví dụ 2.38 Một trại ni bị sữa có loại lai thời điểm thứ n loại có xn con, loại có yn Biết mối quan hệ chúng là: xn+1 = 3xn + yn , x0 = yn+1 = 5xn − yn , y0 = Tìm số gia súc loại thời điểm thứ n Giải Từ phương trình thứ thay n n + ta được: xn+2 = 3xn+1 + yn+1 kết hợp với phương trình thứ hai ta có: xn+2 = 3xn+1 + 5xn − yn Lại từ phương trình thứ suy yn = xn+1 − 3xn Thay vào ta nhận được: xn+2 = 2xn+1 + 8xn , x0 = 1, x1 = Phương trình đặc trưng λ2 − 2λ − = có nghiệm λ1 = −2, λ2 = suy nghiệm tổng quát phương trình : xn = c1 (−2)n + c2 4n x0 = = c1 + c2 ⇔ x1 = = −2c1 + 4c2 c1 = ⇒ c2 = 39 xn = 4n yn = xn+1 − 3xn = 4n 2.4.2 Giải phương trình sai phân phân thức pxn + q Dạng xn+1 = , x0 = a rxn + s Giải Ta đặt ẩn phụ yn+1 = pyn + qzn zn+1 = ryn + szn yn zn y0 Thật từ hệ thức cho x0 = =a z0 pyn + qzn pxn + q yn+1 = suy xn+1 = zn+1 ryn + szn rxn + s với y0 = a; z0 = xn = Ví dụ 2.39 Giải phương trình xn+1 = − 4xn , x0 = 1 − 6xn Giải Trước hết ta giải hệ yn+1 = −4xn + zn zn + = −6xn + zn với y0 = 1; z0 = Từ phương trình thứ suy yn+2 = −4yn+1 + zn+1 kết hợp phương trình thứ hai ta có yn+2 = −4yn+1 − 6yn + zn Hay yn+2 = −3yn+1 − 2yn ⇔ yn+2 + 3yn+1 + 2yn = Phương trình đặc trưng λ2 + 3λ + = có nghiệm λ1 = −2; λ2 = −1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình : yn = c1 (−2)n + c2 (−1)n Từ y0 = 1; y1 = −3 suy yn = 2(−2)n − (−1)n zn = yn+1 + 4yn = 4(−2)n − 3(−1)n yn 2n+1 − Vậy xn = = n+2 zn −3 40 2.5 Một số toán thi học sinh giỏi Olympic Ví dụ 2.40 Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 năm 2010 tỉnh Nghệ An, có bài: Cho dãy số {xn } thỏa mãn   x1 = x + 2x2 + 3x3 + + (n − 1)xn−1  xn = , (n ∈N, n ≥ 2) n(n2 − 1) Tính lim un với un = (n + 1)3 xn Giải Đặt = nxn ; giả thiết cho có dạng: v1 = (n2 − 1)vn = v1 + v2 + + vn−1 (2.22) Từ (2.22) suy (n2 − 1)vn = (n − 1)2 − vn−1 + vn−1 Hay (n2 − 1)vn = (n − 1)2 vn−1 ⇔ (n + 1)vn = (n − 1)vn−1 Nếu để nguyên khó tìm Ta làm sau: (n + 1)vn =(n − 1)vn−1 ⇔ (n + 1)nvn =n(n − 1)vn−1 (2.23) Đây ý đơn giản quan trọng để ta sai phân, cụ thể (2.23) suy dãy (n + 1)nvn dãy số khơng đổi Từ (n + 1)nvn = 2.1.v1 = 4 (n + 1)3 4(n + 1)2 Hay = , ∀n Suy un = (n + 1)3 xn = = n(n + 1) n n2 Đến thật đơn giản, lim un = Ví dụ 2.41 (Olympic Tốn Việt Nam 1998) Chứng minh không tồn dãy xn thỏa mãn hai điều kiện: |xn | ≤ 0, 666 |xm − xn | ≥ , ∀m, n ∈ N ∗ n(n + 1) Giải Giả sử có dãy số thỏa mãn hai điều kiện nêu ∀n; xếp lại thứ tự x1 ; x2 ; x3 ; ; xn là: xi1 ≤ xi2 ≤ ≤ xin Theo giả thiết có: 1 xik+1 − xik ≥ + , ∀k = 1, 2, , n − ik+1 (ik+1 + 1) ik (ik + 1) 41 Khi ta có: xin − xi1 ≥ n 1 1 − ≥ 2(1 − )− − = − i1 (i1 + 1) n+1 n+1 i=1 i(i + 1) 4 Suy ra: 2.0, 666 ≥ |xin |+|xi1 | ≥ − , cho n → +∞ ta 2.0, 666 < n+1 (vô lý) Vậy điều giả sử sai, hay ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.42 (Học sinh giỏi Anh, 1980) Tìm tất dãy số {an } thỏa mãn an+1 = 2n − 3xn {an } dãy số tăng Giải Xét phương trình sai phân an+1 = 2n − 3an (2.24) Đặt an = un 2n Thay vào (2.24) ta được: un+1 2n+1 = −3 − un 2n + 2n ⇔ un+1 = − un + 2 Phương trình có nghiệm tổng quát un = c − n + (2.25) 1 ⇔ an = c.(−3)n + 2n 5 Ta có dãy {an } tăng lên an+1 ≤ an Do −3c.(−3)n + 2n ≤ c.(−3)n + 2n , ∀n ∈ N 5 Suy 4c.(−3)n < 2n , ∀n ∈ N Ta khơng chọn c n chẵn −3 n → −∞ Với c = an = 2n dãy số tăng Vậy dãy số cần tìm an = 2n Ví dụ 2.43 (Olympic Tốn Bungari, 1999) Cho dãy số nguyên {an } thỏa mãn: (n − 1)an+1 = (n + 1)an − 2(n − 1), ∀n ∈ N ∗ Biết a1999 chia hết cho 2000 Tìm số n nhỏ cho an chia hết cho 2000 (n ≥ 2) Giải Chia hai vế đẳng thức cho, cho (n − 1)n(n + 1) ta có an+1 an = − n(n + 1) (n − 1)n n(n + 1) 42 (2.26) an suy (2.26) có dạng: n(n − 1) 2 ⇔ bn+1 − = bn − , ∀n ∈ N ∗ bn+1 = bn − n(n + 1) n+1 n 2 Do bn − = b2 − = b2 − ⇔ bn = b2 − + n n a2 Nên an = ( + b2 − 1)n(n − 1) = 2(n − 1) + ( − 1)n(n − 1) n Như phương pháp sai phân ta xác định an Theo giả thiết 2000 a2 a2 ước a1999 = 1998 + 1999 − ⇔ 1000 + − 1999 2 a2 Suy ∈ Z hay a2 a2 a2 −1 − − ⇔ 1000 − −1 1000 (2 + 2000 2 a2 Vì ta có −1 = 1000m+2, m ∈ Z ⇒ an = 2(n−1)+(1000m+2)n(n−1) Vì n(n − 1) chẵn nên an chia hết cho 2000 ⇔ n − + n(n − 1) 1000 ⇔ (n − 1)(n + 1) 1000 ⇔ n = 2k + ⇒ k(k + 1) 250 Từ suy số k nhỏ 124, hay n nhỏ 249 Đặt bn = Ví dụ 2.44 (Tây Ninh 2004-2005) Cho dãy số xác định un =; u2 = un+2 = 2un+1 + un ; n ≥ 1) Tìm số hạng tổng quát un un + Tính a 2) Cho a = lim un Giải 1) Xét phương trình đặc trưng: λ2 − 2λ − = có hai nghiệm √ √ √ x = ± suy un = c1 (1 + 2)n + c2 (1 − 2)n Ta có √ √ u1 = A(1 + 2) + B(1 − 2) = √ √ ⇔ u2 = A(1 + 2)2 + B(1 − 2)2 =    A= √ √ n √ n 2 √ ⇔ ⇒ u = [(1 + 2) − (1 − 2) ] n  2  B=− √ 2 43 √ (1 + √ 2)n+1 − (1 − √ 2)n+1 un+1 2 = lim √ √ un √ (1 + 2)n − (1 − 2)n √2 √ − n+1 √ (1 + 2)n+1 − √ + √2 lim =1+ √ 1− n √ (1 + 2)n − 1+ 2) a = lim Ví dụ 2.45 ( HSGQG 2011) Cho dãy số nguyên {an } xác định a0 = 1, a1 = −1 an = 6an−1 + 5an−2 , ∀n ≥ Chứng minh a2012 − 2010 chia hết cho 2011 Giải Xét dãy số nguyên {bn } xác định bởi: b0 = 1; b1 = −1 bn = 6bn−1 + 2016bn−2 với n ≥ dễ thấy với n ≥ 0, ta có an ≡ bn (mod 2011) Phương trình đặc trưng dãy {bn }: λ2 − bλ − 2016 = hay (λ − 48)(λ + 42) = Suy số hạng tổng quát dãy {bn } có dạng bn = c1 (−42)n + c2 48n Từ điều kiện ban đầu dãy bn , ta c1 + c2 = 42c1 − 48c2 = 49 41 49.(−42)n + 41.48n Suy c1 = c2 = Vì bn = , ∀n ≥ 90 90 90 Vì 2011 số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có (−42)2010 ≡ 482010 ≡ 1(mod 2011) Do 90b2012 ≡ 49(−42)2012 +41.482012 ≡ 49.(−42)2 +41.482 ≡ 90b2 (mod 2011) Vì a2012 ≡ 2010(mod 2011) 44 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số khái niệm sai phân tính chất Trên sở đó, tác giả ứng dụng để phân dạng trình bày cách giải chi tiết, tường minh phương trình sai phân tuyến tính hệ số số Với dạng thiết lập có đưa ví dụ mơ tả tập áp dụng Nội dung luận văn tranh tương đối đầy đủ phương trình sai phân tuyến tính Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn chắn khiếm khuyết Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (2006), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [2] Phạm Kì Anh, Phan Văn Hạp, Hồng Đức Ngun, Lê Đình Thịnh, Nguyễn Cơng Thúy (1990), Giáo trình sở phương pháp tính, NXB ĐHTH Hà Nội [3] L.S.Bacvalop (1973), Phương pháp số, NXB "Lauk" Mát-xcơ-va (Tiếng Nga) [4] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2004), Phương pháp sai phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 46 ... PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp 2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính. .. Định nghĩa sai phân cấp cao Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân bậc xn nói chung sai phân cấp k hàm xn sai phân sai phân cấp k − Từ ta có cơng thức sai phân cấp cao sau • Sai phân cấp... Chương PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Các định nghĩa, định lý tính chất liên quan tới phương trình sai phân chương trích theo tài liệu [2], [3] 2.1 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến