Một số lớp phương trình tích phân dạng chập

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH : TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60 46 01 02 Người thực hiện: NGUYỄN THỊ HOÀN Cao học khóa 2013-2015 Người hướng dẫn: TS NCVC NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI - 2015 Mục lục Mở đầu Biến đổi Fourier toán biên Riemann 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Không gian Lp 1.1.2 Các bất đẳng thức định lý tích phân 1.1.3 Tích chập 1.1.4 Biến phân bị chặn 1.2 Biến đổi Fourier L1 (R) 1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier L1 (R) 1.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier 1.2.3 Công thức ngược L1 (R) 1.3 Biến đổi Fourier L2 (R) 1.4 Tích phân Cauchy tích phân Fourier 1.4.1 Lớp hàm Holder C 0,α 1.4.2 Các lớp hàm {0} {{0}} 1.4.3 Giá trị tích phân Cauchy 1.4.4 Hàm 1.4.5 Tích phân Cauchy 1.4.6 Tích phân Fourier 1.5 Bài toán biên Riemann nửa mặt phẳng 1.5.1 Chỉ số 1.5.2 Phát biểu toán 1.5.3 Bài toán bước nhảy 1.5.4 Bài toán Hàm tắc 1.5.5 Bài tốn khơng ii 3 8 12 14 15 15 15 15 16 18 18 19 19 20 20 21 22 Một số lớp phương trình 2.1 Phương trình tích chập 2.2 Phương trình tích chập 2.3 Phương trình tích chập tích phân dạng chập trục thực 24 lọai 24 loại hai 26 nửa trục (Wiener- Hopf) 30 Phương trình cặp tích phân dạng chập ứng dụng 3.1 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu biến số 3.2 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu tổng biến số 3.3 Bài toán biên hỗn hợp phương trình đa điều hịa nửa mặt phẳng 3.3.1 Phương trình đa điều hòa 3.3.2 Bài toán 3.3.3 Bài toán 33 33 35 38 38 39 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 iii Mở đầu Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân dạng chập xây dựng phát triển mạnh mẽ vòng nửa kỷ, từ năm 1920 đến năm 1970 Các kết gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua, Cùng song hành tiếp sau đời hàng loạt lý thuyết tốn tử kỳ dị trừu tượng khơng gian tuyến tính tổng qt gắn với lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển liên hợp phức nhiều dạng toán biên khác Tại Việt Nam, từ năm 1980, có nhiều người quan tâm đến lĩnh vực toán biên Riemann, phương trình tích phân kỳ dị Cauchy, phương trình tích phân dạng chập thu số kết định Từ đó, lý thuyết tốn tử phương trình tích phân kỳ dị trở thành mảng lớn hấp dẫn toán học đại Việt Nam Tuy nhiên, tài liệu nghiên cứu sâu lĩnh vực cịn ít, là phương trình tích phân dạng chập đặc biệt, phương trình Wiener-Hopf, phương trình cặp tích phân, v.v Ngồi ra, việc nghiên cứu cho ta thấy phong phú nhiều loại phương trình tích phân nói chung phương trình tích phân dạng chập nói riêng lý thuyết ứng dụng Xuất phát từ lý nêu trên, chọn đề tài "Một số lớp phương trình tích phân dạng chập " làm luận văn cao học với hy vọng tìm hiểu sâu lý thuyết ứng dụng phương trình tích phân dạng chập Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo chương Chương trình bày số kiến thức bổ trợ, tích chập, biến đổi Fourier L1 (R) L2 (R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier toán biên Riemann nửa mặt phẳng Chương trình bày số lớp phương trình tích phân dạng chập trục thực: phương trình tích chập loại một, loại hai phương trình tích chập nửa trục (phương trình Wiener-Hopf) Đối với lớp phương trình đưa ví dụ minh họa Chương trình bày phương trình cặp tích phân dạng chập ứng dụng Đã xét phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu biến số, phụ thuộc vào hiệu tổng biến số Trình bày ứng dụng phương trình cặp nói giải tốn biến hỗn hợp phương trình đa điều hòa nửa mặt phẳng Bản luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy, cô khoa Toán - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn tới Phòng Sau Đại học điều kiện thuận lợi dành cho tơi việc hồn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối tơi bày tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Nguyễn Thị Hoàn Chương Biến đổi Fourier toán biên Riemann Chương trình bày số kiến thức bổ trợ, tích chập, biến đổi Fourier L1 (R) L2 (R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier tốn biên Riemann nửa mặt phẳng Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] [3] 1.1 Một số kiến thức bổ trợ Không gian Lp 1.1.1 Với p số thực: p < ∞, Ω ∈ Rn ta định nghĩa Lp (Ω) lớp hàm f (x) xác định Ω, cho p f p |f (x)|p dx = < ∞, dx = dx1 dx2 dxn Ω Số f gọi chuẩn hàm f (x) Lp (Ω) không gian Banach Đặc biệt, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng p (f, g) = f (x)g(x)dx, Ω g(x) liên hợp phức g(x) Hàm xác định Ω gọi chủ yếu bị chặn Ω, tồn số dương C , cho |f (x)| C hầu khắp nơi Ω Cận lớn f (x) ký hiệu ess supx∈Ω |f (x)| Ta ký hiệu L∞ (Ω) không gian tất hàm chủ yếu bị chặn Ω Chuẩn L∞ (Ω) xác định theo công thức f ∞ = esssupx∈Ω |f (x)| , sup lấy tất phân hoạch đơn vị [a, b] Dưới mệnh đề quan trọng trù mật Lp Định lý 1.1 (về trù mật) (i) Nếu khoảng (a, b) hữu hạn lớp hàm sau trù mật khắp nơi Lp (a, b): M −lớp hàm bị chặn, C−lớp hàm liên tục, S−lớp hàm bậc thang, P −lớp đa thức đại số, T −lớp đa thức lượng giác trù mật khắp nơi Lp (−π, π) (ii)Lớp Sc tất hàm bậc thang trù mật Lp (−∞, ∞), (p 1.1.2 1) Các bất đẳng thức định lý tích phân Định lý 1.2 (bt ng thc Hoălder) Nu f Lp , g ∈ Lq , p, q fg f p 1 + = p q g q, Định lý 1.3 (bất đẳng thức Minkowski) Nếu p f +g f p 1, p 1, + g p Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue) Giả sử Ω cho dãy hàm khả tổng {fk (x)}∞ hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f (x) Nếu tồn hàm thực F (x) 0, F (x) ∈ L1 (Ω), cho |fk (x)| F (x), x ∈ Ω, ∀k f (x) ∈ L1 (Ω) lim fk (x)dx = k→∞ Ω f (x) dx Định lý 1.5 (Định lý Fubini) Cho F (x, y) khả tích Ω1 × Ω2 Khi x → F (x, y)dy khả tích Ω1 , y → Ω1 F (x, y)dx khả tích Ω2 Ngoài Ω2 dx Ω1 F (x, y) dy = Ω2 dy Ω2 F (x, y) dx = F (x, y) dxdy Ω1 ×Ω2 Ω1 1.1.3 Tích chập Giả sử f,g hàm xác định R Hàm số h(x) = (f ∗ g)(x) xác định công thức (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy, (1.1) R với giả thiết tích phân tồn hầu khắp nơi với x ∈ R gọi tích chập f g Từ (1.1) dễ dàng suy f ∗ g = g ∗ f Định lý 1.6 Nếu f, g ∈ L1 (R) f ∗ g tồn hầu khắp nơi f ∗ g ∈ L1 (R) Ngoài ||f ∗ g|| ≤ ||f ||1 ||g||1 Chứng minh Theo Định lý Fubini ta có |f ∗ g|dx ≤ R |f (x − y)g(y)|dydx = R R |f (x − y)|dx|g(y)|dy = = R |f (x)|dx R R |g(y)|dy = ||f ||1 ||g||1 R Từ suy đpcm Định lý 1.7 Giả sử ≤ p ≤ ∞ Nếu f ∈ Lp (R), g ∈ L1 (R) f ∗ g ∈ Lp (R) ||f ∗ g||p ≤ ||f ||p ||g||1 (1.2) Chứng minh Trường hợp p=1 chứng minh định lý 1.6 Xét trường hợp < p < ∞ 1/p+1/p’=1 Ta có |(f ∗ g)(x)| ≤ |f (x − y)||g(y)|dy (1.3) R Vì |g(y)| = g(y)1/p+1/p , theo bất đẳng thức Holder ta có |f (x − y)|p |g(y)|dy)1/p ( |f (x − y)||g(y)|dy ≤ ( R R |g(y)|dy)1/p R Do p/p |f ∗ g|p dx ≤ R |f (x − y)|p |g(y)|dydx||g||1 R R Sử dụng định lý Fubini, ta có p/p |f ∗ g|p dx ≤ ||f ∗ g||pp = R |f (x − y)|p |g(y)|dydx||g||1 R R p/p |f (x − y)|p dx = |g(y)|dy||g||1 R = ||f ||pp ||g||p1 R Từ suy (1.2) Nếu p = ∞, theo (1.3), ta có |f ∗ g(x)| ≤ ||f ||∞ |g(y)|dy = ||f ||∞ ||g||1 R Như ||f ∗ g||∞ ≤ ||f ||∞ ||g||1 Định lý chứng minh Ta cần định lý sau Định lý 1.8 Giả sử f (x) ∈ L1/(1−λ) (E), g(x) ∈ L1/(1−µ) (E) λ > 0, µ > 0, λ + µ < Khi | |f |1/(1−λ) |g|1−(1−µ) dx)1−µ−λ f gdx| ≤ ( E E |f |1/(1−λ) )µ ( ( E |g|1/(1−µ) )λ (1.4) E Chứng minh Bất đẳng thức Holder cho ba hàm | |φ|1/α dx)α ( ΦψXdx| ≤ ( E E |ψ|1/β dx)β ( E |X|1/γ dx)γ , E α + β + γ = 1, α > 0, β > 0, γ > Để có bất đẳng thức ta đặt β = µ, γ = λ, α = − (µ + λ) |φ| = |f |α/(α+β) g γ/(γ+α) , |ψ| = |f |β/(β+α) , |X| = |g|γ/γ+α Rõ ràng α + β + γ = 1, |φψX| = |f g| Từ suy điều phải chứng minh Định lý 1.9 (Bất đẳng thức Young tích chập) Giả sử f g thỏa mãn điều kiện Định lý 1.7 Khi ||f ∗ g||1/1−λ−µ ≤ ||f ||1/(1−λ) ||g||1/(1−µ) (1.5) Chứng minh: Theo bất đẳng thức Young tích phân ta có |f (x − y)|1/(1−λ) |g(y)|1/(1−µ) dy |(f g)(x)| Rd à/(1) ì ||f ||1/(1) /(1à) ||g||1/(1à) K(u) = √ 2π λ λex+ixu dx = √ 2π + iu −∞ Do nghiệm L2 ∞ f (x) = π e−ixu du (1 − iu)(1 − λ + iu) −∞ Giả sử, ví dụ < λ < Vậy f (x) = −x e 2−λ (x ≥ 0), = (1−λ)x e 2−λ (x < 0) Đây nghiệm nghiệm L2 Nghiệm tương tự cho giá trị khác λ Ví dụ 2.3 Phương trình tích phân không đồng loại hai +∞ e−|x−t| φ(t)dt, φ(x) = f (x) + λ −∞ giải biến đổi Fourier Cho ví dụ mục đích, ta giả thiết < λ < 21 để < − 2λ < Sau ứng dụng biến đổi Fourier đơn giản hóa kết ta có: φ(s) = F (s) + 2λ φ(s) +1 s2 Có thể xếp lại sau φ(s) = F (s) + λ( )F (s) √ s2 + ( − 2λ) Chú ý giới hạn thứ hai bên phải phương trình kết hai biến đổi Fourier Do đó, Sau ứng dụng biến đổi Fourier Inverse, nghiệm phương trình tích phân viết dạng tích chập +∞ λ φ(x) = f (x) + √ − 2λ √ e− −∞ 29 1−2λ|x−t| f (t)dt 2.3 Phương trình tích chập nửa trục (WienerHopf) Trong ứng dụng thường gặp phương trình dạng ∞ f (t) + √ 2π k(t − s)f (s)ds = g(t), < t < ∞ (2.15) Phương trình (2.15) cho nửa trục gọi phương trình WiernerHopf Trong (2.15) ta đưa vào ký hiệu f+ (t) = f (t), t > 0, 0, t < g(t), t > 0, 0, t < , g+ (t) = , f− (t) = (t > 0) (2.16) Khi đó, phương trình (2.15) viết lại dạng +∞ f+ (t) + √ 2π k(t − s)f+ (s)ds = f− (t) + g+ (t), −∞ < t < +∞, (2.17) −∞ ∞ k(t − s)f+ (s)ds, t < 0, f− (t) = hàm chưa biết Ký hiệu K(x), F ± (x), G+ (x) biến đổi Fourier, tương ứng hàm k(t), f± (t) g+ (t) Giả thiết k(t), g+ (t) hàm thuộc lớp {0}, ∈ {{0}}, + K(x) + K(x) = 0, ∀x ∈ R (2.18) Các hàm f± (t) tìm lớp {0}, tức ảnh Fourier F ± (x) lớp {{0}} Tác động biến đổi Fourier vào hai vế phương trình (2.17), ta toán biên Riemann F + (x) = 1 F − (x) + G+ (x), + K(x) + K(x) −∞ < x < ∞, (2.19) xác định hàm F ± (x) Từ ta công thức nghiệm phương trình (2.15) +∞ f (t) = f+ (t) = √ 2π F + (x)e−ixt dx, −∞ 30 t > (2.20) Chỉ số số toán biên Riemann (2.19) xác định χ = −Ind [1 + K(x)] (2.21) Ví dụ 2.4 Xét phương trình Wiener- Hopf ∞ (a + b |t − s|) e−|t−s| f (s)ds = g(t), f (t) + t > 0, (2.22) a b số Ta có k(t) = √ 2π (a + b |t|) e−|t| , +∞ (a + b |t|) e−|t|+ixt dt = K(x) = −∞ + K(x) = P (x) (x2 + 1) x2 (a − b) + a + b (x2 + 1) P (x) = x4 + 2(a − b + 1)x2 + 2a + 2b + , Để đơn giản, giả thiết rằng, số a, b cho đa thức P(x) khơng có nghiệm thực Giả sử α + iβ nghiệm phương trình trùng phương P(x)=0, α > 0, β > Các nghiệm cịn lại phương trình α − iβ, −α + iβ, −α − iβ Chúng ta biểu diễn + K(x) dạng + K(x) = X − (x) , X + (x) (x + i)2 , (x + α + iβ)(x − α + iβ) (x − α − iβ)(x + α − iβ) X − (x) = (x − i)2 X + (x) = Sử dụng phân tích đây, chúng biến đổi toán biên Riemann (2.19) trường hợp dạng F + (x) (x − i)2 G+ (x) F − (x) − = , X + (x) (x − α − iβ)(x + α − iβ) X − (x) 31 −∞ < x < ∞ (2.23) Từ tìm (x − i)2 G+ (x) C1 C2 + + , (x − α − iβ)(x + α − iβ) x − α − iβ x + α − iβ F + (x) = X + (x) (2.24) C1 = − (−α + iβ − i)2 G+ (−α + iβ) (α + iβ − i)2 G+ (α + iβ) , C2 = − , 2α −2α (2.25) Từ đây, bỏ qua nhiều tính tốn phức tạp, tìm nghiệm phương trình (2.22) dạng f (t) = f1 (t) + f2 (t), ∞ e−β|t−s| cos(θ + α |t − s|)g(s)ds, f1 (t) = g(t) + ρ (2.26) α + (β − 1)2 f2 (t) = 4α2 β ∞ e−β(t+s) cos α(t − s)g(s)ds ∞ + R 4α2 e−β(t+s) cos[ψ + α(t + s)]g(s)ds, (2.27) µ=i (α + iβ)2 (a − b) + a + b µ (β − − iα)4 , ρeiθ = , Reiψ = 2αβ β − iα 8α2 (β − iα) 32 (2.28) Chương Phương trình cặp tích phân dạng chập ứng dụng Chương trình bày lớp phương trình cặp tích phân dạng chập ứng dụng Đã xét phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu biến số, phụ thuộc vào hiệu tổng biến số Trình bày ứng dụng phương trình cặp nói giải tốn biến hỗn hợp phương trình đa điều hịa nửa mặt phẳng Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] [2] 3.1 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu biến số Xét phương trình cặp tích phân hai nửa trục sau [1]: ϕ(t) + √ 2π ϕ(t) + √ 2π ∞ ϕ(τ )k1 (t − τ )dτ = g(t), t > 0, −∞ ∞ (3.1) ϕ(τ )k2 (t − τ )dτ = g(t), t < −∞ Phương trình (3.1) gọi phương trình cặp ( dual equations, pair of equations) ẩn hàm ϕ(t), t ∈ (−∞, ∞) Hàm chứa hai phương trình khác hai khoảng R+ (t > 0) R− (t < 0) khơng giao có hợp khoảng tích phân Ở ϕ(t) hàm chưa biết, k1 (t), k2 (t), g(t) hàm thuộc {0} Phương trình cặp (3.1) đươc viết lại dạng 33 ϕ(t) + √ 2π ϕ(t) + √ 2π ∞ ϕ(τ )k1 (t − τ )dτ = g(t) + f− (t), t ∈ R, −∞ ∞ (3.2) ϕ(τ )k2 (t − τ )dτ = g(t) + f+ (t), t ∈ R, −∞ f± (t) hàm phía chưa biết lớp {0} Tác động biến đổi Fourier vào hai vế phương trình (3.2), ta [1 + K1 (x)]Φ(x) = G(x) + F − (x), (3.3) [1 + K2 (x)]Φ(x) = G(x) + F + (x) (3.4) Φ(x), G(x), F ± (x), K1 (x), K2 (x) tương ứng biến đổi Fourier ϕ(t), g(t), f± (t), k1 (t), k2 (t) Giả sử có điều kiện sau + K1 (x) = 0, + K2 (x) = (3.5) Khi đó, từ (3.3)(3.4) suy Φ(x) = G(x) + F − (x) G(x) + F + (x) = + K1 (x) + K2 (x) (3.6) Các hàm F ± (x) xác định từ toán biên Riemann sau F + (x) = + K2 (x) − k2 (x) − K1 (x) F (x) + G(x) − G(x), x ∈ R + K1 (x) + K1 (x) (3.7) Chỉ số toán biên Riemann (3.7) xác địnhtheo công thứ χ = Ind + K2 (x) + K1 (x) (3.8) Giải tốn biên Riemann (3.7), theo cơng thức (2.12), lấy biến đổi Fourier ngược, ta tìm nghiệm phương trình cặp (3.1): ϕ(t) = √ 2π =√ 2π R R G(x) + F − (x) −ixt e dx, + K1 (x) G(x) + F + (x) −ixt e dx + K2 (x) (3.9) (3.10) Điều kiện giải ứng với số âm R K2 (x) − K1 (x) G(x) dx = 0, k = 1, 2, , −χ, X + (x)[1 + K1 (x)] (x + i)k 34 (3.11) 3.2 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu tổng biến số Xét phương trình cặp tích phân hai nửa trục sau [2]: ϕ(t) + √ 2π ϕ(t) + √ 2π ∞ ϕ(τ ) [k1 (t − τ ) + mk1 (t + τ )]dτ = f1 (t), t > 0, −∞ ∞ (3.12) ϕ(τ ) [k2 (t − τ ) + mk2 (t + τ )]dτ = f2 (t), t < −∞ Phương trình (3.12) gọi phương trình cặp ( dual equations, pair of equations) ẩn hàm ϕ(t), t ∈ (−∞, ∞), hàm chứa hai phương trình khác hai khoảng (hệ khoảng)khơng giao có hợp khoảng tích phân Ở m = số thực, ϕ(t) hàm chưa biết, k1, k2 , f1 , f2 hàm thuộc lớp {0} Khi m=0 phương trình cặp tích phân (3.12) có hạch phụ thuộc vào hiệu biến số (tích chập Fourier) trở thành phương trình cặp (3.1) Với m = phương trình cặp tích phân (3.12) có nhân phụ thuộc vào hiệu tổng biến số (dạng chập Fourier) Chúng ta luôn giả thiết m = 0, k1 = k2 (3.13) ∧ Ngoài ra, giả sử m2 = Ký hiệu f biến đổi Fourier f (x) ∈ {0}: ∧ f ≡ F [f (τ )] = √ 2π f (τ )eitτ dτ, t ∈ R (3.14) R Chúng ta ký hiệu g+ (t) = f+ (t) = 0(t < 0), f− (t) = 0(t > 0) f1 (t), t > 0, 0, t < 0, g− (t) = , f2 (t), t < 0, 0, t > (3.15) (3.16) viết lại phương trình cặp (3.12) dạng ϕ(t) + √ 2π ϕ(t) + √ 2π ϕ(τ ) [k1 (t − τ ) + mk1 (t + τ )]dτ = g+ (t) + f− (t), t ∈ R, (3.17) ϕ(τ ) [k2 (t − τ ) + mk2 (t + τ )]dτ = g− (t) + f+ (t), t ∈ R, (3.18) R R 35 f+ (t) = ϕ(t) + √ 2π f− (t) = ϕ(t) + √ 2π ϕ(τ ) [k2 (t − τ ) + mk2 (t + τ )]dτ, t > 0, (3.19) ϕ(τ ) [k1 (t − τ ) + mk1 (t + τ )]dτ, t < (3.20) R R hàm chưa biết nửa trục ±t > Ký hiệu F [f+ (t)] = F + (x), F [f− (t)] = F − (x), x ∈ R (3.21) Dễ thấy hàm F ± (x) thác triển giải tích thành hàm F ± (z)(z = x + iy) nửa mặt phẳng ±y > Lấy biến đổi Fourier theo biến t hai vế phương trình (3.17) , (3.18) ta ∧ ∧ nhận hệ thóng phương trình ϕ(x), ϕ(−x), x ∈ R :  ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  [1 + k1 (x)] ϕ(x) + m k1 (x) ϕ(−x) = g+ (x) + F − (x) ∧ ∧ ∧ ∧  [1 + k2 (x)] ϕ(x) + m k2 (x) ϕ(−x) = g∧− (x) + F + (x) (3.22) Cùng với điều kiện (3.13), giả thiết thêm định thức hệ (3.22) khác không với x, tức ∧ ∧ D(x) := m k2 (x) − k (x) = 0, ∀x ∈ R ∧ (3.23) ∧ Như từ hệ (3.22) xác định ϕ(x) ϕ(−x) Ta có ∧ ϕ(x) = + ∧ ϕ(−x) = + ∧ ∧ m − + k (x)F (x) − k (x)F (x) D(x) ∧ ∧ m ∧ ∧ k (x) g+ (x) − k (x) g− (x) , D(x) (3.24) ∧ ∧ (1 + k (x))F + (x) − (1 + k (x))F − (x) D(x) ∧ ∧ ∧ ∧ (1 + k (x)) g− (x) − (1 + k (x)) g+ (x) D(x) (3.25) Trong (3.24) thay x -x đồng biểu thức nhận với (3.23), ta ∧ ∧ m − + k (x)F (x) − k (x)F (x) D(x) ∧ ∧ (1 + k (−x))F + (−x) − (1 + k (−x))F − (−x) + g1 (x), = D(−x) 36 (3.26) g1 (x) = − ∧ ∧ ∧ ∧ (1 + k (x)) g− (x) − (1 + k (x)) g+ (x) D(x) ∧ ∧ m ∧ ∧ k (x) g+ (x) − k (x) g− (x) , D(x) (3.27) F1 + (x) = F + (x), F1 − (x) = F + (−x), (3.28) F2 + (x) = F − (−x), F2 − (x) = F − (x) (3.29) Ký hiệu Các hàm Fj ± (x) có thác triển giải tích tương ứng vào nửa mặt phẳng {y > 0} {y < 0} Sử dụng ký hiệu trog (3.27) (3.28), viết lại đồng thức (3.25) đồng thức nhận từ (3.25) cách thay x −x ở dạng ∧ ∧ ∧ m k1 (x) + m k2 (−x) + + k1 (−x) − F1 (x) − F2 (x) = − F1 (x) D(x) D(−x) D(−x) ∧ m k2 (x) − F (x) − g1 (x), x ∈ R, + D(x) ∧ ∧ (3.30) ∧ + k1 (x) + m k2 (−x) − m k1 (−x) − F1 (x) − F2 (x) = − F (x) D(x) D(−x) D(−x) ∧ + k2 (x) − + F2 (x) − g1 (−x), x ∈ R D(x) (3.31) Do có tốn Riemann hai hàm chỉnh hình mảnh F1 (x) F2 (x) Phương pháp phương pháp chung để giải cách hiệu Nhưng may mắn, m2 = làm Chúng ta xét trường hợp Giả sử điều kiện sau thỏa mãn ∧ ∧ + k1 (x) + k2 (−x) D1 (x) ≡ = 0, x ∈ R D(x)D(−x) (3.32) Giải hệ (3.29)-(3.30) theo Fj± (j = 1, 2) ta hệ phương trình dạng ∧ ∧ 1 + k2 (x) + k2 (−x) − F1+ (x) = F1− (x) + F2 (x) + d1 (x), x ∈ R, (3.33) D1 (x) D(−x) D(x)D(−x) ∧ ∧ 1 + k1 (−x) + k1 (x) − F2+ (x) = F1 (x) − F − (x) + d2 (x), x ∈ R, D1 (x) D(x)D(−x) D(x) 37 (3.34) d2 , d2 hàm biết Dễ dàng có tốn biên Riemann cho hàm chỉnh hình mảnh Trong trường hợp m=1, ta có F1+ (x) + F2+ (x) = G(x)[F1− (x) + F2− (x)]+g(x), x ∈ R (3.35) Trong trường hợp m=-1, ta có F1+ (x) − F2+ (x) = G(x)[F1− (x) − F2− (x)]+g(x), x ∈ R, (3.36) g(x) hàm biết ∧ G(x) = ∧ + k2 (x) + k1 (−x) ∧ ∧ + k2 (−x) + k1 (x) Như G(∞) = G(−∞) = từ (3.31) suy G(x) = 0, x ∈ R Vì thế, biết [1], điều kiện đủ để xác định hàm chỉnh hình mảnh F1 (z) + F2 (z) F1 (z) − F2 (z) Tiếp theo xác định F2 (z) với trợ giúp F1 (z) đặt vào phương trình (3.27) Chúng ta có tốn biên Riemann hàm chỉnh hình mảnh F1 (z) Vì hàm F1 (z) F2 (z) xác định Tiếp theo hàm giải tích mảnh F (z)(z = x + iy) định nghĩa công thức F (z) = F1 (z), F2 (z), y > 0, y < (3.37) Như ta có F + (x) = F1 (x), F − (x) = F2 (x) (3.38) ∧ Do ta xác định ϕ(x) từ phương trình (3.23) Lấy biến đổi Fourier ngược ∧ ϕ(t) = F −1 [ϕ(x)](t) ta tìm hàm ϕ(t) nghiệm phương trình cặp (3.12) 3.3 3.3.1 Bài toán biên hỗn hợp phương trình đa điều hịa nửa mặt phẳng Phương trình đa điều hịa Cho D nửa mặt phẳng (y>0) u(x,y) nghiệm (regular) phương trình đa điều hòa ∆n u = 0, (n ≥ 1) (3.39) 38 Hàm u(x, y) gọi nghiệm phương trình (3.38), thỏa mãn phương trình bên miền D, tiến đến không với đạo hàm có cấp nhỏ n x2 + y → +∞ 3.3.2 Bài tốn • Điều kiện biên Định nghĩa D hàm u(x,y)triệt tiêu vô cực điều kiện n-1 R vk (x, 0) ≡ ∂ku ∂y k = fk (x), k = 0, 1, , l − 1, l + 1, n − (3.40) y=0 điều kiện không địa phương đây: vl (x, 0) = vl (x, h1 ) + mvl (−x, h1 ) + fl (x), x > vl (x, 0) = vl (x, h2 ) + mvl (−x, h2 ) + fl (x), x < (3.41) h1 = h2 số dương, m2 = 1, l số không đổi ≤ l ≤ n − 1, hàm fk (x) ∈ {0} Trong trường hợp h1 = h2 đơn giản cách giải viết cách dễ dàng • Cách giải Trước tiên, ta cần lời giải phương trình (3.38) D biên R cho điều kiện biên (3.39) với k=0,1, ,n-1 Nó viết dạng: yn u(x, y) = (n − 1)! n−1 k (−1)k Cn−1 k=0 ∂k ∂y k P fn−1−k , y (3.42) (3.43) P f (x) = y π f (t)dt (t − x)2 + y R u(x,y) triệt tiêu vô cực, hàm fk cho cần phải thỏa mãn điều kiện khả tích đây: tl fk (x)dx = 0, l = 0, 1, , 2(m − 1), k = 1, n − (3.44) R k=2m, k=2m-1 Những tốn với l giải cách giống Xét trường hợp l=0 Như vậy, fk (x), (k=1,2, ,n-1, x ∈ R biết, u(x,0)=f0 (x) hàm chưa biết Nếu hàm sau xác định, lời giải Bài tốn cho cơng thức (3.41) 39 Từ (3.40) (3.41) cho hàm chưa biết f0 (x) ≡ ϕ(x), x ∈ R, dễ dàng nhận phương trình cặp (3.12), hnj (−1)n−1 ∂ n−1 kj (x) = n−1 (n − 1)!π ∂y x + y2 , j = 1, 2; x ∈ R (3.45) y=hj Các hàm kj (x) có biến đổi Foorier hnj (−1)n−1 ∂ n−1 e−|t|y √ Ft [kj (x)] (t) = y (n − 1)! 2π ∂y n−1 , j = 1, 2; t ∈ R y=hj Vì hàm chẵn theo t, nên điều kiện (3.34),(3.35) có dạng đơn giản nhất: F1+ (t) + F2+ (t) = F1− (t) + F2− (t) + g(t), t ∈ R (3.46) F1+ (t) − F2+ (t) = −(F1− (t) − F2− (t)) + g(t), t ∈ R (3.47) Các hàm giải tích khúc F1 (z) + F2 (z) F1 (z) − F2 (z) xác định điều kiện , trường hợp xác định cho tích phân Cauchy Do hàm ϕ(x) xác định cách 3.3.3 Bài tốn • Điều kiện biên Xác định D hàm u(x,y) triệt tiêu với cực thỏa mãn điều kiện biên R sau vk (x, 0) ≡ ∆k u y=0 = fk (x), x ∈ R, k = 0, 1, , l − 1, l + 1, n − (3.48) Đối với vl (x, 0) có điều kiện biên hỗn hợp (3.40) • Cách giải Nghiệm phương trình (3.38) D biên R cho điều kiện biên (3.47) k=0,1, ,n-1 viết dạng: y u(x, y) = P f0 + π n−1 k=1 fk (t)r2(k−1) ln r2 dt, 4k [(k − 1)!]2 k (3.49) R r2 = (x − t)2 + y u(x,y) triệt tiêu vô cực, hàm đưa phải thỏa mãn điều kiện: tl fk (t)dt = 0, k = 1, 2, , n − 1, l = 0, 1, , 2(k − 1) R 40 (3.50) Như (3.47), xét l=0, f0 (x) ≡ ϕ(x) hàm chưa biết chưa Cho thỏa mãn điều kiện biên hỗn hợp (3.40), vấn đề đưa đến giải phương trình cặp dạng (3.12) 41 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Tích chập tính chất ích chập, đặc biệt bất đẳng thức Young, biến đổi tích phân Fourier L1 (R), L2 (R), tích phân Cauchy trục thực tốn biên Riemann nửa nặt phẳng Các kiến thức cần thiết bổ ích khơng nghiên cứu phương trình tích phân dạng chập, mà dối với nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn phương trình tích phân kỳ dị, tán xạ, nhiễu xạ sóng, v.v Phương trình tích chập loại loại tồn trục, phương trình tích chập nửa trục ( phương trình Wiener-Hopf), phương trình cặp tích chập, phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu tổng biến số hệ nửa trục, ứng dụng phương trình cặp tốn biên hỗn hợp phương trình đa điều hòa Luận văn đưa số ví dụ phương trình tích phân dạng chập cho phép tìm nghiệm chúng dạng tường minh 42 Tài liệu tham khảo [1] F D Gakhov, U I Cherski, Equations of Convolution Type (in Russian), " Nauka", Moscow, 1978 [2] Elena Obolashvili, Effective Solutions of Some Dual Integral Equations and Their Applications, Generalizations of Complex Analysis, Banach Center Publications, Volume 37, 251-257, 1996 [3] E C Titchmarsh, Introduction to Theory of Fourier Integrals, Second Edition, Oxford University Press, 1948 43 ... Chương Một số lớp phương trình tích phân dạng chập trục thực Chương trình bày số lớp phương trình tích phân dạng chập trục thực: phương trình tích chập loại một, loại hai phương trình tích chập. .. 15 15 15 16 18 18 19 19 20 20 21 22 Một số lớp phương trình 2.1 Phương trình tích chập 2.2 Phương trình tích chập 2.3 Phương trình tích chập tích phân dạng chập trục thực 24 lọai ... (R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier toán biên Riemann nửa mặt phẳng Chương trình bày số lớp phương trình tích phân dạng chập trục thực: phương trình tích chập loại một, loại hai phương trình