Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở Đầu Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna đ-ợc đánh giá thành tựu sâu sắc toán học kỷ hai m-ơi Đ-ợc hình thành từ năm ®Çu cđa thÕ kû, lý thut Nevanlinna cã ngn gèc từ công trình Hadamard, Borel ngày cã nhiỊu øng dơng c¸c lÜnh vùc kh¸c toán học Vào năm 1925, Nevanlinna đà phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm công thức tiếng Jensen Lý thuyết có nội dung chủ yếu định lý thứ nhất, định lý thứ quan hệ số khuyết Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng I: Trình bày sở lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna Ch-ơng II: Trình bày số kết nghiệm toàn cục ph-ơng trình vi phân phức dựa báo nghiệm toàn cục số lớp ph-ơng trình vi phân phức tác giả Ping Li Kết luận văn: Cho P(f) đa thức vi phân f có đạo hµm ( víi hµm nhá cđa f z coi nh- hệ số) có bậc không lớn n - , p1, p2 lµ hµm nhá cđa e , số khác không Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna để tìm nghiệm toàn cục siêu việt ph-ơng trình vi phân phi tuyến tính không gian phøc: f n  z   P  f p1e1z p2e2 z Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính ®Õn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Thầy, Thầy không h-ớng dẫn nghiên cứu khoa học mà Thầy thông cảm, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy cô Viện Toán học Việt Nam đà giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa học luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt đồng nghiệp khoa KHCB, gia đình, bạn bè đà quan tâm, giúp đỡ trình học hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên L-u Thị Minh Tâm S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch-¬ng I Cơ sở lý thuyết Nevanlinna 1.1 Hàm phân hình 1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi điểm bất th-ờng cô lập hàm f(z) hàm f(z) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm 1.1.2 Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a hàm f(z) đ-ợc gọi f  z   cùc ®iĨm cđa f(z) lim z a 1.1.3 Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình toàn mặt phẳng phức đ-ợc gọi hàm nguyên Nh- vậy, hàm nguyên hàm điểm bất th-ờng hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa: Hàm f(z) đ-ợc gọi hàm phân hình miền D hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất th-ờng cực điểm Nếu D = ta nói f(z) phân hình , hay đơn giản, f(z) hàm phân hình *Nhận xét: Nếu f(z) hàm phân hình D lân cận điểm z  D, f  z  cã thĨ biĨu diƠn đ-ợc d-ới dạng th-ơng hai hàm chỉnh hình 1.1.5 Định nghĩa: Điểm z0 gọi cực điểm cấp m>0 hàm f(z) lân cận z0 , hµm f  z    z  z0  m h  z  , ®ã h(z) hàm chỉnh hình lân cận z0 vµ h  z0   1.1.6 TÝnh chất: Nếu f(z) hàm phân hình D f(z) hàm phân hình D Hàm f(z) f(z) có cực điểm điểm nhSố hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đồng thời, z0 cực điểm cấp m>0 hàm f(z) z0 cực điểm cấp m+1 hàm f(z) *Nhận xét: Hàm f(z) đếm đ-ợc cực điểm D 1.1.7 Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình , điều kiện cần đủ để f(z) điểm bất th-ờng khác cực điểm f(z) hàm hữu tỷ 1.2 Định lý thø nhÊt 1.2.1 C«ng thøc Poisson-Jensen f  z  hàm phân hình hình tròn Định lý: Giả sử z R với  R   Gi¶ sư a   1, 2, M không điểm, không điểm đ-ợc kể số lần bội nó, bv(v = 1,2,N) cực điểm f hình tròn đó, cực điểm đ-ợc kể số lần bội Khi z  r.ei ,   r  R  , f  z   0; f  z    th×: log f  z   2 2  log f  Re  M R  z  a   1 R  a z   log i R2  r d R  Rrcos      r N R  z  bv  v 1 R  bv z  log (1.1) Chứng minh *Tr-ờng hợp Hàm f(z) không điểm cực điểm z R Khi ta cần chứng minh: log f  z   2 2  log f  Re  i R2  r d R  Rrcos      r (1.1a) + Tr-íc hÕt ta chứng minh công thức z = 0, nghĩa cần chứng minh: S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn log f    2 2   log f  Re  d i Do f(z) kh«ng có không điểm cực điểm hình tròn nên hàm log f(z) chỉnh hình hình tròn Theo ®Þnh lý Cauchy ta cã: log f    2 i 2   log f  Re  d dz log f z     z 2 z R i LÊy phÇn thực ta thu đ-ợc kết z = log f    2 2   log f  Re  d i + Với z tùy ý, xét ánh xạ bảo giác biến R thành biến z thành Đó ánh xạ: R z R  z Nh- vËy   R t-¬ng øng víi   Trªn   R , ta cã: log   log Nªn R   z  R  z  d R z d zd       z R  z R  z  Do log f(z) chỉnh hình log f z     log R  log  z   log R  z  d    z  (1*) z R , theo định lý Cauchy ta có: d log f    2 i   R  z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun (2*) http://www.lrc-tnu.edu.vn MỈt kh¸c zd d  log f   log f      R2 2 i   R R  z 2 i   R  z Do z  z  R suy R , nên hàm log f R2 R2 R nghĩa điểm z z (3*) nằm vòng tròn R hàm chỉnh hình Nh- tích phân z vế phải (3*) Kết hợp với (1*) vµ (2*) ta cã: log f  z   R z log f   2 i   R R  z    d   z  (1.2) i i Hơn nữa, R , R.e , d  iRe d vµ R    z   R  R  re     Re i    z i  rei    Rei R  Rrcos      r  Kết hợp với (1.2) ta thu đ-ợc: log f  Re  R log f  z   2 R i 2  r  d  Rrcos      r LÊy phÇn thùc hai vÕ cđa đẳng thức (1.3) ta đ-ợc: log f z   2 2  log f  Re  R R i 2  r  d  Rrcos      r Đây điều cần phải chứng minh S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.3) * Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không điểm cực điểm bên z R , nh-ng có hữu hạn không điểm cực điểm cj biên R Với nhỏ tùy ý, ta đặt:  D   z  R  U j   c j    Gäi  D chu tuyến D cung lõm vào D bao gồm phần đ-ờng tròn R với phần lõm vào đ-ờng tròn nhỏ bán kính tâm không điểm cực điểm f(z)  R Gi¶  i sư z  re miền z R , tồn đủ nhá cho R2  z log f  z   log f   2 i D R  z  z  D Khi ®ã:  d    z  (1.2a) Giả sử z0 không điểm hay cực điểm f(z) R cung tròn ứng với z0 D Khi 0 , f  z   c  z  z0   m ®ã m > z0 không điểm m < z0 cực điểm Suy log f  z   O  log      Nh- vËy:  2    1   O  log M , M đại l-ợng bị chặn Ta thấy S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lµ 1  O  log  M       Cho công thức (1.2a), tính tích phân thứ dần đến tích phân vế phải (1.3), tích phân thứ hai dần đến Nh- ta thu đ-ợc công thức (1.3) tr-ờng hợp từ suy (1.1) *Tr-ờng hợp Bây ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức f(z) có không điểm cực điểm z R đặt: f   R    a  M   N R   bv  v 1 R  bv  (1.4) R  a Hiển nhiên không điểm cực điểm z R Nhvậy áp dụng công thức (1.1a) cho hàm Hơn nữa, i nÕu   Re th× : R   a  R  a  R   a      a   1, R   bv  vµ R  bv  R   bv      bv   1, f       nªn VËy log   z   2  2 2 2  log   Re  R  log f  Re  R R i R i 2 2  r  d  Rrcos      r  r  d  Rrcos      r (1.5) Mặt khác: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4.1 Định lý A: Cho n số nguyên, P(f) đa thức vi phân f cã bËc  n ’ 3, p1, p2 lµ đa thức khác 0, số khác với hữu tỷ Khi ph-ơng trình vi phân f n  z   P  f   p1e1z p2e2 z nghiệm nguyên siêu việt 2.4.2 Định lý B: Cho n số nguyên, P(f) đa thức vi phân ®èi víi f cã bËc  n ’ 3, b(z) hàm phân hình, , c1, c2 số khác Khi ph-ơng trình vi ph©n f n  z   P  f   b  z   c1e z  c2e z , nghiệm nguyên siêu việt thỏa mÃn T(r,b) = S(r, f) Đó giả thiết [10] kết luận định lý A bậc ph-ơng trình vi phân P(f) n n Sau chứng minh kết cho hoàn thiện định lý A B 2.4.3 Định lý 1: Cho n số nguyên d-ơng Cho f hàm nguyên siêu việt, P(f) đa thức vi phân f có bậc n ’1 NÕu f n  z   P  f   p1e1z  p2e z , (2.1) pi (i =1,2) hàm nhỏ không triệt tiªu cđa ez ,  i  i  1, số d-ơng làm thỏa mÃn n 1   n1  , th× tån hàm nhỏ f cho: f   n  p2e2 z (2.2) Chøng minh : n Đầu tiên , viết Pn1  f  nh- sau: P  f    b j M j  f  , j 0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.3) bj hµm nhá cđa f , M0(f) = 1, Mj(f) (j = 1,2,,n-1) đơn thức vi phân f có bậc j Không tính tổng quát, giả thiết b0 , ra, làm biến đổi f = f1 + c cho phù hỵp h»ng sè c Tõ (2.1), chóng ta cã: n 1 bj Mj  f          p1e1z  p2e z  b0 j 1 p1e1z  p2e z  b0 fj f  f  n Chó ý m  r , M j  f  / f j   S  r, f (2.4) bổ đề cã:   1 z 2 z m  r , 1z   S  r , p1e  p2e   S  r , f  2 z  p1e  p2e  b0  Bởi vậy, vế trái (2.4) đa thức 1/f cã bËc nhiỊu nhÊt b»ng n ’ víi hệ số trở thành hàm gần 1/f Tõ ®ã:  1 m  r ,   S  r , f  (2.5)  f Đạo hàm hai vế (2.1) cho: nf n1 f '  P  f   '   p1'  1 p1  e1z   p2'   p2  e2 z 1z Khö e p ' e2 z , t¸ch tõ (2.1) công thức trên, đ-ợc: p2  f n  p2 nf n1 f '  p2'   p2  P  f   p2  P  f   '   e1z  p  p  f ' n 1 Trong (2.6)  p1nf n1 f '  p1'  1 p1  P  f   p1  P  f   '    e2 z (2.7) (2.8)   p1 p2'  p2 p1'  p1 p2 , hµm nhá cđa f Chóng ta chó ý r»ng triệt tiêu cách đồng nhất, cách khác, phép lấy tích phân đ-ợc e  1  z C p1 cho h»ng sè C, đ-ợc Từ p2 (2.7) (2.8) đ-ợc: S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn   jz m r, e   nT  r, f   S  r, f  , j = 1,2 (2.9) Tõ (2.1) chóng ta cã: nT  r , f   m  r , f n   m  r , f n  P  f    T  r , p1e1z  p2e2 z   S  r , f  (2.10) Bëi vËy, S  r , e1z   S  r , e2 z   S  r , f  : S  r  Tõ (2.4) chóng ta cã n 1 b j ei z Mj   ei z     p1e1z  p2e z  b0 j 1 p1e1z  p2e z  b0 f j  f  n j ei z  n , i  1, f Sau ®ã:  ei z  m  r , n   S  r  , i  1,  f  (2.11) Sau ®ã chóng ta chøng minh  e1z  m  r , n1   S  r  , i  1,  f  (2.12) i Cố định r>0, cho z re Cho khoảng mở [0, ) biểu thị hỵp nhÊt cho tËp hỵp rêi nh- sau:   f z   E1     0, 2     z  1 e     f  z   z E2     0, 2     z  1, e  1 e     f  z   z E3     0, 2     z  1, e e Do định nghĩa hàm gần đúng, có: S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn  ei z  m  r , n 1    f  2 2  log ei z  f n 1  z  d  I1  I  I Trong ®ã Ii  2 2  log  ei z f n 1  z  d , i  1, 2,3  Víi   E1 , chóng ta cã: f  z   e  1  z f  z e z n , đ-ợc: n 1 f  z  f  z  e 1  z e1z Tõ  e2 z I1  m  r , n  f Víi   E2 , chóng ta cã 1z e e1z  , vµ nh- vËy n 1 f  z  f n 1 z Sau   I1  m  r , n 1   S  r   f  ®ã tõ (2.5) th×: Víi   E3 , chóng ta cã e1z f n 1  z  Do gi¶ thiÕt:    S r   f  z   e2 1  z V× vËy:  e1z e n 1 1  z  n  1   n1 , chóng ta đ-ợc e n z n1 z e1z f n 1  z   V× vËy chóng ta cã I3 = Từ cố định (2.10) Sau từ (2.7) th×: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn f n 1   Trong e1z n 1 f  R  f  f n 1 (2.13)    p2'   p2  f  np2 f ' , ®ã vµ R  f    p2'   p2  P  f   p2 P f ' , đa thức vi phân f có bậc lớn n-1 Do bổ đề 1, đ-ợc m r ,    S  r  , chó ý r»ng  lµ toµn cơc, chóng ta cã N  r ,    S  r  Tõ ®ã: T  r,    S r ,i, e ,  lµ hµm nhá cđa f Bằng định nghĩa , đ-ợc: p2'   p2  f ' f np2 np2 Thế công thức vào (2.8) cho: f  n np1  f n 1  p2  p1'  1 p1   P f  Do bổ đề 2, nhìn thấy tån t¹i  f   n p1 p2   P  f   '  p e 2z hµm nhá  cđa f  p2e2 z Đây điều phải chứng minh định lý 2.4.4 Định lý 2: Cho n số nguyên d-ơng, i i 1,  lµ sè thùc vµ 1    Cho p1,p2 lµ hµm nhá cđa ez Nếu tồn hàm nguyên siêu việt f thỏa mÃn ph-ơng trình vi phân (2.1), P(f) đa thức vi phân f có bậc không lớn n 2, , tồn số c1,c2 hµm nhá 1 ,  víi f  p  p  f ' 1 n  p1nf n1 f '  p1'  1 p1  P  f   p1  P  f   '    e2 z f  c11e1z / n  c2 2e2 z / n (2.14) Hơn nữa, in pi , i 1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chøng minh: 1 Còn tr-ờng hợp Chúng ta thảo luận cho tr-ờng hợp làm t-ơng tự Giả sử f nghiệm nguyên siêu việt (2.1) Chứng minh t-ơng tự định lý 1, lấy (2.5) (2.11) Cố định r>0, i cho z re Cho kho¶ng më [0, 2 ) cã thĨ biĨu thị hợp cho tập hợp rời nhsau:   E1     0, 2     E2     0, 2     E3     0, 2   f  z e 1  z f  z e 1  z f  z e  1  z    1     1, e  1    z  1, e z Từ định nghĩa hàm gần đúng, có: e1  z m  r , n  f      2 2  log  e  d  I1  I  I , f n2  z    z ®ã Ij  2  log Ej  e  d , j  1, 2,3 f 2n2  z    z f  z e1   z e 2 z e z   Víi   E1 , chóng ta cã: n 2 f  z  f n  z  e2 1  z f n  z  Nh- vËy (2.11), đ-ợc I1 S r Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn e z  , vµ Víi   E2 , tõ 1    th× e1 2  z  e1   z  f 2n2  z  f 2n2  z  V× vËy I2  S  r  Sau ®ã tõ (2.5) th×: Víi   E3 , chóng ta cã f  z   e2 1  z V× vËy: e1 2  z 1   z e   1 2n2 n 1 1  z n   z  n1 z   f  z e e  e1   z Do ®ã: I  S  r  Tõ ®ã chóng ta cã m  r , n  f  Nh©n (2.7) víi (2.8) cho:    S  r , f   f 2n2  Q  f    2e1 2  z (2.15) (2.16) Trong Q(f) đa thức vi phân f có bậc lớn 2n 2,     p1'  1 p1  f  p1nf '   p   p  f ' 2 Từ (2.16) bổ đề 1, đ-ợc p2 nf ' (2.17) m  r ,    S  r , f  V× vËy, T  r,   S  r, f  NÕu  p   p  f  np f '  , b»ng phÐp lÊy tÝch ph©n chóng ta ®-ỵc ' 1 1  z/n f n cp1e1z , c số khác V× vËy, f  ae , víi a hàm nhỏ f Chúng ta thấy vế trái (2.1) đa thức Mặt khác vế phải (2.1) không đa thức e1z / n có bËc n e1z / n Tõ ®ã  p   p  f  np f '  ' 1 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn T-¬ng tù, chóng ta cã Cho p ' p '   p2  f  np2 f '  V× vËy     p2  f  np2 f '  h , (2.18) ®ã chóng ta cã :  p   p  f  np f '  h ' 1 (2.19) Bằng cách khử f f , tách từ (2.18) (2.19) đ-ợc: f p1  h  p2  h (2.20)   p2   p2  p'   p f ' 1 h n n h ' Và (2.21) ' ' Trong :   p1 p2  p2 p1    1  p1 p2 lµ hµm nhá cđa f triệt tiêu cách đồng Tõ (2.20) chóng ta thÊy: 2T  r , h   T  r , f   S r , f Vì vậy, hàm nhá cđa f cịng lµ hµm nhá cđa h Vµ từ vi phân thấy h mét hµm A Nh- vËy h’/h lµ hµm nhá f Bằng cách đạo hàm vế (2.20) , đ-ợc: p p h'    p   p h'  f '     '  h     '   h h     h   (2.22) So sánh hệ số vế phải (4.7) vµ (4.8), suy p1'  1 p1  p1  p1 h '    ' n    h p '   p2   n (2.23)  p   p h'    '  h    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.24) 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn B»ng phép lấy tích phân (2.23) (2.24), tách ra, đ-ợc: n n z p1e p d1  h  ;   2 z p2 e  p 1  d2   , h (2.25) d1 d2 số khác Từ công thức trên, tồn hàm n nhỏ , cña ez tháa m·n pi  i , i  1, Vµ p1 p2e 1   z n  p p  d1d  22     (2.26) VÕ ph¶i công thức hàm nhỏ f, nh- hàm nhỏ ez Vì công thức Ngoài ra, thấy tồn số khác không c1 c2 cho: p1  h  c11e1z / n ; p2  c2 2e2 z / n  h (2.27) Cuèi cùng, từ (2.20), đ-ợc (2.3) Hệ 1: Cho ph-ơng trình vi phân: f f f ''  2cos3 z, cã ®óng nghiƯm nguyªn: f1  z   2cosz f  z    cos z  f3  z    cos z  sin z sin z 2.4.5 Định lý 3: Giả sử n số nguyên d-ơng, cho p1, p2 hàm nhỏ ez,  i  i  1,  lµ sè d-¬ng tháa m·n  n  1   n1  NÕu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 1 lµ số vô tỷ, http://www.lrc-tnu.edu.vn ph-ơng trình vi phân (2.1) nghiệm nguyên, P(f) đa thức vi phân f có bậc n-1 Chứng minh: Nếu f nghiệm nguyên siêu việt (2.1), định lý 1, tồn hàm nhỏ i,e, f cho (2.2) cố định Vµ nh- vËy N  r,1 /  f      S r, f , lµ hµm nhỏ ngoại lệ f Công thức (2.2) chứng tỏ tồn hàm nhỏ , cña f cho f '  1 f  2 B»ng phÐp thÕ c«ng thøc (2.1), z thấy p1e đa thức f cã bËc k