Nghiệm chính xác của một số lớp phương trình vi phân thường

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN -0O0 - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: NGHIỆM CHÍNH XÁC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Giáo viên hướng dẫn : TS Phan Đức Tuấn Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Ái Ly Lớp : 12CTUD Đà Nẵng, tháng năm 2016 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU Chương CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm chung: 1.2 Các phương trình vi phân cấp học : 1.2.1 Phương trình tách biến : 1.2.2 Phương trình qui tách biến: 1.2.3 Phương trình đẳng cấp 1.2.4 Phương trình qui đẳng cấp: 1.2.5 Phương trình tuyến tính cấp 1: 1.2.6 Phương trình Bernoulli 1.2.7 Phương trình vp tồn phần: 1.2.8 Thừa số tích phân 11 1.2.9 Phương trình Darboux 13 1.2.10 Phương trình Ricati 13 Chương 15 CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CHƯA GIẢI RA ĐƯỢC ĐẠO HÀM 15 2.1 Phương trình dạng tổng quát 15 2.2 Phương trình khuyết x y 15 2.3 Phương trình khuyết x 16 2.4 Phương trình khuyết y 17 2.5 Phương trình đưa dạng 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚′) 18 2.6 Phương trình đưa đươc dạng 𝒙 = 𝒇(𝒚, 𝒚′) 19 Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN 2.7 Phương trình Clairaut 20 2.8 Phương trình Lagrang 21 Chương 23 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO KHƠNG THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ LÀ ĐA THỨC 23 3.1 Khái niệm 24 3.2 Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n khơng hệ số đa thức 24 3.3 Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số đa thức 24 3.3.1 Phương pháp đổi biến số 24 3.3.2 Phương pháp thay 26 3.3.3 Phương pháp thay đổi biến 27 KẾT LUẬN 28 Tài liệu tham khảo 29 Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn cho em suốt trình thực đề tài giúp em thu nhiều kiến thức bổ ích q trình thực đề tài Đồng thời em cảm ơn Thầy Khoa Tốn-Trường Đại học Sư Phạm-Đại học Đà Nẵng tao điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày tháng năm 2016 Sinh viên thực Nguyễn Thị Ái Ly Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN LỜI MỞ ĐẦU Trong nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển động hệ mơ hình hố phương trình vi phân, tức phương trình có chứa đạo hàm ẩn hàm cần tìm Chẳng hạn, học cổ điển (định luật Newton), thiên văn học (sự chuyển động hành tinh), hoá học (các phản ứng hoá học), sinh học (sự phát triển dân số), điện tử Trong hầu hết lĩnh vực thế, toán chung mơ tả nghiệm phương trình (cả định tính lẫn định lượng) Phương trình vi phân có nhiều dạng, chương trình học khơng thể nghiên cứu hết tất dạng phương trình vi phân Vì thế, em xin trình bày số dạng chưa học chương trình Đại học Khóa luận gồm chương: Chương 1: Các phương trình vi phân cấp Chương 2: Tìm hiểu phương trình vi phân cấp chưa giải đạo hàm Chương 3: Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao khơng với hệ số đa thức Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN Chương CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm chung: Định nghĩa 1.1: Phương trình vi phân cấp hệ thức 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒚′ ) = 𝟎 𝒉𝒂𝒚 𝒚′ = 𝒇(𝒙, 𝒚) (𝟏 𝟏) 𝑥 biến độc lập Trong đó: 𝑦(𝑥) hàm theo 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 Ví dụ : 𝑦 ′ = 2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = Định nghĩa 1.2 : Hàm 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) gọi nghiệm tổng quát phương trìnhvp (1.1) 𝐷 thõa mãn : - Hàm 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) nghiêm phương trình (1.1) ∀𝐶 ∈ 𝑅 - Với điều kiện ban đầu 𝑦(𝑥𝑜) = 𝑦𝑜 cho (𝑥𝑜, 𝑦𝑜) ∈ 𝐷 ∃! 𝐶 = 𝐶𝑜 cho 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) nghiêm phương trình (1.1) thõa điều kiện ban đầu Định nghĩa 1.3 : - Nếu 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) nghiêm tổng quát phương trình (1.1) 𝑦 ∗ = 𝜑(𝑥, 𝐶𝑜) gọi nghiệm riêng phương trìnhvp (1.1) Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN - Nếu 𝑦 = 𝜑(𝑥) nghiệm phương trìnhvp (1.1) khơng phải nghiệm riêng gọi nghiệm kì dị 1.2 Các phương trình vi phân cấp học : 1.2.1 Phương trình tách biến :  Dạng : 𝒇(𝒚)𝒅𝒚 = 𝒈(𝒙)𝒅𝒙  (2.1) Phương pháp giải: Lấy tích phân vế phương trình (2.1)  Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦(1 + 𝑥 )𝑑𝑦 + 𝑥(1 + 𝑦 )𝑑𝑥 = 𝑦𝑑𝑦 𝑥𝑑𝑥 ↔ 1+𝑦 = − 1+𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑥𝑑𝑥 ↔ ∫ 1+𝑦 = − ∫ 1+𝑥 1 2 ↔ ln(1 + 𝑥 ) + ln(1 + 𝑦 ) = 𝐶 = ln 𝑐 ↔ (1 + 𝑥 )(1 + 𝑦 ) = 𝑐 Vậy nghiệm phương trình là: (𝟏 + 𝒙𝟐 )(𝟏 + 𝒚𝟐 ) = 𝒄𝟐 1.2.2 Phương trình qui tách biến:  Dạng : 𝒚′ = 𝒇(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄) (2.2)  Phương pháp giải : Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN Đặt 𝑧(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 => 𝑧 ′ = 𝑎 + 𝑏𝑦′ thay vào phương trình (2.2) ta đưa dạng phương trình tách biến  Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′ = √3𝑥 − 𝑦 + Đặt 𝑧(𝑥) = 3𝑥 − 𝑦 + → 𝑧 ′ = − 𝑦′ Thay vào phương trình ta được: − 𝑧 ′ = √𝑧 ↔ 𝑑𝑧 √𝑧 − = −𝑑𝑥 (𝑧 ≠ 9) Giải phương trình tách biến ta nghiệm: 2√3𝑥 − 𝑦 + + 6𝑙𝑛|√3𝑥 − 𝑦 + − 3| = −𝑥 + 𝐶 Ngoài ra, 𝑧 = → 𝑦 = 3𝑥 − nghiệm kì dị phương trình Vậy nghiệm phương trình là: 𝟐√𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓 + 𝟔𝒍𝒏|√𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓 − 𝟑| = −𝒙 + 𝑪 nhận 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟒 nghiệm kì dị 1.2.3 Phương trình đẳng cấp 𝒚 𝒚′ = 𝒇 ( 𝒙 )  Dạng:  Phương pháp giải: Đặt 𝑦 𝑧(𝑥 ) = 𝑥 => 𝑦 = 𝑥𝑧 => 𝑦 ′ = 𝑧 + 𝑥𝑧′ (2.3) thay vào phương trình (2.3) ta đưa dạng phương trình tách biến  Ví dụ: Giải phương trình: Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP 𝑦′ = Đặt 𝑧(𝑥 ) = 𝑦 𝑥 KHOA TOÁN 𝑦 𝑦 + cos 𝑥 𝑥 → 𝑦 = 𝑥𝑧 → 𝑦 ′ = 𝑧 + 𝑥𝑧′ Thay vào phương trình ta : 𝑥𝑧 ′ = cos 𝑧 ↔ 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = cos 𝑧 𝑥 Giải phương trình tách biến ta nghiệm : 𝒚 = 𝟐𝒙 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝑪𝒙 − Ngoài 𝑧 = 𝜋 + 𝑘𝜋 → 𝑦 = trình Trong 𝑦 = 𝒚= 𝝅𝒙 𝟐 −𝜋𝑥 𝜋𝑥 𝝅𝒙 + 𝒌𝟐𝝅𝒙 𝟐 + 𝑘𝜋𝑥 nghiệm phương + 𝑘2𝜋𝑥 nghiệm riêng ứng với C=0, + 𝒌𝟐𝝅𝒙 nghiệm kì dị 1.2.4 Phương trình qui đẳng cấp:  Dạng : 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄 𝒚′ = 𝒇 (𝒂′ 𝒙+𝒃′ 𝒚+𝒄′) Trong 𝐷 = 𝑎𝑏 ′ − 𝑎′ 𝑏 ≠  Phương pháp giải: Đặt 𝑋 = 𝑥 − 𝑥𝑜, 𝑌 = 𝑦 − 𝑦𝑜 với 𝑥𝑜, 𝑦𝑜 nghiệm hệ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = phương trình { ′ Ta được: 𝑎 𝑥 + 𝑏′ 𝑦 + 𝑐 ′ = ′ 𝑌 = 𝑓( 𝑌 𝑋 𝑌 𝑎′+𝑏 ′ ( ) 𝑋 Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD 𝑎+𝑏( ) 𝑌 )=𝑔(𝑋) (phương trình đẳng cấp Y theo X) Trang KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN  Ví dụ: Giải phương trình: 𝑥−𝑦+1 𝑦 ′ = 𝑥+𝑦−3 Phương trình viết dạng: 𝑦 ′ = (𝑥−1)−(𝑦−2) (𝑥−1)+(𝑦−2) Đặt 𝑋 = 𝑥 − 1, 𝑌 = 𝑦 − thay vào phương trình ta được: 𝑌 1− 𝑋 − 𝑌 𝑋 𝑌′ = = 𝑋+𝑌 1+𝑌 𝑋 Đặt 𝑍 = 𝑌 𝑋 → 𝑌 ′ = 𝑍 + 𝑋𝑍′ thay vào phương trình ta có: − 2𝑍 − 𝑍 (1 + 𝑍)𝑑𝑍 𝑑𝑋 𝑋𝑍 = ↔ = 1+𝑍 − 2𝑍 − 𝑍 𝑋 ′ Giải phương trình tách biến ta được: 𝑋 (1 − 2𝑍 − 𝑍 ) = 𝐶 → 𝑋 − 𝑋𝑌 − 𝑌 = 𝐶 → 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝒄 nghiệm phương trình Ngồi − 2𝑍 − 𝑍 = 0cũng nghiệm nghiệm riêng ứng với C=0 1.2.5 Phương trình tuyến tính cấp 1:  Dạng: 𝒚′ + 𝒑(𝒙)𝒚 = 𝒒(𝒙) (𝟐 𝟓) Khi 𝑞(𝑥) = gọi phương trìnhvp tuyến tính cấp Khi 𝑞(𝑥) ≠ goi phương trìnhvp tuyến tính cấp khơng  Phương pháp giải: Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN  Phương pháp giải : Giả sử có nghiệm thực 𝑦 ′ = 𝑘 tích phân phương trình ta 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝐶 → 𝑘 = 𝑦−𝐶 𝑥 𝑦−𝐶 Nhưng 𝑘 nghiệm đại số nên 𝐹 ( 𝑥 ) = tích phân tổng qt phương trình (2)  Ví dụ : Giải phương trình: (𝑦 ′ )7 + (𝑦 ′ )6 + (𝑦 ′ )3 + = Vì phương trình đại số bậc lẻ 𝑦′ nên chắn có nghiệm tích phân tổng qt phương trình : 𝑦−𝐶 𝑦−𝐶 𝑦−𝐶 ( ) +( ) +( ) +8=0 𝑥 𝑥 𝑥 2.3 Phương trình khuyết x  Dạng : 𝑭(𝒚, 𝒚′ ) = 𝟎 (3)  Phương pháp giải : Sử dụng phương pháp tham số hóa Tìm tham số t thích hợp cho 𝑦 = 𝜑(𝑡), 𝑦 ′ = 𝛾(𝑡) ′ 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑥 → 𝑑𝑥 = hay 𝑥 = 𝜑 ′ (𝑡 ) ∫ 𝛾(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑦′ ta : 𝑑𝑥 = 𝜑′ (𝑡) 𝛾(𝑡) 𝑑𝑡 +𝐶 Ta nghiệm tổng quát phương trình(3) dạng tham số : { 𝑥=∫ 𝜑′ (𝑡) 𝛾(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑦 = 𝜑(𝑡)  Ví dụ : Giải phương trình : Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 16 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 𝑦 ′ + ln 𝑦 ′ − 𝑦 = Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta :𝑦 = 𝑡 + ln 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑦′ = 1+ 𝑡 𝑡 1 𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = ( + 2)𝑑𝑡 Do : 𝑥 = ln 𝑡 − + 𝐶 𝑡 Nghiệm tổng quát phương trình dạng tham số : 𝑥 = ln 𝑡 − + 𝐶 𝑡 { 𝑦 = 𝑡 + ln 𝑡 2.4 (𝑡 > 0) Phương trình khuyết y  Dạng : 𝑭(𝒙, 𝒚′ ) = 𝟎 (4)  Phương pháp giải : Sử dụng phương pháp tham số hóa Tìm tham số t thích hợp cho 𝑥 = 𝜑(𝑡), 𝑦 ′ = 𝛾(𝑡) 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑑𝑥 → 𝑑𝑦 = 𝛾(𝑡)𝑑𝑥 = 𝛾(𝑡)𝜑 ′ (𝑡)𝑑 → 𝑦 = ∫ 𝛾(𝑡)𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶 Ta nghiệm phương trình (4) dạng tham số : 𝑥 = 𝜑(𝑡) { 𝑦 = ∫ 𝛾(𝑡)𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶  Ví dụ: Giải phương trình: ′ 𝑥 = 𝑒𝑦 + 𝑦′ + Đặt tham số 𝑡 = 𝑦 ′ ta được: 𝑥 = 𝑒 𝑡 + 𝑡 + 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡(𝑒 𝑡 + 1)𝑑𝑡 Do đó: 𝑦 = ∫ 𝑡(𝑒 𝑡 + 1)𝑑𝑡 = t2 + (t − 1)et + C Vậy nghiệm phương trình viết dạng tham số là: Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 17 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 𝑥 = 𝑒𝑡 + 𝑡 + t2 { 𝑦 = + (t − 1)et + C  Ví dụ : Giải phương trình: x√1 + 𝑦 ′2 = 𝑦′ 𝜋 𝜋 2 Đặt 𝑦 ′ = tan 𝑡 với – < 𝑡 < Khi cos 𝑡 > √1 + 𝑦 ′2 = √1 + tan2 𝑡 = cos 𝑡 Phương trình trở thành 𝑥 = sin 𝑡 Mặt khác: 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑑𝑥 = tan 𝑡 cos 𝑡𝑑𝑡 = sin 𝑡𝑑𝑡 Vậy 𝑦 = − cos 𝑡 + 𝐶 Nghiệm phương trình dạng tham số là: 𝑥 = sin 𝑡 𝜋 𝜋 với – < 𝑡 < { 2 𝑦 = − cos 𝑡 + 𝐶 2.5 Phương trình đưa dạng 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚′ )  Dạng : 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒚′ ) (5)  Phương pháp giải : Đặt 𝑡 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 xem 𝑡 tham số ta : 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑡) Vi phân hai vế của đẳng thức ta : 𝑑𝑦 = Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD 𝜕(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑓(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 Trang 18 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN Thay 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 ta phương trìnhvp dạng : 𝑀(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 = Xem 𝑥 hàm 𝑡 giả sử phương trình có nghiệm 𝑥 = 𝑔(𝑡, 𝐶) Khi nghiệm tổng qt phương trình (5) : { 𝑥 = 𝑔(𝑡, 𝐶) 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑡)  Ví dụ : Giải phương trình : 𝑦 = 𝑥(𝑦 ′ )2 Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝑥𝑡 Vi phân vế đẳng thức ta : 𝑑𝑦 = 𝑡 𝑑𝑥 + 𝑥𝑡𝑑𝑡 Thay 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥, ta có : 𝑡[(1 − 𝑡)𝑑𝑥 − 2𝑥𝑑𝑡] = 𝑡=0 ↔ {[(1 − 𝑡)𝑑𝑥 − 2𝑥𝑑𝑡] = (𝑝𝑡 𝑡á𝑐ℎ 𝑏𝑖ế𝑛) ↔{ 𝑦=0 𝐶 𝑥 = (1−𝑡)2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình viết dạng tham số : 𝑦 = 𝑥𝑡 { 2.6 𝑥= 𝐶 (1 − 𝑡)2 Phương trình đưa đươc dạng 𝒙 = 𝒇(𝒚, 𝒚′ )  Dạng : 𝒙 = 𝒇(𝒚, 𝒚′ ) (5)  Phương pháp giải : Đặt 𝑡 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 xem 𝑡 tham số ta : Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 19 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑡) Vi phân hai vế của đẳng thức ta : 𝑑𝑥 = Thay 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑡 𝜕(𝑦, 𝑡) 𝜕𝑓(𝑦, 𝑡) 𝑑𝑦 + 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 ta phương trìnhvp dạng : 𝑀(𝑦, 𝑡)𝑑𝑦 + 𝑁(𝑦, 𝑡)𝑑𝑡 = Xem 𝑦 hàm 𝑡 giả sử phương trình có nghiệm 𝑦 = 𝑔(𝑡, 𝐶) Khi nghiệm tổng quát phương trình (5) : 𝑦 = 𝑔(𝑡, 𝐶) { 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑡) 2.7 Phương trình Clairaut  Dạng : 𝒚 = 𝒙𝒚′ + 𝒇(𝒚′ ) (7)  Phương pháp giải : Đặt 𝑡 = 𝑦′ Khi :𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑓(𝑡) Vi phân vế đẳng thức : 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 + [𝑥 + 𝑓 ′ (𝑡)]𝑑𝑡 ↔ 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑥 + [𝑥 + 𝑓 ′ (𝑡)]𝑑𝑡 ↔ [𝑥 + 𝑓 ′ (𝑡)]𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = ↔{ 𝑥 + 𝑓 ′ (𝑡) = 𝑡 = 𝐶 → 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝑓(𝐶) ↔{ 𝑥 = −𝑓 ′ (𝑡) → 𝑦 = −𝑡 𝑓 ′ (𝑡) + 𝑓(𝑡) Vậy phương trình có nghiệm tổng quát viết dạng tham số 𝑥 = −𝑓 ′ (𝑡) :{ 𝑦 = −𝑡 𝑓 ′ (𝑡) + 𝑓(𝑡)  Ví dụ : Giải phương trình: Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 20 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 ′2 Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta : 𝑦 = 𝑥𝑡 − 𝑡 Ta có nghiệm tỏng quát 𝑦 = 𝐶𝑥 − 𝐶 Ngồi cịn có nghiệm bất thường : 𝑥 − 2𝐶 = { 𝑦 = 𝑥𝐶 − 𝐶 Khử C ta 𝑦 = 2.8 𝑥2 Phương trình Lagrang  Dạng : 𝑦 = 𝜑(𝑦 ′ )𝑥 + 𝛾(𝑦 ′ ) (8) Giả sử 𝜑(𝑦 ′ ) ≠ 𝑦′ để không trở thành phương trình Clairaus  Phương pháp giải : Đặt 𝑡 = 𝑦′ phương trình (8) trở thành :𝑦 = 𝜑(𝑡)𝑥 + 𝛾(𝑡) Vi phân theo 𝑥 ta : 𝑡= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝜑(𝑡) + [𝜑 ′ (𝑡)𝑥 + 𝛾 ′ (𝑡)] 𝑑𝑡 𝑑𝑥 Xem 𝑡 biến số độc lập ta có phương trình tuyến tính mà ẩn 𝑥 = 𝑥(𝑡) sau : 𝑑𝑥 𝜑 ′ (𝑡 ) 𝜑 ′ (𝑡 ) + 𝑥= 𝑑𝑡 𝜑(𝑡) − 𝑡 𝑡 − 𝜑(𝑡) Tích phân phương trình ta thu nghiệm 𝑥 = 𝑔(𝑡, 𝐶) Vậy nghiệm tổng quát phương trình (8) dạng tổng quát : 𝑥 = 𝑔(𝑡, 𝐶) { 𝑦 = 𝜑(𝑡)𝑔(𝑡, 𝐶) + 𝛾(𝑡)  Ví dụ : Giải phương trình : 𝑦 = 2𝑦 ′ 𝑥 + 𝑦 ′2 Đặt 𝑦 ′ = 𝑡 ta 𝑦 = 2𝑡𝑥 + 𝑡 Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 21 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN Đạo hàm theo x : 𝑡 = 2𝑡 + 2(𝑥 + 𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑥 ℎ𝑎𝑦 𝑡 + 2𝑥 = −2𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Giải phương trình tuyến tính ta được( 𝑡 ≠ 0) : 𝑥= 𝐶 2𝑡 − 𝑡2 Kết hợp với biểu thức y ta nghiệm tổng quát phương trình dạng tham số : 𝐶 2𝑡 − 𝑡 { 𝐶 2𝑡 𝑦 = 2𝑡 − + 𝑡 𝑡 𝑥= Ngoài phương trình cịn có nghiệm 𝑡 = → 𝑦 = Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 22 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO KHƠNG THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ LÀ ĐA THỨC Khi giải phương trình vi phân cấp không hệ số biến thiên (không )𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) (3.1) gặp vấn đề sau : Ta giải phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = Để tìm nghiệm ̅̅̅, 𝑦1 𝑦̅2 phương trình sau dùng phương pháp biến thiên số Lagrang để tìm nghiệm riêng 𝑦 ∗ Nghiệm tổng quát phương trình (3.1) 𝑦 = 𝑦̅ + 𝑦 ∗ (đã học) Nhưng vấn đề đặt để tìm nghiệm phương trình vi phân cấp khơng nhất, phải biết nghiệm ̅𝑦1 dùng định thức Wronski suy nghiệm lại Làm để tìm nghiệm ̅𝑦1 ? Tương tự phương trình vi phân cấp n, ta phải tìm hệ n-1 nghiệm sử dụng định thức Wronski suy nghiệm lại để hệ n nghiệm Đây vấn đề khó Ở chương trình học, học khái quát phương trình vi phân tuyến tính cấp cao giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số khơng giải phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số biến thiên Vì thế, chương em trình bày cách giải số phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số đa thức Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 23 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN 3.1 Khái niệm Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ sơ đa thức có dạng : 𝑝0 (𝑥)𝑦 (𝑛) + ⋯ + 𝑝𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) (3.2) Trong 𝑝𝑗 đa thức, 𝑔(𝑥) hàm tùy ý Nếu 𝑔(𝑥) = phương trình (3.2) gọi phương trinh vi phân tuyến tính Nếu 𝑔(𝑥) ≠ phương trình (3.2) gọi phương trinh vi phân tuyến tính khơng 3.2 Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n khơng hệ số đa thức Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số đa thức : 𝑝0 (𝑥)𝑦 (𝑛) + ⋯ + 𝑝𝑛 (𝑥)𝑦 = (3.3) Tìm hệ n nghiệm 𝑦̅1 , 𝑦̅2 , … , 𝑦̅𝑛 phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số đa thức Sau dùng phương pháp biến thiên số Lagrang để tìm nghiệm riêng 𝑦 ∗ (đã học) Nghiệm tổng quát phương trình (3.1) 𝑦 = 𝑦̅ + 𝑦 ∗ (đã học) Vì để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n khơng hệ số đa thức ta phải giải giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số đa thức 3.3 Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số đa thức 3.3.1 Phương pháp đổi biến số  Phương pháp giải : Đặt 𝑡 = 𝜑(𝑥 ) = 𝑝 (𝑥 ) 𝑛 𝐶 ∫ (𝑝𝑛(𝑥)) 𝑑𝑥 𝑜 với C số thực tùy ý Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 24 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN Thay vào phương trình (3.3) ta phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số ta thu nghiệm  Ví dụ 1(phương tình Euler) : 𝑥 𝑦 ′′ + 13𝑥𝑦 ′ − 13𝑦 = Đặt 𝑡 = 𝐶 ∫ √ −13 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝐶 √−13 ln|𝑥 | + 𝐶1 Chọn 𝐶1 = 𝐶 √−13 = → |𝑥| = 𝑒 𝑡 (𝑥 > 0) : 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑒 𝑡 ) → 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑦 ′ (𝑥 ) 𝑒 𝑡 → 𝑦 ′ (𝑥 ) = →𝑦 ′′ ( 𝑦 ′ (𝑡) 𝑥) = 𝑒𝑡 ′ 𝑦′ (𝑡) ( 𝑡 ) 𝑒 𝑒𝑡 = 𝑦 ′′ (𝑡 ).𝑒 𝑡 −𝑦 ′ (𝑡).𝑒 𝑡 𝑒 3𝑡 Thay vào phương trình ta : 𝑦 ′′ (𝑡) − 12𝑦 ′ (𝑡) − 13𝑦(𝑡) = Giải phương trình hệ số ta 𝑦(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −13𝑡 Suy nghiệm tổng quát phương trình : 𝑦(𝑥 ) = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 13  Ví dụ : (phương trình Tshebyshev’s) (1 − 𝑥 )𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ − 4𝑦 = |𝑥| < Đặt 𝑡 = 𝐶 𝑣à 𝐶 √−4 = → 𝑡 = arcsin 𝑥 → 𝑥 = sin 𝑡 → 𝑦(𝑡) = 𝑦(sin 𝑡) → 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑦 ′ (𝑥) cos 𝑡 Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 25 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN 𝑦 ′ (𝑡) → 𝑦 𝑥) = cos 𝑡 ′( →𝑦 ′′ ( 𝑥) = 𝑦 ′′ (𝑡).cos 𝑡−𝑦 ′ (𝑡).sin 𝑡 cos3 𝑡 Thay vào phương trình ta : 𝑦 ′′ (𝑡) − 4𝑦(𝑡) = Giải phương trình thu : 𝑦(𝑡) = 𝐶1 𝑒 2𝑡 + 𝐶2 𝑒 −2𝑡 Suy nghiệm tổng quát phương trình : 𝑦(𝑥) = 𝐶1 exp(2 arcsin 𝑥) + 𝐶2 exp(−2 arcsin 𝑥) 3.3.2 Phương pháp thay  Phương pháp giải : Đặt 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥)𝑔(𝑥) với 1 𝑝 (𝑥) 𝑔(𝑥 ) = exp (𝐶 𝑥 − ∫ (𝑥) 𝑑𝑥) 𝑛 𝑛 𝑝  Ví dụ : 𝑦 ′′′ − 2(3𝑥 + 1)𝑦 ′′ + (12𝑥 + 8𝑥 − 7)𝑦 ′ − 2(4𝑥 + 4𝑥 − 7𝑥 − 3)𝑦 = Đặt 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥)𝑔(𝑥) 𝐶 Với 𝑔(𝑥) = exp( 𝑥 + ∫(3𝑥 + 1) = 𝑒 𝑥 3 2 Suy 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥) 𝑒 𝑥 → 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑧 ′ (𝑥) 𝑒 𝑥 + 𝑧(𝑥) 2𝑥𝑒 𝑥 2 2 𝑦 ′′ (𝑥) = 𝑧 ′′ (𝑥)𝑒 𝑥 + 4𝑧 ′ (𝑥)𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑧(𝑥)(𝑒 𝑥 + 𝑥 𝑒 𝑥 ) 2 𝑦 ′′′ (𝑥) = 𝑧 ′′′ (𝑥)𝑒 𝑥 + 6𝑧 ′′ (𝑥)𝑥𝑒 𝑥 + 6𝑧 ′ (𝑥)[𝑒 𝑥 (2𝑥 + 1) + 4𝑧(𝑥)[𝑒 𝑥 (2𝑥 + 𝑥 + 1)] Thay vào phương trình ta : 𝑧 ′′′ − 2𝑧 ′′ − 𝑧 ′ + 2𝑧 = Giải phương trình thu nghiệm : Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 26 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN 𝑧1 = 𝑒 𝑥 , 𝑧2 = 𝑒 −𝑥 , 𝑧3 = 𝑒 2𝑥 Suy nghiệm tổng quát phương trình : 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑥 +𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 −𝑥 + 𝐶1 𝑒 𝑥 +2𝑥 3.3.3 Phương pháp thay đổi biến  Phương pháp giải : Đặt 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥)𝑔(𝑥) Với 𝑔(𝑥 ) 𝐶 𝑝 (𝑥) = exp (𝑛 ln|𝑥 | − 𝑛 ∫ 𝑝1 𝑜(𝑥) 𝑑𝑥)) Để đưa phương Euler Tshebyshev’s giải phương trình tìm nghiệm tổng qt  Ví dụ : 𝑥 𝑦 ′′′ + 𝑥 (3𝑥 + 2)𝑦 ′′ + 𝑥(3𝑥 + 4𝑥 − 4)𝑦 ′ + (𝑥 +2𝑥 − 4𝑥 + 4)𝑦 = Đặt 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥)𝑔(𝑥) với 𝐶 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑙𝑛|𝑥| − ∫(3𝑥 + 3)𝑑𝑥) = 𝑒 −𝑥 3 → 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥) 𝑒 −𝑥 → 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑧 ′ (𝑥)𝑒 −𝑥 + 𝑧(𝑥)(−𝑒 −𝑥 ) → 𝑦 ′′ (𝑥) → 𝑦 ′′′ (𝑥) Thay vào phương trình ta : 𝑥 𝑦 ′′′ + 2𝑥 𝑧 ′′ − 4𝑥𝑧 ′ + 4𝑧 = Đây phương trình Euler, giải phương ta thu nghiệm tổng quát phương trình : 𝑦(𝑥) = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑥 −2 ) Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 27 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TỐN KẾT LUẬN Việc nhận dạng phương trình vi phân yếu tố định đến việc giải phương trình vi phân Đối với phương trình vi phân cấp 1: Muốn việc nhận dạng phương trình vi phân thuận lợi ta đưa phương trình dạng 𝑦 ′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =⋯ Khi ta nhận dạng phương trình vi phân có cách giải hợp lí Ngồi ra, khơng tìm dạng phương trình vi phân ta thường đổi vai trị 𝑥 ↔ 𝑦 Tuy nhiên, vài phương trình vi phân cấp không giải đạo hàm áp dụng cách giải chương đưa dạng phù hợp để tìm nghiệm Đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số đa thức có số phương pháp tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng mà không cần phải biết hệ n-1 nghiệm để giải định thức Wronski Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 28 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN Tài liệu tham khảo ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND CALCULUS OF VARIATIONS - M V Makarets, V Yu Reshetnyak HANDBOOK OF EXACT SOLUTIONS FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS SECOND EDITION - Andrei D Polyanin, Valentin F Zaitsev BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN– TS Phan Đức Tuấn GIÁO TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – Nguyễn Mạnh Qúy PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – Trịnh Đức Tài Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD Trang 29 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Nguyễn Thị Ái Ly-12CTUD KHOA TOÁN Trang 30 ... LUẬN Vi? ??c nhận dạng phương trình vi phân yếu tố định đến vi? ??c giải phương trình vi phân Đối với phương trình vi phân cấp 1: Muốn vi? ??c nhận dạng phương trình vi phân thuận lợi ta đưa phương trình. .. ≠ phương trình (3.2) gọi phương trinh vi phân tuyến tính khơng 3.2 Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n khơng hệ số đa thức Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số. .. học) Vì để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n khơng hệ số đa thức ta phải giải giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số đa thức 3.3 Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính