Sự tồn tại nghiệm của một lớp bài toán biên tích phân cho phương trình vi phân phi tuyến bậc không chuyên

Ma trận D D= 0 −1 14 có ImD = R2 Tốn tử φ : Z → R2 xác định T φ(z) = D I02+ z(1) I02+ z(1) I02+ z(1) = I02+ z(1) I z(1) 0+ − I02+ z(1) + 14 I02+ z(1) Do ta có biểu diễn cho KerL ImL sau: KerL = {u(t) = c1 + c2 t : (c1 , c2 ) ∈ KerA} = {u(t) = c1 (1 − t) , c1 ∈ R} = x1 , 41 T với x1 (t) = − t, ImL = {z ∈ Z : φ(z) ∈ ImA} z∈Z: = G(1, s)z(s)ds = , G(1, t) = (1 2Γ(5/2) − t) + (1 Γ(3/2) − t) − (1 4Γ(1/2) − t)− Tốn tử L có tính chất Fredholm có số khơng dim (ImA + ImD) = dimImA + dimImD − dim (ImA ∩ ImD) = dimImD = dim R2 √ Dễ thấy ω1 = √ , − 22 sở trực chuẩn phần bù trực giao ImA ∩ ImD Imφ = ImD = R2 ξ1 = (a, b, c) nghiệm phương trình DC · ξ = ω1 Do đó, đặt z1 (t) = a + b (1 − t) + c (1 − t)2 φ(z1 ) = ω1 Ta có phép chiếu P : X → X Q : Z → Z xác định sau P u(t) = (u(0) − u (0)) x1 (t), √ Qz(t) = z1 (t) G(1, s)z(s)ds Toán tử giả nghịch đảo KP xác định KP z(t) = (1 + t) với G1 (1, t) = 4Γ(5/2) G1 (1, s)z(s)ds + Γ(3/2) (1 − t) − 2Γ(3/2) (1 − t) + 8Γ(1/2) t (t − s) z(s)ds, (1 − t)− Toán tử N : X → Z xác định N u(t) = f (t, u(t), u (t)) , với f xác định (2.23) Dễ thấy f hàm liên tục nên theo Bổ đề 2.5 N toán tử L-compact 42 Cuối cùng, ta kiểm ta f thỏa mãn điều kiện (A1 ) − (A3 ) Ta lấy chuẩn tổng R2 không gian ma trận cấp m × n Mm×n (R) chuẩn n A ∗ i=1,m + Ta tính A |aij | , với A = (aij ) ∈ Mm×n (R) = max j=1 = 1, D = 7/4 PA = Suy số 1 + PA Γ(q) Γ(q + 1) 1 = +2 + = + Γ(3/2) Γ(5/2) Γ(5/2) C = + A+ D ∗ ∗ +2 ∗ Ta có đánh giá t |u| + (1 + t) |v| + t2 + 1, 28 14 |f (t, u, v)| ≤ a(t) = t , 28 ( a b(t) = (1 14 + b ∞) C ∞ + t) c(t) = t2 + thỏa 1 + 28 14 = + Γ(5/2) < Vì giả thiết (A1 ) thỏa Ta ý φ (N u) ∈ ImA 1 G(1, s)N u(s)ds = ⇔ (1 − s) G(1, s)g (s, u(s), u (s)) ds = 0 Đặt 1 (1 − t) + (1 − t) − , 2Γ(5/2) Γ(3/2) 4Γ (1/2) G(1, t) = (1 − t) G(1, t) = với t ∈ [0, 1] G hàm tăng [0, 1] nên G(1, t) ≥ G(1, 0) > Hơn nữa, với |v| > 56 g (t, u, v) > với t ∈ [0, 1] Vì chọn M1 = 56 với |u (t)| > 56 ta có 1 (1 − s) G(1, s)g (s, u(s), u (s)) ds > 0 hay φ(N u) ∈ / ImA Vì giả thiết (A2 ) thỏa 43 Mặt khác, ta có φ ◦ N (cx1 ) , ω1 √ = G(1, s)g (s, c(1 − s), −c) ds Tương tự |c| > 56 g (s, c(1 − s), −c) > Do chọn M2 = 56, ta có • Nếu c > 56 G(1, s)g (s, c(1 − s), −c) ds > hay c φ ◦ N (cx1 ) , ω1 > c • Ngược lại, c < −56 G(1, s)g (s, c(1 − s), −c) ds < hay c φ ◦ N (cx1 ) , ω1 < c Suy giả thiết (A3 ) thỏa Như theo Định lý 2.1 tốn (2.21)(2.22) tồn nghiệm 44 CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Như vậy, đề tài trình bày kiến thức phép tính vi tích phân cấp khơng ngun bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo; kiến thức lý thuyết bậc tôpô bao gồm bậc Brower lớp ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều, bậc Leray-Schauder lớp ánh xạ compact liên tục bậc Coincidence lớp ánh xạ L-compact Kết đề tài trình bày chương 3, xét tính chất tồn nghiệm phương trình vi phân phi tuyến bậc không nguyên c Dq0+ u(t) = f t, u(t), c Dp0+ u(t) , t ∈ (0, 1) với điều kiện biên dạng tích phân    αu(0) + u (0) = β u(s)ds,   u(s)ds, u(1) + γu (1) = η trường hợp resonance Bằng cách sử dụng phương pháp bậc tô pô (bậc Coincidence) kết hợp với kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm đề tài thu kết cho tính tồn nghiệm tốn trên, Định lý 2.1 3.2 HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Ta mở rộng tốn theo hướng khái qt khơng gian sau Xét hệ phương trình c Dq0+ x(t) = f t, x(t), c Dp0+ x(t) , t ∈ (0, 1) với điều kiện biên tích phân Riemann-Stieltjes    Ax(0) + Bx (0) = C x(s)dg(s),   x(s)dh(s), Dx(1) + Ex (1) = F x : [0, 1] → Rn , A, B, C, D, E, F ma trận vng cấp n Với tốn ta có hướng nghiên cứu như: 45 Nghiên cứu tính tồn nghiệm nghiệm dương toán Thay đổi điều kiện thành phần phi tuyến, chẳng hạn toán đề tài đưa điều kiện để thành phần phi tuyến N ánh xạ L-compact Tuy nhiên, có lý thuyết bậc cho lớp ánh xạ tổng quát ánh xạ cô đặc, ánh xạ k-set-contraction ánh xạ A-proper, ánh xạ A-proper tổng quát Như vậy, câu hỏi đặt với điều kiện thành phần phi tuyến ta áp dụng lý thuyết bậc cho ánh xạ A-proper? 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adomian, G & Adomian, G.E.(1985) Cellular systems and aging models Comput Math Appl 11, 283–291 [2] Agarwal, R.P Benchohra, M & Hamani, S (2010) A survey on existence results for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and inclusions Acta Appl Math 109, 973-1033 [3] Beezer, R (2008) A second course in linear algebra a second course in linear algebra [4] Ben-Israel, A & Thomas N.E Greville (2001) Generalized inverses: theory and applications [5] Brezis, H (2011) Functional analysis, sobolev spaces and partial differential equations Springer [6] Feng, W & Webb, J.R.L (1997) Solvability of three-point boundary value problems at resonance Nonlinear Anal 30, 3227–3238 [7] Gaines, R & Mawhin, J (1977) Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations, vol 568, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, Berlin [8] Gupta, C.P (1995) Solvability of multi-point boundary value problem at resonance Results Math 28, 270–276 [9] Gupta, C.P (1995) Existence theorems for a second-order m-point boundary value problem at resonance Int J Math Sci 18, 705–710 [10] Gupta, C.P (1997) A second-order m-point boundary value problems at resonance Nonlinear Anal 24, 1483–1489 [11] Il’in, V A & Moiseev, E I (1987) Nonlocal boundary value problem of the first kind for a Sturm-Liouville operator in its differential and finite difference aspects Differential Equations, 23(7), 803–810 [12] Il’in, V A & Moiseev, E I (1987) Nonlocal boundary value problem of the second kind for a Sturm-Liouville operator Differential Equations 23(8), 979–987 [13] Kilbas, A.A Srivastava, H.M & Trujillo, J.J (2006) Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, vol 204 Elsevier, Amsterdam [14] Lazer, A.C (1968) On Schauder’s fixed point theorem and forced second order nonlinear oscillations J Math Anal Appl 21, 421-425 47 [15] Lazer, A.C & Leach, D.E (1969) Bounded pertubations of forced harmonic oscillations at resonance Ann Mat Pura Appl 82, 49-68 [16] Leray, J & Schauder, J (1934) Topologie et equations fonctionelles Ann Sci Ecole Norm Sup 51, 45-78 [17] Liu, B & Yu, J (2002) Solvability of multi-point boundary value problem at resonance (III) Appl Math Comput 129, 119–143 [18] Lyapunov, A.M (1906, 1908, 1912, 1914) Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoides d’une masse liquide homogene dotee d’un mouvement de rotation, Zap Akad Nauk St Petersbourg [19] Mawhin, J (1969) Degré topologique et solutions périodiques des systèmes différentiels non linéaires Bull Soc Roy Sci Liège 38, 308-398 [20] Mawhin, J (1972) Equivalent theorems for nonlinear operator equations and coincidence degree theory for some mappings in locally convex topological vector spaces J Differential Equations 12, 610-636 [21] Milnor, J W (1997) Topology from the differentiable viewpoint Princeton Landmarks in Mathematics Princeton U Press, Princeton, NJ [22] Nicoud, F & Schfonfeld, T (2002) Integral boundary conditions for unsteady biomedical CFD applications Internat J Numer Methods Fluids 40, 457–465 [23] O’Regan, D Yeol Je Cho & Yu Qing Chen (2006) Topological degree theory and applications Series in Mathemmatical Analysis and Applications, 10, Chapman Hall [24] Podlubny, I (1999) Fractional differential equation Academic Press, New York [25] Rabinovitz, P.H (1967) Periodic solutions of nonlinear hyperbolic pratial differential equations Comm Pure Appl Math 20, 145-206 [26] Rudin, W (1987) Real and complex analysis McGraw-Hill Book company, New York, ISBN 0-07-100276-6 [27] Samko, S.G Kilbas, A.A & Marichev, O.I (1993) Fractional integral and derivatives, theory and applications, Gordon and Breach, New York [28] Schmidt, E (1908) Zur Theorie des linearen und nichtlinearen Intergralgleichungen und die Verzeigung ihrer Losungen, Math Ann 65, 370-399 [29] Zeidler, E (1986) Nonlinear functional analysis and its applications I, fixedpoint theorems Springer-Verlag, Berlin 48 [30] Zhang, X Feng, M & Ge, W (2009) Existence result of second-order differential equations with integral boundary conditions at resonance J Math Anal Appl 353, 311–319 49 ... bày chương 3, xét tính chất tồn nghiệm phương trình vi phân phi tuyến bậc khơng ngun c Dq0+ u(t) = f t, u(t), c Dp0+ u(t) , t ∈ (0, 1) với điều kiện biên dạng tích phân    αu(0) + u (0) = β... tính tồn nghiệm nghiệm dương toán Thay đổi điều kiện thành phần phi tuyến, chẳng hạn toán đề tài đưa điều kiện để thành phần phi tuyến N ánh xạ L-compact Tuy nhiên, có lý thuyết bậc cho lớp ánh... (2.21)(2.22) tồn nghiệm 44 CHƯƠNG KẾT LUẬN 3.1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Như vậy, đề tài trình bày kiến thức phép tính vi tích phân cấp khơng ngun bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm Riemann-Liouville,