Phương pháp tựa tuyến tính hoá giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến

LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người tận tình hướng dẫn, bảo tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo tổ giải tích, khoa tốn trường ĐHSPHN 2, gia đình, bạn bè, bạn học viên lớp K14 Tốn giải tích đợt 2, người động viên suốt trình học làm luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thu Thùy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tự làm, hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Tôi xin cam đoan tài liệu nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Các thơng tin trích dẫn tài liệu tham khảo luận văn rõ nguồn gốc Luận văn chưa công bố tạp chí Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thu Thùy MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương Kiến thức bổ trợ 1.1 Phương trình vi phân Riccati 1.2 Phương pháp tuyến tính hóa 1.3 Phương pháp Newton 1.4 Trong không gian n 1.5 Phương pháp Newton – Katorovich 1.6 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính 10 1.7 Phương pháp Galerkin 13 1.8 Mơt số kiến thức giải tích hàm 15 1.9 Đạo hàm Frechét không gian định chuẩn 16 1.10 Phương trình Sturm – Liouville 1.11 Định lý Tchaplygin bất đẳng thức vi phân Chương Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến 17 18 19 2.1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ tốn biên phương trình vi phân thường phi tuyến 19 2.1.1.Tính chất đơn điệu 19 2.1.2 Phương pháp tiếp cận 20 2.1.3 Mối quan hệ nghiệm hệ số 21 2.1.4 Phép nhân tử hóa tốn tử vi phân tuyến tính cấp 23 2.1.5 Tính chất dương nghiệm phương trình vi phân 25 2.1.6 Xét quan hệ với phương trình đạo hàm riêng parabolic 26 2.1.7 Bàn giá trị riêng 28 2.1.8 Sự hoàn thiện việc đánh giá hội tụ 2.2 Sự hội tụ dãy nghiệm xấp xỉ 29 31 2.2.1 Áp dụng tuyến tính hóa hệ 31 2.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính 33 2.2.3 Một số ví dụ 34 2.2.4 Tính tốn đồng thời xấp xỉ 35 2.2.5 Thảo luận 37 2.2.6 Tính chất đơn điệu hệ 38 2.2.7 Tính chất đơn điệu phương trình vi phân tuyến tính cấp N 39 2.2.8 Phương trình parabolic 40 Chương Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải số tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến cấp 42 3.1 Đặt vấn đề 42 3.2 Mơt số ví dụ 43 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X Y không gian tuyến tính định chuẩn phi tuyến Xét phương trình toán tử Pu = P:X toán tử → Y (1) Đây trường hợp tổng quát phương trình tốn tử phi tuyến khơng gian định chuẩn * Giả sử phương trình tốn tử dạng Pu = có nghiệm u = u Vấn đề tìm nghiệm phương trình vấn đề việc giải phương trình Trong trường hợp tìm nghiệm xác phương trình (1) khó khơng thể tìm người ta nghiên cứu để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình Nhà tốn học L Kantorovich khái qt phương pháp Newton giải phương trình vơ hướng f(x) = khơng gian để giải phương trình (1) Trong tư tưởng tuyến tính hố ơng phát triển khái qt thành cơng cho phương trình tốn tử Trong luận văn nghiên cứu lớp tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến Phương pháp nghiên cứu áp dụng tuyến tính hóa bất đẳng thức vi phân Thông qua bất đẳng thức vi phân để xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ (xn ) đơn điệu tăng hội tụ tới * nghiệm u (1) Đề tài nghiên cứu “Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ lớp tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa bất đẳng thức vi phân vào giải xấp xỉ lớp tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến Nêu số ví dụ giải số tốn biên hệ phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tựa tuyến tính hóa, nghiên cứu bất đẳng thức vi phân Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đơn điệu tới nghiệm của toán biên Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ lớp tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào tập Những đóng góp đề tài Luận văn trình bầy cách có hệ thống kiến thức phương pháp tựa tuyến tính hóa Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính việc giải xấp xỉ lớp tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến Chương Kiến thức bổ trợ 1.1 Phương trình vi phân Riccati Phương trình vi phân Riccati phương trình vi phân phi tuyến bậc dạng v′ + v + p(t)v + q(t) = (1.1) Nói chung phương trình Riccati khơng giải cầu phương hàm giải tích với hệ số tùy ý p(t) q(t) Phương trình (1.1) có mối quan hệ với phương trình vi phân tuyến tính cấp Ta bắt đầu với phương trình v ′ + p(t)v′ + q(t)v = , ta đặt : u = vdt , đó, u′ = e∫ vd t ,u′= v′e∫ ve∫ vdt (1.2) ∫vdt + ve , thay u , u′ , u′′ vào phương trình (1.2) ta đưa (1.2) dạng (1.1) 1.2 Phương pháp tuyến tính hóa a Xét hàm biến Xét phương trình f (x) = hàm f xác định (a,b) x0 ∈(a,b) , Giả sử hàm số f có đạo hàm x0 Khi , f ′(x ) = lim f (x) f (x0 ) − x − x0 Đặt: x→x f (x) − f (x0 ) − f '(x0 )(x − x0 ) = α(x, x0 ) (1.3) Thì lim x→x0 α (x, x0 ) x − x0 Từ (1.3) ta có = f (x) − f (x0 ) = f '(x0 )(x − x0 ) + α(x, x0 ) Khi x gần x0 f (x) ≅ f (x0 ) f '(x0 )(x − x0 ) + (1.4) Từ (1.4) ta nhận thấy vế trái (1.4) biểu thức phi tuyến vế phải biểu thức bậc x Dựa vào (1.4) người ta thay biểu thức phi tuyến biểu thức bậc x Ý tưởng phương pháp tiếp tuyến Newton giải xấp xỉ phương trình phi tuyến thơng qua việc giải dãy phương trình tuyến tính b Xét hàm hai biến Xét phương trình: f (x, y) = (x0 , y0 ) ∈U f xác định tập mở U ⊂ (1.5) , Giả sử hàm số f có đạo hàm điểm f (x, y) Trong đó, h f (x, y) ≅ (x0 , y0 ) ∈U Khi đó, = f (x0 , y0 f x′(x0 , y0 )(x x0 ) f y′(x0 , y0 )( y − y0 ) + ο ( h) )+ + = (x − x0 , y − y0 ) , h đủ nhỏ, ta có f (x0 , y0 )+ f x′(x0 , y0 )(x x0 ) f y′(x0 , y0 )( y + − y0 ) (1.6) Từ (1.6) nhận thấy vế trái (1.6) biểu thức phi tuyến vế phải biểu thức bậc x, y Dựa vào (1.6) người ta thay biểu thức phi tuyến biểu thức bậc x, y c Xét hàm n biến Xét phương trình f (x) = f xác định tập U ⊂ n , x = (x , x , , x ) , n Ví dụ 3.3 Thực tuyến tính hóa hệ sau  dx  dt   dy  dt   dz   = x + y + z t ∈[ 0,1] , = x 2y + z, + = x+ y + z (3.9) dt với điều kiện biên: x(0) Lời giải (3.10) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3, x(1 = ) 4, y(1 = ) 5, z(1 = ) Tương tự ví dụ trên, ta tuyến tính hóa hệ phương trình vi phân (3.10) sau:  dxn+1   dt   x2 + yx + z    n n n n   dyn+1 + z + 1y y   = x + n n   n  dt      x + z + y  dz n+1     dt    dxn+1  dt  ⇔  dyn+1 = x  n n  n n  2z  n+1 n + zy y +  z n = 2x x + y + z n+1  x − x  n+1 n   − y y , n+1 n  −x n+1 n − 2y ,  −z  n+1 n   dtdzn +1 y  dt n+1 n+1 = x + n+1 n n+1 + 2z z n+1 n −z n n+1 n với xn+1, yn+1, zn+1 thỏa mãn điều kiện biên (3.10) Như vậy, nhờ có phương pháp tựa tuyến tính hóa ta thay việc giải phương trình vi phân thường phi tuyến việc giải hệ phương trình vi phân thường tuyến tính mà ta sử dụng nhiều phép biến đổi khác để giải Việc giải hệ phi tuyến ta thưc tuyến tính hóa để đưa hệ phương trình vi phân phi tuyến giải xấp xỉ hệ phương trình vi phân tuyến tính Sau dây ta giải hệ tuyến tính Ví dụ 3.4 Giải hệ phương trình sau với điều kiện biên Lời giải [0,1],  t∈ = dx  y , dt  = x  dy   dt  y '(0) = −1,  y(1) y = 0,  '(1) + (3.11) = − x '(0)  x( + x  '(1) = 1) Bằng phương pháp tuyến tính hóa ta giải hệ sau Thay hệ phi tuyến dãy phương trình tuyến tính sau:  dxn+1    y −x   x y   = n  + n dt n   ,  n+1    dyn+1   xn  yn+1 − y n       dt  y  dxn+1 = y y n  dt n+1   dyn+1 = x −y n , t∈ [0,1], (3.12)  dt x n+1 n+1 yn+1 thỏa mã điều kiện biên (3.12) Từ hệ tuyến tính ta suy yn , d2 n y +1 = yn yn+1 − dt với điều kiện biên  yn+1 '(0) = −1   yn+1 (1) + yn+1 '(1) = Chọn xấp xỉ ban đầu y0 =− t , t ∈[0,1] Ta tiến hành tìm xấp xỉ sau: Tìm xấp xỉ : (x1 (t), y1 (t)) Với n = 0, ta có, d2 ydt = − 2ty1 + (−t) , x1 ,y1 thỏa mãn điều kiện biên (3.11) Xét phương trình tương đương: y′′ + 2ty = − (−t) ,t∈ với điều kiện biên y′(0) = −1, y(1) + Bài toán 3.4.1 y′(1) = Bằng phương pháp Galerkin ta tiến hành giải toán biên: y′′ + 2ty = −t , với điều kiện biên : y′(0) = −1, y(1) + y′(1) = Lời giải Chọ n ϕ (t) = − t, [0,1] , ϕ (t) = t − 3, ϕ = (t) t − độc lập tuyến tính thỏa mãn: Ta có {ϕ , ϕ , ϕ } hệ  ϕ0′ (0) = −1 ϕ′ (0) = −1  k , k =1,  ϕ′ (1) = ϕ0 (1) + ′ (1) = ϕk (1) + ϕ k Đặt y + 2t , ta tìm L(ϕ L( L( ′′ y ), ϕ) ϕ , ) L( y) = L( ϕ ) = 4t − 2t , L( ϕ ) −6 + t 2, = 2t L( ϕ ) = 2t − 2t Ta có: bi = b L(ϕ ))ϕ dt , ∫ ( f (t) − a b1 = − 4t)(t − = 4.2 , 4)dt ∫ (t Ta tính − 4t)(t − = 1.119 4)dt b2 = aik : ∫ (t a11 = ∫ (2t − 6t + 2)(t − 3)dt = 0.3333 , a12 = ∫ (2t = ∫ (2t − 6t a21 − 2t)(t − 3)dt = 1.5857 , +)(t − 4)dt = 3.1667 , với a22 = ∫ (2t − 2t)(t − 4)dt = 2.25 Ta có hệ: 0.3333c1 + =  1.5857c2 4.2 = 3.1667c1 + 1.119 2.25c2 Vậy nghiệm xấp xỉ phương trình là: c ≈ −2 ⇔  c2 ≈ y(t) = 3t3 − 2t2 − t − Vậy ta tìm xấp xỉ thứ là: x(t) = 3t − 4t −1  y(t) = 3t − 2t − t−   Ta tìm Xấp xỉ thứ 2: Với n = 1, ta có: (x2 (t), y2 (t))   dx dt2 = yy − y , [0,1], t  = dy x   dt 2 ∈ đó, x2 , y2 thỏa mãn điều kiện biên (3.12) Từ phương trình ta suy d x2 dt = yy 2 − y , [0,1], t∈ hay : ′′ y2 − 2(3t 3 2 − − t− = − − t − 4) , t 4) y2 − (3 t t y1 (t) xác định Xét toán tương đương sau: y′′ − 2(3t − 2t − t − 4) y = − (3t − 2t − t − 4) , với điều kiện biên: y′(0) = −1, Bài toán 3.4.2 y(1) + ′ y (1) = 2 Sử dụng phương pháp Galerkin giải toán biên phương trình vi phân tuyến tính cấp y′′ − 2(3t − 2t − t − 4) y = − (3t − 2t − t − 4) , 2 với điều kiện biên: y′(0) = −1, y(1 + y′(1) = ) Lời giải Chọn ϕ (t) = − t, ϕ (t) − Ta có hệ ϕ ,ϕ } = t − 3, = t ϕ (t) 2 {ϕ độc lập tuyến tính thỏa mãn:  ϕ0′ (0) = −1 ϕ′ (0) = −1  k , k =1,  ϕ′ (1) = ϕ0 (1) + ′ (1) = ϕk (1) + ϕ k Đặt: với L(ϕ ), L( ϕ ),2 L( y) = y′′ − (6t − 4t − 2t − 8) y , ta tìm L(ϕ ) , L(ϕ ) = − − 2t − 8)(2 − t) 4t − (6t L(ϕ ) = − 6t + 4t + 20t − 4t − 6t − 22 L( ϕ )6t =− + 4t + 24t + 32t −1 6t − 2t − 32 Ta có: b bi = ∫ ( f (t) − L(ϕ0 ))ϕidt , a b1 = −12t + 4t − 44t + 24t + 4t + 32)(t − 3)dt = −84.0524 ∫ (9t 2 Ta tính: aik b2 (9t −12t5 + 4t4 − 44t3 + 24t + 4t + 32)(t ∫ = − 4)dt = 117.7619 b aik = a ∫ L(ϕ )ϕ k i (t)dt , , a11 = ∫ (−6t + 4t + 20t − 4t − 6t − 22)(t − 3)dt = 58.1214 , a12 = ∫ (−6t + 4t + 24t + 32t −16t − 2t − 32)(t − 3)dt = 71.4, 2 a21 = ∫ (−6t + 4t + 20t − 4t − 6t − 22)(t − 4)dt = 81.4571, 3 a22 = ∫ (−6t + 4t + 24t + 32t −16t − 2t − 32)(t Ta có hệ: − 4)dt = 99.2444 3 58.1214c1 + 71.4c2 = c = 350 ⇔ −84.0524   c2 = −286 81.4571c1 + 99.2444c2 = 117.7619 Vậy nghiệm xấp xỉ thứ là: x(t) = −858t + 700t −1  y(t) = −286t + 350t − t + 96  Cứ tiếp q trình trên, hồn tồn xác định xấp xỉ thứ 3, …, xấp xỉ thứ n KẾT LUẬN Luận văn trình bầy có hệ thống vấn đề phương pháp tựa ttuyến tính hóa ứng dụng vào giải tốn biên hệ phương trình thường phi tuyến Cụ thể luận văn trình bầy: Chương I: Kiến thức bổ trợ Chương II: Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến Chương III: Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải số tốn biên hệ phương trình vi phân thường cấp Do thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý q thầy (cơ), bạn đọc để vấn đề nghiên cứu hoàn thiện luận văn trở thành tài liệu khoa học hữu ích Tác giả xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, cảm ơn thầy (cơ) giáo Phòng Sau đại học, Ban giám hiệu nhà trường, Khoa toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên khích lệ tạo điều kiện tốt giúp hoàn thành đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [3] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Bellman R.E , Kalaba R.E (1965), Quasilinearization and nonlinear boundary – value problem, American Elsevier Publishing company, INC New York ... Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến 17 18 19 2.1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ toán biên phương trình vi phân thường phi tuyến 19 2.1.1 .Tính. .. vào giải xấp xỉ lớp tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến Nêu số ví dụ giải số toán biên hệ phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tựa tuyến tính. .. cứu Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ lớp tốn biên hệ phương trình vi phân thường phi tuyến Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa bất đẳng thức vi phân