Một số phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, giáo khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội có nhận xét động viên giúp đỡ em để em hồn thành khóa luận suốt thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy TS Khuất Văn Ninh tạo điều kiện thuận lợi bảo tận tình để em hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Lan LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Khuất Văn Ninh với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Lan MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 .C ác khái niệm số gần sai số 1.1.1 S o gần 1.1.2 S phân 11 1.2 .M ột số kiến thức phương trình vi phân thường 15 1.2.1 K hái niệm phương trình vi phân thường .15 1.2.2 B ài toán Cauchy phương trình vi phân thường cấp 17 1.2.3 B ài toán Cauchy hệ hai phương trình vi phân .18 Chương 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 19 2.1.Phương pháp Euler 19 2.1.1.Nội dung phương pháp 19 2.1.2.Ví dụ 20 2.2.Phương pháp Euler - Cauchy 21 2.2.1 Nội dung phương pháp 21 2.2.2 Ví dụ .22 2.3 Phương pháp Rungge - Kutta 23 2.3.1 Nội dung phương pháp 23 2.3.2 Ví dụ .25 2.4 Phương pháp Adams 26 2.4.1 Nội dung phương pháp 26 2.4.2 Ví dụ .28 2.5 Phương pháp lưới để giải tốn Cauchy phương trình vi phân thường 30 2.5.1 Nội dung phương pháp 30 2.5.2 Ví dụ .30 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TỐN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 33 3.1 Cách sử dụng Maple 33 3.2 Bài tập 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO .41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều tốn có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng tốn học Các bạn sinh viên quen thuộc với dạng tốn tìm nghiệm tốn Cauchy phương trình vi phân thường Nhưng biết số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác Trong phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ tốn thực tiễn khơng tìm nghiệm xác Bởi tìm nghiệm phải áp dụng phương pháp gần khác Và phương pháp sử dụng thuật tốn Maple để đơn giản toán Với mong muốn học hỏi tích lũy thêm kiến thức cho thân, đồng thời để hiểu thêm phương trình vi phân thường em chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải tốn Cauchy phương trình vi phân thường” Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức tốn Cauchy phương trình vi phân thường Đồng thời sử dụng thuật toán Maple ứng dụng vào để giải tốn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức phương trình vi phân thường 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các tốn Cauchy phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về: Bài tốn Cauchy phương trình vi phân thường Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tổng kết tài liệu Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Một số phương pháp giải toán Cauchy phương trình vi phân thường Chương 3: Ứng dụng Maple để giải toán Cauchy phương trình vi phân thường Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm số gần sai số 1.1.1 Số gần 1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong tính tốn, ta thường phải làm việc với giá trị gần đại lượng Ta nói a số gần nhiều Đại lượng * : a a * a , a không sai khác a gọi sai số thật a Do ta biết a , a* nên ta a a a* a aa Sai số tương đối a a : Ví dụ Nhưng ta tìm , gọi sai số tuyệt đối a thỏa mãn điều kiện: a a* hay a * * Giả sử a , a 3.14 Do a a 3.14 * 3.15 3.14 0.01 nên ta có a thể lấy a 0.01 Mặt khác, 3.14 3.142 3.14 0.002 coi a 0.002 1.1.1.2 Sai số thu gọn Giả sử a số bất kỳ, a biểu diễn dạng: a p 10p 10 p p 1 p s 10 p s (i p i Nếu 1, p s); số nguyên p a số nguyên, p s p s m(m 0) s có phần lẻ gồm m chữ số, , a số thập phân vô hạn s Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số ngắn gọn gần với a Qui tắc thu gọn: Giả sử a p 10 p j 10 j ta giữ lại số hạng thứ j Gọi phần vứt bỏ a p j ± đó: 10 p j s 10 p , ta đặt: 10 j p s ° 10 j j j j 0,5 10 °j Nếu j j, j chẵn ° j 1, tính tốn với số chẵn tiện số tiện Ví dụ ; 3.141592 ; 3.14159 ; 3.1416 ; 3.14 ; 23.1 ; 43.1 ; Sai số thu gọn a số thỏa mãn điều kiện: a Vì 10 p j 10 p j p a nên aa p ( j °) a a 10 j 10 j ° 10 j j 0.5 10 j Sau thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên: j lẻ a* a a* a a a a a dạng (19) cần đặt d 2u dx2 u(0) x 1u, x Lu x 0, f du(0) , dx x2 (21) Tập hợp điểm hữu hạn đoạn D gọi lưới Dh Thành phần điểm tập hợp gọi lưới nhỏ Tùy thuộc vào nghiệm gần tốn (vi phân) (19), tính gần hàm số lưới [u]h sở vận dụng đẳng thức (19), lập hệ phương trình để tượng trưng viết dạng đẳng thức: L hu (h) f (h) (22) Bài tốn (20) viết thành toán vi phân : un2u n un h2 u0 (n u u0 h (nh)2 1, , N nh 1(nh)2 , 1un 1) h , (23) N 1, đặt un Lh u h u0 u1 2un un h2 (nh)2 1un n 1, N u0 h nh (nh)2 1, k fh ta nhận (22) Các tốn tử L, Lh n 1, , N tương ứng gọi toán tử vi phân toán tử sai phân Người ta cho toán sai phân (22) xấp xỉ với toán (19) nghiệm u , đẳng thức L u h (h) h f f sai số kép f (h) (h) nảy sinh phép u (22), thỏa mãn điều kiện: h h f (h) Nếu Fh (24) c1hk , c1 -là số, khơng phụ thuộc vào h Bài toán sai phân (22) gọi ổn định tồn số mãn bất đẳng thức f (h) h0 , cho với h < h0 h , toánsai phân Lh z Fh f (h) nghiệm nhất, thêm vào đó: (h) z u(h) h u u (h) u h (h) thỏa f (h) có (25) c2 f (h) , c -là số, không phụ thuộc vào h Nếu hàm số điều kiện f u (h) thỏa mãn h nghiệm tốn (22) tiến đến nghiệm (19) nút lưới Nếu u h u(h) u , k chh c số, khơng phụ thuộc vào h hội tụ có bậc k theo h Định lí Phương trình vi phân (22) xấp xỉ với toán (20) nghiệm u h với bậc k theo h h khơng đổi Khi nghiệm u(h) toán vi phân (22) tiến đến u h , thêm vào đó, có đánh giá: u h u(h) u h1 c c h k , c1, c2 –số hạng, đánh giá (24), (25) Chƣơng ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TỐN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Sử dụng Maple V tìm nhiều nghiệm nhiều phương trình vi phân thường, phương trình vi phân với điều kiện ban đầu 3.1 Cách sử dụng Để tìm nghiệm phương trình vi phân thường Maple, trước tiên ta khởi động chương trình lệnh: [ restart; Và nạp gói cơng cụ DEtools, sau giải phương trình vi phân thường lệnh: with (DEtools): Sau nạp gói cơng cụ DEtools, ta cần khai báo cho máy chạy dòng lệnh dsolve ({deq, x(t0 ) x0} : Error, (in pdsolve/ sys / info) not an ODE system with respect to the unknows [x(t)]: Trong đó, deq (viết tắt differential equation) phương trình vi phân cần giải, x(t) nghiệm, x(t0 ) x0 điều kiện ban đầu (Khi khơng có điều kiện ban đầu, Maple tự động sinh số c1 kết quả) Sau dấu “;’’ ấn phím “Enter”, hình đáp số, tức nghiệm phương trình vi phân cần giải Sau vào giải số tập để thấy rõ ứng dụng Maple 3.2 Bài tập Chúng ta sử dụng lệnh [> dsolve (deq, x(t0) = x0,{x(t)}); 3.2.1 Bài tập Giải phương trình: xy dx với điều kiện ban đầu y(0) phương dy pháp Euler Giải Khai báo vế phải phương trình (hàm f): f : (x, y) f : (x, y) x*y xy Khai báo bước nội suy h: [> h : 0,1; Khai báo thủ tục tính giá trị y(n) theo cơng thức Euler: [> x : n n * h ; x: n nh [>y:= proc(n) option remember; y(n 1) proc h * f (x(n1), y(n1)); [>end; Khai báo giá trị đầu: [> y:= proc (n) option remember, y(0) : ; y(n 1) y(0) : h * f (x(n1) y(n1)) end Lập dãy giá trị y rừ tới 10: y(i), i=0……10 :; [>seq (y(i), i=0………10); 1, 1, 1.01, 1.0302, 061106, 1.10355204, 1.158727752, 1.228251417, 1.314229016, 1.419367337, 1.547110397 Tìm nghiệm phương trình: [>sol:= dsolve ({diff (Y ( XX *Y (X ),Y (0)1 ,Y (X ) ; ), X ) sol:= Y e( ) X) [>assign (sol); Lập bảng để so sánh giá trị gần phương trình: [>array ([seq (n, y(n), evalf (subs (X = n/10, Y(x)))]; n=0….10)]); n y(n) Nghiệm 1 1 1,005012521 1,01 1,020201340 1,0302 1,046027860 1,061106 1,083287068 1,10355024 1,133148453 1,158727752 1,197217363 1,228251417 1,277621313 1,314229016 1,377127764 1,419367337 1,499302500 10 1,547110397 1,648721271 3.2.2 Bài tập Dùng thuật toán Maple V giải phương trình sau: a) y ' y (1x) y2 , b) y ' xy , c) y ' x2 d) y ' y(1) y(0)1 y 2, y( 1) xy , y(0) x2 Giải a) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq1:= D(y)(x)= y+(1+x)*y^2; {lệnh để gán cho phương trình cần giải} Sau ấn phím Enter, hình xuất hiện: Diff_eq1:=D(y)(x)= y+(1+x)y [>init_con:=y(1)= 1; {lệnh nhập điều kiện ban đầu} Sau ấn phím Enter hình xuất hiện: Init_con:=y(1)= [>dsolve ({diff_eq1, init_con}, {y(x)}); {lệnh để giải phương trình} Kết quả: y(x) x b) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq2:= D(y)(x)= (x*y)/2; [> init_con:= y(0)=1; [> dsolve ({diff_eq2, init_con}, {y(x)}); x2 Kết quả: y(x) e c) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq3:= D(y)(x)= x*x y 2; [> init_con:= y( 1)=3; [> dsolve ({diff_eq3, init_con}, {y(x)}; Kết quả: y(x) x2 2x d) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq4:= D(y)(x):=(x*y)/sqrt (1 x^2) [> init_con:= y(0)=exp(1); [> dsolve ({diff_eq4, init_con}, {y(x)); Kết quả: y(x) e x2 3.2.3 Bài tập Giải phương trình biến số phân ly sau dx dt t2 Giải [> dsolve (D (x) (t) = 2/(t^2), {x(t)}); x(t) = ln( t 2) ln(t 2) C1 3.2.4 Bài tập Giải phương trình vi phân sau ' x (t) t ( x 1) (t 1)x Giải [> dsolve (D (x)(t) ((t *(x ^ 1)) / ((t ^ 1) * x)),{x(t)}; arctan(1 (2x(t)1) 3) ln(x(t) 1)1 ln(x2 (t) x(t)1 3 ln(t 1)1 (t 1) C 2 3.2.5 Bài tập Giải phương trình Bernoulli sau t dx dt 4xt x Giải [> Dsovle (t*D(x)(t)-4*x = t^2*x, {x(t)}); x(t) C1t4e1/2t 3.2.6 Bài tập Giải hệ phương trình sau dy dx dz z(x)cos x dx y Giải  Gán tên sys cho hệ [> sys:= {diff (y(x),x) – z(x)= cos(x), diff(z(x), x)+y(x) = 1};  Gán tên cho nghiệm [> fcns:= {y(x), z(x)};  Giải hệ phương trình [> dsolveb(sys,fcns); y(x) z(x) c cos xc sinx1 x cos x1 sinx c1sinx 2 c cos x1 x sin x 2 KẾT LUẬN Giải gần tốn Cauchy phương trình vi phân thường dạng tốn phức tạp, việc tìm hiểu nghiên cứu cách sâu sắc khơng đơn giản Do điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế nên khóa luận em khơng đưa hết tất phương pháp để giải toán Cauchy phương trình vi phân thường Đồng thời việc đưa ứng dụng tin học vào giải tốn tập khóa luận chưa phong phú hoàn thiện Do kiến thức thân nhiều hạn chế Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy ý kiến bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện nội dung phong phú TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chƣơng – Nguyễn Văn Khải – Khuất Văn Ninh – Nguyễn Văn Tuấn – Nguyễn Tƣờng (2001), Giải tích số Nhà xuất Giáo dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [4] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định Nhà xuất giáo dục ... Cauchy phương trình vi phân thường cấp 17 1.2.3 B ài toán Cauchy hệ hai phương trình vi phân .18 Chương 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG... n f ( x) hn 1.2 Một số kiến thức phƣơng trình vi phân thƣờng 1.2.1 Khái niệm khái niệm phương trình vi phân thường 1.2.1.1 Phương trình vi phân thường cấp Phương trình vi phân thường cấp có dạng... chương: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Một số phương pháp giải tốn Cauchy phương trình vi phân thường Chương 3: Ứng dụng Maple để giải tốn Cauchy phương trình vi phân thường Chƣơng CÁC KIẾN