Các phương pháp giải bài toán cauchy đối với phương trình vi phân thường

Điều kiện Lipschitz 10 Chưong 2: Các phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường.. Các bài tập ứng dụng của các phương pháp giải tích.. Các bạn sinh viê

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em đã nhận được sự dìu dắt, chỉ bảo

và tạo điều kiện giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán nói chung và trong

tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt là sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo TS.Khuất Văn Ninh

Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS.Khuất Văn Ninh Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn

sinh viên quan tâm và đóng góp ý kiến cho đề tài của em

LỜI CAM ĐOAN

Kết quả của đề tài này là do sự nỗ lực cố gắng tìm tòi của bản thân Em xin cam đoan kết quả nghiên cứu của em không trùng với kết quả của các tác giả khác

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI NÓI ĐẦU 5

NỘI DUNG KHOÁ LUẬN 7

Chương 1: Kiến thức cơ sở 7

I Các khái niệm 7

1 Số gần đúng 7

2 Sai số 7

3 Sai phân 8

II Khái quát về phương trình vi phân 8

1 Một số khái niệm 8

2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 8

3 Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân thường cấp 1 10 4 Điều kiện Lipschitz 10

Chưong 2: Các phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường 11

I Các phương pháp giải tích 11

1 Phương pháp lặp đơn 11

2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard 13

3 Phương pháp chuỗi số nguyên 15

II Các phương pháp số 16

1 Phương pháp Euler 16

2 Phương pháp Euler Cauchy 18 3 Phương pháp Runge Kutta 20 4 Phương pháp Adams 25

1 Ứng dụng của chương trình MapleV 29

2 Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình Pascal 30

Chương 3: Các bài tập ứng dụng 38

I Các bài tập ứng dụng của các phương pháp giải tích 38

II Các bài tập ứng dụng của các phương pháp số 45

KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

LỜI NÓI ĐẦU

Thế kỷ XXI là thế kỷ bùng nổ của công nghệ thông tin, ứng dụng của công nghệ thông tin có đóng góp to lớn và hiệu quả trong mọi mặt của đời sống Và cũng từ rất lâu tin học đã được ứng dụng vào trong môn Toán Có những số liệu tính toán quá cồng kềnh và những bài toán phức tạp chúng ta không thể giải bằng tay được nhưng nếu dùng các lập trình trên máy vi tính thì chúng ta có kết quả rất nhanh gọn và chính xác

Các bạn sinh viên đã được học môn phương trình vi phân từ kì II năm thứ ba, vì thế các bạn đã rất quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm đúng của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường Thế nhưng có nhiều trường hợp nghiệm đúng của các phương trình vi phân không thể tìm được Bởi vậy để tìm nghiệm của chúng, ta phải áp dụng các phương pháp gần đúng khác nhau Ở mỗi phương pháp chúng ta có thể dùng lập trình Pascal hay sử dụng thuật toán MapleV để giải các bài toán này

Với mong muốn học hỏi tích luỹ thêm cho mình những kỹ năng và kinh nghiệm khi tiếp cận với ứng dụng của công nghệ thông tin váo việc giải toán đồng thời để hiểu sâu hơn về phương trình vi phân em mạnh dạn chọn đề tài là: “Các phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường”

Nội dung của khoá luận gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này nhằm trình bày các khái niệm và định lý cơ bản nhất về các vấn đề có liên quan đến nội dung trong chương 2 sẽ trình bày

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy đối

với phương trình vi phân thường

I Các phương pháp giải tích

1 Phương pháp lặp đơn

2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard

3 Phương pháp chuỗi số nguyên

III Ứng dụng của tin học để giải phương trình vi phân thường

1 Ứng dụng của chương trình MapleV

2 Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình Pascal

Chương 3: Các bài tập ứng dụng

I Các bài tập ứng dụng của các phương pháp giải tích

II Các bài tập ứng dụng của các phương pháp số

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do thời gian có hạn và điều kiện

nghiên cứu còn hạn chế đồng thời kiến thức của bản thân người làm khoá luận

còn chưa vững nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong

nhận được sự quan tâm góp ý của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên cũng

như các bạn đọc quan tâm đến vấn đề này để khoá luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội 18/5/2009

Sinh viên:

Phạm Thị Hoa

a) Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

+) Sai số tuyệt đối: Đại lượng   : a a* gọi là sai số thật sự của a

Do không biết a* nên ta cũng không biết  Tuy nhiên ta có thể tìm được 0

s  a là số thập phân vô hạn Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ

số bên phải a để được một số a ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a

c) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1

Xét bài toán

 t x,  R  0,T x0r x, 0 r Trong đó x t( ) là hàm một biến xác định trên  0,T với  0,T cho

trước, hàm f t x( , ) và x cho trước được gọi là bài toán Cauchy đối với 0

phương trình vi phân thường cấp 1, điều kiện (2) được gọi là điều kiện Cauchy hay điều kiện ban đầu

c) Định lý (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)

Xét bài toán (1-2),  t x,  R  0,T x0 r x, 0 r

Hàm f t x( , ) xác định trong R r( 0 cố định) thoả mãn 2 điều kiện :

a f t x( , ) liên tục trên R và do R đóng và bị chặn cho nên

b f t x( , ) thoả mãn điều kiện Lipchitz

là hằng số thì tồn tại duy nhất nghiệm

( )

x t của bài toán (1-2) xác định trên [0,T]

3 Bài toán Cauchy với hệ hai phương trình vi phân:

4 Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm f x y( , ) thoả mãn điều kiện Lipschitz

theo biến y nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho đối với hai diểm  x y,  G,

 x y,  G bất kì, ta có bất đẳng thức

CHƯƠNG 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI

VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Các phương pháp giải phương trình vi phân chia làm 2 nhóm:

*Nhóm các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức giải tích

*Nhóm các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng

Sau đây, ở mỗi nhóm chúng ta sẽ xét một vài phương pháp cụ thể

I Các phương pháp giải tích

1 Phương pháp lặp đơn

a) Nội dung phương pháp

Xét bài toán giá trị ban đầu sau đây:

Giả sử hàm f x y( , ) liên tục trong R và trên đó thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai

2 2

G G

M max f x y  x  y 

'( , ) max 2 1

G G

2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard

a) Nội dung phương pháp

*) Tìm nghiệm của bài toán Cauchy (1-2) là phương pháp xấp

xỉ liên tiếp Gỉả sử các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm được thoả mãn Việc giải bài toán tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình tích phân sau:

(Theo lý thuyết phương trình vi phân): Nếu f x y( , ) xác định liên tục trong G: đồng thời thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến y thì quá trinh xấp xỉ liên tiếp (1.2) hội tụ đều về nghiệm duy nhất

của nghiệm (1.1) trong đoạn h = min (a, ) trong đó:

Tốc độ hội tụ của phương pháp đặc trưng bởi hàm:

trong đó y x( ) là nghiệm đúng của (1.1), được tính từ công thức (1.2)

Người ta chứng minh được rằng

Dễ thấy hàm số y'  y2x thoả mãn định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm trên toàn mặt phẳng

y x =0; 0( )

y x1( ) y x0( )+ 0 2

1( , ( ))

3 Phương pháp chuỗi hàm nguyên

a) Nội dung phương pháp

Giả sử hàm f x y( , ) ở vế phải của (1) là giải tích trong lân cận điểm

( ) nghĩa là f x y( , ) khai triển được thành chuỗi nguyên:

hội tụ trong lân cận đó Với giả thiết đó bài toán Cauchy (1-2 ) là giải tích

trong lân cận đủ bé của điểm và có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi Taylor:

( )

y x =

( ) 0 0

=

( ) 0 0

Trong đó N là 1 số tự nhiên nào đó, nếu ta tính được các đại lượng

( ), (k=0, 1, ,…,N) Để tính ( ) ta xuất phát từ bài toán (1-2), ta có:

y (' )= f ( )

Lấy đạo hàm các cấp cả 2 vế (1) rồi thế x= vào ta được lần lượt các giá trị ( ), (k=0, 1, ,…

12

''' 3 ' " ( ') ;(1) 6;

x y

a) Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy:

' ( , ),

y  f x y a x b (1)

y a( ) y0 (2)

Chia đoạn  a b thành các đoạn nhỏ bởi các điểm chia , x (i=0, 1, …, N) i

sao cho: ax0   x1 x N b

Giả sử hàm f x y( , ) có các đạo hàm riêng bậc m liên tục trên

   0 

R= a,b  y Y m, , 

+) Với x đủ gần i x để tính được giá trị gần đúng của nghiệm bài toán 0

(1-2) tại điểm x ta sử dụng công thức tính của phương pháp chuỗi hàm i

nguyên trong nhóm các phương pháp giải tích đã trình bày ở mục trước như

sau:

( ) 0 1

( )( )

 a b là phép phân hoạch đều tức là: , h h i x i1x i, i0,1, ,N 1 Khi đó

3 0

*

4 3

( , ), 0,1, , 1

a) Nội dung của phương pháp

Xét bài toán Cauchy (1-2) Ta cũng phân hoạch  a b bởi các điểm ,

chia

0

{ } xi N i (ax0   x1 x N b) Phương pháp Euler đã trình bày ở trên tính giá trị gần đúng y i  y x( )i tuy đơn giản nhưng độ chính xác chưa cao Để khắc phục nhược điểm này chúng ta sử dụng phương pháp Euler-Cauchy Sơ

đồ tính toán của phương pháp này như sau:

* 1

0,4 0,6 0,8 1,0

1,3566 1,4993 1,6180 1,7569

0,0767 0,0699 0,0651 0,0618

0,1617 0,1454 0,1341 0,1263

1,1832 1,3416 1,4832 1,6125 1,7325

   chỉ tính đến đạo hàm tại điểm ( , )x y , i i  f i hf x y( , )i i mà

không chú ý tới sự thay đổi của đạo hàm trong khoảng x x i, i1 từ đó ta thấy

rằng nếu hàm f x y( , ) thay đổi nhiều và không tuyến tính thì sai số mắc phải

sẽ lớn Phương pháp áp dụng công thức Euler-Cauchy sẽ khắc phục nhược

điểm này.

3 Phương pháp Runge―Kutta

a) Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy (1 - 2) ta chia đoạn  a b thành các đoạn nhỏ bởi ,

các điểm chia x (i=0, 1, …, N) sao cho: i ax0   x1 x N b trong đó

Sau đây chúng ta sẽ xét một vài trường hợp riêng thường dùng

1 Trường hợp r=1: Chúng ta có phương pháp Euler

2.Trường hợp r=2: Chúng ta có phương pháp Euler-Cauchy

(4)

4 3

3

( )( )

24

4 Trường hợp r=4

Một trong các công thức thông dụng nhất ứng với trường hợp này là:

2

K

y 

(0) 2 0

K

(0) 2

K

(0) 3

K

(0) 4

K

(0) 1

K

(0) 2

2K

(0) 3

2K

(0) 4

5 Trường hợp r6: Chúng ta có phương pháp Runge-Kutta-Fehlberg

Các công thức của phương pháp này như sau:

y*n1 y n  16 1 6656 3 28561 4 9 5 2 6

135K 12825K 56430K 50K 55K ; Trong đó:

Ở phần bài tập chúng ta chỉ xét với trường hợp r 4 (RK4)

b) Ví dụ: Giải bài toán sau bằng phương pháp Euler



1,05

0 0,05

1 1,145238

0,1 0,114524

0,1 0,229048

1,05

1,1

0,057262 0,115907

1,159071 1,310740

0,115907 0,131074

0,231814 0,131074 0,115323

1,309678 1,464447 1,477805 1,638523

0,130968 0,146445 0,147791 0,163852

0,130968 0,292889 0,295581 0,163852 0,147215

1,637563 1,801066 1,814146 1,983005

0,163756 0,180107 0,181415 0,198301

0,163756 0,360213 0,362829 0,198301 0,180805

1,982135 2,153696 2,166404 2,42897

0,198214 0,215370 0,216604 0,234290

0,198214 0,430739 0,443281 0,234290 0,216087

4 1,4 0,659475 2,342107 0,234211 0,234211

1,45

1,45

1,50

0,776580 0,785532 0,912824

2,521146 2,533493 2,717099

0,252115 0,253349 0,271710

0,504229 0,506700 0,271711 0,252808

5 1,5 0,912283 2,716377

4 Phương pháp Adams

a) Nội dung phương pháp

Năm 1855, nhà toán học người Anh Adams đề xuất một phương pháp đa bước giải bài toán Cauchy theo yêu cầu của ông Bashforth, một chuyên gia kỹ thật pháo binh Anh Kết quả của Adams sau này bị quên lãng Mãi đến đầu thế kỷ XX, nhà toán học Na Uy Stermer trong khi tính quỹ đạo các hạt tích điện rời xa mặt trời với vận tốc lớn, đã phát minh lại công thức Adams Sau này viện sỹ Krylov (Nga) đã có công hoàn thiện phương pháp Adams

Tư tưởng chung của phương pháp Adams như sau:

Xét bài toán Cauchy (1-2), ta chia đoạn ta chia đoạn  a b thành các đoạn ,nhỏ bởi các điểm chia x (i=0, 1, …, N) sao cho: i ax0   x1 x N b

Áp dụng công thưc nội suy Newton lùi cho ' '

i n i q i



 , (14) trong đó a =1; 0 a i =

 



2 2

n

 



Công thức (15) gọi là công thức ngoại suy Adams Công thức (15’) gọi

là công thức ngoại suy Adams-Bashforth 4 bước

Bây giờ ta xét công thức nội suy Newton lùi (13) nhưng điểm ban đầu

không phải là x nữa mà là n x n1 thì công thức (15) trở thành:

Công thức (16) gọi là công thức nội suy Adams Công thức (16’) gọi là công thức nội suy Adams-Bashforth 3 bước

Trong công thức (16) giá trị y n1 tham gia vào vế phải bắt đầu từ số hạng thứ 2 chúng ta có một phương trình để tìm giá trị này Trong thực tế người ta sử dụng cách sau:

Theo công thức (15) tính y n1 (thường thì giá trị y n1 được tiên đoán), sau đó giá trị này sử dụng vào vế phải của công thức (16) để tìm *

y  sẽ lại được chính xác hoá đến khi cần thiết

b) Ví dụ: Giải bài toán sau bằng phương pháp Euler

0,100000 0,1309678 0,1637563 0,1982135 0,2342107 0,2716377

0,3103994 0,31978 0,3504099 0,3504086

III Ứng dụng của tin học để giải phương trình vi phân thường

1 Ứng dụng của chương trình MapleV

a) Cách sử dụng: Muốn giải ptvp thường ta khởi động chương trình Maple và nạp gói công cụ cho phép giải bằng các lệnh sau: [ > restart;

[ > with (DEtools);

b) Bài tập(phần bài tập này đưa ra mục đích để tìm nghệm đúng của các phương trình vi phân phục vụ cho bài tập giải phương trình vi phân bằng phưong pháp Euler và phương pháp Euler-Cauchy dưới đây)

Dùng thuật toán MapleV giải các phương trình vi phân sau: 1.y’ = y+(1+x)y2, y(1)1

diff_eq1 := D(y)(x) = y + (1 + x) y2

[> init_con:=y(1)=-1; {lệnh này để nhập điều kiện ban đầu}

Sau khi ấn phím enter trên màn hình xuất hiện: init_con := y(1)1

[> dsolve({diff_eq1,init_con},{y(x)}); { lệnh này để giải phương trình}

2.Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình Pascal

Ví dụ: Giải phương trình sau:

y’=xy/2, y(0)=1 trên [0; 0,5]

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

var f:real;

begin f:=(x*y)/2; ham:=f;

end;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

writeln;

end;

var xo, yo:real;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

end;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

y2:=1.00882780; {cac gia tri y1,2,3 duoc lay tu chuong trinh Kutta}

Chú ý : Các bài tập ở chương 3 với mỗi phương pháp ta chỉ thay hàm và

điều kiện ban đầu vào từng chương trình để cho kết quả