Một số phương pháp giải bài toán cauchy đối với phương trình vi phân thường

18 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG .... Phương pháp lưới để giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường .... Các bạn s

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã có những nhận xét và động viên giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận này trong suốt thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới

thầy TS Khuất Văn Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để

em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Lan

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy

giáo TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình

nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Lan

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 7

1.1 C ác khái niệm về số gần đúng và sai số 7

1.1.1 S ố gần đúng 7

1.1.2 S ai phân 11

1.2 M ột số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân thường 15

1.2.1 K hái niệm về phương trình vi phân thường 15

1.2.2 B ài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 17

1.2.3 B ài toán Cauchy đối với hệ hai phương trình vi phân 18

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 19

2.1 Phương pháp Euler 19

2.1.1 Nội dung phương pháp 19

2.1.2 Ví dụ 20

2.2 Phương pháp Euler - Cauchy 21

2.2.1 Nội dung phương pháp 21

2.2.2 Ví dụ 22

2.3 Phương pháp Rungge - Kutta 23

2.3.1 Nội dung phương pháp 23

2.3.2 Ví dụ 25

2.4 Phương pháp Adams 26

2.4.1 Nội dung phương pháp 26

2.4.2 Ví dụ 28

2.5 Phương pháp lưới để giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường 30

2.5.1 Nội dung phương pháp 30

2.5.2 Ví dụ 30

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 33

3.1 Cách sử dụng Maple 33

3.2 Bài tập 34

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng trong toán học Các bạn sinh viên đã rất quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm đúng của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường Nhưng chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác Trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn không tìm được nghiệm chính xác Bởi vậy tìm nghiệm của chúng ta phải

áp dụng các phương pháp gần đúng khác nhau Và ở mỗi phương pháp có thể

sử dụng thuật toán Maple để đơn giản bài toán này

Với mong muốn học hỏi và tích lũy thêm kiến thức cho bản thân, đồng

thời để hiểu thêm về phương trình vi phân thường em chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức về bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường Đồng thời sử dụng thuật toán Maple ứng dụng vào đó để giải toán

3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Kiến thức về phương trình vi phân thường

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về: Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng kết các tài liệu

6 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Một số phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

Chương 3: Ứng dụng Maple để giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Các khái niệm về số gần đúng và sai số

1.1.1 Số gần đúng

1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng Ta nói a là số gần đúng của a , nếu * a không sai khác a *

nhiều

: a a gọi là sai số thật sự của a Do ta chỉ biết a, không biết a nên ta cũng không biết được * Nhưng ta có thể tìm được 0

a , gọi là sai số tuyệt đối của a thỏa mãn điều kiện:

a

1.1.1.2 Sai số thu gọn

Giả sử alà một số bất kỳ, abao giờ cũng được cũng biểu diễn dưới dạng:

1 1

10p 10p 10p s

a

x khá bé ta có thể coi

' 1 1

n

i i

x y

y ? , do đó kết quả không chính xác Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức có hiệu quả của hai số gần nhau Nếu không tránh được thì cần lấy các số với nhiều chữ số chắc để hiệu quả của chúng có thêm chữ số chắc

b) Sai số của các phép tính nhân chia

Giả sử

1 1

ta thấy y x do đó m y k Vì vậy khi làm các phép tính trung gian để tính y , chỉ cần lấy k 1,k 2 chữ số là đủ

c) Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo

Cho y x , khi đó y d lny x x

dx

Nếu 1(phép lũy thừa) thì y x, do đó độ chính xác giảm

Nếu 0 1 ta có phép khai căn, khi đó y x, hay độ chính xác tăng

Nếu 1 ta có phép nghịch đảo, y x nghĩa là độ chính xác không đổi

Ví dụ Diện tích hình vuông S=12.34, S 0.01 tính cạnh a

Ta có a S ; 3.5128 Vì 0.01 0.008

12.34

S S

nên a 3.5128 0.0004 1.4 10 3

Như vậy a có bốn chữ số chắc và a 3.513

1.1.2 Sai phân và tính chất của sai phân

1.1.2.1 Định nghĩa sai phân

Giả sử f : ¡ ¡ là một hàm số cho trước và h=const, h 0 Ta gọi sai phân cấp 1 của f x( ) là đại lượng:

1.1.2.2 Các tính chất của sai phân

1) Sai phân là một toán tử tuyến tính, nghĩa là:

i

i i

( ) 1

i n

i i

(1 ) ( )

( )

n

n i n i

f x

6) Mọi sai phân đều biểu diễn qua giá trị của hàm số

0

( 1) (1 ) ( )( 1) ( ( ) )

n

n i

n

i n i

7) Giả sử f C n a b , và ( ,x x nh) a b Khi , đó:

( )

( ) (0,1)

n

n n

n n

n

f x

h

1.2 Một số kiến thức về phương trình vi phân thường

1.2.1 Khái niệm khái niệm về phương trình vi phân thường

1.2.1.1 Phương trình vi phân thường cấp một

Phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát:

F x y y( , , ') 0 (1)

trong đó hàm F xác định trong miền D ¡ 3

Nếu trong miền D, từ phương trình (1) ta có thể giải được y':

' ( , )

y f x y

thì ta được phương trình vi phân thường cấp một đã giải ra với đạo hàm

Hàm y ( )x xác định và khả vi trên khoảng I ( , )a b được gọi là nghiệm của phương trình (1) nếu:

có nghiệm là là hàm 2x

y ce xác định trên khoảng ( , ) ( c là hằng số

tùy ý)

1.2.1.2 Phương trình vi phân thường cấp n

Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình có dạng:

Nghiệm của bài toán phương trình vi phân thường cấp n là hàm số y(x)

thỏa mãn phương trình này với những giá trị x ( , )a b hữu hạn hoặc vô hạn Tất cả các nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n có dạng:

Trong bài toán Cauchy (bài toán ban đầu) cần tìm nghiệm riêng thỏa

mãn n điều kiện ban đầu:

Cauchy cho phương trình vi phân thường cấp một, điều kiện (4) được gọi là điều kiện Cauchy (hay điều kiện ban đầu)

1.2.2.1 Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm f t x( , )thỏa mãn theo điều kiện

Lipschitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L>0 sao cho với hai điểm ( , )x y G, ( , )x y G bất kỳ ta có bất đẳng thức:

Xét bài toán (3-4) Nếu f t x( , )là hàm liên tục trên hình chữ nhật

dy

dx dz

dx

(x y được thay thế bởi đường gấp khúc có những điểm ( ,, ) x y Mỗi mắt i i)xích của đường gấp khúc có hướng trùng với hướng của đường cong tích phân đi qua điểm ( ,x y Do đó, phương pháp Euler thường được gọi là i i)phương pháp đường cong gấp khúc

Nếu hàm số f x y( , ) không gián đoạn và các đạo hàm riêng cấp một của nó bị chặn:

' ( , , )' ( , , )

y f x y z

với điều kiện y( )a y0, z( )a z0

Nghiệm gần đúng y i y x( ),i z i z x của hệ này tại điểm ( )i x i 1 được tính theo công thức:

-1 -0,9 -0.8199 0.753998 -0.698640 -0,651361

1 0,801 0,659019 0,553582 0,472794

-1 -0,909091 -0,833333 -0,769231 -0,714286 -0,666667

1 1 1

.2

Sai số ở mỗi khoảng trong phương pháp Euler – Cauchy có bậc 0(h3)

Phương pháp Euler-Cauchy có thể giải thích rõ hơn bằng việc chỉnh lại

x x với điều kiện ban đầu y(1) 0,5 đoạn [1;1,5], khoảng h=0,1

Sau đó so sánh kết quả với nghiệm đúng

Kết quả tính toán phương trình này trong bảng 2

2.3 Phương pháp Runge-Kutta

2.3.1 Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy trên đoạn x X cho phương trình vi phân 0,

y' f x y( , ) (9) với điều kiện ban đầu:

Phương pháp Runge-Kutta cũng như phương pháp Euler-Cauchy đều

là phương pháp giải toán (9),(10) Phương pháp này còn được dùng để tính giá trị nghiệm gần đúng của bài toán cho trước tại x i 1 theo thông tin về nghiệm này trong lân cận điểm cho trước x Nghĩa là sau giá trị gần đúng i y i

của giá trị tìm được tại điểm x i

Xét phương pháp Runge-Kutta bậc 4 Đây là phương pháp phổ biến nhất để giải những bài toán với điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân thường Phương pháp trên cho thấy 6 mối quan hệ sau:

1

y y y (11)

2

h x

2

K y

(0)

(0) 2 0

2

K y

(0) 1

K

(0) 2

K

(0) 3

K

(0) 4

K

(0) 1

K

(0) 2

2K

(0) 3

2K

(0) 4

K

y

Bằng việc áp dụng phương pháp này, giá trị của hàm số f x y( , ) cần

được viết lại 4 lần với các đối số : x i và y i ,

2

i i

Cần chú ý rằng bước lưới có thể thay đổi chuyển từ điểm này sang điểm

khác Để kiểm tra sự đúng đắn khi chọn h, người ta tính phân số:

Trong thực hành, để kiểm tra quá trình tính toán người ta áp dụng cách

đếm hai lần Đầu tiên, tính nghiệm với bước h , sau đó với bước

x với điều kiện ban đầu y(1) = 0 trên đoạn [1;1,5], khoảng h = 0,1

Nghiệm và kết quả tính toán được trình bày trong bảng 4

1 1,145238 1,145238 1,310740

0,1 0,114524 0,115907 0,131074

0,1 0,229048 0,231814 0,131074

1,309678 1,464447 1,477905 1,638523

0,130968 0,146445 0,147791 0,163825

0,130968 0,292889 0,295581 0,163852

1,637563 1,801066 1,814146 1,983005

0,163756 0,180107 0,181415 0,198301

0,163756 0,360213 0,362829 0,198301 0,180805

1,982135 2,153696 2,166404 2,342897

0,198214 0,215370 0,216640 0,234290

0,198214 0,430739 0,443281 0,234290 0,216087

2,342107 2,521146 2,533493 2,717099

0,234211 0,252115 0,253349 0,271710

0,234211 0,504229 0,506700 0,271711

5 1,5 0,912283

2.4 Phương pháp Adams

Cho phương trình vi phân xác định trên đoạn x x 0,

y f x y( , ), (14) với điều kiện ban đầu

y x( )0 y0. (15)

Khi đó ta sẽ được tìm giá trị nghiệm gần đúng y i y x (i=1,2,…n) ( )i

của bài toán (16), (17) tại những điểm: xn 1, , xN N X x0

h Giá trị gần

đúng của bài toán là y i (i 1, , )n có thể tính bằng phương pháp

Runge-Kutta hoặc Euler

Qui tắc tính của phương pháp ngoại suy Adams có dạng:

5 5

Tùy vào những phép tính hướng tới những điểm x , khi đó những thông n

số ở bảng 5 có thể tiếp tục được xây dựng từ trái sang phải: Giá trị x n 1 được

tìm theo công thức (17), n 1được tính theo phần bên phải của phương trình

vi phân, sau đó tính n , 2 n 1 , 3 n 1 Tất cả những phép tính ở bước này

được kiểm tra ở giai đoạn cuối của sự tính toán (sai phân hữu hạn thứ ba cần được áp dụng cố định)

…

n 2

n 1 n

2 3

n

2n 2

3 3

Áp dụng phương pháp Adams, hãy tìm nghiệm của phương trình vi

phâny' 2 y x x, 1

x với điều kiện ban đầu (1)y 0 tại điểm x=1, x=1,7

Lời giải

Giá trị y(x) tại điểm x=1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 được tính bằng phương

pháp Runge-Kutta (bảng 4) Kết quả tính toán được trình bày ở bảng 6

0,115325 0,147215 0,180850 0,216087 0,252808 0,290912 0,290899 0,330302 0,330291

0,100000 0,1309678 0,1637563 0,1982135 0,2342107 0,2716377 0,3103994 0,3103978 0,3504099 0,3504086

f x y hf x y và tập hợp vào bảng các sai phân hữu hạn Chỉ đưa

vào bảng những trị số có giá trị của sai phân hữu hạn, không đưa ra những giá trị không cần thiết

Theo công thức (16) với k 5, tìm 5 0,290912 , tính

Tiếp tục để tính các bước tiếp theo

Trong quá trình tính toán, chúng ta sử dụng lại những sai phân hữu hạn

2.5 Phương pháp lưới để giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

210,1

f (21)

Tập hợp điểm hữu hạn trên đoạn D được gọi là lưới D Thành phần h

điểm của tập hợp này gọi là lưới nhỏ Tùy thuộc vào nghiệm gần đúng của bài

toán (vi phân) (19), tính gần đúng hàm số lưới [ ]u trên cơ sở vận dụng đẳng h

thức (19), lập hệ phương trình để tượng trưng và viết dưới dạng đẳng thức:

01

h

f

thì ta nhận được (22) Các toán tử ,L L tương ứng gọi là toán tử vi phân và h

toán tử sai phân Người ta cho rằng bài toán sai phân (22) xấp xỉ với bài toán (19) trên nghiệm u, nếu ở đẳng thức h ( )h ( )h

trong đó c 1 -là hằng số, không phụ thuộc vào h Bài toán sai phân (22) được

gọi là ổn định nếu tồn tại số 0 vàh0 0 , sao cho với h < h 0 và f ( )h thỏa mãn bất đẳng thức ( )

h

h F

f , bài toán sai phân L z h h f( )h f( )h có nghiệm duy nhất, thêm vào đó:

(25)

trong đó c -là hằng số, không phụ thuộc vào 2 h Nếu hàm số u( )h thỏa mãn điều kiện ( )h h 0

h

u u u khi h 0 thì nghiệm của bài toán (22) tiến đến

nghiệm đúng của bài (19) trong nút lưới Nếu ( )h k

h h

Định lí Phương trình vi phân (22) xấp xỉ với bài toán (20) tại nghiệm

trong đó c 1 , c 2 –số hạng, trong đánh giá (24), (25)

Chương 3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Sử dụng Maple V chúng ta có thể tìm được nhiều nghiệm của nhiều phương trình vi phân thường, phương trình vi phân với điều kiện ban đầu

Trong đó, deq (viết tắt của differential equation) là phương trình vi

phân cần giải, x(t) là nghiệm, x t( )0 x là điều kiện ban đầu (Khi không có 0

điều kiện ban đầu, Maple tự động sinh ra các hằng số c trong kết quả) Sau 1

dấu “;’’ ấn phím “Enter”, trên màn hình sẽ hiện đáp số, tức là nghiệm phương trình vi phân cần giải

Sau đây chúng ta sẽ đi vào giải một số bài tập để thấy rõ ứng dụng của Maple

Lập dãy các giá trị của y rừ 0 tới 10: y(i), i=0……10 :;

[>seq (y(i), i=0………10);

1, 1, 1.01, 1.0302, 061106, 1.10355204, 1.158727752, 1.228251417, 1.314229016, 1.419367337, 1.547110397

Tìm nghiệm đúng của phương trình:

[>sol:= dsolve ({diff( ( ),Y X X) X Y X Y* ( ), (0) 1 , ( )Y X ;

sol:= Y X( ) e.)

[>assign (sol);

Lập bảng để so sánh giá trị đúng và gần đúng của phương trình:

[>array ([seq (n, y(n), evalf (subs (X = n/10, Y(x)))]; n=0….10)]);

1 1,005012521 1,020201340 1,046027860 1,083287068 1,133148453 1,197217363 1,277621313 1,377127764 1,499302500 1,648721271

3.2.2 Bài tập 2

Dùng thuật toán Maple V giải các phương trình sau: