Một số phương pháp giải bài toán cauchy đối với phương trình vi phân thường

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội có nhận xét động viên giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận suốt thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy TS Khuất Văn Ninh tạo điều kiện thuận lợi bảo tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Lan LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Khuất Văn Ninh với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Lan MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 .C ác khái niệm số gần sai số 1.1.1 S ố gần 1.1.2 S phân 11 1.2 .M ột số kiến thức phương trình vi phân thường 15 1.2.1 K hái niệm phương trình vi phân thường 15 1.2.2 B ài toán Cauchy phương trình vi phân thường cấp 17 1.2.3 B ài toán Cauchy hệ hai phương trình vi phân 18 Chương 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 19 2.1 Phương pháp Euler 19 2.1.1 Nội dung phương pháp 19 2.1.2 Ví dụ 20 2.2 Phương pháp Euler - Cauchy 21 2.2.1 Nội dung phương pháp 21 2.2.2 Ví dụ 22 2.3 Phương pháp Rungge - Kutta 23 2.3.1 Nội dung phương pháp 23 2.3.2 Ví dụ 25 2.4 Phương pháp Adams 26 2.4.1 Nội dung phương pháp 26 2.4.2 Ví dụ 28 2.5 Phương pháp lưới để giải toán Cauchy phương trình vi phân thường 30 2.5.1 Nội dung phương pháp 30 2.5.2 Ví dụ 30 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 33 3.1 Cách sử dụng Maple 33 3.2 Bài tập 34 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng toán học Các bạn sinh viên quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm toán Cauchy phương trình vi phân thường Nhưng biết số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác Trong phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ toán thực tiễn không tìm nghiệm xác Bởi tìm nghiệm phải áp dụng phương pháp gần khác Và phương pháp sử dụng thuật toán Maple để đơn giản toán Với mong muốn học hỏi tích lũy thêm kiến thức cho thân, đồng thời để hiểu thêm phương trình vi phân thường em chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải toán Cauchy phương trình vi phân thường” Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức toán Cauchy phương trình vi phân thường Đồng thời sử dụng thuật toán Maple ứng dụng vào để giải toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức phương trình vi phân thường 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các toán Cauchy phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về: Bài toán Cauchy phương trình vi phân thường Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tổng kết tài liệu Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Một số phương pháp giải toán Cauchy phương trình vi phân thường Chương 3: Ứng dụng Maple để giải toán Cauchy phương trình vi phân thường Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm số gần sai số 1.1.1 Số gần 1.1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong tính toán, ta thường phải làm việc với giá trị gần đại lượng Ta nói a số gần a* , a không sai khác a* nhiều Đại lượng : a a* gọi sai số thật a Do ta biết a , a* nên ta Nhưng ta tìm a , gọi sai số tuyệt đối a thỏa mãn điều kiện: a a* a a* a hay a a a Sai số tương đối a a : a a Ví dụ Giả sử a* thể lấy , a 3.14 Do 3.14 a* 3.15 3.14 0.01 nên ta có a 0.01 Mặt khác, 3.14 3.142 3.14 0.002 coi a 0.002 1.1.1.2 Sai số thu gọn Giả sử a số bất kỳ, a biểu diễn dạng: a p10 p p 110 p p s10 p s (i i Nếu p 1, p s); p s p s số nguyên p a số nguyên, 0) s có phần lẻ gồm m chữ số, m( m , a số thập phân vô hạn s Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số ngắn gọn gần với a Qui tắc thu gọn: Giả sử a p10 p j 10 j ta giữ lại số hạng thứ j Gọi phần vứt bỏ a p10 ± đó: p j 110 j p s 10 p s , ta đặt: ° 10 j j j j j 0,5 10 j ° j Nếu j, j chẵn ° j 1, tính toán với số chẵn tiện số tiện Ví dụ ; 3.141592 ; 3.14159 ; 3.1416 ; 3.14 ; 23.1 ; 43.1 ; Sai số thu gọn a số thỏa mãn điều kiện: a a Vì p j10 p j 110 p10 a nên a a p10 ( j °) a j j ° 10 j j 0.5 10 j Sau thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên: a* a a* a a a a a j lẻ 1.1.1.3 Chữ số Định nghĩa Chữ số có nghĩa chữ số khác ''0'' ''0'' , kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng giữ lại 1.1.1.4 Sai số tính toán Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y f ( x1, x2 , , xn ) Gọi xi* , y* (i 1, n) xi , y (i 1, n) giá trị gần đối số hàm số Nếu f khả vi liên tục y y * f ( x1, , xn ) f ( x1* , , xn* ) n ' f i xi xi* , i ' f i đạo hàm f f tính điểm trung gian Do liên tục xi xi xi bé ta coi n fi ' ( x1, , xn ) xi , y i y n y y xi i ln f xi Sau sai số phép tính bản: a) Sai số phép cộng trừ Vì n y y xi xi ; i n nên y xi i Giả sử xm max xi i n chữ số cuối xm hàng thứ k , nghĩa xm 10k Ta có xm 10k làm phép cộng đại số, nên qui tròn xi đến mức y giữ lại chữ số hạng bên phải thứ k Chú ý Trong trường hợp tổng đại số nhỏ, nghĩa y = n y i xi ? , kết không xác Cho nên tính toán y nên tránh công thức có hiệu hai số gần Nếu không tránh cần lấy số với nhiều chữ số để hiệu chúng có thêm chữ số b) Sai số phép tính nhân chia Giả sử x1 x p y x p xn Khi p n ln y ln xi ln x j i j p suy n y xi i Gọi xm max xi xi k , i n 10 BẢNG y x … … xn … … yn n xn yn n n xn n n n n yn xn yn n n n Xét thuật toán phương pháp nội suy Adams yn yn 19 720 n n n 160 12 n n 24 ck hn (18) k n k Rk , đó: i hf ( xi , yi ), ck u (u 1) (u k 1) du k ! Để tìm số hạng R k , ta có đánh giá sau: hk 2ck 1M k Rk : Mk max y ( k 2) ( x) x0 x X Phương pháp Adams sử dụng rộng rãi với tất hệ phương trình vi phân bấc Ví dụ 2.4.2 28 Áp dụng phương pháp Adams, tìm nghiệm phương trình vi phân y ' y x x, x với điều kiện ban đầu y (1) điểm x=1, x=1,7 Lời giải Giá trị y(x) điểm x=1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 tính phương pháp Runge-Kutta (bảng 4) Kết tính toán trình bày bảng BẢNG k xk yk 1,0 1,1 0,115323 0,147215 0,1309678 327885 16687 -1287 185 1,2 0,262538 0,180850 0,1637563 344572 15400 -1102 151 1,3 0,443388 0,216087 0,1982135 459972 14288 -951 135 1,4 0,659475 0,252808 0,2342107 374270 13347 -967 156 1,5 0,912283 0,290912 0,2716377 387617 13391 -811 143 1,6 0,203195 0,290899 0,3103994 387601 12520 -884 1,6 1,203182 0,330302 0,3103978 400121 12507 1,7 1,533484 0,330291 0,3504099 400108 1,7 1,533473 yk k 0,115325 0,100000 k k k k 309678 18027 -1520 233 0,3504086 Thứ tự điền bảng Điền vào bảng giá trị x 1,0;1,1; ;1,5 tương ứng với giá trị yk (k= 0, 1, 2, …, 5) tính theo phương pháp Runge-Kutta, tìm f ( xk , yk ), k hf ( xk , yk ) tập hợp vào bảng sai phân hữu hạn Chỉ đưa vào bảng trị số có giá trị sai phân hữu hạn, không đưa giá trị không cần thiết 29 Theo y6 công y5 thức với (16) tìm 0,290912 , tính y5 1,203195 Dựa vào x6 y6 , tìm y '6 6, k 5, , f ( x6 , y6 ) 3,103978 , viết kết tính Theo công thức (18), n 5, tính giá tr $ y 1,203182 Tiếp tục để tính bước Trong trình tính toán, sử dụng lại sai phân hữu hạn 2.5 Phƣơng pháp lƣới để giải toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân thƣờng Nội dung phương 2.5.1 pháp Cho đoạn D [a, b] ta thiết lập toán Cauchy cho phương trình vi phân thường (hoặc hệ phương trình), phương trình cần thỏa mãn nghiệm nằm đoạn D Bài toán viết dạng đẳng thức kí hiệu: Lu (19) f, : L _toán tử vi phân cho trước, f _phần bên phải cho trước Ví dụ 2.5.2 Để viết toán d 2u dx x2 u với x x x2 u (0) 0, du (0) dx 30 (20) dạng (19) cần đặt d 2u x u, dx u (0) du (0) , dx Lu x f x x2 0, (21) Tập hợp điểm hữu hạn đoạn D gọi lưới Dh Thành phần điểm tập hợp gọi lưới nhỏ Tùy thuộc vào nghiệm gần toán (vi phân) (19), tính gần hàm số lưới [u]h sở vận dụng đẳng thức (19), lập hệ phương trình để tượng trưng viết dạng đẳng thức: Lhu ( h) f ( h) (22) Bài toán (20) viết thành toán vi phân : un u0 2u n un h2 u u0 h (nh) 1un (n 1, , N 1) h nh (nh) , N , (23) 1, đặt un Lhu h 2un h2 un u0 (nh) 1un n 1, N u1 u0 h 31 nh (nh)2 1, k n 1, , N fh ta nhận (22) Các toán tử L, Lh tương ứng gọi toán tử vi phân toán tử sai phân Người ta cho toán sai phân (22) xấp xỉ với toán (19) nghiệm u , đẳng thức Lh u f ( h) h f ( h) sai số kép f ( h ) nảy sinh phép u h (22), thỏa mãn điều kiện: h f (h) Nếu Fh c1hk , (24) c1 -là số, không phụ thuộc vào h Bài toán sai phân (22) gọi ổn định tồn số mãn bất đẳng thức f ( h) Fh h0 , cho với h < h0 h , toán sai phân Lh z f (h) f ( h ) thỏa f ( h ) có nghiệm nhất, thêm vào đó: z ( h) u ( h) c2 (25) f ( h) , c2 -là số, không phụ thuộc vào h Nếu hàm số u ( h ) thỏa mãn điều kiện u h u ( h ) uh h nghiệm toán (22) tiến đến nghiệm (19) nút lưới Nếu u h u ( h) uh chk , c số, không phụ thuộc vào h hội tụ có bậc k theo h 32 Định lí Phương trình vi phân (22) xấp xỉ với toán (20) nghiệm u h với bậc k theo h h không đổi Khi nghiệm u ( h ) toán vi phân (22) tiến đến u h , thêm vào đó, có đánh giá: u h u ( h ) uh c1c2hk , c1, c2 –số hạng, đánh giá (24), (25) 33 Chƣơng ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Sử dụng Maple V tìm nhiều nghiệm nhiều phương trình vi phân thường, phương trình vi phân với điều kiện ban đầu 3.1 Cách sử dụng Để tìm nghiệm phương trình vi phân thường Maple, trước tiên ta khởi động chương trình lệnh: [ restart; Và nạp gói công cụ DEtools, sau giải phương trình vi phân thường lệnh: with (DEtools): Sau nạp gói công cụ DEtools, ta cần khai báo cho máy chạy dòng lệnh dsolve ({deq, x(t0 ) x0} : Error, (in pdsolve/ sys / info) not an ODE system with respect to the unknows [x(t)]: Trong đó, deq (viết tắt differential equation) phương trình vi phân cần giải, x(t) nghiệm, x(t0 ) x0 điều kiện ban đầu (Khi điều kiện ban đầu, Maple tự động sinh số c1 kết quả) Sau dấu “;’’ ấn phím “Enter”, hình đáp số, tức nghiệm phương trình vi phân cần giải 34 Sau vào giải số tập để thấy rõ ứng dụng Maple 3.2 Bài tập Chúng ta sử dụng lệnh [> dsolve (deq, x(t0) = x0,{x(t)}); 3.2.1 Bài tập Giải phương trình: dx dy xy với điều kiện ban đầu y (0) phương pháp Euler Giải Khai báo vế phải phương trình (hàm f): f : ( x, y ) f : ( x, y ) x* y xy Khai báo bước nội suy h: [> h : 0,1; Khai báo thủ tục tính giá trị y(n) theo công thức Euler: [> x : n n * h ; x: n nh [>y:= proc(n) option remember; y (n 1) h * f ( x(n 1), y (n 1)); [>end; y:= proc (n) option remember, y (n 1) h * f ( x(n 1) y(n 1)) end proc Khai báo giá trị đầu: [> y (0) : ; y (0) : 35 Lập dãy giá trị y rừ tới 10: y(i), i=0……10 :; [>seq (y(i), i=0………10); 1, 1, 1.01, 1.0302, 061106, 1.10355204, 1.158727752, 1.228251417, 1.314229016, 1.419367337, 1.547110397 Tìm nghiệm phương trình: [>sol:= dsolve ({diff (Y ( X ), X ) X * Y ( X ),Y (0) ,Y ( X ) ; sol:= Y ( X ) e ) [>assign (sol); Lập bảng để so sánh giá trị gần phương trình: [>array ([seq (n, y(n), evalf (subs (X = n/10, Y(x)))]; n=0….10)]); n y(n) Nghiệm 1 1 1,005012521 1,01 1,020201340 1,0302 1,046027860 1,061106 1,083287068 1,10355024 1,133148453 1,158727752 1,197217363 1,228251417 1,277621313 1,314229016 1,377127764 1,419367337 1,499302500 10 1,547110397 1,648721271 3.2.2 Bài tập Dùng thuật toán Maple V giải phương trình sau: 36 a) y ' y (1 x) y , b) y ' xy , y(0) c) y ' x2 d) y ' y 2, y ( 1) xy x y (1) , y(0) Giải a) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq1:= D(y)(x)= y+(1+x)*y^2; {lệnh để gán cho phương trình cần giải} Sau ấn phím Enter, hình xuất hiện: Diff_eq1:=D(y)(x)= y+(1+x)y2 [>init_con:=y(1)= 1; {lệnh nhập điều kiện ban đầu} Sau ấn phím Enter hình xuất hiện: Init_con:=y(1)= [>dsolve ({diff_eq1, init_con}, {y(x)}); {lệnh để giải phương trình} Kết quả: y ( x) x b) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq2:= D(y)(x)= (x*y)/2; [> init_con:= y(0)=1; [> dsolve ({diff_eq2, init_con}, {y(x)}); 37 Kết quả: y ( x) x2 e4 c) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq3:= D(y)(x)= x*x y 2; [> init_con:= y( 1)=3; [> dsolve ({diff_eq3, init_con}, {y(x)}; Kết quả: y ( x) x2 2x d) Ta thực lệnh sau: [> diff_eq4:= D(y)(x):=(x*y)/sqrt (1 x^2) [> init_con:= y(0)=exp(1); [> dsolve ({diff_eq4, init_con}, {y(x)); Kết quả: y( x) e x2 3.2.3 Bài tập Giải phương trình biến số phân ly sau dx dt t Giải [> dsolve (D (x) (t) = 2/(t^2), {x(t)}); 38 x(t) = ln( t 2) ln(t 2) C1 3.2.4 Bài tập Giải phương trình vi phân sau ' x (t ) t ( x3 1) (t 1) x Giải [> dsolve (D ( x)(t ) ((t * ( x ^ 1)) / ((t ^ 1) * x)),{x(t )}; ln( x(t ) 1) ln(t 1) ln( x (t ) x(t ) arctan( (2 x(t ) 1) 3) 3 (t 1) C1 3.2.5 Bài tập Giải phương trình Bernoulli sau t dx dt 4x t 2x Giải [> Dsovle (t*D(x)(t)-4*x = t^2*x, {x(t)}); x(t ) C1t 4e1/2t 39 3.2.6 Bài tập Giải hệ phương trình sau dy dx dz dx z ( x) cos x y Giải  Gán tên sys cho hệ [> sys:= {diff (y(x),x) – z(x)= cos(x), diff(z(x), x)+y(x) = 1};  Gán tên cho nghiệm [> fcns:= {y(x), z(x)};  Giải hệ phương trình [> dsolveb(sys,fcns); 1 x cos x sinx 2 c1 sinx c2 cos x x sin x y ( x) c1 cos x c2 sinx z ( x) 40 KẾT LUẬN Giải gần toán Cauchy phương trình vi phân thường dạng toán phức tạp, việc tìm hiểu nghiên cứu cách sâu sắc không đơn giản Do điều kiện nghiên cứu nhiều hạn chế nên khóa luận em không đưa hết tất phương pháp để giải toán Cauchy phương trình vi phân thường Đồng thời việc đưa ứng dụng tin học vào giải toán tập khóa luận chưa phong phú hoàn thiện Do kiến thức thân nhiều hạn chế Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô ý kiến bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện nội dung phong phú 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chƣơng – Nguyễn Văn Khải – Khuất Văn Ninh – Nguyễn Văn Tuấn – Nguyễn Tƣờng (2001), Giải tích số Nhà xuất Giáo dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [4] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định Nhà xuất giáo dục 42 [...]... niệm khái niệm về phương trình vi phân thường 1.2.1.1 Phương trình vi phân thường cấp một Phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát: F ( x, y, y ') (1) 0 trong đó hàm F xác định trong miền D ¡ 3 Nếu trong miền D , từ phương trình (1) ta có thể giải được y ' : y' f ( x, y ) 15 thì ta được phương trình vi phân thường cấp một đã giải ra với đạo hàm Hàm y ( x) xác định và khả vi trên khoảng I... liên tục M với max f (t , x) (t , x ) R f (t , x) thỏa mãn b điều kiện Lipschitz (t , x), (t , y) R với N là hằng số thì tồn tại duy nhất nghiệm x (t ) của bài toán (3-4) xác định trên 0,T 1.2.3 Bài toán Cauchy đối với hệ hai phương trình vi phân dy dx dz dx f ( x, y, z ), y ( x0 ) y0 g ( x, y, z ), z ( x0 ) z0 18 Chƣơng 2 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG... 3,103978 , vi t kết quả và tính 2 Theo công thức (18), tại n 5, tính giá tr $ y 6 1,203182 Tiếp tục để tính các bước tiếp theo Trong quá trình tính toán, chúng ta sử dụng lại những sai phân hữu hạn 2.5 Phƣơng pháp lƣới để giải bài toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân thƣờng Nội dung phương 2.5.1 pháp Cho đoạn D [a, b] ta thiết lập bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường (hoặc hệ phương trình) , phương. .. các đạo hàm của hàm y ( x) Nghiệm của bài toán phương trình vi phân thường cấp n là hàm số y(x) thỏa mãn phương trình này với những giá trị x (a, b) hữu hạn hoặc vô hạn Tất cả các nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n có dạng: y y( x, c1 , , cn ) trong đó c1 , , cn là các hằng số tùy ý, mỗi giá trị của hằng số đều cho một nghiệm Trong bài toán Cauchy (bài toán ban đầu) cần tìm nghiệm riêng thỏa... ( x0 ) y0 ; y ' ( x0 ) y '0 , , y n 1 ( x0 ) y0n 1 1.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp một Xét bài toán: x '(t ) f (t , x) x(0) x0 (t , x) R 0,T (3) (4) x0 r, x0 r Với 0,T cho trước hàm f (t , x) và x0 cho trước được gọi là bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường cấp một, điều kiện (4) được gọi là điều kiện Cauchy (hay điều kiện ban đầu) 1.2.2.1 Điều kiện Lipschitz... THƢỜNG Sử dụng Maple V chúng ta có thể tìm được nhiều nghiệm của nhiều phương trình vi phân thường, phương trình vi phân với điều kiện ban đầu 3.1 Cách sử dụng Để tìm nghiệm phương trình vi phân thường bằng Maple, trước tiên ta khởi động chương trình bằng lệnh: [ restart; Và nạp gói công cụ DEtools, sau đó giải phương trình vi phân thường bằng lệnh: with (DEtools): Sau khi nạp gói công cụ DEtools, ta... phương pháp 2.3.1 Xét bài toán Cauchy trên đoạn x0 , X cho phương trình vi phân y' (9) f ( x, y ) với điều kiện ban đầu: y( x0 ) (10) y0 Ta sẽ tìm được giá trị nghiệm gần đúng của bài toán này tại điểm cố định xi (i 1, , N ) của khoảng cho trước Chọn điều kiện đúng ta sẽ tính được: xi x0 ih, i 1, , N , h 0, N X x0 h Phương pháp Runge-Kutta cũng như phương pháp Euler -Cauchy đều là phương pháp giải toán. .. được gọi là nghiệm của phương trình (1) nếu: a ( x, ( x), '( x)) D với mọi x I b F ( x, ( x), '( x)) trên I Ví dụ Phương trình dy dx 2y có nghiệm là là hàm y ce2x xác định trên khoảng ( , ) ( c là hằng số tùy ý) 1.2.1.2 Phương trình vi phân thường cấp n Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình có dạng: F ( x, y ( x), y '( x), , y ( n ) ( x)) 0 (2) trong đó: x là biến số độc lập, y ( x) là hàm... hội tụ có bậc k theo h 32 Định lí Phương trình vi phân (22) xấp xỉ với bài toán (20) tại nghiệm u h với bậc k theo h và h và không đổi Khi đó nghiệm u ( h ) của bài toán vi phân (22) tiến đến u h , thêm vào đó, có đánh giá: u h u ( h ) uh c1c2hk , trong đó c1, c2 số hạng, trong đánh giá (24), (25) 33 Chƣơng 3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Sử dụng Maple V chúng... toán (9),(10) Phương pháp này còn được dùng để tính giá trị nghiệm gần đúng của bài toán cho trước tại xi 1 theo thông tin về nghiệm này trong lân cận điểm cho trước xi Nghĩa là sau giá trị gần đúng yi của giá trị tìm được tại điểm xi Xét phương pháp Runge-Kutta bậc 4 Đây là phương pháp phổ biến nhất để giải những bài toán với điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân thường Phương pháp trên cho ... Cauchy phương trình vi phân thường cấp 17 1.2.3 B ài toán Cauchy hệ hai phương trình vi phân 18 Chương 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG... chương: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Một số phương pháp giải toán Cauchy phương trình vi phân thường Chương 3: Ứng dụng Maple để giải toán Cauchy phương trình vi phân thường Chƣơng CÁC KIẾN... quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm toán Cauchy phương trình vi phân thường Nhưng biết số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác Trong phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ toán thực tiễn