Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Li cm n Sau mt thi gian mit mi nghiờn cu cựng vi s hng dn v ch bo tn tỡnh ca thy giỏo Ths Phm Lng Bng , khúa lun ca em n ó hon thnh Qua õy em xin by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh ti thy Phm Lng Bng ngi ó trc tip hng dn , ch bo v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu thi gian em thc hin khoỏ lun ny Em xin chõn thnh cm n cỏc thy giỏo , cụ giỏo khoa toỏn ó to iu kin tt nht cho em thi gian em lm khoỏ lun Do ln u tiờn lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu v nng lc ca bn thõn cũn nhiu hn ch nờn khụng th trỏnh nhng thiu sút Em rt mong nhn c s giỳp , úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn sinh viờn khoỏ lun ca em c hon thin hn Mt ln na em xin chõn thnh cm n ! H Ni ,ngy 10 thỏng nm 2008 Sinh viờn Trn c Hi - - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Li cam oan Khoỏ lun ny l kt qu ca bn thõn em quỏ trỡnh hc , nghiờn cu bc i hc Bờn cnh ú cng c s quan tõm , to iu kin ca thy cụ giỏo khoa toỏn , c bit l s hng dn tn tỡnh ca thy giỏo Ths Phm Lng Bng Vỡ vy em xin khng nh kt qu ca ti : Mt s phng phỏp gii toỏn cc tr ca hm s khụng cú s trựng lp vi kt qu ca ti khỏc H Ni, ngy 10 thỏng nm 2008 Sinh viờn Trn c Hi - - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Mc lc Trang M u Chng 1:Lý thuyt chung v bi toỏn cc tr ca hm s 1.1) nh ngha cc tr ca hm s 1.2) Cỏc tớnh cht Chng 2: S dng tớnh n iu vic gii bi toỏn cc tr ca hm s 2.1) C s lý thuyt 2.2) S dng tớnh n iu tỡm giỏ tr ln nht,nh nht ca hm s trờn D 2.2.1) Cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht,nh nht ca hm s khụng cú tham s 2.2.2 Cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht,nh nht ca hm 14 s cú tham s Chng 3: S dng nh lý Lagrange vic gii bi toỏn cc 18 tr ca hm s 3.1) C s lý thuyt 18 3.2) Phng phỏp chung 19 3.3) Bi 19 Chng 4: S dng bt ng thc Cauchy v Bunhiacopxki 23 vic gii bi toỏn cc tr ca hm s 4.1) Bt ng thc Cauchy 23 4.2) Bt ng thc Bunhiacopxki 32 Chng 5:Phng phỏp hm li vic gii bi toỏn cc tr 41 ca hm s 5.1 :Tp li v hm li - - 41 Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn 5.2) Bt ng thc Jexen 42 5.3)Bt ng thc Karamata 43 5.4) ỏp dng hm li tỡm giỏ tr lnnht,nh nht ca hm 44 5.4.1) S dng bt ng thc Jenxen 44 5.4.2) S dng bt ng thc Karamata 53 s Chng 6: Gii bi toỏn cc tr ca hm s bng giỏ tr 57 6.1 Phng phỏp chung 57 6.2 Bi dng 57 Chng : Gii bi toỏn cc tr ca hm s bng phng phỏp 64 hỡnh hc 7.1 C s lý thuyt 64 7.2 Bi dng 64 Kt lun 73 Ti liu tham kho 74 - - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn M u Trong chng trỡnh toỏn ph thụng cc tr l phn hp dn , lụi cun tt c nhng ngi hc toỏn v lm toỏn Cỏc bi toỏn ny rt phong phỳ v a dng Vỡ vy, cỏc bi toỏn cc tr ca hm s thng xuyờn cú mt cỏc kỡ thi ph thụng trung hc cng nh cỏc kỡ thi hc sinh gii v cỏc thi i hc , cao ng gii quyt nú ũi hi ngi hc toỏn v lm toỏn phi linh hot v dng mt cỏch hp lý tng bi toỏn Tt nhiờn ng trc mt bi toỏn cc tr thỡ mi ngi u cú mt hng xut phỏt riờng ca mỡnh Núi nh vy cú ngha l cú rt nhiu phng phỏp i n kt qu cui cựng ca bi toỏn cc tr iu quan trng l ta phi la chn phng phỏp no cho li gii ti u ca bi toỏn Tht l khú nhng cng thỳ v nu ta tỡm c ng li ỳng n gii quyt nú Vi nhng lý trờn , s am mờ ca bn thõn cựng s hng dn nhit tỡnh ca thy thc s Phm Lng Bng tụi mnh dn thc hờn bi khoỏ lun ca mỡnh vi ta : Mt s phng phỏp gii bi toỏn cc tr ca hm s T ú giỳp nhng ngi hc toỏn v lm toỏn cú thờm cụng c gii quyt cỏc bi toỏn cc tr Khoỏ lun gm chng Chng 1:Lý thuyt chung v bi toỏn cc tr ca hm s Chng 2: S dng tớnh n iu vic gii bi toỏn cc tr ca hm s Chng 3: S dng nh lý Lagrange vic gii bi toỏn cc tr ca hm s Chng 4: S dng bt ng thc Cauchy v Bunhiacopxki vic gii bi toỏn cc tr ca hm s Chng 5:Phng phỏp hm li vic gii bi toỏn cc tr ca hm s - - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Chng 6: Gii bi toỏn cc tr ca hm s bng giỏ tr Chng : Gii bi toỏn cc tr ca hm s bng phng phỏp hỡnh hc Trong cỏc chng 2,3,4,5,6,7 thỡ sau phn trỡnh by lý thuyt l mt s bi a nhm minh ho cho lý thuyt ó a trờn Do trỡnh v kinh nghim cũn hn ch nờn bi lun ny cũn nhiu hn ch , khú trỏnh nhng sai sút Em rt mong c s gúp ý ca cỏc thy cụ khoa toỏn v cỏc bn sinh viờn Em xin chõn thnh cm n ! H Ni ,thỏng nm 2008 Sinh viờn Trn c Hi - - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Chng 1: Lý thuyt chung v bi toỏn cc tr ca hm s 1.1 nh ngha cc tr ca hm s nh ngha 1.1 Cho hm s f(x) xỏc nh trờn D + M giá trịlớ n hàm số f (x) (kh M=maxf(x) ) thỏa mã n hai xẻ D điều kiện * f(x) M , x D * x0 D cho M=f(x0) + m giá trịbénhất hàm số f (x ) (kh m=minf(x) ) thỏa mã n hai xẻ D điều kiện * f(x) m , x D * x0 D cho m=f(x0) nh ngha 1.2 Cho hm s f(x) xỏc nh trờn D , x0 D Ta núi rng f(x) t cc tiu a phng ti x0 nu nh tn ti lõn cn V x cho f x f x , x D V x Hm s f(x,y) xỏc nh trờn D c gi l t cc tiu a phng ti (x0,y0),(x0,y0) D nu nh tn ti lõn cn V x ,y cho f x,y f x 0,y , x,y D V x 0,y Tng t ta cú nh ngha hm s t cc i a phng trờn xỏc nh ca nú Nhn xột :Nu f(x) t cc tiu a phng ti x0 D thỡ núi chung ta cú f x m minf x xD - - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Nu f(x) t cc i a phng ti x0 D thỡ ta cú f x M max f x xD Vy giỏ tr ln nht (nh nht) ca hm s f khụng trựng vi cc i a phng (cc tiu a phng) trờn mt xỏc nh D no ú 1.2 Cỏc tớnh cht nh lý 1.1 :Hm s f(x) liờn tc trờn mt on [a,b] thỡ t giỏ tr ln nht,nh nht trờn on ú nh lý 1.2 : Cho hm s f(x) xỏc nh trờn D v A,B l ca D A B Ngoài maxf(x) , maxf(x) , minf(x) , minf(x) xA xB xA xB Khi ú ta cú: max f x maxf x xA x B f x minf x xA xB (1.1) (1.2) Ta ch cn chng minh (1.1) ,cũn (1.2) chng minh tng t Tht vy ,gi s max f (x) = f (x0) , x0 A Do A B ,nờn t x0 A ta suy x B T ú theo nh ngha ta cú f(x ) max f x hay max f x max f x xB x A x B nh lý 1.3 : Gi s hm s f(x) xỏc nh trờn D Khi ú ta cú max f x =-min -f x xD xD Tht vy gi s M = max f(x) , x D (1.3) Khi ú theo nh ngha giỏ tr ln nht ta cú f x M,x D f x M, x D - - f x M,x D f x M, x D Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn iu ny theo nh ngha giỏ tr nh nht cú ngha l min(-f(x))=-M (1.4) T (1.3) v (1.4) ta cú iu phi chng minh Nhn xột : nh lý ny cho phộp ta chuyn bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht v bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht ca hm s v ngc li nh lý 1.4 : Gi s f(x),g(x) l hai hm s cựng xỏc nh trờn D v tho iu kiện f x g x , x D Khi ta có max f x maxg x xD xD Chng minh: Gi s max g(x) = g(x0), x0 D T gi thit ta cú f x g x (1.5) Vỡ x0 D ,nờn theo nh ngha giỏ tr ln nht ta cú f x maxf x xD (1.6) Từ (1.5) (1.6) ta suy max f x maxg x xD xD Ta cú nhn xột :t gi thit max f(x) maxg(x), x D ,núi chung ta khụng th suy f x g x , x D nh lý 1.5 :(nguyờn lý phõn ró ) :Gi s hm s f(x) xỏc nh trờn D v D c biu din di dng D D1 D2 Dn Gi thit tn ti max f x , f x i=1,n Khi ta có x Di x Di max f (x) max maxf(x),maxf(x), ,maxf(x) xD x D1 x D2 x Dn (1.7) minf (x) minminf(x),minf(x),,minf(x) xD x D1 x D2 x Dn (1.8) Chng minh :Tht vy theo nh lý 1.2 v Di D vi i 1,n nờn ta cú - - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn maxf x maxf x x Di xD max maxf(x),maxf(x),,maxf(x) maxf(x) x D1 x D2 x Dn x D Mặ t c ta coi (1.9) (1.10) maxf x f x ,x D xD Li x0 D , D D1 D2 Dn nờn tn ti k (1 k n) cho x Dk Theo định nghĩa ta có f x maxf x max maxf(x),maxf(x),,maxf(x) x Dk x D1 x D2 x Dn Vậy maxf x max maxf(x),maxf(x),,maxf(x) (1.11) xD x D1 x D2 x Dn T (1.10) & (1.11) ta cú iu phi chng minh Chỳ ý :Nguyờn lý phõn ró núi trờn cho phộp ta bin bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht,nh nht ca hm s trờn xỏc nh phc thnh mt dóy cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca hm s trờn n gin hn - 10 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn 2 y 2 y 1 2 y0 5 y y Vy giỏ tr ca hm s l 2 y0 Ymax=1 t c x = , Ymin = 3-2 t c x= x px q Bi 6.5 : Cho hm s f x x2 Tìm p ,q :max f (x) = 9,minf (x) = - xẻ Ă xẻ Ă Gii Gi y0 l giỏ tr tu ý ca hm s , ú phng trỡnh x px q y0 x2 (6.12) cú nghim n x Phng trỡnh (6.12) y x2 px y q (6.13) * Nu y0 = thỡ (6.13) cú nghim p hoc p = v q = * Nu y0 thỡ phng trỡnh ( 6.13) cú nghim 4y20 q y p2 4q Xột phng trỡnh 4t q t p2 4q (6.14) (6.15) Gi t1,t2 l nghim ca phng trỡnh (6.15) thỡ nghim ca bt phng trỡnh (6.14) theo n y0 l t1 y0 t Kt hp c hai trng hp thỡ ta thy phng trỡnh (6.13) cú nghim t1 y0 t ú t1 , t2 l hai nghim ca phng trỡnh (6.15) - 65 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn T ú max f x t , minf x t1 Nh vy bi toỏn tr thnh : Tỡm p ,q phng trỡnh (6.15) cú hai nghim va -1 Theo nh lý Viet iu ú xy q q p 4q p p Vy hai cp giỏ tr cn tỡm l q p q Bi 6.6 : Tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca hm s f x,y x2 y2 trờn D x,y : x y 4x 2y x y Gii Gi t0 l mt giỏ tr bt kỡ ca hm s f (x,y) trờn D iu ú chng t h phng trỡnh sau õy ( n x,y ) cú nghim x y t x y t 2 2 2 2 x y 4x y x y x y x y 4x 2 x y t 2 t 3t 4x (6.16) (6.17) (6.17) cú nghim n x thỡ ta phi cú iu kin l t 20 3t 5 t0 2 (6.18) t 20 3t Vi iu kin ( 6.18 ) gi x0 l nghim ca (6.17) suy x thay vo (6.16) ta c 4y2 t 20 t (6.19) Do t 20 t vi t nờn hin nhiờn vi iu kin (6.18) thỡ (6.19) cú nghim , ngha l (6.18) l iu kin h (6.16),(6.17) cú nghim Nh vy - 66 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn max f x,y D 5 , minf x,y 2 D Bi tng t dnh cho bn c x2 x Bi 6.7 :Tỡm giỏ tr ln nht,nh nht ca hm s y x x Hng dn : Lm tng t bi 6.3(s 1 : y maxf x 1, minf x ) 3 x x Bi 6.8 :Tỡm giỏ tr ln nht,nh nht ca hm s y x x Hng dn: 2t x 2 t2 Do x x nờn ta t vi t t x t2 7t 12t Khi ú ta cú y ,vi t Lm tng t nh cỏc bi trờn 5t 16t 7 ( /s :ymax= t=0 x=-3 ; ymin= t=1 x=1 ) x2 xy 2y2 Bi 6.9 :Tỡm giỏ tr ln nht,nh nht ca hm s A= x xy y2 7 7 t2 t x Húng dn: t t= ú A ( /s:Amax= ,Amin= ) 3 t t y Bi 6.10 : Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s f x,y x y Xột trờn D x,y : x2 4y2 Hng dn : Ta cng gi s t0 l giỏ tr tu ý ca hm s f(x,y) iu ú cú ngha l h sau õy ( n x, n y) cú nghim - 67 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn x y t 2 x y t x 4y 2 x y t x 4y x 4y T õy ta tỡm giỏ tr t0 ca tng h nh vy bi toỏn quay v dng bi 6.6 v ta ỏp dng nguyờn lý phõn ró ( nh lý 1.5 chng 1) tỡm tỡm giỏ tr ln nht ca hm s Chng : Gii bi toỏn cc tr ca hm s bng phng phỏp hỡnh hc 7.1 C s lý thuyt Bt ng thc tam giỏc 1.Vi im A, B , C bt kỡ ta luụn cú : + AB BC AC ( Du ng thc xy B nm on AC ) + AB AC BC ( Du ng thc xy C nm ngoi on AB ) Cỏch ỏp dng : + a hm s ó cho v dng : f x,y x a2 y b2 (a, b l cỏc hng s ) +Sau ú nh h trc to , chn im A , B , C cú to xỏc nh v cui cựng s dng hai bt ng thc trờn tỡm giỏ tr ln nht,nh nht ca hm s ABC :AB BC AC AB BC 7.2 Bi dng Bi 7.1 Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s f (x) = x - 6x + 34 - Gii - 68 - x - 6x + 10, " x ẻ Ă Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Ta cú: f x x x 25 x x 52 2 12 f Vi x 3, dng ABC vuụng ti A,AC 5,AB x Trờn cnh AC , ta ly im D cho AD Theo ớnh lý Pitago , ta cú: B BC AB2 AC2 x 52 BD AB2 AD2 x 12 x A D C Trong BCD , ta luụn cú BC BD DC x 52 x 12 Vy l x thỡ f x f x x Suy max f (x) = xẻ Ă Bi 7.2: Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s: f x x x x 3x , vi x ẻ Ă Gii 2 Ta cú th vit: f x x x 2 2 3 x x Vi hai im M x1;y1 ,N x2 ;y2 trờn mt phng to , y ta cú: O x C(x;0) - 69 - A( ; ) 2 x C0 B( ; ) 2 Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn MN x x1 y y1 2 Trờn mt phng to Oxy , t: A ; ; , C x;0 , B 2 2 CA x Khi ú ta cú: 2 CB x 2 AB 2 2 Vy: f x CA CB A,B,C , luụn cú bt ng thc: CA CB AB f (x) 2, " ẻ Ă Mt khỏc, gi s AB ct Ox ti C0 Ta cú: C0A C0B AB Nh vy, nu t x0 OC0 thỡ f x Do ú: minf (x)= 2, " x ẻ Ă Bi 7.3 Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s: f (x) = x2 + x + + x2 - x + " x ẻ Ă Gii Ta cú: f x x x x x 2 x x - 70 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Trong mt phng ta Oxy , xột cỏc im: 3 A ; ,B ; ,C x;0 2 2 Khi ú ta cú AC x y BC x AB 2 B x O x C 1 2 A A,B,C , ta luụn cú bt ng thc: AC BC AB ổ ỗỗx + ỗố 2 ổ 3ử ổ ổ 1ử 1ữ 3ữ ữ ỗ ỗỗữ ỗ ữ ữ + + x + 2, " x ẻ Ă ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ố 2ứ ỗố ứ 2ứ ốỗ ứ 2 f (x) 2, " x ẻ Ă Du = xy C AB , ta thy O AB C O Hay f 2 Vy: minf (x)= 2, " x ẻ Ă Bi 7.4 :Tỡm giỏ tr ln nht v nh nh nht ca hm s f x;y 4x 3y Xột trờn D x;y : x y 16 8x 6y - 71 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Gii x;y D , ta cú x y 16 8x 6y x 8x 16 y 6y x y 32 2 Vy x;y D l nhng im nm trờn ng trũn cú tõm I 4;3 , bỏn kớnh R Khi ú x;y D , ta cú: f x;y 4x 3y x2 y2 x y 16 2 Ni OI ct ng trũn D ti M 1,M Khi ú x;y D , ta cú: OM OM OI M 1I M x;y D y Mmin OM x;y D M max OM OM OI M 2I M x;y D M2 Mmax OM 64 x;y D I M1 Mt khỏc, ta cú: OM x y x y 64 O Suy ra: f x;y 36 f x;y 36; Mmin f x;y Vy: Mmax x;y D x;y D Bi 7.5: Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s f x,y,z,t x 2y z 2t xz yt trờn D x,y,z,t : x y z2 t Gii - 72 - x Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Ta cú th vit li hm f x,y,z,t nh sau f x,y,z,t x y 2 z t 2 2 x y t 2 x,y,z,t D thỡ im M x;y ,N z;t nm trờn ng trũn ti gc O bỏn kớnh R h trc to Oxy , xột im P( 1; 2) Vy P (1; 2) cng nm trờn ng trũn D y Khi ú, ta cú: x y 2 x z y t 2 z t 2 2 MP NP MN P(1;2) x M O vi x;y;z;t D M Do MNP ni tip ng trũn 0; , m mt tam giỏc ni tip ng trũn nu tam giỏc ú l tam giỏc u thỡ tam giỏc ú cú chu vi ln nht MNP u , ni tip ng trũn cú bỏn kớnh thỡ cnh cú di: a 15 Vy: f x,y,z,t 30 30 max f x;y;z;t , x;y;z;t D 2 Bi 7.6.Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s: f (x,y,z,t) z2 t 2xz 2yt Xột trờn D (x,y,z,t) : x y , z2 t v Gii (x,y,z,t) D , ta cú: N0 f (x,y,z,t) (z x)2 (y t)2 x y v u2 N(z;t) (z x)2 (y t)2 M0 M(x;y) - 73 - O 1 u Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn (x,y,z,t) D thỡ hp nhng im M(x,y) nm trờn ng trũn tõm O(0;0), bỏn kớnh R = 1; Tp hp cỏc im N(z,t) nm trờn parabol: v=u2+3 Khi ú, ta cú: MN (z x)2 (t y)2 f (x,y,z,t) Vy: MN2 = M0N0 = , Vi M0(0;1) ; N0(0;3) Do ú, ta cú : f (x,y,z,t) 4.(x,y,z,t) D minf (x,y,z,t) D f (0,1,0,3) ,(0,1,0,3) D Bi 7.7: Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s: f(x,y,z) = x (1 y) +y(1 z) + z( 1- x) Xột trờn D (x,y,z) ; x 1; y 1; z Gii Dng ABCu vi cnh bng ú: SABC Trờn AB, BC, CA ta ln lt t cỏc on: A AM = x ; BN = z ; CP = y Do x,y,z nờn M cú th trựng A hoc B x P M y N cú th trựng B hoc C P cú th trựng C hoc A Lỳc ny, ta cú: B z SAMP AM.AP.sin 3 SAMP x.(1 y) x(1 y) 2 - 74 - N C Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Hon ton tng t, ta cú: SBMN z(1 x) SCNP y(1 z) Mt khỏc, ta cú: SCNP SBMN SCNP SABC 3 3 x y z1 x y z x,y,z D 4 4 x y z1 x y z x,y,z D f x,y,z , x,y,z D Do ú max f x,y,z Vậy f 1,0,0 x,y,zD Bi tng t Bi 7.8 Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s : f (x;y) x y Xột trờn : D (x;y) : x 2y 0;x y 0;2x y max f (x;y) 20; (x;y) f (x;y) ( s (x;y) D D Bi 7.9 Cho hm s f (y) = 16 ) y - 4y + + y - 6y + 10 " y ẻ Ă Tỡm giỏ tr nh nht ca hm f (y) Hng dn Hm s f (y) c vit li di dng f (y) = 2 (y - 2) + 22 + (y - 3) + 12 Sau ú h trc to ta chn cỏc im A 1;2 ;B 2;3;M 1;y , ỏp dng bt ng thc tam giỏc AM BM AB Suy giỏ tr nh nht ca f (y) ( s minf (y) = 10 ) Ă - 75 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Bi 7.10 Cho hm s f (x) = x2 + + x + 16 " x ẻ Ă Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s f (x) Hng dn : Trong h to Oxy , xột cỏc im A 0;3 ;B 0;4 ;M x;0 ỏp dng bt ng thc tam giỏc AM BM AB T ú suy giỏ tr nh nht ( s minf (x) = ) Ă Bi 7.11 : Cho hm s f (x) = x - 6x + 13 + x - 12x + 45 " x ẻ Ă Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s f (x) Hng dn : Ta vit li hm f (x) = 2 (x - 3) + + (x - 6) + Trong h to Oxy , xột cỏc im A 3;4 ;B 6; 1;M x;2 ỏp dng bt ng thc tam giỏc AM BM AB ( s minf (x) = 34 ) Ă Bi 7.12 Cho hm s f (x)= 2x2 - 10x + 25 + 2x2 - x + 24 " x ẻ Ă Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s f (x) Hng dn : Ta vit li hm f (x) = ( (x - 5) + x + ) - x + x2 Trong h to Oxy , xột cỏc im A 0;5 ;B 6;0 ;M x;x ỏp dng bt ng thc tam giỏc AM BM AB suy giỏ tr nh nht ( s minf (x) = ) Ă Bi 7.13 Cho hm s f (x) = 5x - 8x + 13 + 5x - x + " x ẻ Ă Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s f (x) Hng dn : Ta vit li hm f (x) = 2 2 (x + 2) + (3 - 2x) + (x - 2) + (- 2x) - 76 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Trong h to Oxy , xột cỏc im A 2; ;B 2;2;M x;2 2x ỏp dng bt ng thc tam giỏc AM BM AB suy giỏ tr nh nht ( s minf (x) = ) Ă Bi 7.14 Cho hm s f (x) = 10x - 12x + 10 + 10x - 20 x + 20 " x ẻ Ă Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s f (x) 2 2 Hng dn : Ta vit li f (x) = (x - 3) + (3x - 1) + (x + 2) + (3x - 4) Trong h to Oxy , xột cỏc im A 3;2 ;B 2; ;M x;31 x ỏp dng bt ng thc tam giỏc AM BM AB suy giỏ tr nh nht ( s minf (x) = ) Ă - 77 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Kt lun Chỳng ta ó bit cỏc bi toỏn tỡm cc tr l cỏc bi toỏn rt phong phỳ v a dng , ũi hi dng kin thc mt cỏch linh hot Vỡ vy õy l ni dung rt ỏng lo ngi ca ngi hc toỏn v lm toỏn Trong khoỏ lun ny em ó a mt s cụng c gii quyt bi toỏn tỡm cc tr ca hm s Mc dự bi toỏn cc tr cú rt nhiu phng phỏp gii nhng khuụn kh ca khoỏ lun v nng lc ca bn thõn cũn nhiu hn ch nờn khoỏ lun ca em cha nờu ht c y v h thng cỏc phng phỏp gii chỳng Hn na õy l ln u tiờn em c lm quen vi nghiờn cu khoa hc nờn quỏ trỡnh thc hin ti , em khụng trỏnh nhng thiu sút Em kớnh mong cỏc thy cụ giỏo cựng ton th cỏc bn sinh viờn úng gúp ý kin bi khoỏ lun ca em c hon thin hn Mt l na em xin chõn thnh cm n thy Phm Lng Bng ó giỳp em hon thnh khoỏ lun - 78 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Ti liu tham kho 1. Vn Lu,Phan Huy Khi , Gii tớch li, Nxb khoa hc v k thut , H Ni Phan Huy Khi (2002), Cỏc bi toỏn cc tr ca hm s, Nxb H Ni Vừ Giang Mai , Vừ Khc Thng ,Lờ Quang Tun , ng dng cỏc tớnh cht ca hm s gii bi toỏn :Bt ng thc , tỡm giỏ tr ln nht , tỡm giỏ tr nh nht , Nxb Thanh Hoỏ - 79 - [...]... ,cú bng bin thiờn : 2 m1 2 1 F t - 0 + 0 F t m 1 4 m 1 ,1 t m 1 minF t F 4 2 m1 0 Kt lun minf x m 12 m1 4 2 - 19 - 2 Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Bi 2.5 Cho hàm số f x x3 3x 2 m , xét đại l- ợ ng sau :P m =max f x 1 x 3 Tỡm m P(m) nhn giỏ tr bộ nht Gii : t x 0 g x x3 3x 2 m g x 3x 2 6x 0 x 2 Ta cú bng bin thiờn : x -1 g x 0 - 0 2... hm s trờn min D 4 Gii 1 sin2x sinx cosx 1 tanx 1 sin2x sinx cosx 2 1 tanx 2 2 Ta cú t t 2 1 tanx , khi ú t 0 x suy ra 1 t 1 tanx 4 - 18 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Bài toá n đ- ợ c đ- a vềtìm min f x minF t , F t t 2 m 1 t m xD 1 t Ta cú F t 2t m 1 ,F' t 0 cú nghim t m1 do ú s dn n hai 2 kh nng sau : a) nu t m1 1 tc m 1 ,ta cú bng bin thiờn ... hm s f(x) xỏc nh trờn D + M giá trịlớ n hàm số f (x) (kh M=maxf(x) ) thỏa mã n hai xẻ D điều kiện * f(x) M , x D * x0 D cho M=f(x0) + m giá trịbénhất hàm số f (x ) (kh m=minf(x) ) thỏa mã... p số minf x,y ; ming x,y 2 x,y D x,y D Bi 4.19 Cho hm s f x,y,z x2 y2 z2 Xột trờn D x,y,z : x 0,y 0,z 0,x 2009 y 2009 z2009 Tìm giá trịlớ n f(x,y,z) miền D Đ p số. .. m1 Kt lun minf x m 12 m1 - 19 - Khoỏ lun tt nghip Trn c Hi _K30D_Toỏn Bi 2.5 Cho hàm số f x x3 3x m , xét đại l- ợ ng sau :P m =max f x x Tỡm m P(m) nhn giỏ tr nht Gii