Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ THÚY MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Thạc sĩ NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI – 2010 Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với hƣớng dẫn bảo tận tình cô giáo, Thạc sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga, khóa luận em đến hoàn thành Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Kiều Nga, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn bào cho em nhiều kinh nghiệm quí báu thời gian em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô khoa Toán tạo điều kiện tốt cho em thời gian em làm khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế nên có nhiều cố gắng song không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Trần Thị Thúy Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Tôi khẳng định rằng: Đây công trình nghiên cứu riêng tôi, nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức học tài liệu tham khảo Nó không trùng với kết ngƣời khác Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Trần Thị Thúy Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mục lục TRANG Mở đầu Chƣơng : Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số đơn điệu đoạn 1.2 Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu đoạn [a,b] 1.3 Cực trị hàm số 1.4 Định lí Lagange 1.5 Tập lồi hàm lồi, tính chất 10 Chƣơng 2:Một số phƣơng pháp tìm giá trị lớn hàm số 2.1 Sử dụng tính đơn điệu việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hám số 15 2.2 Sử dụng định lí Lagange 27 2.3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacôpxki toán cực trị hàm số 32 2.4.Phƣơng pháp hàm lồi 49 2.5.Phƣơng pháp miền giá trị 63 2.6.Phƣơng pháp hình học 72 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chƣơng trình toán phổ thông, toán giá trị lớn giá trị nhỏ toán hấp dẫn, lôi tất nhứng ngƣời học Toán làm Toán Các toán phong phú đa dạng toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số thƣờng xuyên có mặt kỳ thi phổ thông trung học, nhƣ kỳ thi học sinh giỏi kì thi Đại học, cao đẳng Để giải đòi hỏi ngƣời học Toán làm toán phải linh hoạt vận dụng cách hợp lý toán Tất nhiên đứng trƣớc toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ngƣời có xu hƣớng xuất phát riêng Nói nhƣ có nghĩa có nhiều phƣơng pháp để đến kết cuối loại toán Điều quan trọng phải lựa chọn phƣơng pháp cho lời giải tối ƣu toán Thật khó nhƣng thật thú vị ta tìm đƣợc đƣờng lối đắn để giải Với lý trên, đam mê thân, với hƣớng dẫn nhiệt tình cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga, em mạnh dạn thực khóa luận tốt nghiệp với tựa đề: “MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số phƣơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Đối tƣợng nghiên cứu Các toán tìm giá trị lớn nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số chƣơng trình toán THPT Phƣơng pháp nghiên cứu Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Đọc tài liệu, phân tích so sánh, tổng hợp CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm số đơn điệu đoạn Đị nh nghĩ a 1.1: Cho hàm số f  x  xác định  a; b  với mọi x1 , x2   a; b giả sử x1  x2 + Nếu f  x1   f  x2  f  x  đƣợc gọi là hàm tăng (đồng biến )  a; b  + Nếu f  x1   f  x2  f  x  đƣợc gọi là hàm không giảm  a; b  + Nếu f  x1   f  x2  f  x  đƣợc gọi là hàm giảm (nghịch biến)  a; b  + Nếu f  x1   f  x2  f  x  đƣợc gọi là hàm không tăng  a; b  - Các hàm số đƣợc gọi chung là các hàm số đơn điệu một khoảng - Hàm số tăng giảm khoảng đƣợc gọi hàm đơn điệu thƣ̣c sƣ̣ khoảng ấy 1.2 Điều kiện cần và đủ để hàm số tăng hoặc giảm (đơn điệu)  a; b Giả sử hàm số y  f  x  liên tục  a; b có đạo hàm hữu hạn  a; b  đó: a) Nếu f  x  hàm tăng (giảm)  a; b f '  x    f '  x   0 , x   a; b  b) Nếu f '  x    f '  x   0 , x   a; b  f  x  hàm tăng (giảm)  a; b Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1.3 Cƣ̣c trị của hàm số 1.3.1 Đị nh nghĩ a cƣ̣c trị Đị nh nghĩ a 1.2: Cho hàm số f  x  xác định miền D M giá trị lớn hàm số f  x  (kí hiệu M  max f  x  ) nếu xD thỏa mãn hai điều kiện:  f  x   M , x  D  Tồn x0  D cho M  f  x0  m giá trị nhỏ hàm số f  x  (kí hiệu m  f  x  ) nếu xD thỏa mãn hai điều kiện:  f  x   m, x  D  Tồn x0  D cho m  f  x0  Đị nh nghĩ a 1.3: Cho hàm số f  x  xác địn h miền D , x0  D Ta nói rằng f  x  cƣ̣c tiểu đị a phƣơng tại x0 nếu nhƣ tồn tại lân cận V  x0  cho: f  x   f  x0  , x  D  V  x0  Hàm số f  x, y  xác định D đƣợc gọi là đạt cƣ̣c tiểu đị a phƣơng  x0 ; y0   D nếu nhƣ tồn tại lân cận V  x0 , y0  cho: f  x, y   f  x0 , y0  ,   x; y   D  V  x0 , y0  Đị nh nghĩ a hàm số đạt cƣ̣c tiểu đị a phƣơng tập xác đị nh của nó một cách tƣơng tƣ̣ Nhận xét: Nếu f  x  đạt cƣ̣c tiểu đị a phƣơng tại x0  D nói chung ta có : f  x0   m , với m  f  x  xD Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Nếu f  x  đạt cƣ̣c đại đị a phƣơng tại x0  D ta có: f  x   M với M  max f  x  xD Vậy giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm s ố f không trùng với cƣ̣c đại đị a phƣơng (cƣ̣c tiểu đị a phƣơng) miền xác đị nh D 1.3.2 Điều kiện cần và đủ để hàm số có cƣ̣c trị đị a phƣơng Đị nh lý 1.1: (Điều kiện cần để hàm số có cực trị đị a phương) Nếu hàm số f  x  đạt cực trị đị a phương tại x0   a; b thì chỉ xảy các khả sau: a f  x  không có đạo hàm tại x0 b f  x  có đạo hàm tại x0 thì f  x0   Đị nh lý 1.2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm số có cực trị đị a phương) Giả sử hàm số f  x  liên tụ c  a; b có chứa điểm x0 và có đạo hàm khoảng  a; b  (có thể trừ tại điểm x0 ) a Nếu x qua x0 mà f '  x  đổi dấu từ dương sang âm thì f  x  đạt cực đại tại x0 b Nếu x qua x0 mà f '  x  đổi dấu từ âm sang dương thì f  x  đạt cực tiểu tại x0 c Nếu x qua x0 mà f '  x  không đổi dấu thì hàm số f  x  không đạt cực trị tại x0 Đị nh lý 1.3: (Điều kiện đủ thứ hai để hàm số có cực trị ) Giả sử f  x  có đạo hàm liên tục đến cấp ở lân cận của điểm x0 - Khi f '  x0   0, f ''  x0   thì f  x  đạt cực tiểu tại x0 - Khi f '  x0   0, f ''  x0   thì f  x  đạt cực đại tại x0 Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1.3.3 Một số tí nh chất Đị nh lý 1.4: Hàm số f  x  liên tục một đoạn  a; b thì đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đoạn đó Đị nh lý 1.5: Cho hàm số f  x  xác đinh miền D và A, B là tập của D đó A  B Ngoài tồn tại max f  x  ,max f  x  ,min f  x  ,min f  x  xA xA xB xB (i) max f  x   max f  x  Khi đó ta có: xA xB (i i) f  x   f  x  xA xB Chứng minh: Bây giờ ta chƣ́ng minh (i), (ii) chƣ́ng minh tƣơng tƣ̣ Thật vậy: giả sử max  f  x0  , x0  A xA Do A  B , nên tƣ̀ x0  A ta suy x0  B Tƣ̀ đó theo đị nh nghĩ a ta suy f  x0   max f  x  hay max f  x   max f  x  xB xA xB Đị nh lý 1.6: Giả sử hàm số f  x  xác định miền D Khi đó ta có: max f  x      f  x   xD xD Chứng minh: Thật vậy giả sƣ̉ M  max f  x  xD Theo đị nh nghĩ a GTLN ta có:  f  x   M , x  D  f  x    M , x  D     f  x0   M , x0  D  f  x0    M , x0  D Theo đị nh nghĩa GTNN, tƣ̀ hệ thƣ́c suy ra:   f  x     M xD Trần Thị Thúy K32D Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Nhƣ vậy ta có: max f  x      f  x   (đpcm) xD xD Nhận xét: Tính chất cho phép ta chuyển toán tìm GTLN thành toán tìm GTNN ngƣợc lại Đị nh lý 1.7: Giả sử f  x  , g  x  là hai hàm số cùng xác định D và thỏa mãn điều kiện f  x   g  x  , x  D Khi đó ta có: max f  x   max g  x  xD xD Chứng minh: Giả sử max g  x   g  x0  với x0  D xD Tƣ̀ gt ta có f  x0   g  x0  , x0  D (1) Vì x0  D nên theo đị nh nghĩ a GTLN f  x0   max f  x  (2) xD Tƣ̀ (1), (2) ta có max f  x   max g  x  Đó là điều phải chƣ́ng minh xD xD Đị nh lý 1.8: (Nguyên lý phân rã) Giả sử f  x  xác định miền D và miền D được biểu diễn dưới dạng D  D1  D1   Dn Giả sử tồn tại: max f  x  , f  x  , i  1, n xDi xDi Khi đó ta có:   f  x   min f  x  , f  x  , , f  x  max f  x   max max f  x  , max f  x  , , max f  x  xD xD xD1 xD1 xD2 xD2 xDn xDn (3) (4) Chú ý: Tƣ̀ tí nh chất này cho phép ta biến đổi bài toán tì m GTLN và GTNN của hàm số miền xác định phức tạp thành dãy toán tìm Trần Thị Thúy K32D Toán 10 Trường ĐHSP Hà Nội  x  3x 1  x  2 Khóa luận tốt nghiệp  y0 (14) (14)   x  3x  y0 1  x    y0  3 x   y0   x  y0   (15) TH1: y0    y0  đó (15) trở thành: x   x  Vậy (15) có nghiệm TH2: y0   đó (15) có nghiệm hệ sau:   y0  3 t   y0   t  y0   16  có nghiệm   t  Trƣớc hết để (16) có nghiệm  '   y0     y0  3  2  y0    y0  Khi đó theo đị nh lý Viét ta có: p   đó hai nghiệm của (16) dấu với Vậy để hệ phƣơng trình có nghiệm điều kiện là:  '     y0     y0    y0   s  y   2  y0   Kết hợp hai trƣờng hợp (16) có nghiệm Vậy max f  x   3, f  x      y0  x  px  q Bài 2.5.5 Cho hàm số f  x   x2  Tìm p, q : max f  x   9, f  x   1 x x Trần Thị Thúy K32D Toán 73 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Giải: Lấy y0 thuộc miền giá trị của hàm số Khí x  R để phƣơng trình: x  px  q  y0 (17) có nghiệm x2  (17)   y0  1 x  px  y0  q  (18) + Nếu y0  (18) có nghiệm p  hoặc p  0, q  + Nếu y0  (18) có nghiệm khi:  '   p   y0  1 y0  q    y02  y0  q  1   p  4q    (19)  Xét phƣơng trình 4t  4t  q  1  p  4q  (20) Gọi t1, t2 hai nghiệm phƣơng trình nghiệm của bất phƣơng trì nh (19) là: t1  y0  t2 Kết hợp cả hai trƣờng hợp ta thấy phƣơng trì nh (18) có nghiệm t1  y0  t2 tƣ̀ đó ta có max f  x   t2 ,min f  x   t1 Khi đó bài toán đã cho trở thành; tìm p, q để phƣơng trì nh (20) có nghiệm -1 Theo đinh lý Viét ta có: t1  t2  q   q     p  q    9  p  8 t t   1  p 8 Vậy có cặp giá trị cần tì m  ; q    p  8  q   Bài 2.5.6 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f  x, y   x  y miền D    x; y  :  x  y  1   4x2 y  x2  y  Giải: Trần Thị Thúy K32D Toán 74 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Gọi t0 giá trị hàm số f  x, y  miền D Điều đó tƣ́c là hệ phƣơng trì nh sau có nghiệm (ẩn x, y)  x  y  t0  2 x  y   4x2 y  x2  y      x  y  t0  2 2 2  x  y    x  y   x    x  y  t0   2  t0  3t0  x   Để (22) có nghiệm ẩn x  21  22  t02  3t0  0  t02  3t0    3 3  t0  2  23 t02  3t0  Thay x  vào (21) ta đƣợc: 4 y  4t0  t02  3t0   t02  t0  Do t02  t0   0, t0 nên hiển nhiên  21 đúng Vậy với điều kiện (23) hệ (21), (22) có nghiệm Nhƣ vậy miền giá trị của t0 là: M ax f  x, y   D 3 3  t0  2 3 3 , f  x, y   D 2 Bài tập tƣơng tự Bài 2.5.7 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y Trần Thị Thúy K32D Toán x   1 x 1 x   1 x 1 75 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Hướng dẫn: Do    x3  2t  x     1 t2  x  nên đặt  (  t  1)  t   x   1 t2   Bài 2.5.8 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số x  xy  y f  x, y   x  xy  y Hướng dẫn: x t2  t  Đặt t  Khi đó F  t   y t  t 1 (làm tƣơng tự) Bài 2.5.9 Tìm giá trị lớn hàm số f  x, y   x  y Xét miền D   x; y  : x  y  1 Hướng dẫn: Ta giả sƣ̉ t0 giá trị tùy ý hàm số f  x, y  Khi đó hệ sau có nghiệm (ẩn x, y):   x  y  t0  2  x  y  t  x  y    2  x  y    x  y  t0    x  y  Tƣ̀ ta tì m miền giá trị t0 tƣờng hệ, sau đó áp dụng nguyên lý phân rã để tìm giá trị lớn hàm số 2.6 PHƢƠNG PHÁP HÌ NH HỌC A Cơ sở lý thuyết: - Bất đẳng thƣ́c tam giác: Với điểm A, B, C bất kì ta có: AB  BC  AC Trần Thị Thúy K32D Toán 76 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp (Dấu đẳng thƣ́c xảy và chỉ B nằm đoạn AC ) AB  AC  BC (Dấu đẳng thƣ́c xảy và chỉ C nằm ngoài đoạn AB ) - Cách áp dụng + Đƣa hàm số đã cho về dạng f  x y   x  a  y  b2 + Sau đó chọn hệ chục tọa độ, chọn điểm A, B, C có tọa độ thỏa mãn rồi sƣ̉ dụng hai bất đẳng thƣ́c để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Với mọi tam giác ABC ta có: AB  BC  AC  AB  BC B Bài tập Bài 2.6.1 Tìm giá trị lớn hàm số: f  x   x  x  34  x  x  10, x  Giải: Ta có: f  x   x  x  34  x  x  10   x  3  25   x  3 1 f  3    Trong mặt phẳng Oxy ta đặt: A  x;0 , B  3;5 , C  3;1 đó: BA   x  3  52 CA   x  3  12 BC  02  42  Vậy f  x   BA  CA A, B, C ta có bất đẳng thƣ́c: BA  CA  BC   x  3  52  Trần Thị Thúy K32D Toán  x  3 1  77 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Hay f  x   mà f  x   x  Vậy max f  x   x Bài 2.6.2 Tìm giá trị nhỏ hàm số: f  x   x  x   x  3x  1, x   Giải: 2  1  3 3   x  Ta có: f  x    x         2      2  1  3        x    0   x      0    2         Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt: y A O  C0 B 1 3  1 A ; ;   , C  x;0  Khi đó: , B 2 2    Trần Thị Thúy K32D Toán 78 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1  3  CA   x       2    2      CB   x    0         AB  2 Vậy f  x   CA  CB Với mọi A, B, C ta có CA  CB  AB  f  x   2, x  Giả sử AB  Ox  C0 thì: C0 A  C0 B  AB Nếu gọi C0  x0 ,0  f  x0   nên f  x   xR Bài 2.6.3: Tìm giá trị nhỏ hàm số f  x   x  x   x  x  1, x  Giải: 2 1  3 1  3   Ta có: f  x    x       x    2   2     2 2  1  3         x      0       x       2 2            Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét điểm:  3 1 3 A  ; , B ;  , C  x;0  đó: 2 2     Trần Thị Thúy K32D Toán 79 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1  3  AC   x      2    1  3  BC   x      2    AB  2 Với mọi A, B, C ta có: AC  BC  AB 2 1  3 1  3    x     x     2x   2   2      f  x   2, x  Dấu “=” xảy và chỉ C  AB , ta thấy O  AB  C  O hay f  0  Vậy f  x   2, x  Bài 2.6.4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x, y   x  y Xét miền D   x; y  : x  y  16  8x  y Giải:   x; y   D ta có: x2  y  16  8x  y  x2  8x  16  y  y     x     y  3  32 2 Nhƣ vậy miền D đƣờng tròn có tâm I  4,3 , bán kính R  Khi đó   x; y   D ta có: x2  y 2 f  x, y   x  y   x  y  16    2 Trần Thị Thúy K32D Toán 80 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp   x; y   D , ta nối OI cắt đƣờng tròn tại M1, M Khi đó OM  OM  OI  M 1I     x ; y D  OM   x ; y D y Max OM  OM  OI  M I     x; y D M  max OM  64 M2  x; y D Mặt khác ta có I OM  x2  y M1   x2  y  64 Hay  O x x y  32  10  f  x, y   40 2 Vậy max f  x, y   40, f  x, y   10  x ; y D  x ; y D Bài 2.6.5 Tìm giá trị lớn hàm số: f  x, y, z, t    x  y   z  2t   xz  yt miền: D   x, y, z, t  : x  y  z  t  5 Giải: f  x, y , z , t    x  1   y  2    z  1   t  2 2   x  z   y  t 2 Giả sử M  x; y  , N  z; t   D M , N sẽ nằm đƣờng tròn gốc O , bán kính R  hệ tọa độ Oxy Xét P 1;2  nằm đƣờng tròn đó Khi đó ta có: Trần Thị Thúy K32D Toán 81 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MP   x  1   y  2 NP   z  1  t  2 MN   x  z Vậy ta có f  x, y, z , t   2 2   y  t  MP  NP  MN  ,   x, y, z, t   D   Do  MNP nội tiếp đƣờng tròn O; Ta đã biết một tam giác nội tiếp đƣờng tròn nếu nó là tam giác đều thì chu vi lớn nhất Mà  MNP MP  NP  MN lại nội tiếp đƣờng tròn có bán kính  MNP có độ dài cạnh là a   15 (theo đị nh lý sin tam giác) Vậy f  x, y, z, t    max f  x, y, z , t   15  30 30 ,  x, y , z , t   D Bài 2.6.6 Cho hàm số f  x   5x  8x  13  x  x  4, x   Tìm giá trị nhỏ hàm số f  x  Giải: Ta có: f  x    x  2  3  2x   x  2   1x  Trong hệ tọa đô Oxy ta đặt: A  2,3 , B  2,0 , M  x  2x  Khi đó: AM  BM  AB   x  2  x  2   2 2  3  2x    2 x  2  32  16   Trần Thị Thúy K32D Toán 82 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Với mọi A, B, C ta có bất đẳng thƣ́c: AM  BM  AB   x  2  3  2x   x  2 2   2 x   Vậy f  x    Bài 2.6.7 Tìm giá trị lớn hàm số: f  x, y, z   x 1  y   y 1  z   z 1  x  Xét miền D   x, y, z  :  x  1,0  y  1,0  z  1 Giải: Dƣ̣ng  ABC có cạnh S ABC  A P M Trên AB, BC, CD lấy lần lƣợt các điểm M , N , P cho: AM  x, BN  z, CP  y B Do  x  1,0  y  1,0  z  nên M N C trùng với A hoặc B N trùng với B hoặc C P trùng với C hoặc A Trong  MAP ta có: S MAP   S BMN  AM AP.sin A 3 x 1  y   x 1  y  2   z 1  x  BN BM sin B   y 1  z  S NCP  CN CP.sin C Trần Thị Thúy K32D Toán 83 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mà S ABC  S AMP  S BMN  S NPC  S MNP  S AMP  S BMN  S NPC  S ABC  3 3 x 1  y   z 1  x   y 1  z   4 4  x 1  y   z 1  x   y 1  z   1,   x, y, z   D Mặt khác: f 1,0,0  Vậy max f  x, y, z    x ; y D Bài tập tƣơng tự: Bài 2.6.8 Cho hàm số f  y   y  y   y  y  10, y   , Tìm giá trị nhỏ hàm số f  y  Hướng dẫn: Hàm f  y  viết dƣới dạng f  y   y  2  y  3  22   12 Chọn A  2, 2 , B  1,3 , M  0, y  Ta có: AM  BM  AB  f  y   10  Bài 2.6.9: Cho hàm số f  x   x  x  13  x  12 x  45, x   Tìm giá trị nhỏ hàm số f  x  Hướng dẫn: Ta có: f  x    x  3 4  x  6 9 Trong hệ trục tọa độ Oxy , xét A  3; 2 , B  6;3 , M  x;0  Áp dụng bất dẳng thức AM  BM  AB (Đ/S f  x   34 )  Trần Thị Thúy K32D Toán 84 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Bài 2.6.10 Cho hàm số f  x   x  10 x  25  x  x  24, x   Tìm giá trị nhỏ hàm số f  x  Hướng dẫn: Ta có: f  x    x  5   x2  6x   x2   Trong hệ tọa độ Oxy , xét điểm A  0;5 ; B 6;0 ; M  x; x  Áp dụng bất đẳng thƣ́c AM  BM  AB Suy GTNN (Đ/S f  x   )  Bài 2.6.11 Cho hàm số f  x   10 x  12 x  10  10 x  20 x  10, x  D Tìm giá trị nhỏ hàm số f  x  Hướng dẫn: Ta có: f  x    x  3   x  1   x  2   3x  4 Trong hệ tọa độ lấy điểm A  3;2 ; B  2; 1 ; M  x;3(1  x  Áp dụng bất đẳng thức tam giác AM  BM  AB suy GTNN (Đ/S f  x   )  Bài 2.6.12 Tìm giá trị nhỏ hàm số: f  x, y, z, t   z  t  xz  yt  Xét miền D   x, y, z, t  : x  y  1, z  t   0 Hướng dẫn:   x, y, z, t   D ta có: f  x, y , z , t    z  x    y  t   x  y  2   z  x   y  t  2 Trần Thị Thúy K32D Toán 85 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp   x, y, z, t   D tập hợp điểm M  x; y  nằm đƣờng tròn tâm O  0;0 , bán kính R  Tập hợp nhƣ̃ng điểm N  z, t  nằm parabol: v  u   f  x, y, z, t   D KẾT LUẬN Trong chƣơng trình toán phổ thông, toán giá trị lớn giá trị nhỏ phần hấp dẫn, lôi tất nhứng ngƣời học Toán làm Toán Các toán phong phú đa dạng Trong khóa luận em trình bày số phƣơng pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Khóa luận đƣợc thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập môn toán Từ khóa luận giúp bạn đọc biết thêm số phƣơng pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế cố gắng nhƣng chắn tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đƣợc bảo thầy, cô giáo khoa Toán với đóng góp bạn sinh viên để khóa luận em đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Trần Thị Thúy K32D Toán 86 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Đỗ Văn Lƣu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nxb Khoa học Kĩ thuật Hà Nội Phan Huy Khải, Các bài toán cực trị của hàm số, Nxb Hà Nội Võ Giang Mai, Võ Khắc Thƣờng, Lê Quang Tuấn, ứng dụng các tính chất của hàm số để giảI bài toán: Bất đẳng thức, tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất Tạp chí toán học tuổi trẻ, Nxb Giáo dục Trần Thị Thúy K32D Toán 87 [...]... toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến về việc tì m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến theo phƣơng pháp chiều biến thiên hàm số đã đƣợc trì nh bầy nhƣ trên B Một số ví dụ Trần Thị Thúy K32D Toán 19 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2.1.1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số không có tham số Bài 2.1.1: Tìm giá trị nhỏ. .. số phƣơng pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức, phƣơng pháp này dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trị lớn nhất nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Nhƣ vậy để sử dụng phƣơng pháp bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  trên một miền D nào đó ta tiến hành theo hai bƣớc sau đây: - Chứng minh một bất đẳng... Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 2.1 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG VIỆC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A Phƣơng pháp chung - Tìm các điểm tới hạn của hàm số trên miền D - Lập bẳng biến thiên của hàm số trên miền D - Dƣ̣a vào bẳng biến thiên và so sánh các giá trị của những điểm đặc biệt (đó là điểm... tập D D các giá trị của hàm số y  f  a, x  ứng với a  i, u  ui  thì nếu hàm số y  f  a, x  liên tục trên D và thỏa mãn hai điều kiện: i) M  m  2c 2 ii) c2 , c 2   u Thì giá trị lớn nhất của hàm số y  f  a, x  trên D đạt giá trị nhỏ nhất khi M  m  0 2.2 SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE A Phƣơng pháp chung Muốn tì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số dựa vào định lý... các điều kiện của định lý 8 (nguyên lí phân rã) đúng cho hàm 1 4 4 f  x, y  trên D Vậy max f  x, y   max  ,    x ; y D 12 45  45 2.1.2 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số có chứa tham số Bài 2.1.6: Cho hàm số f  x  1  sin 2 x 1  tan x     m  1  m xét trên miền D   x : 0  x   1  sin 2 x 1  tan x 4  Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền... phƣơng pháp tƣơng tự ta tìm đƣợc giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  2sin x  tan x  2004   , x  0;  3x  2004  2 Tƣơng tự ta có kết quả sau:  ABC nhọn: Trần Thị Thúy K32D Toán 35 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2  sin A  sin B  sin C   tan A  tan B  tan C  3 2.3 ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHIACOPXKI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Phƣơng pháp chung: Một số phƣơng...   D2 và f  x1 , y1    38  6 2 38  6 2  min f  x, y     x ; y D2 27 27 (10) Tƣ̀ (*) , (9), (10) ta thấy các điều kiện của đị nh lý phân rã cho hàm f  x, y  đúng trên D Vậy min f  x, y     x ; y D 38  6 2 27 Bài 2.1.3: Cho các số x, y thỏa mãn x2  xy  y 2  2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A  x2  2 xy  3 y 2 Giải - Nếu y  0 thì x 2  2 và ta... minh một bất đẳng thức - Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm đƣợc trở thành đẳng thức Chú ý: Phƣơng pháp này thƣờng áp dụng với các hàm số có điều kiện ràng buộc của biến số 2.3.1 Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki - Bất đẳng thức Cauchy: Cho a1, a2 , , an  0 , khi đó ta có: a1  a2   an n  a1.a2 an n (1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ... 1 z 2 x y z 3 3  2  2  2 2 2 y z x z y x 2 2  x2  y 2  z 2  1 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x yz 3 x  y  z Trần Thị Thúy K32D Toán 26 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp min f  x, y, z   D 3 3 2 Bài 2.1.5: Tìm Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x, y   1 1 , x, y là các số tự nhiên  x  y  1  x  1 y  1 Giải: Đặt D   x; y  : x, y    khi đó ta có D ... hàm số y  x  1  x 2  a trong đó a là tham số Tìm điều kiên của a để giá trị lớn nhất của y  f  x   x  1  x 2  a đạt giá trị nhỏ nhất Giải: TXĐ: D   1;1 f ' x  1  x 1  x2 f ' x  0  x  1 2 Ta có bảng xét dấu của f '  x  và bảng biến thiên của f  x  : t 1 -1 f ' x 1 2 + 0 - 2 a f  x 1  a Tại x  1 a  1  hàm số đạt cực đại tức là max f  x   f   2 ... TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số phƣơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Đối tƣợng nghiên cứu Các toán tìm giá trị lớn nhỏ nhất, giá trị. .. CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 2.1 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRONG VIỆC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A Phƣơng pháp chung - Tìm điểm tới hạn hàm. .. 10 phép biến đổi đƣa toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số nhiều biến về việc tì m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số biến theo phƣơng pháp chiều biến thiên hàm số đƣợc trì nh bầy nhƣ B