MỘT số PHƯƠNG PHÁP tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số và ỨNG DỤNG

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Mở View Menu, Chọn Zoom to ! Chọn tỷ lệ có sẵn hộp kích th thưước muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cấp TI MT S PHNG PHP TèM GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S V NG DNG LI CM N Trc ht em xin gi li cm n chõn thnh n thy Nguyn Quc Tun - ngi ó trc tip trc tip hng dn, ch bo tn tỡnh em hon thnh tt khúa lun ca mỡnh Em xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu trng i hc Qung Bỡnh, ton th thy cụ c bit l cỏc thy cụ giỏo khoa Khoa Hc T Nhiờn ó tn tỡnh ging dy v giỳp em nm hc va qua Em xin chõn thnh cm n s ng viờn giỳp ca gia ỡnh v bn bố ó to iu kin thun li cho em sut quỏ trỡnh thc hin khúa lun Li cui em xin chỳc sc khe tt c cỏc thy cỏc cụ, chỳc thy cụ luụn honh thnh tt cỏc nhim v c giao Qung Bỡnh, thỏng 06 nm 2014 Sinh viờn Dng Th Lan Hng MC LC A M U 1 Lớ chn ti Mc ớch nghiờn cu Nhim v nghiờn cu Phm vi nghiờn cu 5 i tng nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu Cu trỳc ca ti B NI DUNG CHNG I: C S L THUYT V GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S nh ngha giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Cỏc tớnh cht ca giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s CHNG II : MT S PHNG PHP TèM GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S 15 Phng phỏp dựng o hm 15 Phng phỏp dựng giỏ tr ca hm s 18 Phng phỏp a v dng bỡnh phng 21 Phng phỏp dựng bt ng thc Cụ -si 23 Phng phỏp dựng bt ng thc Bunhiacopski 26 Phng phỏp dựng tam thc bc hai 29 Phng phỏp dựng vect 32 Phng phỏp dựng lng giỏc 36 Phng phỏp dựng tớnh i xng ca bin 39 CHNG III: NG DNG GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S GII PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH 42 I NG DNG GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S GII PHNG TRèNH V BT PHNG TRèNH Cể THAM S 42 II NG DNG GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S GII PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH KHễNG Cể THAM S 46 C KT LUN 49 D H THNG BI TP THAM KHO 50 E TI LIU THAM KHO 53 A M U Lớ chn ti trng trung hc ph thụng, mc ớch ca vic ging dy mụn toỏn l dy hc sinh kin thc v toỏn, cỏch gii bi tp, rốn luyn k nng gii toỏn v hỡnh thnh t logic cho hc sinh T ú, yờu cu t l giỏo viờn phi dy cho hc sinh phng phỏp gii cỏc dng toỏn Bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht l mt nhng ch quan trng v hp dn chng trỡnh ging dy v hc mụn toỏn trng trung hc ph thụng Cỏc bi toỏn liờn quan n tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s thng xuyờn xut hin cỏc kỡ thi Tuy nhiờn chng trỡnh sỏch giỏo khoa cú rt ớt cỏc bi dng ny v nhng iu kin khỏch quan m sỏch giỏo khoa khụng h thng li cỏc phng phỏp gii Do ú vic cn thit l phi cung cp cho hc sinh cỏc phng phỏp gii dng toỏn: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht Khi ú s giỳp hc sinh la chn c phng phỏp thớch hp cho cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht v t ú a cỏc ng dng giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s gii phng trỡnh, bt phng trỡnh Vi nhng lớ trờn, tụi xin h thng li mt s phng phỏp tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht thng gp thụng qua vic nghiờn cu ti: MT S PHNG PHP TèM GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S V NG DNG Mc ớch nghiờn cu Cung cp cho hc sinh nhiu cỏch gii dng toỏn: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s hc sinh gii toỏn tt hn hc sinh thy c ng dng giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s gii phng trỡnh, bt phng trỡnh Nhim v nghiờn cu H thng húa mt s phng phỏp gii dng toỏn: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Gii thiu ng dng giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s gii phng trỡnh, bt phng trỡnh Phm vi nghiờn cu Cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht trng Trung hc ph thụng i tng nghiờn cu Cỏc phng phỏp tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s v ng dng giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht gii phng trỡnh, bt phng trỡnh Phng phỏp nghiờn cu Trong quỏ trỡnh nghiờn cu ti, tụi ó s dng mt s phng phỏp sau: Nghiờn cu lý lun: c sỏch, phõn tớch, i chiu cỏc ti liu toỏn hc, lý lun dy hc mụn toỏn, sỏch giỏo khoa Thc nghim s phm Cu trỳc ca khúa lun Li cm n Mc lc A M u B Ni dung Chng 1: C s lớ thuyt v giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s nh ngha giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Tớnh cht ca giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Chng 2: Mt s phng phỏp tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Phng phỏp dựng o hm Phng phỏp dựng giỏ tr ca hm s Phng phỏp a v dng bỡnh phng Phng phỏp dựng bt ng thc Cụ-si Phng phỏp dựng bt ng thc Bunhiacopski Phng phỏp dựng tam thc bc hai Phng phỏp dựng vộc t Phng phỏp dựng lng giỏc Phng phỏp dựng tớnh i xng ca bin Chng 3: ng dng giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s gii phng trỡnh, bt phng trỡnh I ng dng giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s gii phng trỡnh, bt phng trỡnh cú tham s II ng dng giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s gii phng trỡnh, bt phng trỡnh khụng cú tham s C Kt lun D H thng bi tham kho E Ti liu tham kho B NI DUNG CHNG I: C S L THUYT V GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S nh ngha giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Cho hm s y f ( x) xỏc nh trờn D * S M c gi l giỏ tr ln nht ca hm s y f ( x) trờn D, kớ hiu: M max f ( x) nu hai iu kin sau c tha món: xD x D : f ( x) M x0 D : f ( x0 ) M * S m c gi l giỏ tr nh nht ca hm s y f ( x) trờn D, kớ hiu: m f (x ) nu hai iu kin sau c tha món: xD x D : f ( x) m x0 D : f ( x0 ) m Cỏc tớnh cht ca giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s Tớnh cht Gi s f ( x) xỏc nh trờn D v A, B l hai ca D, ú A B Gi thit tn ti max f ( x) , max f (x ) , f ( x ) , f ( x ) Khi ú ta cú: xA xB xA xB a, max f ( x) max f ( x) ; xA b, f ( x) f ( x) xA xB xB Chng minh : Chng minh a: Gi s max f ( x) f ( x0 ) , vi x0 A Do x0 A m A B nờn xA x0 B Ta cú f ( x0 ) max f ( x) hay max f ( x) max f ( x) pcm xB xA xB Chng minh b: Gi s f ( x) f ( x0 ) , vi x0 A Do x0 A m A B nờn xA x0 B Ta cú: f ( x0 ) f ( x) hay f ( x) f ( x) pcm xA xB xB Tớnh cht Gi s hm s f ( x) xỏc nh trờn D v tn ti max f ( x) v f ( x) Khi ú ta cú: xD xD b, f ( x) max( f ( x)) a, max f ( x) min( f ( x)) ; xD xD xD xD Chng minh: a, max f ( x) min( f ( x)) xD xD Gi s M max f ( x) Khi ú theo nh ngha giỏ tr ln nht, ta cú: xD f ( x) M , x D f ( x0 ) M , x0 D f ( x) M , x D T h trờn suy f ( x0 ) M Theo nh ngha ca giỏ tr nh nht, suy min( f ( x)) M xD Nh vy ta i n max f ( x) min( f ( x)) pcm xD xD Chng minh tng t b, f ( x) max( f ( x)) xD xD Tớnh cht Gi s f ( x) v g ( x) l hai hm s cựng xỏc nh trờn D v tha iu kin f ( x) g ( x) , x D Gi s cựng tn ti max f ( x) ; max g ( x) xD xD Khi ú ta cú: max f ( x) max g ( x) xD xD Chng minh: Gi s max g ( x) g ( x0 ) , vi x0 D xD Ta cú: f ( x) g ( x), x D f ( x0 ) g ( x0 ) Do max f ( x) f ( x0 ) g ( x0 ) max g ( x) pcm xD xD Tớnh cht Gi s f ( x) l hm s xỏc nh trờn D v D D1 D2 Nu tn ti max f ( x) , xDi f ( x ) vi i 1, thỡ ta cú: xDi ; b, f ( x) min f ( x), f ( x) a, max f ( x) max max f ( x), max f ( x) xD xD1 xD (1) xD2 xD1 (2) xD2 Chng minh : Ta chng minh (1) Vỡ Di D, i 1,2 nờn theo tớnh cht 3, ta cú: max f ( x) max f ( x) ; max f ( x) max f ( x) xD1 xD2 xD (3) xD T (3) suy max max f ( x); max f ( x) max f ( x) (4) xD1 xD2 xD Gi s max f ( x) f ( x0 ) , vi x0 D xD Vỡ D D1 D2 m x0 D nờn x0 D1 D2 Do vy x0 phi thuc v ớt nht mt hai D1, D2 T ú cú th cho l (m khụng lm gim s tng quỏt) x0 D1 T x0 D1 nờn theo nh ngha v giỏ tr ln nht, ta cú: f ( x0 ) max f ( x) (5) xD1 Hin nhiờn max f ( x) max max f ( x); max f ( x) xD1 xD2 (6) T (5), (6) suy f ( x0 ) max f ( x) max max f ( x); max f ( x) xD xD1 xD2 (7) Khi ú A 16( xy)2 12( x3 y ) 34 xy 16P2 12(1 3P) 34P 16P 2P 12 Suy A ' 32P A ' P 16 191 25 Ta cú: A(0) 12 ; A ; A 16 16 Vy MaxA MinA 25 x y 2 191 3 x , y 16 4 Vớ d 3: Cho x, y, z tha iu kin: x( x y z ) yz (1) Chng minh: ( x y)3 ( x z )3 3( x y)( x z)( y z ) 5( y z )3 (*) Gii (1) y z y z x x x x y a x t a b 3a.b z b x S a b S 3P t P a.b iu kin: S 4P (1 S ) S 3S 4S S Khi ú: (*) (1 a)3 (1 b)3 3(1 a)(1 b)(a b) 5(a b)3 (2 a b) (2 a b)2 3(1 a)(1 b) 3(1 a b ab)(a b) 5(a b)3 S S (2 S ) (2 S )2 S S S 5.S 4S 6S 3S 4S S 2S 3S 4S S luụn ỳng Du = xy S x y CHNG III: NG DNG GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S GII PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH I NG DNG GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S GII PHNG TRèNH V BT PHNG TRèNH Cể THAM S Kin thc c bn Gi s f ( x) l hm s liờn tc trờn D, v gi s tn ti M max f ( x) ; xD m f ( x) xD Mnh Phng trỡnh f ( x) cú nghim v ch m M Mnh (i) Bt phng trỡnh f ( x) cú nghim x D v ch M (ii) Bt phng trỡnh f ( x) nghim ỳng vi mi x D v ch m Mnh (i) Bt phng trỡnh f ( x) cú nghim x D v ch m (ii) Bt phng trỡnh f ( x) nghim ỳng vi mi x D v ch M Chng minh: Mnh 1: Gi s phng trỡnh ó cho cú nghim, tc l tn ti x0 D cho f ( x0 ) Theo nh ngha ta cú: f ( x) f ( x0 ) max f ( x) , tc l xD xD f ( x) max f ( x) xD xD o li gi s f ( x) max f ( x) xD xD Vỡ f ( x) l hm liờn tc nờn nú nhn mi giỏ tr t f ( x) n max f ( x) xD xD Núi riờng nú nhn giỏ tr , tc l tn ti x0 D cho f ( x0 ) iu ú cú ngha l phng trỡnh ó cho cú nghim trờn D pcm Mnh 2: (i) Gi s bt phng trỡnh ó cho cú nghim, tc l tn ti x0 D cho f ( x0 ) Rừ rng max f ( x) f ( x0 ) xD o li gi s max f ( x) (1) xD Gi thit phn chng bt phng trỡnh ó cho vụ nghim, tc l f ( x) , x D T ú suy max f ( x) (2) xD T (1) v (2) suy vụ lớ, vy gi thit phn chng l sai, tc phng trỡnh ó cho cú nghim pcm (ii) Gi s m Ly x0 D Ta cú: f ( x0 ) f ( x) m xD Vy f ( x) , x D Khi ú m f ( x) , nờn theo nh ngha ta cú tn ti x0 D m m f ( x0 ) xD T f ( x0 ) m Nh vy ta cú pcm Mnh 3: (i) Gi s bt phng trỡnh ó cho cú nghim, tc l tn ti x0 D cho f ( x0 ) Rừ rng f ( x) f ( x0 ) xD o li gi s f ( x) (1) xD Gi thit phn chng bt phng trỡnh ó cho vụ nghim, tc l f ( x) , x D T ú suy f ( x) (2) xD T (1) v (2) suy vụ lớ, vy gi thit phn chng l sai, tc phng trỡnh ó cho cú nghim pcm (ii) Gi s M Ly x0 D Ta cú: f ( x0 ) max f ( x) M xD Vy f ( x) , x D Khi ú M f ( x) , nờn theo nh ngha ta cú tn ti x0 D m M f ( x0 ) xD T f ( x0 ) M Nh vy ta cú pcm LU í: l biu thc cha tham s Nu l mt biu thc c lp thỡ ta ỏp dng c cỏc mnh trờn, vi D l iu kin ca bi toỏn ( khụng phi no vic tỡm D cựng d dng) Nu tham s ng bc, thỡ ta nhúm cỏc phn t ng bc ny vi nhau, cú dng mk h( x) () g ( x) Nu ch h( x) luụn dng (+) hoc luụn õm (-) thỡ d dng a v mk g ( x) dng s dng trc tip c mnh h( x ) Vớ d ỏp dng Vớ d 1: Vi giỏ tr no ca m thỡ mx4 x m vi mi x Gii Ta cú: mx4 x m vi mi x m t f ( x) 4x vi mi x (1) x 4x T (1) suy maxf( x) m x x 4(1 3x ) , f ' ( x) f ' ( x) (1 x ) x 4 Bng bin thiờn: x f '( x) - + 0 - 27 f ( x) 27 Da vo bng bin thiờn, ta thy max f ( x) 27 ( x Vy m 27 l giỏ tr cn tỡm tha bi ) Vớ d 2: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim x x ( x 3)(6 x) m (1) Gii t t x x , x ; t ; Khi ú: t ( x 3)(6 x) ( x 3)(6 x) Ta cú: (1) f (t ) t t2 t2 m, t D ; (2) (2) cú nghim trờn D v ch khi: f (t ) m f (t ) tD (3) tD Ta cú: f ' (t ) t t D thy rng f (t ) nghch bin trờn ; + , ú suy ra: max f (t ) f (3) v f (t ) f (3 2) (4) tD tD T (4) ta cú: (3) f (3 2) m f (3) m3 Vy cỏc giỏ tr ca m cn tỡm l m ; Vớ d 3: Tỡm m bt phng trỡnh sau x x m cú nghim Gii iu kin: x Khi ú bt phng trỡnh x x m m x x x ; Xột hm s f ( x) x x trờn ; f ' ( x) 2 x 4x f '( x) x 4x x (4 x 2)(4 x) Ta cú: f 14 ; f ; f (4) 14 f ( x) 14 x ; 4 2 Vy bt phng trỡnh ó cho cú nghim v ch m 14 Vớ d 4: Tỡm m bt phng trỡnh sau cú nghim vi mi x x 3x m x 3x (1) Gii Ta cú: (1) f ( x) x 3x x 3x m (2) Yờu cu bi toỏn tng ng vi : m f ( x) (3) x3 Ta cú: 1 f ' ( x) (2 x 3) 0, x 2 x 3x 2 x 3x Do ú: (3) m f ( x) f (3) x3 Vy giỏ tr m cn tỡm l: m II NG DNG GI TR LN NHT, GI TR NH NHT CA HM S GII PHNG TRèNH, BT PHNG TRèNH KHễNG Cể THAM S Kin thc c bn Mnh 1: Xột phng trỡnh f ( x) g ( x) , vi x D (1) Nu nh vi phng trỡnh (1) ta cú iu kin max f ( x) g ( x) thỡ (1) vụ xD nghim Mnh 2: Xột phng trỡnh f ( x) g ( x) , vi x D (2) f ( x) Nu nh ta cú max f ( x) g ( x) thỡ (2) xD xD g ( x) Vớ d ỏp dng xD Vớ d 1: Gii phng trỡnh sau: x2 x 15 x2 x 18 (1) x x 11 Gii x x 15 4 Xột phng trỡnh x x 11 x x 11 ( x 3)2 Rừ rng x , ta cú f ( x) f ( x) x Vy max f (x) xR Li cú g ( x) x2 6x 18 ( x 3)2 g ( x) x Vy g ( x) xR f ( x) x x3 Vỡ th (1) g ( x) x Do vy x l nghim nht ca (1) Vớ d 2: Gii phng trỡnh 22 x1 232 x log3 (4 x x 4) Gii Theo bt ng thc Cụ-si, ta cú: f (x) 22 x1 232 x 22 x1.232 x 24 f ( x) x x x Li cú: x2 x (2 x 1)2 log3 (4 x2 x 4) Vỡ th x R , ta cú g ( x) 8 log3 (4 x x 4) g ( x) x x f ( x) Do ú phng trỡnh ó cho tng ng vi h g ( x) x Vy x l nghim nht ca phng trỡnh ó cho Vớ d 3: Gii phng trỡnh sau: 3x x x 10 x 14 x x Gii Xột phng trỡnh 3x x x 10 x 14 x x Ta cú: f ( x) 3x x 5x 10 x 14 3( x 1)2 5( x 1)2 Vy x R thỡ f ( x) ; f (5) x T ú ta cú f ( x) x x Li cú g (x) x x ( x 1)2 g ( x) 5, x R ; g ( x) x Do vy max g (x) x x f ( x) x x Nh th suy (*) g ( x) x T ú ta cú x l nghim nht ca (*) (*) C KT LUN H thng cỏc phng phỏp tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht cho hc sinh l rt cn thit õy cng l dng toỏn giỳp phỏt trin t cho hc sinh rt tt Ni dung sỏch giỏo khoa hin cha cú phn h thng li cỏc phng phỏp gii dng toỏn ny Vỡ vy, hc sinh cn nm vng phng phỏp gii bi tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s v bit ng dng giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s gii phng trỡnh, bt phng trỡnh Khúa lun cú cp n mt s bi toỏn n gin, xem nh mt vớ d ban u ỏp dng tng phng phỏp Cỏc phng phỏp v bi toỏn c cp khúa lun cú chỳ ý n tớnh ph thụng Ngoi ra, cũn cú mt s bi tham kho cho hc sinh Quỏ trỡnh h thng li cỏc phng phỏp gii bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht khụng trỏnh thiu sút Kớnh mong c s úng gúp ca thy, cụ, bn bố khúa lun c hon chnh hn D H THNG BI TP THAM KHO Bi 1: Cho x , y v x y z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P x y z x y z Bi 2: Cho x , y v 1 x y z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P 1 x y z x y z x y 2z Bi 3: Cho bn s thc dng x, y, z, t Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P x t t y y z z x t y y z z x xt Bi 4: Cho a1 ; a2 ; a3 ; b1 ; b2 ; b3 ú b1 , b2 , b3 l ba s dng Chng minh a12 a22 a32 (a1 a2 a3 )2 b1 b2 b3 b1 b2 b3 Bi 5: Cho x, y, z v tha iu kin x y z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P y z x x y z x y z x y z Bi 6: Cho x, y,z l cỏc s thc dng v tha iu kin x y z 2 32 3x z 16 y Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P xy yz zx Bi 7: Cho x, y, z l cỏc s thc tha món: x y z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P x5 y y z z x5 Bi 8: Cho x, y, z ; Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P xyz (1 x)(1 y)(1 z ) Bi 9: Cho x, y, z, t v tha iu kin: 1 4 x y z4 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P xyzt Bi 10: Cho x, y, z ; Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P (1 x )(1 y )(1 z ) (1 x )(1 y )(1 z ) Bi 11: Cho x, y, z l ba s thc dng v tha iu kin x y z xyz Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P x2 y2 z2 x2 y z Bi 12: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s: f ( x) 2sin x cos x , x sin x 2cos x Bi 13: Cho x, y l cỏc s thc tựy ý Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc: P x 2y x2 y Bi 14: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s: y sin x cos x Bi 15: Chng minh rng hm s: y sin x 14sin x cos x 5cos2 x 33 ch nhn giỏ tr dng Bi 16: Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca hm s: y x x x x Bi 17: Cho x y xy Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca T x y x y Bi 18: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : a b4 a b2 a b vi a, b b4 a b2 a b a Bi 19: Gi x1, x2 l cỏc nghim ca phng trỡnh: 12 x 6mx m2 12 m2 Vi giỏ tr no ca m thỡ x31 x32 a, t giỏ tr ln nht? b, t giỏ tr nh nht? Bi 20: Cho a Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s: y a cos x a sin x Bi 21: Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s y x2 x 21 x2 3x 10 E TI LIU THAM KHO [1] H Vn Chng, (1999), Tuyn 621 Bi toỏn lng giỏc Nh xut bn i hc quc gia H Ni [2] Lờ Hng c - Nhúm C Mụn, Bi ging chuyờn sõu toỏn THPT Gii toỏn i s 10 Nh xut bn H Ni [3] Nguyn Thỏi Hũe, (2004), Rốn luyn t qua vic gii bi toỏn Nh xut bn Giỏo dc [4] Trn Vn Ho, ( 2010), Chuyờn Bt ng thc luyn thi vo i hc Nh xut bn Giỏo dc [5] Phan Huy Khi, ( 2012), Chuyờn bi dng hc sinh gii giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht Nh xut bn i hc quc gia H Ni [6] Phan Vn Phựng, 150 bi gii toỏn chng minh bt ng thc Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht Nh xut bn i hc quc gia TP H Chớ Minh [7] Trn ỡnh Thỡ, ( 2008), Dựng hỡnh hc gii tớch gii phng trỡnh, bt phng trỡnh h phng trỡnh, bt ng thc Nh xut bn i hc quc gia H Ni [8] Trn Vn Ho (tng ch biờn), (2008), Gii tớch 12 Nh xut bn Giỏo dc [...]... : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1 Phương pháp dùng đạo hàm 1.1 Kiến thức cơ bản Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên miền D , ta làm như sau: Tính y '  f ' ( x) Tìm các điểm x1 , x2 , , xn  D sao cho f ' ( x)  0 Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. .. hàm số y  x  cos2 x trên   0 ; 4  Giải   Ta có: y '  1  sin 2 x  0, x  0 ;  suy ra y tăng trên 4    0 ; 4     1 Do đó: max y  y     4 4 2 min y  y(0)  1 LƯU Ý: Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số 2.1 Kiến thức cơ bản  Định nghĩa miền giá trị của. .. max y  2 ; min y  2  y0  2 11 2 11 3 Phương pháp đưa về dạng bình phương 3.1 Kiến thức cơ bản Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta tìm cách (nếu được) đưa biểu thức về dạng A2  0 Dấu “=” xảy ra khi A  0 3.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:     y  x3  2 1  x3  1  x3  2 1  x3  1 Giải Hàm số xác định với mọi x  1 Ta có: y  x3... Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  ln(1  2 x) trên đoạn  2 ; 0 Giải Xét trên đoạn  2 ; 0 2 4 x2  2 x  2 y '  2x   1  2x 1  2x x  1 y'  0   x   1  2 Với x  1 (loại) Ta tính y(2)  4  ln5  1 1 y      ln 2  2 4 y(0)  0 Vậy max y( x)  4  ln5 ; min y( x)   2 2 ; 0 ; 0 1  ln 2 4 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm. .. ( x)  M và min f ( x)  m xD xD LƯU Ý: Phương trình ax2  bx  c  0 ( a  0 ) có nghiệm khi và chỉ khi   0 Phương trình a sin x  b cos x  c có nghiệm khi và chỉ khi a 2  b2  c 2 2.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f ( x)  2 x 2  7 x  23 , với x  x 2  2 x  10 Giải Tập xác định: D  Gọi y0 là một giá trị bất kì của hàm số đã cho Khi đó phương trình... nghĩa miền giá trị của hàm số: Cho hàm số y  f ( x) có miền xác định D Khi đó hàm số có miền giá trị: f ( D)   y  / y  f ( x), x  D  Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là tìm điều kiện để phương trình y0  f ( x) có nghiệm ( với y0 là một giá trị tùy ý của hàm số y  f ( x) trên tập xác định D ) Sau đó, từ điều kiện tìm được biến đổi về một trong các dạng sau:...  2 x  0    x  2 Bảng biến thiên: x  y’ -2 -  0 0 + 0 0 - 1 y  1 3 0 Dựa vào bảng biến thiên ta được: Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x  0 1 Giá trị nhỏ nhất của y là  , đạt được khi x  2 3 Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  log 2 x  1 log x  2 2 Giải Miền xác định của hàm số D  (0 ;  ) Đặt t  log 2 x, t  0 Khi đó: y  t  1 t2 (t  1)(t  3) 1 (t... 4(1  y0 )2  y02  ( y0  1)2 5  19 5  19  y0  2 2  2 y0 2  10 y0  3  0   max y  5  19 2 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos x  2sin x  3 2cos x  sin x  4 trong khoảng   ;   Giải y0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình y0  cos x  2sin x  3 2cos x  sin x  4 (1) có nghiệm thuộc khoảng   ;   Ta có: (1)  (2 y0 1)cos... f ( x) là hàm số xác định trên D và f ( x)  0 , x  D Khi đó, với mọi n nguyên dương, ta có: max f ( x)  2n max( f 2n ( x)) ; xD xD min f ( x)  2n min( f 2n ( x)) xD xD Chứng minh: Tính chất này suy ra trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, cũng như các tính chất về lũy thừa của một bất đẳng thức Tính chất 10 Giả sử f ( x) là hàm số xác định trên D và tồn tại... xảy ra khi và chỉ khi a1  a2   an  Nếu a1a2 an  P không đổi thì a1  a2   an  S đạt giá trị nhỏ nhất là n n P khi và chỉ khi a1  a2   an  n P  Nếu a1  a2   an  S không đổi thì a1a2 an  P đạt giá trị lớn nhất là n S S   khi và chỉ khi a1  a2   an  n n 4.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của y  3x1  32 x Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số không