Một số tính chất của hàm lồi và ứng dụng

Một số tính chất của hàm lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chuđáo của TS Trương Văn Thương Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kínhtrọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôikhông những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trìnhhọc tập

Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy cô

đã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quý thầy

cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến thức, quantâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũngnhư trong thời gian thực hiện đề tài

Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân,bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường họctập vừa qua

Huế, tháng 5 năm 2011Trần Ngọc Đức Toàn

MỤC LỤC

1.1 Kiến thức mở đầu 4

1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi 10

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM LỒI 13 2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi 13

2.2 Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi 31

3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI 39 3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 39

3.2 Tổng quan về lớp các hàm loga-lồi 41

3.3 Hàm gamma và bất đẳng thức về hàm gamma 43

3.4 Hàm zeta và bất đẳng thức về hàm zeta 46

3.5 Tích phân elliptic - Tích phân elliptic hoàn chỉnh dạng thứ nhất RK -Các bất đẳng thức liên quan 49

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng trong toán học,

nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán học như giải tích hàm, hình học, toánkinh tế, giải tích lồi, tối ưu phi tuyến Một cách tổng quát, có hai tính chất cơ bảncủa các hàm lồi làm cho chúng được sử dụng rộng rãi trong toán học lý thuyết vàtoán ứng dụng, đó là: tính chất đạt giá trị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểu địaphương nào cũng là cực tiểu trên tập xác định Hơn nữa, một hàm lồi thực sự thìđiểm cực tiểu nếu có là duy nhất

Có sự tác động qua lại giữa giải tích và hình học trong việc nghiên cứu các hàmlồi Hiện nay, người ta còn nghiên cứu một số lớp hàm liên quan như hàm loga-lồi,hàm lồi nhân tính, hàm siêu điều hòa và các hàm lồi theo nghĩa nhóm con của nhómtuyến tính

Có thể nói, nghiên cứu về tập lồi và các hàm lồi là một đề tài thú vị, nhậnđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học Các vấn đề liên quan đến hàm lồi khôngngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, nhiều kết quả của hàm lồi được ứng dụngtrong toán học và trong thực tế Khóa luận hướng đến việc trình bày một số vấn đề

lý thuyết liên quan đến hàm lồi, khảo sát các ứng dụng của hàm lồi trong việc tìmgiá trị lớn nhất và nhỏ nhất, tìm hiểu một số kết quả mới về một số hàm lồi đặc biệtnhư hàm gamma, hàm zeta Riemann và tích phân elliptic, từ đó làm rõ thêm về đềtài thú vị này

Nội dung của khóa luận chia làm ba chương:

Chương một đưa ra một số thuật ngữ và ký hiệu sẽ được dùng trong suốt khóaluận, nhắc lại một số kiến thức mở đầu để độc giả có thể theo dõi dễ dàng hơn trongphần sau Định nghĩa và tính chất của tập lồi, định nghĩa của hàm lồi, hàm loga-lồi

và ý nghĩa hình học của tính lồi cũng được giới thiệu

Chương hai trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, từ cácphép toán đối với các hàm lồi đến tính liên tục, khả vi cấp một và cấp hai, giá trịnhỏ nhất và lớn nhất của hàm lồi Phần cuối của chương được dành để nói về các bấtđẳng thức liên quan đến hàm lồi, đồng thời giới thiệu một số bất đẳng thức mới vềcác hàm lồi

Chương ba khảo sát một số ứng dụng của hàm lồi như việc tìm giá trị nhỏ nhất

- lớn nhất, khảo sát lớp hàm loga-lồi Thông qua việc tìm hiểu các hàm loga-lồi đặcbiệt, ta cũng sẽ tìm hiểu và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến lớp hàmnày.

đề về sự tương đương giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn, hàm số liên tục, hàm số khả

vi, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất và các bất đẳng thức liên quan đến tích phân, định lý giới hạn dưới dấu tích phân cũng được nhắc lại Ta cũng sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa và các tính chất của tập lồi Phần cuối chương một chúng tôi tập trung mô tả các định nghĩa về hàm lồi trên một tập, hàm loga-lồi cũng như đề cập đến ý nghĩa hình học về tính lồi của một hàm trên một khoảng của tập số thực.

1.1 Kiến thức mở đầu.

Trong mục 1.1 này, tác giả chỉ xin đưa ra một số thuật ngữ, khái niệm, tính chất

sẽ được sử dụng trong suốt khóa luận Các khái niệm không gian tuyến tính, chuẩn,

sự hội tụ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính, số chiều, không gian Banach, sựđồng phôi, không gian topo, độ đo độc giả có thể tìm thấy ở trong [2] và [1] hoặctrong bất kỳ giáo trình giải tích hàm nào

Trong khóa luận này, ta sẽ ký hiệu X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn thực.Chuẩn của một phần tử x ∈ X sẽ được ký hiệu là kxk

Ta cũng sẽ ký hiệu I ⊂ R là một khoảng của tập số thực, B(x0, ) là hình cầu mởtâm x0 bán kính , L(X, Y) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Xvào Y

Các tập số cũng được ký hiệu như thường lệ:

1.1.1 Sự đồng phôi giữa các không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 [2] Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn Một ánh

xạ A: X → Y được gọi là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y nếu A là songánh tuyến tính, A liên tục và toán tử ngược A−1 cũng liên tục

Khi đó người ta nói hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y là đồng phôi tuyếntính với nhau

Định nghĩa 1.1.2 [2] Cho (X,k.k1) và (X,k.k2) là hai không gian tuyến tính địnhchuẩn Ta gọi hai chuẩn này là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id: (X,k.k1) →

(X,k.k2)là phép đồng phôi tuyến tính

Ta có định lý:

Định lý 1.1.1 [2] Tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyếntính với nhau Do đó, tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyếntính với Rn

Định nghĩa 1.1.4 [6] Cho U ⊂ X là một tập mở trong không gian tuyến tính địnhchuẩn X Một hàm f: U → R được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mỗi x ∈ U,

có một lân cận B(x, ) của x và một số Kx để bất đẳng thức

|f(y)− f(z)| ≤ Kxky − zk (1.1.1)đúng với mọi y, z ∈ B(x, ) Nếu bất đẳng thức (1.1.1) đúng với mọi phần tử của tập

V ⊆ U và K độc lập với x, ta nói f Lipschitz trên V

Nhận xét 1.1.2 Từ (1.1.1) ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U thì hàm f liêntục trên U

1.1.3 Ánh xạ khả vi

Định nghĩa 1.1.5 [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mởtrong X và ánh xạ f: U → Y Khi đó f được gọi là khả vi tại x0 nếu có một ánh xạtuyến tính A: X → Y sao cho với h đủ gần điểm 0 ta có

f(x0+h) =f(x0) +Ah+khk (x0, h),trong đó (x0, h)→0 khi khk →0

Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại điểm x0 và được ký hiệu

kf(x0+h)− f(x0)− Ahk

Định nghĩa 1.1.6 [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mởtrong X và ánh xạ f: U → Y Khi đó f được gọi là có đạo hàm tại x0 theo hướng hnếu tồn tại giới hạn

limt→0

f(x0+th)− f(x0)

Đạo hàm của hàm f tại x0 theo hướng h được ký hiệu là Df(x0, h)

Nhận xét 1.1.4 Cho f : U → R là hàm khả vi trên một tập mở U của không giantuyến tính định chuẩn X Khi đó, với mọi x ∈ U ta luôn có Df(x, h) =f0(x)(h)

Thật vậy, cố định h ∈ X, h 6= 0 Do f khả vi tại x ∈ U nên ta có

f(x+th)− f(x) = f0(x)(th) +◦(||th||),trong đó ◦(||th||)→0 khi ||th|| →0

Do đó

f(x+th)− f(x)

t =f0(x)(h) + ◦(||th||)

t .Chuyển qua giới hạn, cho t →0 ta được Df(x, h) =f0(x)(h)

Đặc biệt, khi X ≡ Rn và h trùng với vectơ đơn vị ei = (0, ,1 ,0) thì

Df(x0, ei) được gọi là đạo hàm riêng thứ i của ánh xạ f và ta viết

∂f

∂xi(x0) =fi0(x0) =Df(x0, ei)

tồn tại và được xác định như trong Định lý 1.1.5

Bây giờ, cho U là tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X Nếuhàm f: U → R có đạo hàm trên U thì ta có ánh xạ đạo hàm f0

Nếu ánh xạ đạo hàm f0 có đạo hàm tại x ∈ U thì ta cũng nói hàm f có đạo hàm cấphai tại x và ký hiệu là f00(x)

Với h ∈ X ta có f00(x)(h)là ánh xạ tuyến tính đi từ X → R Ta suy ra[f00(x)(h)](k)

là một phần tử của R (k ∈ X) Ta có [f00(x)(h)](k) tuyến tính theo cả h và k Vìvậy, ta xem f00(x) là một ánh xạ song tuyến tính từ X × X vào R và [f00(x)(h)](k)

sẽ được ký hiệu là f00(x)(h, k) (h, k ∈ X)

Định nghĩa 1.1.7 [6] Cho X là một không gian tuyến tính thực.

Một ánh xạ song tuyến tính B : X × X → R được gọi là đối xứng nếu B(h, k) =

Để thuận tiện trong chứng minh ở chương sau, trong phần này ta cũng sẽ giới thiệukhai triển Taylor với phần dư Lagrange thể hiện trong định lý dưới đây:

Định lý 1.1.8 [5] Giả sử f: [a;b] → R có đạo hàm liên tục tới cấp n trên [a;b] và

có đạo hàm cấp n+ 1 trên (a;b) Khi đó tồn tại c ∈(a;b) sao cho

Định nghĩa 1.1.8 Cho U là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X.Hàm f: U → R được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0 ∈ U nếu có mộthình cầu mở B(x0, )⊂ U để f(x)≤ f(x0)(f(x)≥ f(x0)) với mọi x ∈ B(x0, ).Nếu f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) với mọi x ∈ U thì f được gọi là đạt cực đại (cựctiểu) trên U

1.1.5 Bất đẳng thức H¨older - giới hạn dưới dấu tích phân

Nếu λ ∈ {0,1} và Ef dµ > 0, Egdµ >0thì bất đẳng thức trên vẫn đúng Ta có hệquả:

Hệ quả 1.1.10 Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo.Giả sử f, g là các hàm số thực dương đo được trên E, R

Cho E là một tập khác trống và(E, F, µ) là một không gian độ đo Nếu dãy hàm (fn)

trong đó 0≤ fn là các hàm số thực đo được trên E đơn điệu tăng và dần về hàm fthì

limn→∞

Hệ quả 1.1.12 [1] Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ

đo Nếu fn là các hàm số thực không âm đo được trên E với mọi n ∈ N∗ thì

1.1.6 Tập lồi và các tính chất của tập lồi

Định nghĩa 1.1.9 [6] Một tập U của một không gian tuyến tính thực X được gọi làtập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng

[x, y] = {λx+ (1− λ)y|λ ∈[0,1]}nối bất kỳ hai điểm x, y ∈ U

Đặc biệt, nếu X ≡ R thì tập lồi là một khoảng, một đoạn nay nửa khoảng

Nếu α1, , αn là các số thực không âm, Pn

được gọi là một tổ hợp lồi của x1, , xn

Định lý 1.1.13 [6] Một tập U ⊂ X là tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp lồi của cácđiểm của U đều nằm trong U

Định lý 1.1.14 [6] Nếu {Ui}, i ∈ J là một họ các tập lồi thì U = ∩i∈JUi là một tậplồi.

Định nghĩa 1.1.10 Cho U là một tập con của X Khi đó, bao lồi của U ký hiệu là

co(U), là giao của tất cả các tập lồi chứa U

Bao lồi của U là một tập lồi

Định lý 1.1.15 [6] Cho U là một tập con của X Khi đó bao lồi của U là tập tất

cả các tổ hợp lồi của các phần tử của U

Định nghĩa 1.1.11 [6] Một điểm x0 của tập lồi U được gọi là điểm cực biên nếu x0

không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong U Tức là không tồn tạihai điểm x1, x2 ∈ U và λ ∈(0; 1) để x0 = λx1+ (1− λ)x2

Ta có định lý:

Định lý 1.1.16 [6] Cho U ⊆ Rn là một tập lồi, compact Khi đó U là bao lồi củatất cả các điểm cực biên của nó

1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi.

Các hàm lồi được định nghĩa trên các tập lồi

Định nghĩa 1.2.1 [9] Cho I là một khoảng chứa trong R và hàm f: I → R

1 f được gọi là hàm lồi nếu

f(λx+ (1− λ)y)≤ λf(x) + (1− λ)f(y) (1.2.1)với mọi x, y ∈ I và với mọi λ ∈[0; 1]

2 f được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu (1.2.1) là bất đẳng thức ngặt với cácđiểm x, y phân biệt và λ ∈(0; 1)

3 Nếu −f là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thực sự)

4 Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm thì ta nói f là hàm affine

Thực ra, tại λ= 0 và λ = 1 thì (1.2.1) luôn đúng nên để cho tiện, đôi khi ta chỉcần xét λ ∈(0; 1)

Trong trường hợp tổng quát, với U là một tập lồi trong không gian tuyến tính địnhchuẩn thực X Một hàm f: U → R được gọi là lồi nếu

f(λx+ (1− λ)y)≤ λf(x) + (1− λ)f(y)

với mọi x, y ∈ U và với mọi λ ∈[0; 1].

Các khái niệm hàm lồi thực sự, hàm lõm, lõm thực sự cũng được định nghĩa tương

tự như trong Định nghĩa 1.2.1

Định nghĩa 1.2.2 Cho I là một khoảng của tập số thực và f: I →(0,∞) Khi đó

1 f được gọi là hàm loga-lồi nếu lnf là hàm lồi Nói cách khác

f(λx+ (1− λ)y)≤ f(x)λf(y)1−λ ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0,1]

2 f được gọi là hàm loga-lõm nếu lnf là hàm lõm Nói cách khác

f(λx+ (1− λ)y)≥ f(x)λf(y)1−λ ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0,1].Trong phần cuối của chương 2 ta sẽ chỉ ra rằng hàm loga-lồi cũng là một hàm lồi

Ví dụ 1.2.1 Các hàm sau đây là hàm lồi:

1 f: R→ R, f(x) =ax+b với a, b là các số thực bất kỳ

Thật vậy, với bất kỳ a, b ∈ R, x, y ∈ R, λ ∈[0,1], ta có

f(λx+ (1− λ)y) =a(λx+ (1− λ)y) +b= λ(ax+b) + (1− λ)(ay+b)

thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi

2 Ánh xạ chuẩn k.k: X → R với X là một không gian tuyến tính định chuẩnthực

Thật vậy, với x, y ∈ X, λ ∈[0; 1]ta có

kλx+ (1− λy)k ≤ kλxk+k(1− λ)yk ≤ λ kxk+ (1− λ)kykthỏa mãn định nghĩa của hàm lồi

≤ infz∈Ukλ(x− z)k+ inf

z∈Uk(1− λ)(y− z)k

≤ λinfz∈Ukx − zk+ (1− λ) inf

z∈Uky − zk

=λdU(x) + (1− λ)du(y)

Các tính chất của hàm lồi và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai trong chương 2 sẽ cho

ta nhiều công cụ hơn để chứng minh một hàm nào đó là hàm lồi

Bây giờ, cho f: I → R là một hàm lồi trên một

khoảng I ⊂ R Với u, v ∈ I phân biệt và x ∈[u;v]

Nói cách khác, các điểm trên đồ thị của hàm f|[u;v] nằm dưới dây cung nối hai điểm

(u, f(u)) và (v, f(v)), với mọi u, v ∈ I, u < v Đây chính là ý nghĩa hình học về tínhlồi của hàm f

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN

HÀM LỒI.

Trong chương này, chúng ta sẽ bắt đầu với một số tính chất đặc trưng cơ bản của hàm lồi Đầu tiên là các phép toán liên quan đến hàm lồi như tổng của hai hàm lồi, tích của hàm số với một số thực dương, các phép toán lấy giới hạn cũng như hợp của hai hàm lồi Tiếp đến, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất đặc biệt của hàm lồi như tính liên tục, tính khả vi và các định lý liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lồi Phần cuối của chương này được dành để nói

về một số bất đẳng thức của hàm lồi cũng như thiết lập một vài bất đẳng thức mới về chủ đề này.

2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi.

Định lý 2.1.1 (Các phép toán với các hàm lồi)

Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X Khi đó

1 Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f+g cũng là hàm lồi trên U Nếu f hoặc

1 Cho ϕ là hàm lồi (lồi thực sự) trên R thì hàm f(x1, , xn) = Pn

k=1

ϕ(xk)là hàmlồi (lồi thực sự) trên Rn

2 Một hàm nhiều biến có thể là hàm lồi theo mỗi biến khi cố định các biến còn lạinhưng không phải là hàm lồi Chẳng hạn như hàm f(x, y) =xy, (x, y)∈ R2.Định lý 2.1.3 [9] Cho I, J ⊂ R là các tập lồi Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự)trên I và g là một hàm lồi không giảm (hàm lồi tăng) trên tập lồi J, f(I) ⊂ J thì

Nếu f là hàm lồi thực sự, g là hàm lồi tăng thì với x 6= y, λ ∈(0; 1), thực hiện nhưtrên ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay g ◦ f là hàm lồi thực sự

Định lý 2.1.4 [9] Cho hàm f: U → R xác định trên tập lồi U của không gian tuyếntính định chuẩn X Khi đó, f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu các hàm

ϕx,y : [0,1]→ R, ϕx,y(t) :=f(tx+ (1− t)y) với x, y ∈ U, t ∈[0,1]

là hàm lồi (lồi thực sự)

Chứng minh ⇒) Giả sử f là hàm lồi thực sự trên U

Với x, y ∈ U cho trước, với mọi u, v ∈[0; 1] và λ ∈[0; 1] ta có

ϕx,y(λu+ (1− λ)v) = f( (λu+ (1− λ)v)x+ (1−[λu+ (1− λ)v])y)

= f(λ[ux+ (1− u)y] + (1− λ)[vx+ (1− v)y] )

≤ λf(ux+ (1− u)y) + (1− λ)f(vx+ (1− v)y)

= λϕx,y(u) + (1− λ)ϕx,y(v),hay ϕx,y là hàm lồi

Nếu f là hàm lồi thực sự thì theo trên, với u 6=v và λ ∈(0; 1) ta thu được bất đẳngthức ngặt, ϕx,y là hàm lồi thực sự

⇐)Giả sử các hàm ϕx 0 ,y 0 là các hàm lồi (x0, y0 ∈ U).

Với mọi x, y ∈ U, với mọi λ ∈[0; 1]ta có

f(λx+ (1− λ)y) =ϕx,y(λ) =ϕx,y(λ.1 + (1− λ)0)

≤ λϕx,y(1) + (1− λ)ϕx,y(0)(do ϕx,y là hàm lồi)

=λf(x) + (1− λ)f(y).Vậy, f là hàm lồi

Nếu ϕx,y là các hàm lồi thực sự thì theo trên, với x 6=y và λ ∈(0; 1)ta thu được bấtđẳng thức ngặt, hay f là hàm lồi thực sự

Định lý 2.1.5 Cho U là một tập lồi trong khôn gian tuyến tính định chuẩn thực X.Nếu dãy(fn)(trong đó fn: U → R) là một dãy hàm lồi hội tụ điểm hữu hạn đến mộthàm f trên U thì f là hàm lồi

Chứng minh Với x, y ∈ U, λ ∈[0; 1], với mọi n ∈ N∗ ta có

fn(λx+ (1− λ)y)≤ λfn(x) + (1− λ)fn(y).Chuyển qua giới hạn ta được

f(λx+ (1− λ)y)≤ λf(x) + (1− λ)f(y).Vậy, f là hàm lồi

Về tính liên tục của hàm lồi, ta có các tính chất sau:

Bổ đề 2.1.6 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, B(x0, ) là hình cầu

mở tâm x0 bán kính  Khi đó:

1 αB(x0, ) = {αx|x ∈ B(x0, )} là hình cầu mở B(αx0, α) với α là số thựcdương

2 B(x0, ) +y = {x+y|x ∈ B(x0, )} là hình cầu mở B(x0+y, ) với y là mộtđiểm bất kỳ của X

3 Tồn tại một số µ >1 sao cho z =µx0∈ B(x0, )

Chứng minh 1 Lấy z =αx ∈ αB(x0, ) (x ∈ B(x0, )) Ta có

kz − αx0k =kαx − αx0k=αkx − x0k < α,

Do x+x0 và y +y0 thuộc U, U lồi nên từ (2.1.1) ta suy ra λx+ (1− λ)y ∈ V hay

V là tập lồi

Với mọi x ∈ V , ta có x+ x0 ∈ U Do U là tập lồi mở nên tồn tại một lân cận

B(x+x0, δ) của x+x0 nằm trong U Khi đó B(x, δ) =B(x+x0, δ)− x0 là một lâncận của x Rõ ràng B(x, δ)⊂ V

Mỗi điểm x trong V đều tồn tại một lân cận B(x, δ) nằm trong V nên V là tập mở.Vậy, V là tập lồi mở trong X

Ta xét hàm g: V → R xác định bởi g(x) =f(x+x0) Ta có g là một hàm lồi trên V Thật vậy, với mọi x, y ∈ V , với mọi λ ∈[0; 1] ta có

g(λx+ (1− λ)y) =f(λx+ (1− λ)y+x0)

=f(λ(x+x0) + (1− λ)(y+x0))

≤ λf(x+x0) + (1− λ)f(y+x0)

=λg(x) + (1− λ)g(y).Nhận xét 2.1.7 Với hàm f và hàm g xác định như trên, ta có các nhận xét sau:

1 Hàm f bị chặn trên trong hình cầu mở B(x0, )⊂ U tương đương với hàm g bịchặn trên trong hình cầu mở B(0, )⊂ V

Thật vậy, f bị chặn trên trong B(x0, ) khi và chỉ khi tồn tại số M sao cho

f(x)≤ M, ∀ x ∈ B(x0, )

Vì B(x0, ) =B(0, ) +x0 nên với mọi y ∈ B(0, )ta có y+x0 ∈ B(x0, ) và

g(y) =f(y+x0)≤ M,hay g bị chặn trên trong B(0, )

Ngược lại, giả sử g bị chặn trên trong B(0, ) tức tồn tại M để

f(y)≤ M, ∀ y ∈ B(0, )

Vì B(0, ) =B(x0, )− x0 nên với mọi x ∈ B(x0, )ta có x − x0 ∈ B(0, ) và

f(x) =g(x− x0)≤ M,hay f bị chặn trên trong B(x0, )

2 Nếu hàm f bị chặn dưới ta cũng có kết quả tương tự

Ta suy ra hàm f bị chặn trong hình cầu mở B(x0, )⊂ U tương đương với hàm

g bị chặn trong hình cầu B(0, )⊂ V

3 Tương tự, hàm f liên tục tại x0 ∈ U tương đương với hàm g liên tục tại 0.Thật vậy, giả sử hàm f liên tục tại x0 Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ >0 saocho với mọi x ∈ U, kx − x0k < δ ta suy ra kf(x)− f(x0)k < .

Suy ra

kg(x− x0)− g(0)k =kf(x)− f(x0)k <  với mọi x ∈ U, kx − x0k < δ

(2.1.2)Đặt y=x− x0 Vì x ∈ U nên y =x− x0 ∈ V , (2.1.2) trở thành

kg(y)− g(0)k <  với mọi y ∈ V, kyk < δ

Suy ra hàm g liên tục tại điểm0

Ngược lại, giả sử g liên tục tại 0 Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao chovới mọi x ∈ V, kxk < δ ta suy ra kg(x)− g(0)k < 

Suy ra

kf(x+x0)− f(x0)k= kg(x)− g(0)k <  với mọi x ∈ V, kxk < δ (2.1.3)Đặt y=x+x0 Vì x ∈ V nên y =x+x0 ∈ U, (2.1.3) trở thành

kf(y)− f(x0)k <  với mọi y ∈ U, ky − x0k < δ

Hay f liên tục tại x0

4 Ta cũng có thể chứng minh hàm f khả vi tại điểm x0 tương đương hàm g khả

vi tại điểm0

Giả sử f là hàm lồi xác định trên tập lồi U Theo Nhận xét 2.1.7, nếu f bị chặn trên(bị chặn) trong một hình cầu mở B(x0, )⊂ U thì không mất tính tổng quát, ta cóthể giả sử 0∈ U và f bị chặn trên (bị chặn) trong hình cầu B(0, )

Tương tự, f liên tục (khả vi) tại điểm x0 ∈ U, không mất tính tổng quát, ta có thểgiả sử 0∈ U và hàm f liên tục (khả vi) tại điểm 0

Định lý 2.1.8 [6] Cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyếntính định chuẩn X Nếu f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x0 ∈ U thì f bịchặn địa phương, tức là mỗi x ∈ U có một lân cận mà trên đó f bị chặn

Chứng minh Định lý được chứng minh theo hai bước:

Bước 1: Giả sử f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x0 ∈ U Ta chứng minh f

bị chặn trong lân cận đó

Theo Nhận xét 2.1.7, ta có thể xem 0∈ U và f bị chặn trên tại điểm 0.

Khi đó tồn tại một hình cầu mở B(0, )⊂ U và một số N sao cho

f(x)≤ N, ∀ x ∈ B(0, ).Bây giờ, ta chứng minh f bị chặn trong B(0, )

Bước 2: Ta chứng minh f bị chặn địa phương trong U (0 ∈ U), tức là với y ∈ U bất

kỳ, ta sẽ chứng minh f bị chặn trong một lân cận nào đó của y

Trường hợp y= 0 đã được xét ở bước 1, ta xét y 6= 0

Do U mở, y ∈ U nên y thuộc một hình cầu mở B(y, 0) tâm y bán kính 0 chứa trong

U Theo Bổ đề 2.1.6, tồn tại µ >1sao cho z =µy ∈ B(y, 0)⊂ U Đặt λ = 1/µ Suy

Hay f bị chặn trên trong A, theo bước 1 ta suy ra f bị chặn trong A

Vậy, với mỗi y ∈ U đều tồn tại một lân cận để f bị chặn trong lân cận đó Nói cáchkhác, f bị chặn địa phương trong U

Định lý 2.1.9 [6] Cho f là một hàm lồi trên tập lồi mở U ⊆ X Nếu f bị chặn trêntrong một lân cận của một điểm thuộc U, thì f là Lipschitz địa phương trên U.Chứng minh Theo Định lý 2.1.8 ta suy ra f bị chặn địa phương trong U

Do đó, với x0 ∈ U ta có thể tìm được một lân cận B(x0,2)⊆ U và một số M > 0

sao cho

|f(x)| ≤ M, ∀x ∈ B(x0,2)

Giả sử f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên B(x0, ).

Khi đó tồn tại x1, x2 ∈ B(x0, ), x1 6= x2 để

f(x2)− f(x1)> 2M

 kx2− x1k hay

kx3− x2k= kα(x2− x1)k = (2.1.5)và

kx3− x0k= kx2− x0+α(x2− x1)k ≤ kx2− x0k+kα(x2− x1)k < + = 2.Hay x3 ∈ B(x0,2)

Đặc biệt, nếu U ⊆ Rn ta có định lý sau:

Định lý 2.1.11 [6] Cho f là một hàm lồi trên một tập lồi mở U ⊆ Rn Khi đó fliên tục trên U

Chứng minh Theo Nhận xét 2.1.7 ta có thể giả sử0∈ U Chọn α >0đủ nhỏ để baolồi

V = co({0, αe1, , αen})⊆ U

Trước hết ta chứng minh V có phần trong V◦ khác rỗng

Thật vậy, lấy một phần tử x ∈ V bất kỳ Khi đó x được biểu diễn dưới dạng

x=λ0.0 +λ1.αe1+ .+λn.αen (λ0+λ1+ .+λn = 1) (2.1.7)Đặt x0 = 0 +αe1+ .+αen

Khi đó x0 ∈ co({0, αe1, , αen})

Do các λi (i= 0, n)trong biểu diễn của x0 đều bằng 1

n+1 > 0và việc giải các phươngtrình (2.1.7) để tìm λ0, λ1, , λn quy về việc giải một hệ phương trình tuyến tínhvới các λi(i= 0, n)phụ thuộc liên tục vào các thành phần tọa độ của x nên tồn tại

số δ >0 sao cho nếu x ∈ B(x0, δ)thì các λi> 0∀ i= 0, n

Suy ra B(x0, δ)⊂ co({0, αe1, , αen}) là một lân cận của x0

Theo Định lý 2.1.10 ta có điều phải chứng minh

Về tính khả vi của hàm lồi, ta có các tính chất sau:

Định lý 2.1.12 [6] Giả sử hàm f xác định trên một tập lồi mở U ⊆ X Nếu f làhàm lồi trên U và khả vi tại x0, thì với x ∈ U, ta có

f(x)− f(x0)≥ f0(x0)(x− x0) (2.1.8)Nếu f khả vi trên U, thì f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa (2.1.8) với mọi x, x0 ∈ U.Hơn nữa, f lồi thực sự nếu và chỉ nếu bất đẳng thức (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt

Chứng minh Nếu f là hàm lồi thì với mọi t ∈(0; 1),

f(x0+t(x− x0)) =f((1− t)x0+tx)≤(1− t)f(x0) +tf(x)

Đặt h=x− x0 ta có

f(x0+th)− f(x0)≤ t[f(x0+h)− f(x0)] (2.1.9)Trừ f0(x0)(th)vào hai vế của (2.1.9) rồi chia cho t với chú ý f0(x0)(th)

f(x0)≤ tf(x1) + (1− t)f(x2) (2.1.10)Điều này chứng tỏ f là hàm lồi trên U

Nếu (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt thì (2.1.10) là bất đẳng thức ngặt, f là hàm lồithực sự trên U

Định nghĩa 2.1.1 [6] Cho I ⊂ R là một khoảng và hàm f: I → R là hàm khả vi trên

I Khi đó, f0(x)được gọi là đơn điệu tăng nếu

(f0(x)− f0(y))(x− y)≥0, ∀ x, y ∈ I

Nếu với mọi x, y ∈ I, x 6= y, (f0(x)− f0(y))(x− y)> 0thì f0(x)được gọi là đơn điệutăng thực sự.

Xem f0 là ánh xạ tuyến tính, ta có định nghĩa tổng quát hơn:

Định nghĩa 2.1.2 [6] Cho U ⊂ X là một tập mở và f: U → R là hàm khả vi trên U.Khi đó, f0(x)được gọi là hàm đơn điệu tăng nếu

tức là ta có (2.1.12), (2.1.11).

Bất đẳng thức (2.1.11) chứng tỏ f là hàm lồi trên I

Nhận xét 2.1.14 Trong Định lý 2.1.13, nếu f0 là hàm đơn điệu tăng thực sự thì(2.1.15) là bất đẳng thức ngặt, ta suy ra (2.1.11) là bất đẳng thức ngặt Hay f làhàm lồi thực sự trên I

Tổng quát hơn, ta có định lý:

Định lý 2.1.15 [6] Cho f: U → R khả vi trên một tập lồi mở U ⊆ X Khi đó f làhàm lồi (lồi thực sự) nếu và chỉ nếu f0 đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) trên U.Chứng minh Đối với một hàm lồi khả vi trên U, Định lý 2.1.12 cho ta

Theo Nhận xét 1.1.4 và định nghĩa hàm ϕx,y ta có

f((λ1+t)x+ (1− λ1− t)y)− f(λ1x+ (1− λ1)y)

t

= limt→0

f(u1+t(x− y))− f(u1)

t =f0(u1)(x− y).Tương tự, ϕ0

x,y(λ2) =f0(u2)(x− y)

Ta có u2− u1 = (λ2− λ1)(x− y)và f0 là đơn điệu tăng nên ta suy ra

0≤(f0(u2)− f0(u1))(u2− u1) = (λ2− λ1)(f0(u2)− f0(u1))(x− y)

Suy ra f0(u1)(x− y)≤ f0(u2)(x− y).

Ta có

ϕ0x,y(λ1) =f0(u1)(x− y)≤ f0(u2)(x− y) =ϕ0x,y(λ2) (2.1.16)Suy ra các hàm ϕx,y là các hàm lồi theo Định lý 2.1.13

Vậy, f là hàm lồi theo Định lý 2.1.4

Nếu f0 đơn điệu tăng thực sự thì bất đẳng thức (2.1.16) ở trên trở thành bất đẳngthức ngặt, ϕx,y là hàm lồi thực sự theo Nhận xét 2.1.14 Nói cách khác, f là hàm lồithực sự

Bổ đề 2.1.16 [6] Cho f : U → R là hàm khả vi liên tục trên một tập mở U của khônggian tuyến tính định chuẩn X và f00(x) tồn tại trên U Khi đó với bất kỳ x, x0 ∈ U,tồn tại s ∈(0,1) để

f(x) =f(x0) +f0(x0)(h) + 1

2f

00(x0+sh)(h, h)

trong đó h=x− x0

Chứng minh Với x, x0 ∈ U cho trước, xét hàm φ : (a, b)→ R trên khoảng(a, b)chứa

[0,1] trong đó φ(t) =f(x0+th) Theo Nhận xét 1.1.4 và định nghĩa hàm φ ta có

Chứng minh Theo tính chất của hàm một biến thực, f0 tăng (tăng thực sự) nếu vàchỉ nếu f00 là không âm (dương) Kết hợp với Định lý 2.1.15 ta có điều phải chứngminh.

Ví dụ 2.1.18 Từ Định lý 2.1.17 ta suy ra các hàm sau là hàm lồi:

• f(x) =eαx, trong đó α ∈ R

• f(x) =xp nếu x >0, trong đó 1≤ p hoặc p ≤ 0

• f(x) =−xp nếu x >0, trong đó 0≤ p ≤1

• f(x) =−lnx nếu x >0

Trong trường hợp tổng quát, ta có định lý:

Định lý 2.1.19 [6] Cho f là hàm khả vi liên tục và có đạo hàm cấp hai trên tập lồi

mở U ⊆ X Khi đó f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu f00(x) xác địnhkhông âm (xác định dương) với mỗi x ∈ U

Chứng minh ⇐) Theo Bổ đề 2.1.16 với bất kỳ x, x0 ∈ U, ta có

Nếu f00(x0) là xác định dương thì bất đẳng thức (2.1.17) trở thành bất đẳng thứcngặt, theo Định lý 2.1.12 ta suy ra f là hàm lồi thực sự

⇒)Ngược lại, giả sử f là hàm lồi Với x ∈ U và h ∈ X, đặt g(t) =f(x+th)

Dễ thấy g là hàm lồi trên một lân cận của điểm 0 Ta có

Nếu f là hàm lồi thực sự thì g là hàm lồi thực sự, theo Định lý 2.1.17 ta có g00(0)> 0.

Ta suy ra f00(x)(h, h)> 0 Do h bất kỳ nên f00(x) là xác định dương

Vậy, định lý được chứng minh

Trong không gian Rn, với một hàm nhiều biến mà tất cả các đạo hàm riêng đềutồn tại, ta luôn có thể xác định ánh xạ tuyến tính với ma trận

được gọi là gradient của f

Việc tồn tại gradient ∇f(x0)không suy ra được sự tồn tại f0(x0)nhưng đối với hàmlồi ta có định lý sau:

Định lý 2.1.20 [6] Nếu f là một hàm lồi trên tập lồi mở U ⊆ Rn và tất cả các đạohàm riêng tồn tại tại x0 ∈ U thì f0(x0) tồn tại

Chứng minh Theo Nhận xét 2.1.7, ta có thể giả sử 0∈ U

Vì U là tập mở nên tồn tại một hình cầu mở B(0, δ) sao cho n.B(0, δ)⊂ U Khi đó

φ(hinei) =f(x0+hinei)− f(x0)− fi(x0)hin