Một số tính chất của ma trận và áp dụng vào đồ thị

Các tính chất của đồ thị có thể được biểu diễn bằng ngôn ngữ đại số tuyếntính và những kết quả của đại số tuyến tính sẽ được thể hiện trực quan bằng đồ thị.. Với đề tài này, tôi hy vọng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên, 10/2018

Mục lục

1.1 Khái niệm của đồ thị và phổ của đồ thị 3

1.1.1 Khái niệm đồ thị 3

1.1.2 Phổ của đồ thị 6

1.2 Ma trận kề Ma trận trọng số 10

1.3 Ma trận liên thuộc 13

2 Tính chất của ma trận biểu diễn đồ thị và các phép toán đồ thị 14 2.1 Tính chất của ma trận biểu diễn đồ thị 14

2.1.1 Ma trận Laplace của đồ thị và một số tính chất cơ bản 14 2.1.2 Ma trận Laplace của một cạnh 17

2.1.3 Phân tích ma trận Laplace 19

2.1.4 Định lý Kirchhoff 20

2.2 Các phép toán đồ thị 26

3 Áp dụng một số tính chất của ma trận vào đồ thị 32 3.1 Ứng dụng định lý Kirchhoff tìm số cây bao trùm của đồ thị 32

3.2 Ứng dụng trong đếm số đồ thị con 33

3.3 Ứng dụng xác định bậc chính quy và tính hai phần 36

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Văn Mậu.Thầy đã hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để cho tác giả hoàn thành luậnvăn này Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâusắc tới thầy

Tác giả cũng được xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo

đã tham gia giảng dạy các lớp cao học Toán K10Q, trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, khoa Toán - Tin đã tạo điều kiện thuận lợi nhất chotác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớp caohọc toán K10Q, gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đãgiúp đỡ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiêncứu

Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng do điều kiện thời gian ngắn,trình độ và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế, nên luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những đóng góp củacác thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tác giả có thể tiếp tục nghiên cứu tốthơn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018

Người viết luận văn

Mạc Anh Văn

Mở đầu

Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu đã hình thành và phát triển

từ khá lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại Những tư tưởng cơ bản của

lý thuyết đồ thị đã xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ XVIII bởi nhà toánhọc lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chính ông là người đã đề xuất môhình đồ thị và sử dụng nó để giải bài toán nổi tiếng về cây cầu ở thành phốK¨onigsberg Từ đó, lý thuyết đồ thị ngày càng khẳng định được vị trí quantrọng trong việc áp dụng để giải quyết nhiều bài toán trên mọi lĩnh vực

Đồ thị mô tả các quan hệ hai ngôi trên tập hợp một cách trực quan sinhđộng: giúp chúng ta mô ta các bài toán phức tạp trở lên cụ thể, đơn giản hơn

Sơ đồ biểu diễn một hệ thống các tuyến bay của một hãng hàng không là mộthình ảnh của đồ thị Các đối tượng là các sân bay, mỗi đường bay thẳng sẽbiểu diễn mối liên hệ giữa 2 sân bay đầu cuối của tuyến

Các tính chất của đồ thị có thể được biểu diễn bằng ngôn ngữ đại số tuyếntính và những kết quả của đại số tuyến tính sẽ được thể hiện trực quan bằng

đồ thị Ma trận là một khái niệm của Đại số tuyến tính Ma trận có ứng dụngtrong hầu hết các lĩnh vực khoa học Ma trận có vai trò khá quan trọng trong

lý thuyết đồ thị Có thể nói ma trận là một công cụ kết nối giữa lý thuyết đồthị và đại số tuyến tính Trong phạm vi của luận văn tốt nghiệp thạc sĩ chuyênngành phương pháp toán sơ cấp từ sự đề xuất hướng nghiên cứu và trực tiếphướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, chúng tôi xác định đề tài là “Một

số tính chất của ma trận và áp dụng vào đồ thị ”

Với đề tài này, tôi hy vọng rằng sẽ làm rõ mối liên hệ giữa đại số tuyến tính

và lý thuyết đồ thị dựa trên các biểu diễn ma trận của nó, từ đó tìm ra đượcứng dụng Kết quả của đề tài cũng là sự thể hiện quá trình tập dượt nghiêncứu của tôi

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu sự liên hệ giữa ma trận và đồ thị, phổcủa đồ thị, từ đó góp phần làm rõ mối quan hệ giữa đại số tuyến tính với lý

thuyết đồ thị Nhiệm vụ nghiên cứu được đặt ra trong khuôn khổ luận văn này

là nghiên cứu lợi ích khi biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận, từ đó sử dụngcác công cụ đại số nhằm tìm ra các ứng dụng thực tế của ma trận đồ thị Đốitượng nghiên cứu của luận văn xoay quanh đồ thị hữu hạn và các biểu diễncủa đồ thị dưới dạng ma trận là: ma trận kề, ma trận liên thuộc, ma trận cótrọng số và ma trận Laplace (xem [1-2], [4-6])

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chialàm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tôi trình bày cáchxây dựng một đồ thị về ma trận đại số và khái niệm phổ của đồ thị

Chương 2 Tính chất của ma trận biểu diễn đồ thị và các phéptoán đồ thị Trên cở sở các loại ma trận của đồ thị hướng đến chứng minhđịnh lí Kirchhoff Rõ ràng, việc tính số cây bao trùm của một đồ thị trực quanthường mất thời gian và dễ gây nhầm lẫn, thiếu xót nhưng với định lí Kirrchoff

từ công cụ đại số tác giả xây dựng nên cách tính số cây bao trùm của một

đồ thị một cách chính xác và khoa học hơn bằng phần bù đại số của ma trậnLaplace Tiếp theo là các phép toán đồ thị để đếm số đồ thị con và xác địnhbậc chính quy và tính hai phần

Chương 3 Áp dụng một số tính chất của ma trận vào đồ thị Tácgiả trình bày 3 ứng dụng sử dụng tính chất đã nêu ở chương hai Ứng dụngđầu tiên sử dụng định lý kirchhoff nhằm giải quyết bài toán xây dựng mạnglưới đường sắt tàu hỏa một cách kinh tế và tối ưu nhất Ứng dụng thứ hai vàthứ ba sử dụng tính chất phổ của đồ thị để đếm số đồ thị con và xác định bậcchính quy và tính hai phần

1.1.1 Khái niệm đồ thị

Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E),

ở đây V là một tập hữu hạn; còn E là tập với các phần tử là các tập con haiphần tử trên V ,

E ⊆ {{u, v}|u, v ∈ V, u 6= v}

Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, tập đỉnh của G được ký hiệu là

V (G) Các phần tử của E được gọi là các cạnh, tập cạnh của đồ thị vô hướng

G được ký hiệu là E(G) Nhưng để đơn giản hơn ta có thể viết “đỉnh v ∈ V ”hay “cạnh e ∈ E” Cho a, b ∈ V , nếu tồn tại e ∈ {a, b} thì khi đó e là một cạnhcủa G với hai đỉnh đầu mút là a, b hay a, b là hai đỉnh liên thuộc với e Cạnh

e = {a, b} thường được ký hiệu ngắn gọn là ab hay ba Trong luận văn này, tachỉ xét tới đơn đồ thị, không xét tới đồ thị có khuyên và đa đồ thị Do vậy khinhắc đến đồ thị, ta ngầm hiểu là đơn đồ thị vô hướng

Có thể biểu diễn một đồ thị một cách trực quan như sau: Các đỉnh của Vđược biểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ (rỗng hoặc đặc), còn các cạnh được

biểu diễn bằng một đường cong (đường thẳng) nối 2 đầu mút của cạnh.

Ví dụ 1.1.2 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, f, g}; E = {ad, db, dc, bc, cf, cg, gf }.Khi đó biểu diễn của đồ thị vô hướng G:

Hình 1.1: Đồ thị GGiả sử một mạng lưới giao thông gồm các trạm xe bus và đường đi giữachúng, giữa 2 trạm luôn chỉ có không quá một đường đi trực tiếp, không cóđường quay vòng từ một trạm tới chính nó Ta biểu diễn mạng lưới giao thôngnày bằng mô hình đồ thị như sau: mỗi trạm đỗ xe là một đỉnh, mỗi đường đitrực tiếp giữa hai trạm là 1 cạnh

Ta có hình ảnh chính xác của đồ thị

Hình 1.2: Mạng lưới xe bus

Các đường giao thông đôi khi chỉ được chạy theo một chiều Chúng ta cóthể dùng đồ thị có hướng để mô hình hóa những mạng như thế

Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E),

ở đây V là một tập hữu hạn, còn E là một tập con của tích Đề các V × V

Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E được gọi

là các cung của đồ thị vô hướng G Nếu (a, b) ∈ E thì (a, b) được gọi là cungcủa G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng từ a tới b Khi đã cho

G = (V, E) là đồ thị có hướng, cung (a, b) ∈ E thường được ký hiệu ngắn gọn

là ab với a là đỉnh đầu và b là đỉnh cuối; ba là cạnh với b là đỉnh đầu, a là đỉnhcuối

Biểu diễn một đồ thị có hướng trên mặt phẳng trực quan tương tự như biểudiễn đồ thị vô hướng: Các đỉnh của V được biểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ(rỗng hoặc đặc), còn các cung được biểu diễn bằng một đường cong có hướng(với mũi tên) từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối

Định nghĩa 1.1.4 Đồ thị có hướng hoặc vô hướng G = (V, E) được gọi là đồthị có trọng số (hay thường gọi tắt là trọng đồ) nếu có ít nhất một trong haihàm:

f : V → WV và g : E → WEđược xác định Ở đây Wv và WE là các tập số Giá trị f (v) cho v ∈ V đượcgọi là trọng số của đỉnh v, còn giá trị g(e) cho e ∈ E được gọi là trọng số củacung hay cạnh e Người ta cũng thường ký hiệu trọng đồ bằng G = (V, E, f )hay hay G = (V, E, f, g) tùy thuộc vào việc chỉ một hàm f , chỉ một hàm g hay

Khi đó biểu diễn của đồ thị có trọng số G:

Hình 1.3: Đồ thị có trọng số G

1.1.2 Phổ của đồ thị

Cho G là một đơn đồ thị vô hướng hữu hạn và không có khuyên Giả sử cácđỉnh của G được gán nhãn là 1, 2, , n Nếu đỉnh i và j được nối với nhaubởi một cạnh thì ta nói i và j kề nhau và viết i ∼ j Trước hết ta xem xét matrận kề A của đồ thị G được định nghĩa như sau: A = A(G) = (aij), trong đó

aij = 1 nếu i ∼ j và bằng 0 trong các trường hợp khác

Do đó A là ma trận đối xứng với các phần tử trên đường chéo chính bằng

0, các phần tử khác có thể lấy các giá trị là 0 và 1 trong trường hợp bất kỳ,tuy nhiên xuyên suốt luận văn này các phần tử được xem là các số thực Một

ví dụ về đồ thị và ma trận kề của nó được cho trong Hình 1.4

Hình 1.4: Một đồ thị được gán nhãn G và ma trận kề A của nó.

Các giá trị riêng của A là các số thực λ thỏa mãn Ax = λx với véc tơ kháckhông x ∈ Rn Mỗi véc tơ x được gọi là một véc tơ riêng của ma trận A (haycủa đồ thì được gán nhãn G) tương ứng với giá trị riêng λ Quan hệ Ax = λx

có thể được mô tả theo cách sau: nếu x = (x1, x2, , xn)T thì

Vì A là một ma trận đối xứng thực, các giá trị riêng là những số thực.Chúng ta thường ký hiệu các giá trị riêng là λ1, λ2, , λn và trừ khi chúng tachỉ ra trong những trường hợp khác, chúng ta giả sử rằng λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn.Khi cần, chúng ta sử dụng ký hiệu λi = λi(G) (i = 1, 2, , n)

Định nghĩa 1.1.6 Tập các giá trị riêng của ma trận kề A của đồ thị G đượcgọi là phổ của đồ thị G

Giá trị riêng lớn nhất λ1(G) được gọi là chỉ số (index) của G Với mọi sốnguyên k ≥ 0, moment phổ thứ k của G làPni=1λki ký hiệu bởi sk Chú ý rằng

sk là tổng đường chéo của Ak và n moment phổ đầu tiên xác định phổ của G.Mệnh đề 1.1.7 ([2], [4]) Nếu đồ thị G có bậc lớn nhất là ∆(G) thì |λ| ≤ ∆(G)với mọi giá trị riêng λ của G

Chứng minh Với ký hiệu ở trên, đặt u là một đỉnh mà |xu| là cực đại Sử dụngPhương trình (1.1), chúng ta có:

Ví dụ 1.1.10 Các giá trị riêng của chu trình có độ dài n là 2 cos2πjn (j =

0, 1, , n − 1) Để thấy điều này, ta quan sát rằng một ma trận kề có dạng

A = P + P−1 trong đó P là một ma trận hoán vị xác định bởi một hoán vịvòng độ dài n Nếu ω căn bậc n của đơn vị thì (1, ω, ω2, , ωn−1)T là một véc

tơ riêng của P với giá trị riêng tương ứng ω Vì vậy các giá trị riêng của A là

số ω + ω−1 trong đó ωn = 1 Vì vậy giá trị riêng lớn nhất là 2 (với bội 1) và giátrị riêng lớn thứ hai là 2 cos2πn (với bội 2) Giá trị riêng nhỏ nhất là −2 (vớibội 1) nếu n là chẵn và 2 cos(n−1)πn (với bội 2) nếu n lẻ

Ví dụ 1.1.11 Đồ thị Petersen (Hình 1.5) có phổ là 31, 15, (−2)4

Hình 1.5: Đồ thị Petersen.

Chúng ta nói rằng hai đồ thị là đồng phổ nếu chúng có phổ giống nhau Rõràng, các đồ thị đẳng cấu là đồng phổ (nói cách khác, phổ là bất biến đồ thị).Tuy nhiên các đồ thị có phổ giống nhau không nhất thiết là đẳng cấu: các đồthị không đẳng cấu trong Hình 1.6(a) có phổ là 21, 03, (−2)1 Đây là ví dụ với

số đỉnh ít nhất Hình 1.6(b) là đồ thị liên thông không đẳng cấu đồng phổ với

số đỉnh ít nhất: đa thức đặc trưng của chúng là (x − 1)(x + 1)2(x3− x2− 5x + 1).Các đồ thị khác nhau được đặc trưng bởi phổ của chúng hoặc cùng với các bấtbiến đại số của chúng

Hình 1.6: Hai cặp đồ thị đồng phổ không đẳng cấu.

Cho đồ thị G với tập đỉnh 1, 2, , n Gọi D là ma trận đường chéo

diag(d1, , dn), trong đó di là bậc của đỉnh i (i = 1, , n) Ma trận Laplaciancủa một đồ thị G là ma trận D − A và ma trận Laplacian không dấu là matrận D + A Ma trận Seidel của G là ma trận S = J − I − 2A, trong đó J là

ma trận 1 kích thược n × n Vì vậy phần tử ở vị trí (i, j) của S là 0 nếu i = j,

−1 nếu i ∼ j và 0 trong các trường hợp khác Giống như các đồ thị chính quy

đã biết, có rất ít sự lựa chọn giữa các ma trận của nó từ quan điểm phổ đồthị Giả sử rằng G là đồ thị chính quy bậc r và A có các giá trị riêng xếp theothứ tự không tăng λ1, , λn Từ Mệnh đề 1.1.7 và 1.1.8, ta có λ1 = r và tất

cả các véc tơ gồm toàn 1 có thể mở rộng tới một cơ sở trực giao của Rn gồmcác véc tơ riêng của ma trận A, rI ± A và J − I − 2A Khi đó D ± A có các giátrị riêng

r ± r, r ± λ2, , r ± λn,trong đó S có các giá trị riêng n − 1 − 2r, −1 − 2λ2, , −1 − 2λn

Ví dụ 1.1.12 Cho đồ thị như trong Hình 1.4 Các giá trị riêng của ma trậnLaplacian là 5, 5, 3, 3, 0 Các giá trị riêng của ma trận Laplacian không dấu là

Ma trận Seidel có liên quan đặc biệt tới graph switching (thường được gọi

là Seidel switching): cho một tập con U các đỉnh của đồ thị G Đồ thị GU thuđược từ G như sau Với u ∈ U, v /∈ U các đỉnh u, v kề nhau trong GU nếu vàchỉ nếu chúng không kề trong G Giả sử rằng G có ma trận kề trong G là

trong đó B thu được từ B bằng cách thay 0 bởi 1 Khi G là chính quy thì côngthức này dễ chỉ ra (Xem Ví dụ 1.1.9) Việc tìm kiếm một điều kiện cần và đủtrên U cho GU là chính quy như sau:

Mệnh đề 1.1.13 ([2], [4]) Giả sử rằng G là chính quy với n đỉnh và bậc r.Khi đó GU là chính quy bậc r nếu và chỉ nếu U sinh ra một đồ thị con bậc k,trong đó |U | = n − 2(r − k)

Chú ý rằng đồ thị switching đối với tập con U của tập các đỉnh giống như là

đồ thị switching đối với các hợp phần của nó Đồ thị switching được mô tả dễdàng từ ma trận Seidel S của G: ma trận Seidel của GU là T−1ST trong đó T

là ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thứ i là 1 nếu i ∈ U và −1 nếu ikhông thuộc U Ta dễ dàng thấy rằng đồ thị switching trên U và V giống nhưswitching đối với (U \V ) ˙∪(V \U ) Ta thấy rằng switching xác định một quan

hệ tương đương trên đồ thị Chú ý rằng đồ thị tương đương switching có matrận Seidel tương tự và vì vậy có phổ Seidel giống nhau Xét quan hệ giữa phổ

và phổ Seidel của các đồ thị chính quy, chúng ta có mệnh đề sau:

Hình 1.7: Đồ thị vô hướng G và đồ thị có hướng G1Lời giải Ma trận kề của đồ thị vô hướng G là:

1) Rõ ràng ma trận kề của đồ thị vô hướng là đối xứng, tức là

Khi đó

apij, i, j = 1, 2, , ncho ta số đường đi khác nhau từ đỉnh i tới đỉnh j qua p − 1 đỉnh trunggian

Ma trận kề của đồ thị có hướng được định nghĩa hoàn toàn tương tự

Ví dụ 1.2.2 Đồ thị có hướng G1 cho trong Hình 1.7 có ma trận kề là ma trậnsau

Lưu ý rằng ma trận của đồ thị có hướng chưa chắc là ma trận đối xứng

Trong trường hợp đồ thị có trọng số cạnh hoặc cung, thay vì ma trận kề,

để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số

C = cij : i, j = 1, 2, , n,với

cij = cji, nếu (i, j) ∈ Evà

cij = θ, nếu (i, j) /∈ Etrong đó số θ, tùy từng trường hợp cụ thể, có thể được đặt bằng một trong cácgiá trị sau: 0, −∞, +∞

Ưu điểm lớn nhất của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề (hoặc

ma trận trọng số) là để trả lời câu hỏi: Hai đỉnh u, v có kề nhau trên đồ thị haykhông, chúng ta chỉ phải thực hiện một phép so sánh Nhược điểm lớn nhấtcủa phương pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị, ta luôn phải

sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề của nó

1.3 Ma trận liên thuộc

Xét G = (V, E), (V = {1, 2, , n}, E = {e1, e2, , em}) , là đồ thị cóhướng Xây dựng ma trận B = (bij, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m), trong đó

1 nếu tồn tại {i, j}, i < j

−1 nếu tồn tại {i, j}, i > j

0 nếu không tồn tại {i, j}

Ma trận B xây dựng như quy tắc vừa nêu được gọi là ma trận liên thuộc đỉnhcung

Ví dụ 1.3.1 Xét đồ thị cho trên hình vẽ sau:

2.1.1 Ma trận Laplace của đồ thị và một số tính chất cơ bản

Định nghĩa 2.1.1 Cho một đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V vàtập hợp cạnh E

+ Ma trận kề AG = aij của đồ thị G được xác định bởi

Khi đó, ma trận Laplace của đồ thị G : LG được định nghĩa bởi

LG = DG− AG

Ví dụ 2.1.2 Cho đồ thị G như hình vẽ

Hình 2.1: Đồ thị GKhi đó:

Nhận xét 2.1.4 Nếu G và H là hai đồ thị với cùng một tập đỉnh và tập cạnhrời nhau thì

LG∪H = LG+ LH

Bổ đề 2.1.5 ([2], [4]) Ma trận Laplace của hai đồ thị G và H bằng tổng trựctiếp của LG và LH

có các vectơ riêng:

v1⊕ 0, v2⊕ 0 , vn⊕ 0, 0 ⊕ ω1, 0 ⊕ ω2, , 0 ⊕ ωnvới các giá trị riêng:

λ1, λ2, , λn, µ1, µ2, , µn.Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.5 ta có:

LG∪H = LG⊕ LH = LG 0

0 LH

!

.suy ra

Hình 2.3: Đồ thị GKhi đó