Một số tính chất của ma trận và áp dụng vào đồ thị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– MẠC ANH VĂN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG VÀO ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– MẠC ANH VĂN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG VÀO ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên, 10/2018 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đồ thị phổ đồ 1.1.1 Khái niệm đồ thị 1.1.2 Phổ đồ thị 1.2 Ma trận kề Ma trận trọng số 1.3 Ma trận liên thuộc thị Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép tốn đồ thị 2.1 Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị 2.1.1 Ma trận Laplace đồ thị số tính chất 2.1.2 Ma trận Laplace cạnh 2.1.3 Phân tích ma trận Laplace 2.1.4 Định lý Kirchhoff 2.2 Các phép toán đồ thị Áp 3.1 3.2 3.3 3 10 13 14 14 14 17 19 20 26 dụng số tính chất ma trận vào đồ thị 32 Ứng dụng định lý Kirchhoff tìm số bao trùm đồ thị 32 Ứng dụng đếm số đồ thị 33 Ứng dụng xác định bậc quy tính hai phần 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt • G: Đồ thị n đỉnh, m cạnh • A: Ma trận kề n × n G có đường chéo • L = D − A: Ma trận Laplace G B: Ma trn liờn thuc n ì m · L = B T B • Ckk : Là phần bù đại số phần tử thứ k đường chéo ma trận vng L • [L]k,k : Là định thức thứ k ma trận vuông L iii Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy hướng dẫn tạo điều kiện tốt tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K10Q, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, khoa Toán - Tin tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớp cao học tốn K10Q, gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Mặc dù thân có nhiều cố gắng điều kiện thời gian ngắn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy bạn đồng nghiệp để tác giả tiếp tục nghiên cứu tốt Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Người viết luận văn Mạc Anh Văn Mở đầu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu hình thành phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị xuất từ năm 30 kỷ XVIII nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chính ơng người đề xuất mơ hình đồ thị sử dụng để giải tốn ting v cõy cu thnh ph Kăonigsberg T ú, lý thuyết đồ thị ngày khẳng định vị trí quan trọng việc áp dụng để giải nhiều tốn lĩnh vực Đồ thị mơ tả quan hệ hai tập hợp cách trực quan sinh động: giúp mô ta toán phức tạp trở lên cụ thể, đơn giản Sơ đồ biểu diễn hệ thống tuyến bay hãng hàng khơng hình ảnh đồ thị Các đối tượng sân bay, đường bay thẳng biểu diễn mối liên hệ sân bay đầu cuối tuyến Các tính chất đồ thị biểu diễn ngơn ngữ đại số tuyến tính kết đại số tuyến tính thể trực quan đồ thị Ma trận khái niệm Đại số tuyến tính Ma trận có ứng dụng hầu hết lĩnh vực khoa học Ma trận có vai trò quan trọng lý thuyết đồ thị Có thể nói ma trận cơng cụ kết nối lý thuyết đồ thị đại số tuyến tính Trong phạm vi luận văn tốt nghiệp thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp từ đề xuất hướng nghiên cứu trực tiếp hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, xác định đề tài “Một số tính chất ma trận áp dụng vào đồ thị” Với đề tài này, hy vọng làm rõ mối liên hệ đại số tuyến tính lý thuyết đồ thị dựa biểu diễn ma trận nó, từ tìm ứng dụng Kết đề tài thể trình tập dượt nghiên cứu Mục tiêu luận văn tìm hiểu liên hệ ma trận đồ thị, phổ đồ thị, từ góp phần làm rõ mối quan hệ đại số tuyến tính với lý thuyết đồ thị Nhiệm vụ nghiên cứu đặt khuôn khổ luận văn nghiên cứu lợi ích biểu diễn đồ thị dạng ma trận, từ sử dụng cơng cụ đại số nhằm tìm ứng dụng thực tế ma trận đồ thị Đối tượng nghiên cứu luận văn xoay quanh đồ thị hữu hạn biểu diễn đồ thị dạng ma trận là: ma trận kề, ma trận liên thuộc, ma trận có trọng số ma trận Laplace (xem [1-2], [4-6]) Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi trình bày cách xây dựng đồ thị ma trận đại số khái niệm phổ đồ thị Chương Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép toán đồ thị Trên cở sở loại ma trận đồ thị hướng đến chứng minh định lí Kirchhoff Rõ ràng, việc tính số bao trùm đồ thị trực quan thường thời gian dễ gây nhầm lẫn, thiếu xót với định lí Kirrchoff từ công cụ đại số tác giả xây dựng nên cách tính số bao trùm đồ thị cách xác khoa học phần bù đại số ma trận Laplace Tiếp theo phép toán đồ thị để đếm số đồ thị xác định bậc quy tính hai phần Chương Áp dụng số tính chất ma trận vào đồ thị Tác giả trình bày ứng dụng sử dụng tính chất nêu chương hai Ứng dụng sử dụng định lý kirchhoff nhằm giải toán xây dựng mạng lưới đường sắt tàu hỏa cách kinh tế tối ưu Ứng dụng thứ hai thứ ba sử dụng tính chất phổ đồ thị để đếm số đồ thị xác định bậc quy tính hai phần Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở cho chương sau Trước tiên trình bày khái niệm đồ thị có hướng đồ thị vơ hướng, từ biểu diễn đồ thị dạng ma trận ý nghĩa Mục đích chương nhằm giới thiệu vài khái niệm lí thuyết đồ thị, đặc biệt phổ đồ thị Kiến thức chương sử dụng tài liệu [1], [2] [4] 1.1 Khái niệm đồ thị phổ đồ thị 1.1.1 Khái niệm đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập hữu hạn; E tập với phần tử tập hai phần tử V , E ⊆ {{u, v}|u, v ∈ V, u = v} Các phần tử V gọi đỉnh, tập đỉnh G ký hiệu V (G) Các phần tử E gọi cạnh, tập cạnh đồ thị vô hướng G ký hiệu E(G) Nhưng để đơn giản ta viết “đỉnh v ∈ V ” hay “cạnh e ∈ E” Cho a, b ∈ V , tồn e ∈ {a, b} e cạnh G với hai đỉnh đầu mút a, b hay a, b hai đỉnh liên thuộc với e Cạnh e = {a, b} thường ký hiệu ngắn gọn ab hay ba Trong luận văn này, ta xét tới đơn đồ thị, không xét tới đồ thị có khuyên đa đồ thị Do nhắc đến đồ thị, ta ngầm hiểu đơn đồ thị vơ hướng Có thể biểu diễn đồ thị cách trực quan sau: Các đỉnh V biểu diễn vòng tròn nhỏ (rỗng đặc), cạnh biểu diễn đường cong (đường thẳng) nối đầu mút cạnh Ví dụ 1.1.2 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, f, g}; E = {ad, db, dc, bc, cf, cg, gf } Khi biểu diễn đồ thị vơ hướng G: Hình 1.1: Đồ thị G Giả sử mạng lưới giao thông gồm trạm xe bus đường chúng, trạm ln có khơng q đường trực tiếp, khơng có đường quay vòng từ trạm tới Ta biểu diễn mạng lưới giao thơng mơ hình đồ thị sau: trạm đỗ xe đỉnh, đường trực tiếp hai trạm cạnh Ta có hình ảnh xác đồ thị Hình 1.2: Mạng lưới xe bus Các đường giao thông chạy theo chiều Chúng ta dùng đồ thị có hướng để mơ hình hóa mạng Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập hữu hạn, E tập tích Đề V × V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cung đồ thị vô hướng G Nếu (a, b) ∈ E (a, b) gọi cung G với đỉnh đầu a, đỉnh cuối b có hướng từ a tới b Khi cho G = (V, E) đồ thị có hướng, cung (a, b) ∈ E thường ký hiệu ngắn gọn ab với a đỉnh đầu b đỉnh cuối; ba cạnh với b đỉnh đầu, a đỉnh cuối Biểu diễn đồ thị có hướng mặt phẳng trực quan tương tự biểu diễn đồ thị vô hướng: Các đỉnh V biểu diễn vòng tròn nhỏ (rỗng đặc), cung biểu diễn đường cong có hướng (với mũi tên) từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối Định nghĩa 1.1.4 Đồ thị có hướng vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị có trọng số (hay thường gọi tắt trọng đồ) có hai hàm: f : V → WV g : E → WE xác định Ở Wv WE tập số Giá trị f (v) cho v ∈ V gọi trọng số đỉnh v, giá trị g(e) cho e ∈ E gọi trọng số cung hay cạnh e Người ta thường ký hiệu trọng đồ G = (V, E, f ) hay hay G = (V, E, f, g) tùy thuộc vào việc hàm f , hàm g hay hai hàm f g xác định Trong khuôn khổ luận văn này, sử dụng tới G = (V, E, g) Biểu diễn đồ thị G = (V, E, g) có trọng số mặt phẳng ta biểu diễn đồ thị có hướng gắn giá trị trọng số tương ứng lên trực tiếp sát phía bên cạnh cung mang giá trị Ví dụ 1.1.5 Cho đồ thị có hướng có trọng số với V = {a, b, c, d, f, g}, E = {ad, db, dc, bc, cf, cg, gf }, g(ad) = g(dc) = g(gf ) = 3, g(db) = g(bc) = 2, g(cf ) = g(cg) = Khi biểu diễn đồ thị có trọng số G: Hình 1.3: Đồ thị có trọng số G 28 ˙ có phân ta giả sử G có n1 đỉnh H có n2 đỉnh Ma trận kề G∪H tích phổ A O O B = ξ1 P1 O O Q1 + + ξs Ps O O Qs , Pi phép chiếu trực giao Rn1 → εA (ξi ) Qi phép chiếu trực giao Rn2 → εB (ξi ) (i = 1, , s) Ở εA (ξi ) = {0} ξi không giá trị riêng G εB (ξi ) = {0} ξi không giá trị riêng H Như Mệnh đề 2.2.3 có s n1 +n2 PG∪H ˙ (x) = (−1) PG∪H ˙ (−x−1) 1−n1 i=1 βi2 −n2 x + + ξi s i=1 γi2 , x + + ξi (2.5) số βi , khác khơng góc khác khơng G số γi khác khơng góc khác khơng H Lập luận mở rộng cho hợp rời đồ thị tùy ý Chú ý góc δi , ˙ cho G∪H (n1 + n2 )δi2 = n1 βi2 + n2 γi2 (i = 1, , s) Hệ rút từ định nghĩa từ so sánh (2.2) (2.5) Ta viết lại Phương trình (2.2) sử dụng Mệnh đề 2.2.1 2.2.3 để thu được: n2 n1 PG∪H ˙ (x) = (−1) PG (x)PH (−x − 1) + (−1) PG (−x − 1)PH (x) − (−1)n1 +n2 PG (−x − 1)PH (−x − 1) (2.6) Thay G G, H H, ta thu kết sau: Định lý 2.2.5 ([4]) Cho G H đồ thị có tương ứng n1 , n2 đỉnh Đa thức đặc trưng nối G∇H PG∇H (x) = (−1)n2 PG (x)PH (−x − 1) + (−1)n1 PH (x)PG (−x − 1) − (−1)n1 +n2 PG (−x − 1)PH (−x − 1) (2.7) Hệ 2.2.6 ([4]) Cho G H đồ thị có tương ứng n1 , n2 đỉnh Khi p m βi2 γk2 , PG∇H (x) = PG (x)PH (x) − n1 n2 (x − µi )(x − vk ) i=1 k=1 G có µ1 , , µm giá trị riêng phân biệt với góc tương ứng β1 , , βm H có v1 , , vm giá trị riêng phân biệt với góc tương ứng γ1 , , γm 29 Chứng minh Chứng minh suy từ Định lý 2.2.5 Mệnh đề 2.2.3 Từ Mệnh đề 2.2.3 Định lý 2.2.5 tìm thấy mở rộng cho đa thức đặc trưng nón qua đồ thị G (tức đồ thị thu từ G cách thêm đỉnh kề cho đỉnh G): Mệnh đề 2.2.7 ([4]) Nón G có đa thức đặc trưng m PK1 ∇G (x) = PG (x) x − i=1 nβi2 x − µi (2.8) Tiếp theo thảo luận việc nối đồ thị quy Đầu tiên đưa kết sau từ Mệnh đề 2.2.2 Định lý 2.2.5 Định lý 2.2.8 ([4]) Nếu G1 đồ thị r1 quy với n1 đỉnh G2 đồ thị r2 , quy với n2 đỉnh đa thức đặc trưng đồ thị nối G1 ∇G2 cho PG1 ∇G2 (x) = PG1 (x)PG2 (x) ((x − r1 )(x − r2 ) − n1 n2 ) (x − r1 )(x − r2 ) (2.9) Chú ý G1 ∇G2 đồ thị quy G1 G2 quy Nói khách, G1 đồ thị r1 quy với n1 đỉnh G2 đồ thị r2 quy với n2 đỉnh G1 ∇G2 đồ thị quy r1 + n2 = r2 + n1 Trong trường hợp này,G1 ∇G2 có n(1) = n + + n2 đỉnh quy bậc r(1) = r1 = n2 = r2 + n1 Vì quan hệ n1 − r1 = r2 − r2 = n(1) − r(1) từ (2.9) ta có PG1 ∇G2 (x) = (x − r1 )(x + n(1) − r(1) ) PG1 (x)PG2 (x) (x − r1 )(x − r2 ) (2.10) Phương trình sử dụng để xác định P(G1 ∇G2 )∇G3 (x) từ PGi (x) (i = 1, 2, 3) Điều kiện cần để (G1 ∇G2 )∇G3 quy (bậc r2 n2 đỉnh) n(1) − r(1) = n3 − r3 = n(2) − r(2) ; trường hợp này, từ (2.9) (2.10) có P(G1 ∇G2 )∇G3 (x) = (x−r(2) )(x+n(1) −r(1) )(x+n(2) −r(2) ) PG1 (x)PG2 (x)PG3 (x) (x − r1 )(x − r2 )(x − r3 ) Tiếp theo đến với kết sau (trong tính kết hợp phép tốn nối cho phép bỏ qua dấu ngoặc đơn G1 ∇G2∇ ∇Gk ) 30 Định lý 2.2.9 ([4]) [FiGr] Cho G1 , , Gk đồ thị với Gi quy bậc ri ni đỉnh (i = 1, 2, , k), quan hệ n1 − r1 = n2 − r2 = = nk − rk = s Khi đồ thị G = G1 ∇G2∇ ∇Gk có n = n1 + n2 + + nk đỉnh bậc r = n − s Vì có k k−1 PG (x) = (x − r)(x + n − r) i=1 PGi x − ri (2.11) Chúng ta kết thúc phần với vài ý góc hàm bước tổng quát (walk generating functions) Từ Mệnh đề 2.2.3, 2.2.4 2.2.7 thấy rằng, cho trước giá trị riêng G, hiểu biết góc G tương đương với hiểu biết phổ G phổ ma trận Seidel G phổ nón qua G Nói cách khác, cho trước trị riêng G, hiểu biết góc G tương đương với hiểu biết hàm bước tổng quát ∞ Nk tk , HG (t) = n (2.12) k=0 Nk số bước độ dài k G Sử dụng Định lý 1.3.5 có m HG (t) = n p=1 βi2 − tµp (2.13) Theo viết công thức (2.2) (2.4) dạng PG (x) = (−1)n PG (−1 − x)(1 − (x + 1)−1 HG (−1/(1 + x))), SG (x) = (−1)n 2n PG (−(x − 1)/2)(1 − (x + 1)−1 HG (−2/(x + 1))) Chúng ta sử dụng phương trình để biểu diễn hàm bước tổng quát theo đa thức đặc trưng: t+1 n PG (− t ) (−1) −1 HG (t) = t PG ( 1t ) (2.14) Điều cho phép biểu diễn HG theo HG , HG1 ∇G2 theo HG1 HG2 : 31 Định lý 2.2.10 ([4]) HG (− t ) (i) HG (t) t+1−tH t+1 ; ( −t ) G t+1 (ii) HG1 ∪G ˙ (t) = HG1 (t) + HG2 (t); (iii) HG1 ∇G2 (t) = HG1 (t) + HG2 (t) + 2tHG1 (t)HG2 (t) − t2 HG1 (t)HG2 (t) Chứng minh Từ (2.14) có t+1 n PG (− t ) HG (t) = (−1) −1 t PG ( 1t ) HG ( PG ( 1t ) t+1 −t )=− (−1)n −1 t+1 t PG (− t+1 ) t (2.15) (2.16) Mối quan hệ (i) có loại trừ PG (− t+1 t )/PG ( t ) từ (2.15) (2.16) Mối quan hệ (ii) suy từ định nghĩa (2.12) Mối quan hệ thứ ba suy từ (i) (ii) biểu diễn G1 ∇G2 phần bù ˙ G1 ∪G 32 Chương Áp dụng số tính chất ma trận vào đồ thị Trong chương này, ta xem xét vài ứng dụng phổ đồ thị việc xác định tính chất định tính đồ thị tìm số bao trùm đồ thị, đếm số đồ thị con, tính quy đồ thị, tính liên thơng tốn khoảng cách phổ đồ thị Richard Brualdi Tài liệu tham khảo [2], [4] - [6] 3.1 Ứng dụng định lý Kirchhoff tìm số bao trùm đồ thị Như biết, nhiều mơ hình thực tế giải toán đồ thị mơ hình mạng lưới giao thơng khu vực hay sơ đồ máy công ty Định lý Kirchhoff giúp tính tốn số bao trùm đồ thị từ giải toán như: Xây dựng mạng lưới đường sắt tàu hỏa cách kinh tế tối ưu Giả sử ga tàu đỉnh cần xây dựng đường cho đường qua tất ga số đường cần phải xây dựng Vậy ma trận kề ma trận bậc tương ứng mơ hình  1  DA =  1 1 1 1   1 , 0  0  AA =  0 0 0 0   0  0 33 Hình 3.1: Đồ thị G Ma trận Laplace mơ hình:   −1 −1 −1 −1   LA =   −1 −1  −1 −1 Tiếp theo, xây dựng ma trận Lkk cách xóa bỏ hàng cột từ LA Ví dụ ta xóa bỏ hàng cột 1, kết ma trận   −1 −1   −1 −1  L11 = −1 Cuối ta lấy định thức Lkk : det L11 = 18 − − − − − = Vậy số bao trùm mơ hình tương ứng với số cách xây dựng mạng lưới đường sắt yêu cầu 3.2 Ứng dụng đếm số đồ thị Kết sau đóng vai trò đếm đồ thị đồ thị với phổ λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn Định lý 3.2.1 ([6]) Số bước (walk) đóng độ dài k đồ thị G sk , n λki , sk = i=1 (3.1) 34 moment phổ thứ k G Rõ ràng s1 = (hay tương đương G khơng có khun (loop)) Nếu G có e cạnh t tam giác, s2 = 2e s3 = 6t Để thấy điều này, ý bước đóng có độ dài qua cạnh, cạnh ij tính cho hai bước đóng độ dài 2, cụ thể iji jij Thứ hai, bước đóng độ dài qua tam giác, tam giác tính cho bước độ dài (có cách chọn điểm bắt đầu lựa chọn hướng) Theo đó, ta có: (i) Số định với số giá trị riêng (tính bội); (ii) số cạnh 21 s2 ; (iii) bậc trung bình (mean degree) 12 s2 ; (iv) số tam giác 16 s3 ; (v) trung bình số tam giác chứa đỉnh cho trước 2n s3 Các nhận xét bên giải thích đồ thị thường thứ tự từ điển dãy (s0 , s1 , , sn−1 ) (Nhắc lại rằng, s0 , s1 , , sn−1 xác định phổ xác định tất moment phổ khác) Khi k ≥ 4, bước đóng độ dài k vết nhiều kiểu đồ thị con; ví dụ, k = ta có kiểu, cụ thể K2 , P3 C4 Ngoài ra, P3 , số bước v − v có độ dài phụ vào v Để khảo sát vấn đề này, ta sử dụng góc đồ thị (là bất biến đồ thị liên hệ với đỉnh): Phương trình (3.1) kéo theo “địa phương” sau Định lý 3.2.1 Định lý 3.2.2 ([6]) Số nk (j) bước đóng độ dài k bắt đầu (và kết thúc) đỉnh j đồ thị G m k αij µi nk (j) = (3.2) i=1 Một hệ trực tiếp định lý bậc đỉnh bất kỳ, số tam giác kề với đỉnh suy từ giá trị riêng góc đồ thị Trong trường hợp vậy, ta nói tính bất biến tương ứng (corresponding invariant) EA-tái tạo lại (EA-reconstructible) 35 Định lý 3.2.3 ([6]) Bậc dj đỉnh j, số tj tam giác kề với đỉnh j đồ thị G m m 2 αij µi dj = αij µj , tj = i=1 i=1 Chứng minh Điều rút từ (3.2) n2 (j) = dj n3 (j) = 2tj Nhận xét 3.2.4 Cho f số đồ thị G đẳng cấu với P3 Đếm số cặp cạnh chứa định cho trước, ta thấy f = ni=1 d2i Từ Định lý 3.2.3 suy f EA-tái tạo lại Hai kết số tứ giác (4-chu trình), số ngũ giác (5-chu trình) EA-tái tạo lại Định lý 3.2.5 ([6]) Số tứ giác q đồ thị G q= m n m 2 αij µi i=1 j=1 µ2i 2 µh αhj +1−2 h=1 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh s4 = 2e + 4f + 8q, f (giống bên trên) số đường có độ dài G Để thấy điều này, ý đồ thị qua bước đóng có độ dài K2 P3 C4 Với đồ thị này, Hình 3.2 số bước đóng có độ dài bắt đầu định (và qua đồ thị) Tổng số bước đóng độ dài qua đồ thị tương ứng 2, Bây e s4 xác định phổ G, f EA-tái tạo lại Do đó, q EA-tái tạo lại được, công thức tường minh vấn đề tính tốn đại số Hình 3.2: Các đồ thị Định lý 3.2.5 36 Định lý 3.2.6 ([6]) Số ngũ giác p đồ thị G p= 10 m n m 2 αij µi µ2i 2 αhj µh +5−5 i=1 j=1 h=1 Chứng minh Lập luận chứng minh bên trên, ta có s5 = 30t+ 10s + 10, t số tam giác s số đồ thị chứa tam giác cạnh pendant Chú ý s = nj=1 tj (dj − 2), dj tj xác định Định lý 3.2.3 Từ kết suy tính tốn thơng thường 3.3 Ứng dụng xác định bậc quy tính hai phần Từ Chương ta biết bậc đỉnh không xác định phổ đồ thị (xem Hình 1.6) Mặt khác, từ phổ ta nói tất bậc đỉnh G giống hay không, chúng giống nhau, ta tìm bậc quy Định lý 3.3.1 ([6]) Cho λ1 số đồ thị G, gọi d ∆ tương tứng bậc trung bình bậc lớn Khi d ≤ λ1 ≤ ∆ Ngoài ra, d = λ1 G quy Với đồ thị liên thơng G, λ1 = ∆ G quy Chứng minh Với bất đẳng thức đầu tiên, ta nhắc lại số G xác đỉnh λ1 = sup{xT Ax : x ∈ Rn , x = 1}, A ma trận kề G Lấy x = √1 (1, 1, , 1)T , n ta λ1 ≥ d Ngoài ra, theo nguyên lý Rayleight, dấu xảy x = √1 (1, 1, , 1)T véc tơ riêng G Nhưng x véc tơ riêng n G quy (Mệnh đề 1.1.8) Bất đẳng thức thứ rút từ Mệnh đề 1.1.7, theo Mệnh đề 1.1.8 G r-chính quy λ1 = r (= ∆) 37 Giả sử G liên thông λ1 = ∆ Đặt x = (x1 , x2 , , xn )T véc tơ riêng tương ứng với λ1 Ta giả sử tất số x dương Đặt xu = maxi {xi } Phương trình xv (3.3) ∆xu = v∼u deg(u) = ∆ xv = vu với v ∼ u Lặp lại lập tương tự tất đỉnh có bậc ∆ (và G nhận véc tơ véc tơ riêng) Vì nd = tr(A2 ) ta thu kết sau: Hệ 3.3.2 ([6]) Đồ thị G quy (bậc λ1 ) nλ1 = λ21 + λ22 + · · · + λ2n Do ta nhận tính quy từ phổ Tiếp theo ta chứng minh kết tương tự với tính hai phần Nếu G hai phần ˙ , G có ma trận kề dạng U ∪V A= O P Q O , Q = P T ; số khác không P tương ứng với cạnh kề với đỉnh U , số khác không Q tương ứng với cạch kề với đỉnh V Bây giờ, giả sử µ giá trị riêng G, x= y z mà véc tơ riêng thuộc E(µ) Ta có P z = µy Qy = µz Xét véc tơ y x = −z Ta có Ax = O P Q O y −z = −P z Qy = −µy µz = −µx Điều khơng suy −µ giá trị riêng G, mà suy E(−µ) E(µ) có số chiều Do ta chứng minh phổ đồ thị hai phần đối xứng qua điểm 38 Bây ta chứng minh điều ngược lại Theo đó, cho G đồ thị có phổ đối xứng qua điểm Khi tất moment phổ lẻ G 0; cụ thể, G khơng có chu trình độ dài lẻ (theo Định lý 3.2.1) Do G hai phần, ta có kết sau Định lý 3.3.3 ([6]) Đồ thị G hai phần phổ đối xứng qua gốc Đối với đồ thị liên thơng có kết mạnh đáng kể sau đây: Định lý 3.3.4 ([6]) Đồ thị liên thông G hai phần λ1 = −λn Chứng minh Dựa theo Định lý 3.3.3, ta cần chứng minh λ1 = −λn G hai phần Điều hệ định lý Frobenius, chứng minh Giá trị riêng lớn A2 λ21 khơng phải giá trị riêng đơn, ˙ ; G khơng có bước U -V A2 khả quy, cụ thể với hai phần U ∪V có độ dài Giả sử phản chứng U có hai đỉnh kể u1 u2 , lấy v ∈ V Gọi w0 w1 · · · wm đường ngắn từ u1 tới v, gọi k giá trị nhỏ cho wk+1 ∈ V Nếu k > wk−1 wk wk+1 bước U -V có độ dài Nếu k = u2 w0 w1 bước U -V độ dài 2, mâu thuẫn Do đó, U độc lập V độc lập Suy điều phải chứng minh Ta kết thúc phần việc thảo luận chu trình độ dài ngắn Chúng ta định nghĩa chu vi chu trình lẻ G (odd-girth), ký hiệu og(G), độ dài nhỏ chu trình lẻ Định lý sau phát biểu theo đa thức đặc trưng PG (x) (Mặc dù hiểu biết PG (x) tương đương với hiểu biết phổ G, tính tốn thực hành lại khác nhau.) Định lý 3.3.5 ([6]) Cho xn + c1 xn−1 + c2 xn−2 + · · · + cn−1 x + cn đa thức đặc trưng đồ thị G Khi chu vi chu trình lẻ G số hệ số khác không dãy c1 , c3 , c5 , ; số chu trình có độ dài − 21 ch , với h = og(G) Chứng minh Ta có (−1)p(H) 2c(H) ci = H∈Hi (i = 1, 2, , n), 39 với Hi tập tất đồ thị đỉnh i (đồ thị G có hợp phần (component) chu trình đẳng cấu với K2 ), p(H) số hợp phần H, c(H) số chu trình H Do og(G) = 2k + c2k+1 = l < k khơng có đồ thị sở có số lẻ đỉnh Trường hợp k = l, đồ thị sở phải chu trình lẻ, nên c2k+1 = −2s(G), (G) số chu trình có độ dài og(G) Suy điều phải chứng minh Một câu hỏi tự nhiên phát sinh Liệu tìm (từ đa thức đặc trưng) độ dài chu trình chẵn ngắn nhất, tìm số chu trình vậy? Câu trả lời khơng Để thấy điều này, lần ta xét cặp đồ thị nhỏ đồng ˙ có một, phổ Hình 1.6(a): K1,4 khơng có chu trình, C4 ∪K chu trình chẵn Tuy nhiên, đơi ta sử dụng định lý sau Sachs Đầu tiên thấy G có chu vi chu trình (girth) g với i < g ta có ci = i lẻ (−1)q bq i = 2q, bq số đồ thị sở chứa q rời K2 Với i = g, đồ thị sở thuộc hai dạng, rời K2 (chỉ xảy g chẵn) Cg Theo đó, ta định nghĩa ci i lẻ cˆi = (3.4) ci − (−1)q bq i = 2q với i = 1, 2, , n Ta có cˆi = i < g −ˆ cg hai lần số chu trình độ dài g Do ta chứng minh được: Định lý 3.3.6 ([6]) Nếu cˆi xác định (3.4) chu vi chu trình G với số hệ số khác không dãy cˆ1 , cˆ2 , cˆ3 , ; số chu trình có độ dài − 21 cˆg Với đồ thị quy ta biết nhiều thơng tin Nếu G r-chính quy có n đỉnh với q < g, bq biểu diễn theo q, n r Do ta có Định lý 3.3.7 ([6]) Nếu G đồ thị quy, chu vi chu trình G xác định đa thức đặc trưng (và phổ) 40 Với phân tích kỹ hơn, ta thu kết sau Định lý 3.3.8 ([6]) Cho G đồ thị r-chính quy có n đỉnh chu vi chu trình g Nếu h ≤ min{n, 2g − 1} số chu trình G có độ dài h xác định r hệ số c1 , c2 , , ch đa thức đặc trưng G 41 Kết luận Thực đề tài luận văn với mục đích tìm hiểu liên hệ ma trận đồ thị nhằm góp phần làm rõ mối quan hệ đại số tuyến tính lí thuyết đồ thị, đề cập tới nội dung sau: - Ma trận Laplace đồ thị - Định lí Kirchhoff số bao trùm đồ thị dựa việc tính định thức Laplace - Nghiên cứu phổ đồ thị phép toán từ nghiên cứu ứng dụng phổ đồ thị đếm số đồ thị con, xác định bậc quy tính hai phần Kết luận văn không mới, việc thực đề tài luận văn giúp cho tơi có hiểu biết sâu sắc mối quan hệ đại số tuyến tính – lý thuyết đồ thị hi vọng tảng hiểu biết có điều kiện tơi có kết nghiên cứu thực ý nghĩa 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) (2001), Đại số tuyến tính áp dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đặng Huy Ruận (2002), Lý thuyết đồ thị ứng dụng Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] D Cvetkovic, P Rowlinson, S Simic (2010), “An introduction to the Theory of Graph Spectra”, Cambridge University Press [5] F R K Chung (1997) Spectral Graph Theory, Regional Conference Series in Mathematics, AMS, first edition, Vol 92 [6] A E Brouwer, W H Haemers (2011), Spectra of graphs, Springer-Verlag New York ... Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép tốn đồ thị 2.1 Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị 2.1.1 Ma trận Laplace đồ thị số tính chất 2.1.2 Ma trận Laplace cạnh... phép toán đồ thị để đếm số đồ thị xác định bậc quy tính hai phần Chương Áp dụng số tính chất ma trận vào đồ thị Tác giả trình bày ứng dụng sử dụng tính chất nêu chương hai Ứng dụng sử dụng định... thị ma trận đại số khái niệm phổ đồ thị Chương Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép toán đồ thị Trên cở sở loại ma trận đồ thị hướng đến chứng minh định lí Kirchhoff Rõ ràng, việc tính số bao