Tài liệu tham khảo:Hàm lồi và các tính chất
đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học ------------- 0 ------------- Phạm Bá Tuyên Hàm lồi và các tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học ------------- 0 ------------- Phạm Bá Tuyên Hàm lồi và các tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Luận văn thạc sĩ khoa học toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn đại học Thái Nguyên Tr-ờng đại học khoa học ------------- 0 ------------- Phạm Bá Tuyên Hàm lồi và các tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS-TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên 9/2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❍➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ✺ ✶✳✶ ❍➭♠ ❧å✐ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ❚Ý♥❤ ❧å✐ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❣✐÷❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✸ ❍➭♠ ❧✐➟♥ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✹ ❍➭♠ ❧å✐ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ¯ R ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❍➭♠ ❧å✐ tr♦♥❣ R n ✶✾ ✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷✳✷ ❍➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✸ ❈➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ✈Ò ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷✳✹ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✺ ❍➭♠ ❧✐➟♥ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✷✳✻ ❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ ❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ❈ù❝ trÞ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✹✵ ✸✳✶ ❈ù❝ t✐Ó✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❝ù❝ t✐Ó✉ t♦➭♥ ❝ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✸✳✷ ❈ù❝ t✐Ó✉ ❤➭♠ ❧å✐ ✭❝ù❝ ➤➵✐ ❤➭♠ ❧â♠✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✸✳✸ ❈ù❝ t✐Ó✉ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✸✳✹ ❈ù❝ ➤➵✐ ❤➭♠ ❧å✐ ✭❝ù❝ t✐Ó✉ ❤➭♠ ❧â♠✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾ ❑Õt ❧✉❐♥ ✺✸ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✺ ✶ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ờ ó ồ ế ủ ó ồ t ồ tự ồ . . . ó ề tí t ẹ ú ý ợ sử ụ rộ r tr ề ý tết ứ ụ tự tễ ệt tr tí ồ tố ồ ở rộ ột ủ ề ớ ề ết q ú t út sự q t ủ ề ứ ề t ề tớ ồ ột ế ề ế ù ớ tí t ủ ú ồ ó trò q trọ tr ề ĩ ự ứ q t ọ ý tết ề ể tố ý tết trò tế t . . . tết ề tí ồ ủ tể tế tr ề ị ý ề tồ t ệ tố tồ t tì tế tr ì tế t ì tế tì ể ồ tí t tự sự tết ữ í ú ể s ề ề ề tr tí ồ ý tết tố ụ t ủ tì ể trì ữ ết q ết q ế ồ ột ế ề ế ệt ý tí t ổ t tí tụ tí tí t ự trị ộ ề tr ợ trì ột t ẽ ề t t ọ ệ ết q r ó t í ụ ì ẽ ể ộ ợ t ồ ột ế ề tớ ồ ột ế ị trị tự ữ ự tr ột tụ ữ ủ ờ t số tự ồ ột ế ó ề tí t ú ý tí st tí tụ tr ề ị ét ột số ó q ồ t tự ồ tự ồ t ợ . . . ồ tr R n ớ tệ ề ồ ề ế tí t n ế ồ ỉ t ẹ ủ ó S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn tr ọ ờ t tr R n ồ ột ế ồ ó ố q ệ t ẽ ớ t ồ f ồ ỉ f t ồ ế f ồ tì ọ t ứ ớ ủ ó t ồ ồ tr t ồ ở tì tụ ế t ết ồ q é t ồ q ột số ệ r ò ớ tệ ệ ớ ủ ồ ố q ệ ữ ớ ớ t ớ ớ ợ ự trị ủ ồ trì tí t ự trị ủ ồ ồ t ồ ự tể ị ủ ồ ự tể t ụ ồ t ó ề t ột ể ự tể ồ t ự tể tr t ó rỗ ự tể ó t ế t ồ ó rỗ ự ủ ồ ự tể ủ õ ế ó sẽ t t ể ự ó r t ỉ ủ t ợ ét r ò trì ề ệ tố ủ ố ớ ồ tờ ó ớ ỉ ừ ở ệ tì ể t ợ t ệ s ế trì ết q ứ ó t ủ ề t r r q trì ết ũ tr ử ý tr ỏ ó ữ s sót t ị rt ợ sự ó ý ủ t ồ ệ ể ợ tệ ị t tỏ ò ết s s ế t ớ r ũ ệ t tì ú ỡ tr sốt q trì t t ở ệ ọ ệ ệ t t ộ ệ t t Pò t s ọ trờ ọ ọ ọ t tì t ọ ề ệ t ợ t tr q trì ọ t t trờ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ❝➳❝ P❤ß♥❣✱ ❇❛♥ ❝❤ø❝ ♥➝♥❣ ✈➭ ❇é ♠➠♥ ❚♦➳♥ ❚r➢ê♥❣ ❈✃♣ ■■✲■■■ ❚➞♥ ◗✉❛♥❣ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ❝ï♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ➤Ó t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ tèt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ 09 ♥➝♠ 2009 ❚➳❝ ❣✐➯ P❤➵♠ ❇➳ ❚✉②➟♥ ✹ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ồ ột ế ồ ó trò q trọ tr tí ồ ệt tr tố t q ớ ồ ột ế tí t ú ý ủ ó ồ tự ị ĩ tí t ý ệ I ột ó ở ử ở ữ tr ờ t tự R ở ữ I = (p, q) ớ < p < q < + ị ĩ ột ế số f : I R f ọ ồ ồ ế f(a + (1 )b) f(a) + (1 )f(b) ớ ọ a, b I, ọ R, ớ 0 < < 1. ì 1.1 t ý ĩ ì ọ ủ tí ồ ớ út (a, f(a)) (b, f(b)) ở í tr ồ tị ủ f f ọ ồ t ế f ồ tr (1.1) ó t tứ t a = b. t ể t ề tí ồ ủ f : I R f(x) b x b a f(a) + x a b a f(b) ớ ọ a, b, x I a < x < b. ú ý r ế ủ t tứ tr ó tể ết t f(a) + f(b) f(a) b a (x a) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn f(a + àb) f(a) + àf(b) ớ ọ a, b, x I ọ , à R s > 0, à > 0, + à = 1 ễ ể tr tí t s ủ ồ ế f g ồ 0, 0 tì f + g ồ ổ ủ ột số ữ ồ ồ ớ t từ ể ủ ồ ộ tụ ồ sử f : I R ồ ó n i=1 i x i I f n i=1 i x i n i=1 i f(x i ) ớ ọ x i I, i 0 (1 i n), n i=1 i = 1. sử f tr t từ ể ủ ột ọ t ỳ ồ I R ế f ữ tr I tì f ồ ệ ề t tự ò ú ố ớ ớ ị ý sử f : I R ồ ó f(x) f(a) x a f(b) f(a) b a f(b) f(x) b x ớ ọ a, b, x I, a x b ế f ồ t tì ở (1.2) ó t tứ t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ì 1.2 t ý ĩ ì ọ ủ ị ý ộ ố (AB) ộ ố (AC) ộ ố (BC). ứ f ồ t ó f(x) b x b a f(a) + x a b a f(b) ừ t tứ t s r f(x) f(a) a x b a f(a) + x a b a f(b) = x a b a [f(b) f(a)] ó t tứ ủ (1.2) t tứ s ợ ứ t tự ế f ồ t tì tr (1.3) ó tr (1.2) ó t tứ t ý ệ tr ủ I t(I) sử f : I R ồ c t(I) sử [a, b] I s a < c < b ị ý 1.1 t ó f(c) f(a) c a f(x) f(c) x c ớ ọx (c, b]. ũ từ ị ý 1.1 s r r x f(x) f(c) x c tr(c, b]. ó tồ t f + (c) = lim xc f(x) f(c) x c t tự ó tể ứ r tồ t tr f (c) ế a < c < d < b tì ớ số h ủ ỏ t ó f(c) f(c h) h f(c + h) f(c) h f(d) f(d h) h q ớ h 0 t ợ f (c) f + (c) f (d). ì tế t ó ị ý ị ý sử f : I R ồ ó f ó tr t ọ ể tộ int(I) ồ tờ f f + ữ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... 2 của hàm tựa lồi Tóm lại, chương này đề cập tới hàm lồi (hàm lồi chặt) một biến hữu hạn hay nhận giá trị vô cực và mở rộng của nó là hàm tựa lồi (hàm tựa lồi chặt) Giới thiệu một số tính chất quan trọng của hàm lồi như tính Lipschitz, tính liên tục, tính khả vi của hàm lồi và xét khái niệm hàm liên hợp của hàm lồi Các khái niệm và tính chất đã xét của hàm lồi một biến sẽ được mở rộng cho hàm lồi nhiều... không nhất nhiết là hàm tựa lồi, nhưng một hàm tựa lồi chặt và liên tục là hàm tựa lồi (ví dụ x3 là hàm tựa lồi chặt và là hàm tựa lồi) + Hàm lồi là tựa lồi, nhưng điều ngược lại không chắc đúng (hàm tựa lồi, nhưng không lồi) Định lý sau cho thấy rõ điều đó Định lý 1.11 (Tính lồi kéo theo tính tựa lồi) Hàm lồi luôn là hàm tựa lồi Hàm lồi chặt luôn là hàm tựa lồi chặt 17 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc... http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Hàm lồi trong Rn Hàm lồi và các biến dạng của nó (lồi chặt, lồi manh, tựa lồi, ) có nhiều tính chất đáng chú ý và hay được xét tới trong lý thuyết và ứng dụng thực tế Chương này giới thiệu về các hàm lồi nhiều biến, cùng các tính chất cơ bản của chúng Nội dung của chương chủ yếu dựa trên các tài liệu 2.1 [2], [4], [5] Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định nghĩa 2.1 + Hàm S Rn f :... f (y) < < + và mọi b R f (x) = f [a + (1 )y] < + (1 ) (do f (a) = < ) Đặt , ta có f (x) = Các tính chất a) e) của hàm lồi thực nêu trong mục 1.1 vẫn còn đúng đối với các hàm lồi giá trị trong R, miễn là trong các tính chất a), b) và d) ta hạn chế ở các hàm lồi chính thường (để tránh các biểu thức dạng Sau đây ta sẽ dùng đến tính chất: hàm lồi chính thường trên phải và đạo hàm trái khắp... (x) = và f (x) = 2x1 6x2 2 6 2 f (x) xác định dương x nên hàm f đã cho là hàm lồi chặt trên R2 Ví dụ 2.1 Xét hàm Do 2 25 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2.3 Các phép toán về hàm lồi Mệnh đề 2.6 a) Mọi tổ hợp tuyến tính dương của các hàm lồi là hàm lồi và là hàm lồi chặt nếu ít nhất một trong các hàm đã cho là lồi chặt b) Nếu f (x), x Rn , f (Ax + b) là hàm lồi. .. thường Chẳng hạn, nhưng 2 và giao của một họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi Nhận xét 2.2 Nếu rời nhau thì Khi đó hàm chỉ C (x) và D (x) C và D là hai tập lồi là các hàm lồi chính thường, C (x) + D (x) là hàm lồi không chính thường bởi vì C (x) + D (x) = 2 + (x Rn ) Mệnh đề 2.7 Cho [, +] g(x) : Rn [, +] là một hàm lồi và (t) : Rn là hàm lồi không giảm Khi đó, f (x) = (g(x)) là hàm lồi trên Rn 26 S húa... thì cũng là hàm lồi, trong đó A là một ma trận vuông cấp n và b Rn c) Cận trên (supremum theo từng điểm) của một họ tuỳ ý các hàm lồi (nói riêng các hàm tuyến tính an) là hàm lồi Chứng minh a) b) Chứng minh suy trực tiếp từ định nghĩa hàm lồi c) Kết luận được suy ra từ sự kiện là nếu epi f = iI epi fi f (x) = sup fi (x) : i I f1 , , fm là các hàm lồi chính thường thì f1 + .+fm là hàm lồi, có thể... http://www.Lrc-tnu.edu.vn a) Hàm f gọi là tựa lồi nếu f [a + (1 )b] f (b) với mọi b) Hàm a, b I f mà f (a) < f (b) và mọi (0, 1) gọi là tựa lồi chặt nếu f [a + (1 )b] < f (b) với mọi a, b I mà f (a) < f (b) và mọi (0, 1) Có thể thấy: + Hàm f tựa lồi khi và chỉ khi R tập mức dưới {x I : f (x) } là lồi Đồ thị của hàm tựa lồi chặt không chứa đoạn thẳng + Một hàm tựa lồi chặt không nhất nhiết là hàm tựa lồi, nhưng... của hàm lồi f : R R là lồi (do đó là một khoảng) Hàm lồi chính thường F: R R với miền hữu hiệu bằng cách mở rộng một hàm lồi hữu hạn trên F (x) = I I có thể nhận được lên toàn bộ f (x) nếu x I, + nếu x R theo cách sau: I, / 15 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Cách mở rộng này cho phép xử lý các hàm lồi hữu hạn với các miền xác định khác nhau như những hàm lồi. .. f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương Khi đó, f (x) + f (x) 0(x Rn ) Chứng minh á p dụng Định lý 2.2 với y = x ta sẽ có f (x) + f (x) 2 f (x x) = f (0) = 0 với mọi x Rn Tóm lại, 2.2 f là hàm lồi thuần nhất dương là nón lồi đỉnh tại gốc 0 Hàm lồi khả vi Hàm lồi n biến có mối quan hệ chặt chẽ với hàm lồi một biến Ta có Mệnh đề 2.2 Hàm số epi f f (x), x Rn , là hàm lồi khi và chỉ khi hàm . ------------- 0 ------------- Phạm Bá Tuyên Hàm lồi và các tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Luận. ------------- 0 ------------- Phạm Bá Tuyên Hàm lồi và các tính chất Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 Luận