tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN          NGUYỄN ANH TRIẾT TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh          Người hướng dẫn khoa học 1. PGS. TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC 2. PGS. TS. NGUYỄN HỘI NGHĨA Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC Phản biện độc lập 1: PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN Phản biện độc lập 2: TS. ĐẶNG VŨ GIANG Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc giờ tháng năm 2013 Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:  Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh  Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Mở đầu Phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ XVIII trong các công trình của những nhà toán học như Leonhard Paul Euler (1707-1783), Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736- 1813) và Pierre-Simon de Laplace (1749 -1827) như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Từ đó đến nay, lý thuyết PTĐHR đã phát triển không ngừng và đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực, làm nảy sinh nhiều phương pháp (PP) hữu hiệu để giải quyết các BT cho PTĐHR như PP Fourier, PP Galerkin, Một trong những bài toán (BT) thuộc lý thuyết PTĐHR được nghiên cứu sâu rộng bởi nhiều nhà toán học là BT giá trị biên cho phương trình (PT) sóng liên kết với các loại điều kiện biên (ĐKB) khác nhau xuất hiện trong các BT thực tế, chẳng hạn trong BT mô tả dao động của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt. Năm 1747, xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định, D’Alembert đưa ra PT dao động của một dây và nhận được công thức biểu diễn nghiệm của nó. Mô hình toán học cho BT này, do D’Alembert đề nghị, có dạng ∂ 2 u ∂t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂x 2 , (1) trong đó u ( x, t ) là độ lệch của sợi dây so với vị trí cân bằng tại điểm x ở thời điểm t, trong đó c 2 là một hằng số dư ơng. Cũng với việc mô tả dao động dao động bé của một sợi dây đàn hồi, một PT khác dưới đây tổng quát hơn (1) đã được thiết lập bởi Kirchhoff [Vorlesungen ¨ uber Mathematische Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig, 1876, Section 29.7] ρhu tt = P 0 + Eh 2L Z L 0     ∂u ∂y (y, t)     2 dy ! u xx , (2) trong đó u là độ lệch của sợi dây so với vị trí cân bằng, L là chiều dài sợi dây, h diện tích thiết diện, E là module Young của vật liệu cấu tạo sợi dây, ρ là khối lượng riêng và P 0 là lực căng ban đầu. PT này là nới rộng của P T cổ điển D’Alembert mà có xem xét đến ảnh hưởng của sự biến đổi chiều dài của sợi dây trong quá trình dao động. Một dạng khác với PT (2) để mô tả dao động dao động bé của một sợi dây đàn 1 hồi, Carrier [Quart. J. Appl. Math. 3(1945) 157–165] cũng thiết lập PT dạng u tt =  P 0 + P 1 Z L 0 u 2 (y, t)dy  u xx , (3) trong đó P 0 , P 1 là các hằng số dương có ý nghĩa Cơ học nào đó. Cho đến nay BT dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được sự quan tâm rộng rãi của nhiều nhà toán học. Nhiều kết quả định tính và định lượng liên quan đến các PT sóng phi tuyến kết hợp với các ĐKB khác nhau đã được đ ề cập nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gần đây. Một trong các nghiên cứu cổ điển đầu tiên dành riêng cho PT Kirchhoff đã được đưa ra bởi Pohozaev [Math. USSR. Sb. 25(1975) 145–158]. Sau khi công trình của Lions xuất hiện [On some questions in boundary value problems of mathemat- ical physics, in: G. de la Penha, L. A. Medeiros (Eds.), International Symposium on Continuum, Mechanics and Partial Differential Equations, Rio de Janeiro 1977, Mathematics Studies, vol. 30, North-Holland, Amsterdam, 1978, pp. 284-346], PT (2) đã nhận được nhiều sự chú ý và sự tổng quát hoá nó thành các PT trừu tượng đã được đề xuất, ta có thể tìm thấy dạng PT này trong nhiều bài báo, chẳng hạn như, Cavalcanti et. al. [Adv. Differential Equat. 6 (6)(2001) 701–730]; Ebi- hara, Medeiros và Miranda [Nonlinear Anal. TMA. 10 (1986) 27-40]; Miranda et. al. [Comm. Partial Differential Equat. 24 (9–10)(1999) 1759–1800]; Lasiecka và Ong [Comm. Partial Differential Equat. 24(11-12)(1999) 2069–2108]; Hosoya, Yamada [J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math. 38 (1991) 225–238]; Larkin [Mathematical Prob. in Eng. 8 (2002) 15–31]; Medeiros [Comp. Appl. Math. 13(1994) 225–233]; Menzala [Appl. Anal. 10(1980) 179–195]; Park et. al. [Nonlinear Anal. TMA. 50(7)(2002) 871 – 884]; Rabello et. al. [Rev. Mat. Complutent, 16(2003) 179–206]; Santos et. al. [Non- linear Anal. TMA. 54(2003) 959–976]; Long e t. al. [J. Math. Anal. Appl. 274(1)(2002) 102–123; 267(1)(2002) 116–134; 292(2)(2004) 433–458; 306(1)(2005) 243–268; Non- linear Anal. TMA. 55(5)(2003) 493–519; 58(7-8)(2004) 933–959]; Ngọc et. al. [Nonlin- ear Anal. RWA. 11(4)(2010) 2479–2510; 11(5)(2010) 3363–3388; 13(2)(2012) 817–839; Acta Applicandae Math. 112(2)(2010) 137–169; Acta Math. Viet. 35(2)(2010) 207–227; Demonstratio Math. 43(3)(2010) 605–634]; Trường et. al. [Nonlinear Anal. TMA. 71(1- 2)(2009) 467–484; Applied Math. Comput. 215(5)(2009) 1908–1925], cùng các tài liệu tham khảo trong đó. Tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học củ a mô hình Kirchhoff có thể được tìm thấy trong Medeiros, Limaco và Menezes [J. Comput. Anal. Appl. 4(2)(2002) 91–127; 4(3)(2002) 211– 263]. Ngoài những công trình đó, nhiều BT biên với các dạng ĐKB cụ thể khác đã và 2 đang được nghiên cứu và hiển nhiên rằng khi xét đến các BT cụ thể thì còn nhiều dạng BT vẫn là bài toán mở - cần tiếp tục khảo sát. Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng BT biên cho PT sóng nói riêng và PTĐHR nói chung và không tồn tại một PP chung nào để giải được tất cả các BT đó. Chính vì vậy, đề tài luận án chúng tôi nghiên cứu "Tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến" là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng. Tiếp nối các kết quả đã có cho PT sóng, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu ba BT biên cụ thể cho ba dạng PT sóng phi tuyến. Các kết quả thu được là mới và sẽ trình bày trong ba chương 1, 2 và 3. Trước hết, xuất phát từ các BT cho P T Kirchhoff nêu trên, hai dạng PT sóng kiểu Kirchhoff sẽ được xét trong Chương 1 và Chương 2. Bằng công cụ chính là PP xấp xỉ tuyến tính liên hệ với PP Galerkin, các kết quả về tồn tại và duy nhất nghiệm, về khai triển tiệm cận (KTTC) của nghiệm được chứng minh. Cụ thể như sau Chương 1 chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của BT 8 > > > > > < > > > > > : u tt  ∂ ∂x h µ(x, t, u, k u x + ψ k 2 )u x i = f (x, t, u, u x , u t , k u x + ψ k 2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T, u(0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t), u ( x, 0 ) = ˜ u 0 ( x ) , u t ( x, 0 ) = ˜ u 1 ( x ) , (4) trong đó ˜ u 0 , ˜ u 1 , µ, ψ, f , g 0 , g 1 là các hàm số cho trước. Khi các hàm µ, f lần lượt được thay bởi các h àm có nhiễu ( ¯ µ ε = µ(x, t, u, k u x + ψ k 2 ) + ∑ p i=1 ε i µ i (x, t, u, k u x + ψ k 2 ), ¯ f ε = f (x, t, u, u x , u t , k u x + ψ k 2 ) + ∑ p i=1 ε i f i (x, t, u, u x , u t , k u x + ψ k 2 ), (5) ở đây các hàm ψ, µ, µ i , f , f i cho trước, ta có BT nhiễu theo p tham số bé ε = (ε 1 , ε p ) u tt  ∂ ∂x h ¯ µ ε (x, t, u, k u x + ψ k 2 )u x i = ¯ f ε (x, t, u, u x , u t , k u x + ψ k 2 ), (6) 0 < x < 1, 0 < t < T, liên kết với ĐKB và điều kiện đầu (4) 2,3 . Với tính trơn thích hợp của các hàm ψ, µ, f , µ i , f i (i = 1, , p), một KTTC của nghiệm BT (4) 2,3 , (6) theo p tham số bé ε 1 , ε p được thiết lập. Kết quả thu được trong phần này đã công bố trong [T2], ứng với trường hợp riêng ψ = 0 và f = f (x , t, u, u x , u t ), f i = f i (x, t, u, u x , u t ). Đặc biệt, kết quả này cũng chính là sự phát triển c ác kết quả trong [T5] về tồn tại duy nhất nghiệm và KTTC của nghiệm theo nhiều tham số bé, với việc vận dụng các kỹ thuật tính toán trong [T5] cho BT (4) ứng với ψ = 0, µ = µ(u, k u x k 2 ) và ĐKB 3 Dirichlet (4) 2 thay bởi ĐKB Neumann - Dirichlet: u x (0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t). Chương 2 khảo sát BT sau đ ây cho PT sóng phi tuyến Kirchhoff - Carrier với ĐKB Robin 8 > > > > > < > > > > > : u tt  ∂ ∂x h µ(x, t, u, k u + Φ k 2 , k u x + ψ k 2 )u x i = f (x, t, u, u x , u t , k u + Φ k 2 , k u x + ψ k 2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T, u x (0, t) h 0 u(0, t) = g 0 (t), u x (1, t) + h 1 u(1, t) = g 1 (t), u ( x, 0 ) = ˜ u 0 ( x ) , u t ( x, 0 ) = ˜ u 1 ( x ) , (7) trong đó ˜ u 0 , ˜ u 1 , µ, f , g 0 , g 1 , Φ, ψ là các hàm số cho trước, h 0  0, h 1  0 là các hằng số cho trước, với h 0 + h 1 > 0. Với các PP tương tự Chương 1 cùng nhiều kỹ thuật tính toán, kết quả thu được ở Chương 2 cho BT (7) tương tự Chương 1 cho BT (4). Trường hợp riêng của BT (7) ứng với f = f (x , t, u, u x , u t ) đã được công bố trong [T3]. Mặt khác, kết quả này cũng là sự phát triển các kết quả trong [T4], kết hợp sự điều chỉnh và cải tiến các kỹ thuật đã sử dụng trong [T4] cho BT (7) ứng với Φ = ψ = 0 và ĐKB Robin (7) 2 được thay bởi ĐKB hỗn hợp Dirichlet - Robin: u x (0, t) h 0 u(0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t). Cuối cùng, Chương 3 nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm của BT biên sau đây cho PT sóng phi tuyến 8 > > > > < > > > > : u tt  ∂ ∂x ( µ(x, t)u x ) + f (u, u t ) = F(x, t), 0 < x < 1, 0 < t < T, (1) i µ(i, t)u x (i, t) = K i j u(i, t) j p i 2 u(i, t) + λ i j u t (i, t) j q i 2 u t (i, t) +g i (t) + R t 0 k i (t  s) j u(i, s) j r i 2 u(i, s)ds , i = 0, 1, u ( x, 0 ) = ˜ u 0 ( x ) , u t ( x, 0 ) = ˜ u 1 ( x ) , (8) trong đó f (u, u t ) = Kjuj p2 u + λju t j q2 u t , với K i  0, λ i > 0, p i , q i , r i > 1 là các hằng số cho trước và ˜ u 0 , ˜ u 1 , µ, F, g 0 , g 1 , k 0 , k 1 là các hàm số cho trước thoả một số điều kiện thích hợp. BT thuộc dạng này có nhiều ý nghĩa trong Cơ học, Vật lý học và đã được đề cập trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay. Chẳng hạn như, An, Triều [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991) 1–7]; Bergounioux et. al. [Nonlinear Anal. TMA. 43(5)(2001) 547–561]; Cavalcanti et. al. [Southeast Asian Bulletin of Math. 24(2000) 183–199; Electron. J. Differential Equat. 2002(44)(2002) 1– 14]; Long, Định và Diễm [Bound. Value Probl. 2005(3) 337–358]; Long, Ngọc [J. Math. Anal. Appl. 385(2)(2012) 1070–1093]; Ngọc et. al. [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943–3965; Nonlinear Anal. RWA. 12(1)(2011) 69–92; Acta Math. Viet. 36 (2)(2011) 345–374; Comm. on Pure and Appl. Anal. 12(5)(2013) 2001-2029]; Rivera et. al. [Math. Meth. Appl. Sci. 23(2000) 41–61]; Santos [Electronic J. Diff. Equat. 2001(73)(2001) 1–11; 4 2002(38)(2002) 1–17]; Trường et. al. [Nonlinear Anal. RWA. 11(3)(2010) 1289–1303; Nonlinear Anal. TMA. 74(18)(2011) 6933–6949], và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong các công trình này, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính trơn, tính ổn định và KTTC, kể cả tính tắt dần của nghiệm đã được nghiên cứu. Với µ(x, t)  1 hay µ(x, t)  µ(t), bài toán (8) cũng được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Trong [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991) 1–7] An, Triều đã xét một trường hợp riêng của BT (8) 1,3 liên kết với ĐKB ( u x (0, t) = g 0 (t) + h 0 u(0, t) + R t 0 k 0 ( t s ) u ( 0, s ) ds, u(1, t) = 0, (9) với µ(x, t)  1, F = ˜ u 0 = ˜ u 1 = 0, p = q = p i = q i = r i = 2 và f (u, u t ) = Ku + λu t , với h 0 , K  0, λ  0 là các hằng số cho trước. Đây là mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. Một trường hợp riệng khác của BT (8) 1,3 liên kết với ĐKB tuyến tính tại x = 1 đã được khảo sát bởi Bergounioux, Long và Định [Nonlinear Anal. TMA. 43(5)(2001) 547–561] ( u x (0, t) = g 0 (t) + h 0 u(0, t) + R t 0 k 0 ( t s ) u ( 0, s ) ds, u x (1, t) + λ 1 u t (1, t) + K 1 u(1, t) = 0, (10) với µ(x, t)  1, g 1 (t) = k 1 (t) = 0, p = q = p i = q i = r i = 2 và f (u, u t ) = Ku + λu t , với h 0 , K  0, λ  0, λ 1 > 0, K 1  0 là các hằng số cho trước. Và đây chính là mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một n ền đàn hồi nhớt tuyến tính. BT (8) cũng được xét trong [T1] với f (u, u t ) tuyến tính, tức là f (u, u t ) = Ku + λu t , với K  0, λ > 0 là các hằng số cho trước. Ở đây, sự tồn tại toàn cục, tính duy nhất, tính trơn của nghiệm yếu và KTTC của nghiệm theo hai tham số λ, K được chứng minh. Bằng PP Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, sử dụng sự hội tụ yếu thông qua các định lý nhúng compact và PP đơn điệu, Chương 3 đã nới rộng kết quả thu được trong [T1] cho f (u, u t ) là phi tuyến, với f (u, u t ) = Kjuj p2 u + λju t j q2 u t . Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng và kế thừa các kết quả đã công bố trong [T1]-[T5]. Ngoài ra, PP và kỹ thuật về KTTC cho các BT biên phi tuyến được sử dụng trong toàn bộ luận án cũng được công bố trong [T6]. Nội dung của luận án đã được báo cáo một phần tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha 5 Trang, 10-14/08/2013 và một số hội nghị khoa học khác do một số Trường đại học tổ chức. Để nhận được các kết quả trong luận án này, các công cụ của giải tích hàm phi tuyến đ ã được áp dụng. Ngoài các khái niệm và tính chất cần thiết đặc thù cho mỗi dạng BT sẽ được nêu rõ trong mỗi chương, để tiện theo dõi, sau đây chúng tôi sẽ nêu các ký hiệu và các không gian hàm sử dụn g trong suốt luận án nầy. Các không gian hàm thông dụng. Luận án sử dụng các không gian hàm s au W m,p ( 0, T ) , L p ( 0, T ) = W 0,p ( 0, T ) , H m ( 0, T ) ; W m,p ( Q T ) , L p ( Q T ) , H m ( Q T ) , , Q T = Ω  ( 0, 1 ) , và có viết lại ký hiệu cho gọn hơn trong trường hợp Ω = (0, 1) : W m,p = W m,p (0, 1), L p = L p (0, 1), H m = W m,2 ( 0, 1 ) , 1  p  ∞, m = 0, 1, Có thể xem định nghĩa các không gian hàm này trong hai tài liệu H. Brézis [Func- tional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2010]; J.L. Lions [Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars 1969, Paris]. Xét riêng không gian L 2 , chuẩn được ký hiệu bởi k  k . Ký h iệu h, i để chỉ tích vô hướng trong L 2 hoặc tích đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm. Không gian L p ( 0, T; X ) , 1  p  ∞. Cho không gian Banach X với chuẩn k  k X . Ta ký hiệu L p ( 0, T; X ) , 1  p  ∞, để chỉ không gian Banach của các hàm u : ( 0, T ) ! X đo được, sao cho k u k L p ( 0,T;X ) < +∞, trong đó k u k L p ( 0,T;X ) = 8 > < > :  R T 0 k u ( t ) k p X dt  1/p , nếu 1  p < ∞, esssup 0<t<T k u ( t ) k X , nếu p = ∞. Liên quan đến đa chỉ số và đơn thức nhiều biến, ta sử dụng các ký hiệu sau 8 > > < > > : α = (α 1 , , α p ) 2 Z p + , j α j = α 1 + + α p , α! = α 1 ! α p !, α, β 2 Z p + , α  β () α i  β i 8i = 1, , p; ε = (ε 1 , , ε p ) 2 R p , k ε k = q ε 2 1 + + ε 2 p , ε α = ε α 1 1 ε α p p . Khi lấy lũy thừa bậc m của một đa thức theo p biến ε 1 , , ε p , ta có kết quả sau: Bổ đề 1. Cho m, N 2 N và u α 2 R, α 2 Z p + , 1  j α j  N . Khi đó ∑ 1 j α j N u α ε α ! m = ∑ m j α j mN T ( m ) N [ ~ u ] α ε α , trong đó các hệ số T ( m ) N [ ~ u ] α phụ thuộc vào họ ~ u = f u α : 1  j α j  N g được xác định bởi 6 T ( 1 ) N [ ~ u ] α = u α , 1  j α j  N , m = 1, T ( m ) N [ ~ u ] α = ∑ β2A (m) α (N) u αβ T (m1) N [ ~ u ] β , m  α  mN, m  2, trong đó A (m) α (N) = fβ 2 Z p + : β  α, 1  j α  β j  N , m 1  j β j  ( m 1 ) Ng. Chứng minh của Bổ đề 1 có thể tìm thấy trong Long, Truong [Nonlinear Anal. TMA. 67 (3) 842 – 864]. Chương 1 PT sóng kiểu Kirchhoff liên kết với ĐKB Dir ichlet Chương này khảo sát BT sau 8 > > > > > < > > > > > : u tt  ∂ ∂x h µ(x, t, u, k u x ( t ) + ψ(t) k 2 )u x i = f (x, t, u, u x , u t , k u x ( t ) + ψ ( t ) k 2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T, u ( 0, t ) = g 0 ( t ) , u ( 1, t ) = g 1 ( t ) , u ( x, 0 ) = ˜ u 0 ( x ) , u t ( x, 0 ) = ˜ u 1 ( x ) , (1.0.1) trong đó các hàm ˜ u 0 2 H 2 , ˜ u 1 2 H 1 , ψ 2 C 1 ([ 0, 1 ] R + ) , µ 2 C 2 ([0, 1]  R +  R  R + ), µ  µ 0 > 0, f 2 C 1 (Ω  R +  R 3  R + ), g 0 , g 1 2 C 3 ( R + ) là các hàm cho trước và k u x ( t ) + ψ ( t ) k 2 = R 1 0 j u x ( x, t ) + ψ ( x, t ) j 2 dx. Trước hết, BT (1.0.1) được đưa về BT với ĐKB thuần nhất và sau đó với các điều kiện phù hợp, sự tồn tại nghiệm và KTTC của n ghiệm theo các tham số bé xuất hiện trong PT được thiết lập. Trong chương nầy chúng tôi sử dụng PP xấp xỉ tuyến tính. Ý tưởng của PP này như sau: Trước hết, với mỗi hàm w = w(x, t) thuộc vào một không gian hàm thích hợp X, với một số giả thiết phù hợp ta thu được một nghiệm duy nhất u 2 X của BT (1.0.1) tương ứng với µ = µ(x, t, w(x, t), k w x (t) + ψ(t) k 2 ) = ¯ µ(x, t) và f = f (x, t, w, w x , w t , k w x + ψ(t) k 2 ) = ¯ f (x, t). Dĩ nhiên u phụ thuộc vào w, nên có thể giả sử rằng u = A(w). Từ đó, BT (1.0.1) được đưa về BT tìm điểm bất động của toán tử A : X ! X. Dựa vào ý tưởng này, với số hạng đầu u 0 được chọn, ta xây dựng dãy lặp fu m g theo công thức u m = A(u m1 ), m = 1, 2, , sao cho fu m g hội tụ về nghiệm của BT, khi đó ta thu được kết quả về tồn tại nghiệm. 7 1.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu Thực hiện phép ẩn hàm u 7! v = u  ϕ, với ϕ ( x, t ) = ( 1  x ) g 0 ( t ) + xg 1 ( t ) , BT (1.0.1) được đưa về BT có ĐKB thuần nhất có cùng dạng với (1.0.1) như sau 8 > > > > > < > > > > > : v tt  ∂ ∂x h ¯ µ(x, t, v, k v x ( t ) + ¯ ψ(t) k 2 )v x i = ¯ f (x, t, v, v x , v t , k v x ( t ) + ¯ ψ(t) k 2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T , v ( 0, t ) = v ( 1, t ) = 0, v ( x, 0 ) = ˜ v 0 ( x ) , v t ( x, 0 ) = ˜ v 1 ( x ) , (1.1.1) trong đó 8 > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > : ¯ ψ(x, t) = ϕ x ( t ) + ψ(x, t), ¯ µ ( x, t, v, z ) = µ ( x, t, v + ϕ ( x, t ) , z ) , ¯ f ( x, t, v, v x , v t , z ) = f ( x, t, v + ϕ ( x, t ) , v x + ϕ x ( x, t ) , v t + ϕ t ( x, t ) , z ) +ϕ x ( t ) ∂ ∂x [ µ ( x, t, v + ϕ ( x, t ) , z )]  ϕ tt (x, t), ˜ v 0 ( x ) = ˜ u 0 ( x )  ϕ ( x, 0 ) , ˜ v 1 ( x ) = ˜ u 1 ( x )  ϕ t ( x, 0 ) , ˜ v 0 2 H 1 0 \ H 2 , ˜ v 1 2 H 1 0 , ¯ f 2 C 1  [ 0, 1 ] R + R 3 R +  , ¯ µ 2 C 2 ([ 0, 1 ] R + R R + ) , và g 0 , g 1 , ˜ u 0 thỏa điều kiện tương thích ˜ u 0 ( 0 ) g 0 ( 0 ) = ˜ u 0 ( 1 ) g 1 ( 0 ) = 0, ˜ u 1 ( 0 )  g 0 0 ( 0 ) = ˜ u 1 ( 1 )  g 0 1 ( 0 ) = 0. Khi đó, nếu BT (1.1.1) giải được và v là nghiệm của nó thì BT (1.0.1) sẽ nhận nghiệm là u = v + ϕ. Như vậy, ta chỉ cần giải BT (1.0.1) tương ứng với g 0 = g 1  0 như sau 8 > > > > > < > > > > > : u tt  ∂ ∂x h µ(x, t, u, k u x ( t ) + ψ(t) k 2 )u x i = f (x, t, u, u x , u t , k u x ( t ) + ψ ( t ) k 2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T , u ( 0, t ) = u ( 1, t ) = 0, u ( x, 0 ) = ˜ u 0 ( x ) , u t ( x, 0 ) = ˜ u 1 ( x ) . (1.1.2) 1.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết Nghiệm yếu của (1.1.2) là một hàm u 2 L ∞  0, T; H 1 0 \ H 2  , sao cho u t 2 L ∞  0, T; H 1 0  và u tt 2 L ∞ (0, T; L 2 ), đồng thời u thỏa mãn BT biến phân 8 > > < > > : h u tt ( t ) , w i + D µ(, t, u, k u x (t) + ψ(t) k 2 )u x , w x E = D f (, t, u, u x , u t , k u x (t) + ψ(t) k 2 ), w E , 8w 2 H 1 0 , u ( 0 ) = ˜ u 0 , u t ( 0 ) = ˜ u 1 . Ta thành lập các giả thiết sau ( H 1 ) ˜ u 0 2 H 1 0 \ H 2 , ˜ u 1 2 H 1 0 ; ( H 2 ) ψ 2 C 1 ([ 0, 1 ] R + ) ; ( H 3 ) µ 2 C 2 ( [0, 1] R + R R + ) , µ ( x, t, y, z )  µ 0 > 0, 8 ( x, t, y, z ) 2 [ 0, 1 ]  8 [...]... 0, λi > 0 là các hằng số cho trước và u các hàm số cho trước Với các giả thiết thích hợp, các kết quả về sự tồn tại nghiệm và KTTC nghiệm được chứng minh Đặc biệt, nghiệm thu được ở đây là nghiệm toàn cục và để tính trơn của nghiệm được nhiều hơn, chúng tôi đã tăng cường giả thiết về tính trơn của ĐK đầu và một số ĐK phụ 18 3.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu Nghiệm yếu của (3.0.1) là một hàm u 2... minh các định lý về sự tồn tại nghiệm - nghiệm địa phương hoặc nghiệm toàn cục, đã thiết lập các KTTC của nghiệm theo nhiều tham số bé xuất hiện trong BT Luận án cũng cho thấy tính trơn của nghiệm phụ thuộc vào tính trơn của ĐK đầu Trong trường hợp cần tăng cường tính trơn của nghiệm, cụ thể là để nghiệm của BT thứ ba có tính trơn tốt hơn, luận án đã tăng cường tính trơn của ĐK đầu cùng với một số ĐK... nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm của ba BT biên cho các PT sóng phi tuyến thuộc các dạng sau: - PT sóng kiểu Kirchhoff liên kết với ĐK đầu và ĐKB không thuần nhất - ĐK Dirichlet hoặc ĐK Neumann - Dirichlet - PT sóng kiểu Kirchhoff-Carrier liên kết với ĐK đầu và ĐKB không thuần nhất - ĐK Robin hoặc ĐK Robin-Dirichlet - PT sóng phi tuyến liên kết với ĐK đầu và ĐKB phi tuyến có chứa... với các ĐKB Dirichlet không thuần nhất và các điều kiện đầu Một KTTC đến cấp N + 1 của nghiệm yếu cũng được thiết lập cho BT nhiễu với các số hạng nhiễu xuất hiện ở cả hai vế của PT, ở trong thành phần của các số hạng phi tuyến µ, f và phụ thuộc theo p tham số bé ε1 , , ε p Kết quả của Chương 1 đã nới rộng các kết quả trong [T2] ứng với trường hợp riêng ψ = 0 và f = f ( x, t, u, u x , ut ), f i = f... (i, ) εγ γ N uγ εγ L2 (0,T ) L∞ (0,T;H 1 ) ˜ CT k ε k N + 1 , ˜ trong đó CT là một hằng số dương độc lập với ε, các hàm uγ là nghiệm yếu của các bài toán ˜ Pγ , jγj N 3.4 Một trường hợp tổng quát cho các số hạng phi tuyến Với cùng PP đã thực hiện, nếu xem xét BT (3.0.1) với các số hạng phi tuyến tổng quát gần giống với các số hạng Fr , r 2 f p, q, p0 , q0 , r0 , p1 , q1 , r1 g, thì kết quả vẫn còn đúng... quả liên quan đến BT biên cho PT sóng phi tuyến dạng (3.0.1)1 - dạng PP đã và đang được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học do những ứng dụng của nó trong nghiên cứu dao động của các vật liệu đàn hồi nhớt e Với lớp các hàm phi tuyến L p , 1 < p < ∞, các kết quả cho (3.0.1) vẫn còn đúng nếu các số hạng phi tuyến Fr , r 2 f p, q, p0 , q0 , r0 , p1 , q1 , r1 g được thay bởi các hàm e Ψr 2 Lr , r... là nghiệm yếu của các BT ( Pγ ), jγj N, và CT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, T, f , f i , µ, µi , uγ , jγj N, 1 i p Kết luận chương 2 Chương 2 đã kế thừa các ý tưởng và PP nghiên cứu của chương 1 Tuy nhiên, với sự xuất hiện của thành phần phi tuyến kiểu Kirchhoff - Carrier và dạng ĐKB Robin, việc đánh giá các số hạng phi tuyến trong PT phức tạp hơn và cần nhiều kỹ thuật tinh tế để giải quyết Kết... minh được i ∂ h µ( x, t, u, ku + Φk2 , ku x + ψk2 )u x = sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của BT: utt ∂x f ( x, t, u, u x , ut , ku + Φk2 , ku x + ψk2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T, kết hợp với các ĐKB Robin không thuần nhất và các ĐK đầu Trên cơ sở đó, một KTTC đến cấp N + 1 của nghiệm yếu cho BT nhiễu theo p tham số bé ε1 , , ε p với các số hạng nhiễu ở trong thành phần của các số hạng phi tuyến µ, f được. .. ĐK đầu cùng với một số ĐK phụ Bằng các PP và kỹ thuật của giải tích hàm phi tuyến, trong đó các công cụ chính là PP xấp xỉ tuyến tính, PP xấp xỉ Faedo-Galerkin kết hợp với PP điểm bất động và PP compact, PP KTTC, luận án đạt được các kết quả mới sau đây: 1 Phát biểu và chứng minh một định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương của BT biên cho PT sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff: 23 ∂ µ x, t,... cục, về tính duy nhất, tính trơn của nghiệm yếu và KTTC của nghiệm theo hai tham số λ, K Trong các chứng minh, PP Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu, PP đơn điệu và tính compact đã được áp dụng Vận dụng tất cả các PP và kỹ thuật nói trên với sự cải tiến thích hợp, chương 3 đã mở rộng các kết quả trong [T1] cho trường hợp f (u, ut ) = K juj p 2 u + λjut jq 2 ut và góp phần .  NGUYỄN ANH TRIẾT TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH. biên cho PT sóng nói riêng và PTĐHR nói chung và không tồn tại một PP chung nào để giải được tất cả các BT đó. Chính vì vậy, đề tài luận án chúng tôi nghiên cứu " ;Tính giải được và các tính. 74(18)(2011) 6933–6949], và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong các công trình này, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính trơn, tính ổn định và KTTC, kể cả tính tắt dần của nghiệm đã được nghiên cứu. Với