Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nghiên cúu sinh BÙI TIẾN DŨNG CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ ĐƯC CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN THÀNH LONG PGS.TS NGUYỄN HỘI NGHĨA TP HỒ CHÍ MINH – 2005 LỜI CAM ĐOAN  Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Lời cảm ơn  Con xin ghi tạc công ơn sinh thành dưỡng dục Cha mẹ để khôn lớn nên người Tôi xin ghi ơn tất Quý Thầy, Cô dạy cho từ thû ấu thơ ngày thành đạt hôm Kính gửi đến TS Nguyễn Thành Long, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, PGS TS Nguyễn Hội Nghóa, Ban Sau Đại Học Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh, lòng biết ơn tất tình cảm tốt đẹp tận tụy dạy dỗ Quý Thầy dành cho tôi, kể nghiêm khắc cần thiết Quý Thầy việc hướng dẫn cho học tập nghiên cứu khoa học, nhằm giúp nên người Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy phản biện độc lập luận án, Quý Thầy Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Bộ môn, Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Nhà nước, đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp cho hoàn thành tốt đẹp luận án Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Chuyên viên Vụ Đại học Sau Đại học Bộ Giáo Dục Đào Tạo, Phòng Sau Đại học Trøng Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giúp cho hoàn tất thủ tục học tập bảo vệ luận án tiến sỹ Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh Qúy Thầy, Cô đồng nghiệp thuộc Khoa Khoa học Cơ Bản độâng viên tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho hoàn tất việc học tập, nghiên cứu khoa học Đặc biệt xin cảm ơn Thạc sỹ Ninh Quang Thăng, Khoa Trưởng Khoa Khoa Học Cơ Bản Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh, người lãnh đạo, người anh, đồng nghiệp sát cánh bên tôi, giúp đỡ nhiều cho nghiệp giảng dạy, quản lý tổ chức tập trung hoàn thành luận án tiến sỹ Sau cùng, xin gửi tất tình cảm yêu thương lòng biết ơn gia đình, nơi gửi gắm niềm tin, nơi cho an lành sức mạnh, nhờ vượt qua khó khăn, trở ngại để học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án tiến sỹ Bùi Tiến Dũng PHẦN MỞ ĐẦU Trong ngành Khoa học ứng dụng Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật, thường xuất toán biên phi tuyến phong phú đa dạng Đây nguồn đề tài không cạn mà nhiều nhà toán học từ trước đến quan tâm nghiên cứu Hiện nay, với thành tựu Toán học đại, nhiều công cụ sâu sắc dựa vào tảng Giải tích hàm xâm nhập vào toán biên phi tuyến cụ thể mức độ Tuy nhiên, nhìn cách tổng quát, chưa có phương pháp toán học chung để giải cho toán biên phi tuyến Do nhiều toán biên phi tuyến chưa giải giải phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể Trong luận án khảo sát số toán biên có liên quan đến nhiều vấn đề ngành Khoa học ứng dụng Chẳng hạn phương trình sóng phi tuyến liên kết với loại điều kiện biên khác xuất toán mô tả dao động vật đàn hồi ( dây đàn hồi) với ràng buộc phi tuyến bề mặt biên, mô tả va chạm vật rắn với đàn nhớt tuyến tính cứng đàn nhớt với ràng buộc đàn hồi phi tuyến bề mặt, ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt Công cụ để khảo sát toán biên sử dụng trình bày luận án phương pháp Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với đònh lý điểm bất động, phương pháp tiệm cận Ngoài phần tổng quan chương mở đầu, kết luận án trình bày hai chương sau: Chương 1: Trong chương này, quan tâm đến dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff 2 (0.1) u (1, t )  g1 (t), (0.2) u tt  B(t , u )u xx  f ( x, t , u , u, u t , u ), x    (0,1),  t  T , liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không u x (0, t )  h0 u (0, t )  g (t ), điều kiện đầu u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.3) B, f , u~0 , u~1 , g , g1 hàm cho trước giả thiết phần sau h0  số cho trước Trong phương trình (0.1) số hạng phi tuyến 2 B(t , u ) f ( x, t , u , u , u t , u ) phụ thuộc vào tích phân u (t ) 2 N    i 1 u ( x, t ) dx x i (0.4) Phương trình (0.1) tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động dây đàn hồi (Kirchhoff [16]): L   E u  u ,  hu tt  P0  ( y , t ) dy   xx L 0 y    x  L ,  t  T, (0.5) u độ võng,  khối lượng riêng, h thiết diện, L chiều dài sợi dây trạng thái ban đầu, E môđun Young P0 lực căng lúc ban đầu Tuy nhiên, nhiều tài liệu sau ( xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) gọi phương trình thuộc dạng (0.5) phương trình sóng chứa toán tử Carrier ghép tên chung gọi phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier Thật hai báo gốc Kirchhoff (1876)[16] Carrier (1945)[7] có khác biệt, tìm thấy [7] Carrier công bố năm 1945 phương trình thuộc dạng (0.5), mà lại L   u tt   P0  P1  u ( y , t )dy u xx ,    x  L ,  t  T, (0.6) P0 , P1 số dương Trong số trường hợp riêng B f, toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.1) nghiên cứu nhiều tác Ebihara, Medeiros Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39] Trong hai công trình gần (xem [31, 32]), tác giả Medeiros, Limaco, Menezes cho tổng quan kết khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-Carrier Trong [14], Frotta ý nghiên cứu phương trình sóng cho miền n-chiều   IR n u tt  B( x, u )u  f ( x, t ), x  ,  t  T , liên kết với điều kiện biên Dirichlet điều kiện đầu Thay xét (0.7), Larkin[18] nghiên cứu phương trình sóng (0.7) u tt  B( x, t , u (t ) )u  g ( x, t , u t )  f ( x, t ), x  ,  t  T , (0.8) liên kết với điều kiện biên Dirichlet điều kiện đầu, với u (t ) 2   u ( x, t ) dx  Trong [37], tác giả Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghiên cứu toán với phương trình sóng u tt  B( u )u  u t  f (u )  0, x    (0,1),  t  T , (0.9) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến điều kiện đầu Trong [38], Tucsnak nghiên cứu toán   u  u tt  a  b  ( y , t ) dy u xx  0,   y    x  , t  0, (0.10) u (0, t )  0, u x (1, t )   u t (1, t )  0, t  0, (0.11) u ( x,0)  u~0 ( x ), (0.12) u t ( x,0)  u~1 ( x ), a  0, b  0,   số cho trước Trong trường hợp này, toán (0.10) - (0.12) mô tả kéo giãn sợi dây Trong [30] Medeiros khảo sát toán (0.1) - (0.3) với f  f (u )  bu , b số dương cho trước,  tập mở bò chận IR Trong [15], Hosoya  Yamada xét toán với f  f (u )   u u,  > ,   số cho trước Trong [8] Dmitriyeva nghiên cứu toán u tt  .2 u  u u   u t  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ),  2u v  ,  i i 1 xi (0.13) u  0, u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.14) (0.15) đó,   (0, )  (0, ), vectơ v  (v1 , v ) pháp tuyến đơn vò biên  hướng ngoài,    h / 6, với h,  số dương Trong trường hợp này, toán (0.13)-(0.15) mô tả dao động phi tuyến hình vuông có tải trọng tónh Trong [26], N.T Long tác giả nghiên cứu tồn nghiệm toán u tt   2 u  B( u )u   u t  1 u t  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ), u   , v u  0, (0.16) (0.17) u ( x,0)  u~0 ( x ), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.18)  > 0,  > 0, <  < số cho trước  tập mở bò chận IR n Bằng cách tổng quát kết [8, 26], tác giả N.T Long T.M Thuyết [27] xét toán u tt  .2 u  B( u )u  f (u , u t )  F ( x, t ), ( x, t )    (0, T ), u  0, u   , v u ( x,0)  u~0 ( x ), (0.19) (0.20) u t ( x,0)  u~1 ( x ) (0.21) Trong [9], Alain Phạm nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận   nghiệm yếu toán (0.1) - (0.3) với B  liên kết với điều kiện biên Dirichlet u (0, t )  u (1, t )  0, (0.22) số hạng phi tuyến có dạng f   f (t , u ) Sau đó, [10] Alain P.N Đònh N.T Long xét toán (0.1) - (0.3) với B  số hạng phi tuyến có dạng f   f1 (t , u, u t ) (0.23) Trong [21] N.T Long T.N Diễm khảo sát phương trình sóng phi tuyến u tt  u xx  f ( x, t , u, u x , u t )   f1 ( x, t , u , u x , u t ), x  (0,1),  t  T , 0.24) liên kết với điều kiện đầu (0.3) điều kiện biên hỗn hợp u x (0, t )  h0 u (0, t )  u x (1, t )  h1u (0, t )  0, (0.25) h0 , h1 số dương cho trước Trong trường hợp f  C ([0,1]  [0, )  IR ) f1  C ([0,1]  [0, )  IR ), [12] thu kết thu liên quan đến khai triển tiệm cận nghiệm toán nhiễu đến cấp theo tham số  đủ nhỏ Kết tiếp tục mở rộng [24] với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff: 2 u tt  [b0  B( u x )   B1 ( u x )] u xx  f ( x, t , u, u x , u t )   f1 ( x, t , u , u x , ut ), (0.26) liên kết với điều kiện (0.3) (0.22) b0  số cho trước B  C ( IR ), B1  C ( IR ), B  0, B1  hàm cho trước Trong chương này, tập trung giải hai vấn đề: Vấn đề thứ nhất: Chúng liên kết toán với dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh không gian hàm thích hợp chứng minh tồn đòa phương nghiệm toán phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp với phương pháp compact Chú ý phương pháp tuyến tính hóa chương báo [6, 10, 21, 23, 24, 33] sử dụng báo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34] Vấn đề thứ hai: Chúng khảo sát toán nhiễu 2 u tt  [ B(t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx 2 (0.27)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε f1 ( x, t , u , u x , u t , u x ) tìm cách khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε ( x, t ) đến cấp N+1 theo tham số bé  Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chứng minh tồn đòa phương nghiệm toán (0.1) - (0.3) tương ứng với điều kiện biên hỗn hợp 2 u tt  B( u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1),  t  T , (0.28) u x (0, t )  h0 u (0, t )  u (1, t )  0, (0.29) u ( x,0)  u~0 ( x), (0.30) u t ( x,0)  u~1 ( x ), B, f , u~0 , u~1 hàm cho trước Ở đây, số hạng phi tuyến vế phải (0.28) xác đònh hàm f giả sử f  C ([0,1]  IR  IR  IR ) thêm số điều kiện phụ Kế tiếp mở rộng việc khảo sát với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff-Carrier lại liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không sau: 2 u tt  B(t , u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1),  t  T , (0.31) u x (0, t )  h0 u (0, t )  g (t ), (0.32) u ( x,0)  u~0 ( x ), u (1, t )  g1 (t), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (0.33) B, f , u~0 , u~1 , g , g1 hàm cho trước giả thiết sau Bằng việc đặt ẩn phụ thích hợp, đưa toán (0.31) - (0.33) toán có điều kiện biên thuộc dạng (0.28) - (0.30) với điều chỉnh lại hàm B, f , u~0 , u~1 (0.28) - (0.30) thành hàm ~ ~ B , f , v~0 , v~1 Tuy nhiên để giải toán (0.31) - (0.33) giả thiết f  C ([0,1]  IR  IR  IR ) không đủ mà phải f  C ([0,1]  IR  IR  IR ), dó nhiên phải bổ sung thêm số điều ~ ~ kiện phụ Mặt khác cho dù f  C ([0,1]  IR  IR  IR ), với kiện B , f , v~0 , ~v1 cho toán (0.31) - (0.33) không áp dụng trực tiếp kết khảo sát cho toán (0.28) - (0.30) Điều cho thấy toán (0.28) - (0.30) trường hợp riêng toán (0.31) - (0.33), kết lại không Chính vậy, phải trình bày hai toán (0.1) (0.3) tương ứng với hai điều kiện biên không Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng sở lập luận, trước tiên khảo sát phương trình nhiễu 2 u tt  [ B (t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx 2 0.34)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε f1 ( x, t , u , u x , u t , u x ) liên kết với (0.32) (0.33) Khi với giả thiết thích hợp B, f , u~0 , u~1 , g , g1 , thu nghiệm yếu u ε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp theo tham số  đủ nhỏ Kế tiếp, mở rộng việc khai triển tiệm cận đến cấp cao cho phương trình nhiễu 2 u tt  [ B ( u x )  ε.B1 ( u x )] u xx 2 (0.35) liên kết với (0.29)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε f ( x, t , u, u x , u t , u x ) (0.30) Chúng thu nghiệm yếu u ε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp N+1 theo tham số  đủ nhỏ giả thiết thích hợp cho B, f , u~0 , u~1 Các kết công bố hai báo [d1, d2] Chương 2: Chúng xét phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến chứa giá trò biên Bài toán đặt tìm cặp hàm (u, P) thỏa u tt  u xx  f (u, u t )  0, x    (0,1),  t  T , (0.36) u x (0, t )  P(t ), u (1, t )  0, (0.37) u ( x,0)  u ( x ), (0.38) u t ( x,0)  u1 ( x), f , u , u1 hàm cho trước thỏa số điều kiện giả thiết sau Ẩn hàm u(x,t) giá trò biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến t P(t )  g (t )  H (u (0, t ))   K (t  s, u (0, s ))ds, (0.39) g, H K hàm cho trước Bài toán (0.36) - (0.39) nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo nhiều kiểu điều kiện biên khác tương ứng với ý nghóa học đó, chẳng hạn : Trong [1], N.T An N.Đ Triều [20] N.T Long, Alain P.N Đònh xét toán (0.36), (0.38) liên kết với điều kiện biên (0.40) u x (0, t )  P(t ), u (1, t )  0, ẩn hàm u(x,t) giá trò biên chưa biết P(t) thỏa toán Cauchy cho phương trình vi phân thường P ' ' (t )   P (t )  hu tt (0, t ),  t  T , (0.41) P(0)  P0 , P' (0)  P1 , (0.42)   0, h  0, P0 , P1 số cho trước [1, 20] Trong [1] nghiên cứu trường hợp đặc biệt toán (0.36), (0.38) (0.41), (0.42) với u  u1  P0  (0.43) f (u , u t )  Ku   u t , với K  số dương cho trước Trong trường hợp toán (0.36), (0.38), (0.41), (0.42) mô hình toán học mô tả va chạm vật rắn đàn nhớt tuyến tính có đầu đặt cứng Bằng việc giải toán (0.41), (0.42) ta thu P(t) biểu thò theo P0 , P1 ,  , h, u tt (0, t) sau tích phân phần, ta t P(t )  g (t )  hu (0, t )   k (t  s )u (0, s )ds, (0.44)   g (t )  ( P0  h0 u (0)) cos  t  ( P1  hu1 (0)) sin  t ,   k (t )  h sin  t Bằng cách khử bớt ẩn hàm P(t) điều kiện biên (0.37) có dạng (0.45) t u x (0, t )  g (t )  hu (0, t )   k (t  s )u (0, s )ds, u (1, t )  (0.46) Cũng với f (u , u t )  Ku  .u t , [5], Bergounioux, N.T Long Alain P.N Đònh khảo sát toán (0.36), (0.38), (0.44) (0.47) K ,  , K1 , 1 u x (0, t )  P(t ), u x (1, t )  K 1u (1, t )   u t (1, t )  0, số không âm cho trước Bài toán mô tả va chạm vật rắn đàn nhớt tuyến tính tựa đàn nhớt với ràng buộc tuyến tính bề mặt ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt Trong trường hợp f (u , u t )  u t  1 u t (0    1), (0.48) Đ.Đ Áng Alain P.N Đònh [3] thiết lập đònh lý tồn nghiệm toàn cục cho toán (0.36) - (0.38) với P, u , u1 hàm cho trước Bằng tổng quát hóa [1, 3, 20], toán (0.36) - (0.38) xét - Alain P.N Đònh N.T Long [11,12] với k  (0.49) P(t )  g (t )  H (u (0, t )), H hàm cho trước nhận trường hợp H(s) = hs trường hợp riêng - N.T Long T.M Thuyết [28] với t P (t )  g (t )  H (u (0, t ))   k (t  s )u (0, s )ds (0.50) Trong chương này, thực hai phần Ở phần thứ 1, chứng minh đònh lý tồn nghiệm yếu toàn cục toán (0.36) - (0.39) Việc chứng minh dựa sở phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật phương pháp compact phương pháp hội tụ yếu Trong phần xấp xỉ Galerkin, sử dụng đònh lý điểm bất động Schauder để kiểm tra tồn nghiệm xấp xỉ Sự khó khăn gặp phải phần điều kiện biên x  Ta ý phương pháp tuyến tính hóa sử dụng [6, 10, 21, 23, 24, 33] không dùng [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34] Trong phần thứ chương này, chứng minh nghiệm (u,P) ổn đònh hàm g, H K Các kết thu tổng quát hóa tương đối kết [1, 3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] công bố [d3] Các kết luận án công bố ([d1]-[d4]) tham gia báo cáo hội nghò: - Hội nghò Phương trình đạo hàm riêng Ứng dụng, Hà Nội, 27-29/12/99 - Hội nghò Toán học Việt nam toàn quốc lần thứ 6, Huế, 7-10/9/2002 - Hội nghò Khoa học lần 2, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 5-2000 - Hội nghò Khoa học lần 3, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 10-2002 - Hội nghò Khoa học Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm Tp HCM, 22/12/2000 - Hội nghò Khoa học Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm Tp HCM, 21-22/12/2002 Chương PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF 1.1 Giới thiệu Trong chương này, quan tâm đến dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff liên kết với điều kiện biên hỗn hợp 2 u tt  B(t , u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1),  t  T , (1.1.1) u x (0, t )  h0 u (0, t )  g (t ), (1.1.2) u ( x,0)  u~0 ( x), u (1, t )  g1 (t), u t ( x,0)  u~1 ( x ), (1.1.3) B, f , u~0 , u~1 , g , g hàm cho trước thỏa số giả thiết mà ta đặt sau 2 Trong phương trình (1.1.1) số hạng phi tuyến B(t , u x ) f ( x, t , u , u x , u t , u x ) phụ thuộc vào tích phân ux 2 (1.1.4)   u x ( x, t ) dx Chúng tập trung giải hai vấn đề Vấn đề thứ nhất: Chúng chứng minh tồn nghiệm đòa phương toán (1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với hai trường hợp ( g (t )  g1 (t )  ) không ( g (t )   g (t ) ) Ý tưởng công cụ tổng quát để khảo sát tồn nghiệm thiết lập dãy qui nạp tuyến tính liên kết với toán, sau sử dụng xấp xỉ Galerkin phương pháp compact để chứng minh dãy hội tụ mạnh nghiệm yếu toán (1.1.1) - (1.1.3) không gian hàm thích hợp Sự nghiệm chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau số phép tính toán đánh giá cụ thể Vấn đề thứ hai: Chúng khảo sát toán nhiễu 2 u tt  [ B(t , u x )  ε.B1 (t , u x )] u xx 2  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε f1 ( x, t , u , u x , u t , u x ) (1.1.5) liên kết với (1.1.2), (1.1.3) tìm cách khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε ( x, t ) đến cấp phụ thuộc vào tính trơn hàm B, B1 , f , f1 theo tham số bé  Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chứng minh tồn đòa phương nghiệm toán với điều kiện biên hỗn hợp 2 u tt  B( u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x  (0,1),  t  T , (1.1.6) u x (0, t )  h0 u (0, t )  u (1, t )  0, (1.1.7) u ( x,0)  u~0 ( x), (1.1.8) u t ( x,0)  u~1 ( x), B, f , u~0 , u~1 hàm cho trước giả thiết phần sau h0  số cho trước Trong phương trình (1.1.6) số hạng phi tuyến B( u x ) không phụ thuộc vào biến thứ ( biến thời gian t ) mà phụ thuộc vào tích phân u x 2   u x ( x, t ) dx Sau đó, với số giả thiết hàm cho trước B, f , u~0 , u~1 , g , g việc đổi ẩn hàm phép tònh tiến v( x, t )  u ( x, t )   ( x, t ),   x t  ( x  1) g (t )  e h0 ( x  t ) g (t ),  ( , ) 1 h  (1.1.9) toán (1.1.1) - (1.1.3) đưa toán với điều kiện biên sau ~ 2 vtt  B(t , v x (t )   x (t ) )v xx  f ( x, t , v, v x , vt , v x (t )   x (t ) ), (1.1.10)  x  1,  t  T , v x (0, t )  h0 v(0, t )  v(1, t )  0, (1.1.11) v( x,0)  v~0 ( x), (1.1.12) vt ( x,0)  v~1 ( x), ~ f ( x, t , v, v x , vt , z )  f ( x, t , v   , v x   x , vt   t , z )  B (t , z ) zz   tt , (1.1.13) v~0 ( x )  u~0 ( x )   ( x,0), (1.1.14) v~1 ( x)  u~1 ( x )   t ( x,0) Tuy nhiên, toán (1.1.10) - (1.1.13) không sử dụng kết toán (1.1.6) (1.1.8) Do đó, tiếp tục trình bày chứng minh kết tồn nghiệm cho toán (1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với trường hợp không ( g (t )   g (t ) ) Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng sở lập luận, trước tiên khảo sát phương trình nhiễu (1.1.5) liên kết với (1.1.2), (1.1.3) thu nghiệm yếu u ε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp theo tham số  đủ nhỏ Kế tiếp, mở rộng việc khai triển tiệm cận cho phương trình nhiễu 2 u tt  [ B ( u x )  ε B1 ( u x )] u xx (1.1.15)  f ( x, t , u , u x , u t , u x )  ε f ( x, t , u , u x , u t , u x ) liên kết với (1.1.7) (1.1.8) để thu nghiệm yếu u ε ( x, t ) có khai triển tiệm cận đến cấp N+1 theo tham số bé  Các kết công bố hai báo [d1, d2] 1.2 Ký hiệu kết chuẩn bò Chúng ta bỏ qua đònh nghóa không gian hàm thông dụng Ta ký hiệu LP  LP(Ω ), H m  H m (Ω ), H 0m  H 0m(Ω ), QT  Ω  ( ,T), T  Ta dùng ký hiệu  ,  để tích vô hướng L2 hay cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử không gian hàm Ký hiệu  để chuẩn L2 ký hiệu  X để chuẩn không gian Banach X Ta gọi X  không gian đối ngẫu X Ta ký hiệu LP (0, T ; X ),  p  , không gian Banach hàm đo u : ( ,T)   X, cho u LP (0 ,T ; X ) u L  ( 0,T ; X ) T  P    u (t ) X dt  0  p    p  , Ký  ess sup u (t ) hiệu 0t T X p   u (t ), u t (t )  u (t ), u tt (t )  u(t ), u x (t )  u (t ), u xx (t )  u (t ) u ( x, t ), (u / t )( x, t ), ( u / t )( x, t ), (u / x )( x, t ), ( u / x )( x, t ) tương ứng Với f = f(x,t,u,v,w,z), ta đặt thay cho D1 f  f / x, D2 f  f / t , D3 f  f / u, D4 f  f / v, D5 f  f / w, D6 f  f / z V  { v  H (0,1) : v (1)  }, Bây đặt (1.2.1) (1.2.2) a(u, v)   u x ( x)v x ( x)dx  h0 u (0)v(0) Khi V không gian đóng H V ba chuẩn v H1 , v x , v V  a (v, v) tương đương Chúng ta có bổ đề sau Bổ đề 1.2.1 Phép nhúng V  C ([0,1]) compact với v  V , ta có v C ([0 ,1]) v H1  vx  v V ,  v x  v V  max(1, h0 ) v (1.2.3) H1 (1.2.4) Bổ đề 1.2.2 Dạng song tuyến tính đối xứng a( , ) đònh nghóa (1.2.2) liên tục V  V cưỡng V ~ } L2 gồm hàm riêng { w ~ } tương ứng Bổ đề 1.2.3 Tồn sở trực chuẩn Hilbert { w j j với giá trò riêng  j cho :  1      j  , lim  j   , j   ~ , v)   w ~ , v với v  V , j = 1, 2, a( w j j j (1.2.5) (1.2.6) ~ /  } sở trực chuẩn Hilbert V tích vô hướng Hơn nữa, dãy {w j j ~ thỏa toán giá trò biên a( , ) Mặt khác, w j ~  w ~ ,   w j j j ~ ~ ~  w jx (0)  h0 w j (0)  w j (1)  0, ~  V  C  ([0,1])  w j  (1.2.7) Việc chứng minh bổ đề 1.2.1 1.2.2 khó khăn phức tạp, ta bỏ qua Đối với bôû đề 1.2.3, phần chứng minh tìm thấy [35], trang 137, Đònh lý 6.2.1, với H = L2 , V, a( , ) đònh nghóa (1.2.1) (1.2.2) 1.3 Đònh lý tồn nghiệm cho toán với điều kiện biên hỗn hợp Chúng ta bắt đầu khảo sát toán (1.1.6) - (1.1.8) với giả thiết đặt ( H ) : h0  ( H ) : u~0  V  H , u1  V ; ( H ) : B  C ( IR ), B ( z )  b0  0; ( H ) : f  C ([0,1]  IR  IR  IR ) thỏa ( H 4' ) : f (1, t , u , v, w, z )  với t, z  (u , v, w)  IR , ( H 4'' ) : Di f  C ([0,1]  IR  IR  IR ), i  1, 3, 4, 5, (Chú ý không cần thiết f  C ([0,1]  IR  IR  IR ) Với B f thỏa giả thiết ( H ) ( H ) tương ứng, ta xây dựng số sau M > T > (1.3.1) K  K ( M , T , f )  sup f ( x, t , u , v, w, z ) , K  K ( M , T , f )  sup( D1 f   Di f )( x, t , u , v, w, z ), (1.3.2) i 3 đây, trường hợp, sup lấy miền  t  T ,  x  1, u  v  w  M ,  z  M ~ K  K ( M , B)  sup B( z ) , (1.3.3) ~ K  K ( M , B )  sup B' ( z ) (1.3.4) 0 z M 0 z M Với M > T > 0, ta đặt W ( M , T )  { v  L (0, T ;V  H ) : vt  L (0, T ;V ), vtt  L2 (QT ), v , L ( ,T ;V  H ) vt , L ( ,T ;V ) v tt L2 ( QT )  M }, W1 ( M , T )  {v  W ( M , T ), vtt  L (0, T , L2 )} (1.3.5) (1.3.6) Ta liên kết toán (1.1.6) - (1.1.8) với dãy quy nạp tuyến tính {u m } sau Trước hết, chọn số hạng u  u~0 Giả sử u m 1  W1 (M , T ) (1.3.7) Sau đó, tìm u m  W1 ( M , T ) thỏa toán biến phân tuyến tính um (t ), v  bm (t )a (u m (t ), v)   Fm (t ), v với v  V , (1.3.8) u m (0)  u~0 , u m (0)  u~1 , (1.3.9) bm (t )  B( u m 1 (t ) ),  Fm ( x, t )  f ( x, t , u m 1 (t ), u m 1 (t ), u m 1 (t ), u m 1 (t ) ) (1.3.10) Khi đó, ta có Đònh lý 1.3.1 Giả sử giả thiết ( H )  ( H ) thỏa Khi tồn số dương M T dãy qui nạp tuyến tính {u m }  W1 ( M , T ) xác đònh (1.3.8)  (1.3.10) Chứng minh Việc chứng minh đònh lý bao gồm nhiều bước Bước1 Xấp xỉ Galerkin (xem Lions[17]) ~ /  } nêu bổ đề 1.2.3 Trong V ta chọn sở trực chuẩn Hilbert {w j  w j j Đặt k (k ) u m( k ) (t )   c mj (t ) w j , (1.3.11) j 1 (k ) c mj thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính um( k ) (t ), w j   bm (t )a(u m( k ) (t ), w j )   Fm (t ), w j  , u m( k ) (0)  u~0k , u m( k ) (0)  u~1k ,  j  k, (1.3.12) (1.3.13) u~0k  u~0 mạnh V  H , (1.3.14) u~1k  u~1 mạnh V (1.3.15) Từ giả thiết u m 1  W1 (M , T ) ta suy hệ phương trình (1.3.12)  (1.3.13) có nghiệm u m( k ) (t ) khoảng  t  Tm( k )  T Các đánh giá tiên lượng sau cho phép ta lấy Tm( k )  T với m k Bước Đánh giá tiên lượng Đặt t S (k ) m (t )  X (k ) m (k) m (t )  Y (t )   um( k ) ( s ) ds, (1.3.16) X m( k ) (t )  u m( k ) (t )  bm (t )a (u m( k ) (t ), u m( k ) (t )), Ym( k ) (t )  a (u m( k ) (t ), u m( k ) (t ))  bm (t ) u m( k ) (t ) (1.3.17) (1.3.18) Từ (1.3.12), (1.3.13) (1.3.16)  (1.3.18), ta t S (k ) m (t )  S (k ) m (0)   bm ( s ) a(u m( k ) ( s ), u m( k ) ( s ))  u m( k ) (s ) ds   t t + 2  Fm ( s), u m( k ) ( s) ds   a ( Fm ( s), u m( k ) ( s))ds 0 t   um( k ) (s ) ds = S m( k ) (0)  I  I  I  I (1.3.19) Chúng ta tiến hành đánh giá tích phân có mặt vế phải (1.3.19) Tích phân thứ Ta có bm (t )  B( u m 1 (t ) ), bm (t )  B ( u m1 (t ) )u m 1 (t ), u m 1 (t ) (1.3.20) Dùng giả thiết ( H ), ta thu từ (1.3.4) (1.3.7),  bm (t )  B  u m 1 (t )  ~ u m 1 (t ) u m 1 (t )  M K (1.3.21) Kết hợp (1.3.16)  (1.3.18) (1.3.21), ta ~ t 2M K1 S m( k ) ( s )ds I1   b0 (1.3.22) Tích phân thứ Từ (1.3.1), (1.3.10), (1.3.16) (1.3.17), ta có t t I   Fm ( s ) u (k) m ( s ) ds  K  S m( k ) (s ) ds (1.3.23) Tích phân thứ Từ (1.3.1), (1.3.2), (1.3.7) (1.3.10) ta suy 2 Fm (s ) V = Fm (s)  h0 Fm2 (0, s)  K12 (1  3M )  h0 K 02 (1.3.24) Do từ (1.3.16), (1.3.18) (1.3.24) ta thu t I   Fm ( s ) V u m( k ) ( s ) ds V t  2[2 K 1  3M  h0 K ] S m( k ) (s )ds (1.3.25) Tích phân thứ Phương trình (1.3.12) viết lại um( k ) (t ), w j   bm (t ) u m( k ) (t ), w j    Fm (t ), w j  ,  j  k, (1.3.26) theo ta thay w j um( k ) (t ) tích phân hai vế ta t  u (k ) m t m ( s ) ds  2 b (s ) u (k ) m t 2 ( s ) ds   Fm (s ) ds (1.3.27) Từ (1.3.1), (1.3.3), (1.3.7), (1.3.10), (1.3.16) (1.3.18), ta kết luận t ~ I  K  S m( k ) ( s )ds  2TK 02 (1.3.28) Kết hợp (1.3.19), (1.3.22), (1.3.23), (1.3.25) (1.3.28), ta có S (k ) m (t )  S (k ) m t  (0)  2TK  2 K 1  3M  (1  h0 ) K  S m( k ) ( s ) ds ~ ~ M K1  t ( k )   S m ( s )ds   2 K   b 0   S m( k ) (0)  2TK 02  T [2 K 1  3M  (1  h0 ) K ]2 ~  M K1  t ( k ) ~  S m ( s )ds  21  K  b0  0  t  S m( k ) (0)  C1 ( M , T )  C (M ) S m( k ) (s )ds , (1.3.29)  2 C1 ( M , T )  2TK  T [2 K 1  3M  (1  h0 ) K ] ,  ~   M K1  ~ C (M )  21  K      b   (1.3.30) [...]... nghiệm là thiết lập một dãy qui nạp tuyến tính liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact để chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) trong các không gian hàm thích hợp Sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau một số các phép tính toán và đánh giá cụ thể Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu 2 2 u tt... 0 , g 1 là các hàm cho trước thỏa một số giả thiết nào đó mà ta sẽ đặt sau 2 2 Trong phương trình (1.1.1) các số hạng phi tuyến B(t , u x ) và f ( x, t , u , u x , u t , u x ) phụ thuộc vào tích phân 1 ux 2 2 (1.1.4)   u x ( x, t ) dx 0 Chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề Vấn đề thứ nhất: Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đòa phương của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với... bài toán (0.36) - (0.39) Việc chứng minh dựa trên cơ sở của phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm, các kỹ thuật của phương pháp compact và phương pháp hội tụ yếu Trong phần xấp xỉ Galerkin, chúng tôi cũng sử dụng đònh lý về điểm bất động Schauder để kiểm tra sự tồn tại của nghiệm xấp xỉ Sự khó khăn chính gặp phải trong phần này là điều kiện biên tại x  0 Ta chú ý rằng phương. .. theo một tham số bé  Các kết quả này đã được công bố trong hai bài báo [d1, d2] 1.2 Ký hiệu và các kết quả chuẩn bò Chúng ta bỏ qua các đònh nghóa của các không gian hàm thông dụng Ta ký hiệu LP  LP(Ω ), H m  H m (Ω ), H 0m  H 0m(Ω ), QT  Ω  ( 0 ,T), T  0 Ta dùng ký hiệu  ,  để chỉ tích vô hướng trong L2 hay cặp tích đối ngẫu của một phi m hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không... 22/12/2000 - Hội nghò Khoa học Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm Tp HCM, 21-22/12/2002 Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF 1.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff được liên kết với điều kiện biên hỗn hợp 2 2 u tt  B(t , u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x    (0,1), 0  t  T... x), trong đó B, f , u~0 , u~1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và h0  0 là hằng số cho 2 trước Trong phương trình (1.1.6) số hạng phi tuyến B( u x ) bây giờ không phụ thuộc vào biến thứ 1 nhất ( biến thời gian t ) mà chỉ phụ thuộc vào tích phân u x 2 2   u x ( x, t ) dx Sau đó, với một số giả 0 thiết nào đó trên các hàm cho trước B, f , u~0 , u~1 , g 0 , g 1 và bằng việc đổi ẩn hàm... [5], Bergounioux, N.T Long và Alain P.N Đònh đã khảo sát bài toán (0.36), (0.38), (0.44) và (0.47) ở đây K ,  , K1 , 1 u x (0, t )  P(t ), u x (1, t )  K 1u (1, t )   u t (1, t )  0, là các hằng số không âm cho trước Bài toán này mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn nhớt với các ràng buộc tuyến tính ở bề mặt và các ràng buộc liên kết với lực cản... t ( x,0) Tuy nhiên, bài toán (1.1.10) - (1.1.13) không sử dụng được kết quả của bài toán (1.1.6) (1.1.8) Do đó, chúng tôi tiếp tục trình bày chứng minh kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với trường hợp không thuần nhất ( g 0 (t )  0  g 1 (t ) ) Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu (1.1.5)... QT )  M }, W1 ( M , T )  {v  W ( M , T ), vtt  L (0, T , L2 )} (1.3.5) (1.3.6) Ta liên kết bài toán (1.1.6) - (1.1.8) với một dãy quy nạp tuyến tính {u m } sau Trước hết, chọn số hạng đầu tiên u 0  u~0 Giả sử rằng u m 1  W1 (M , T ) (1.3.7) Sau đó, tìm u m  W1 ( M , T ) thỏa bài toán biến phân tuyến tính um (t ), v  bm (t )a (u m (t ), v)   Fm (t ), v với mọi v  V , (1.3.8) u m (0)... (1.1.5) liên kết với (1.1.2), (1.1.3) và tìm cách khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u ε ( x, t ) đến một cấp nào đó phụ thuộc vào tính trơn của các hàm B, B1 , f , f1 theo một tham số bé  Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại đòa phương và duy nhất nghiệm của bài toán với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất 2 2 u tt  B( u x )u xx  f ( x, t , u, u x , u t , u x ), x  (0,1), 0