PHÂN TÍCH TĨNH của tấm FGM sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP MESH FREE và lý THUYẾT đơn GIẢN BIẾN DẠNG cắt bậc NHẤT (tt)

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 27 PHÂN TÍCH TĨNH CỦA TẤM FGM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP MESH-FREE VÀ LÝ THUYẾT ĐƠN GIẢN BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT NGUYỄN NGỌC HƯNG Trường Đại học Thủ Dầu Một - hungnn@tdmu.edu.vn, VŨ TÂN VĂN Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh - van.vutan@uah.edu.vn NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC Trường Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh – phuoc.nt@ou.edu.vn NGUYỄN HUỲNH TẤN TÀI Trường Đại học Thủ Dầu Một - tainht@tdmu.edu.vn (Ngày nhận: 9/9/2016; Ngày nhận lại: 08/11/16; Ngày duyệt đăng: 14/11/2016) TÓM TẮT Bài báo giới thiệu mơ hình số phân tích chuyển vị uốn vật liệu chức với đặc tính vật liệu thay đổi theo chiều dày Mơ hình dựa phương pháp không lưới sử dụng hàm nội suy Moving Kriging (MK) kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc đơn giản (S-FSD) Các ví dụ số thực để so sánh kết đạt với kết nghiên cứu công bố nhằm kiểm chứng xác mơ hình phân tích đề xuất Từ khóa: Chuyển vị; vật liệu chức năng; lý thuyết biến dạng cắt bậc đơn giản; nội suy Moving Kriging; phương pháp không lưới Static bending analylis of FGM plates based on the meshless method and simple firstorder shear deformation theory ABSTRACT This paper presents a new numerical model for analysing static bending of Functionally Graded Material (FGM) plates which material properties vary through the thickness This model employed the mesh-free method with Moving Kriging (MK) interpolation with the simple first-order shear deformation(S-FSD) theory Numerical examples are solved and the results are compared with reference solutions to confirm the accuracy of the proposed method Keywords: Deflections; Functionally graded plates; Simple first-order shear deformation theory; Moving Kriging interpolation; mesh-free method Giới thiệu Vật liệu biến đổi chức (Functionally Graded Material- FGM) loại composite có đặc tính vật liệu biến đổi liên tục vật thể loại bỏ tượng tập trung ứng suất thường gặp loại composite thông thường FGM thường chế tạo từ hỗn hợp gồm gốm kim loại Đây loại vật liệu đẳng hướng không đồng Hiện nay, FGM quan tâm tạo kết cấu có khả thích ứng với điều kiện vận hành Thơng thường, phân tích ứng xử vật liệu chức dựa lý thuyết sau: (i) Tấm cổ điển (CP), (ii) Biến dạng cắt bậc (FSD), (iii) Biến dạng cắt bậc cao (HSD) Lý thuyết CP (Kirchhoff G, 1850) không xét đến ảnh hưởng biến dạng cắt ngang đến 28 KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ ứng xử mỏng Khi chiều dày tăng lên, biến dạng cắt ngang có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng Lý thuyết FSD đề xuất Mindlin R D (1951) Reissner E (1945) xét đến ảnh hưởng biến dạng cắt cách xây dựng trường chuyển vị tuyến tính bậc mặt phẳng dọc theo chiều dày Tuy vậy, phương trình cân bằng, ổn định xây dựng dựa lý thuyết CPT FSDT không thỏa mãn điều kiện biên triệt tiêu ứng suất mặt Nhằm giải khó khăn này, hệ số điều chỉnh biến dạng cắt sử dụng để điều chỉnh mối quan hệ kết hợp ứng suất cắt biến dạng cắt ngang Giá trị hệ số điều chỉnh phụ thuộc vào thơng số như: hình học, tải trọng tác dụng, điều kiện biên Lý thuyết HSD đề xuất Reddy J N (2000), Neves A M A cộng (2013) xét đến ảnh hưởng biến dạng cắt ngang cách xây dựng trường chuyển vị bậc cao mặt phẳng dọc theo chiều dày tấm, theo mặt phẳng ngang Các phương trình cân bằng, ổn định dựa trường chuyển vị thỏa mãn tất điều kiện biên Tuy vậy, việc phân tích ứng xử dựa lý thuyết HSD phức tạp số lượng biến số phương trình cân bằng, ổn định tăng lên, chẳng hạn hàm chuyển vị xây dựng lý thuyết HSD đề xuất Pradyumna Bandyopadhyay (2008), Neves cộng (2012-2013) sử dụng ẩn số; Reddy (2011), Talha Singh (2010) sử dụng gồm 11, 13 ẩn số Dù cho số lý thuyết HSD khác sử dụng hàm chuyển vị gồm ẩn số tương tự lý thuyết FSD chẳng hạn như: lý thuyết biến dạng cắt bậc ba (TSD) (Reddy J N ,2000), lý thuyết biến dạng cắt hàm sin (Zenkour A M., 2006), lý thuyết biến dạng cắt hàm lượng giác (Mantari J L., Oktem A S., Guedes Soares C., 2012) (Mantari J L., Oktem A S., GuedesSoares C., 2012) Tuy vậy, phương trình cân bằng, ổn định đạt từ lý thuyết phức tạp so với lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSD) Lý thuyết biến dạng cắt bậc đơn giản (SFSD) đề xuất Huffington N.J (1963) với hàm chuyển vị gồm ẩn số Khác với lý thuyết FSD, thành phần góc xoay biểu diễn thơng qua thành phần uốn cắt tạo nên trường chuyển vị mặt phẳng, chuyển vị ngang Mặt khác, khảo sát ứng xử ổn định FGM chịu tác dụng tải trọng phân bố phi tuyến mặt phẳng cạnh biên tấm, Chen X L., Liew K M (2004) khẳng định phương pháp không lưới-sử dụng trường chuyển vị xây dựng dựa tọa độ nút rời rạc cấu trúc tránh phức tạp số sử dụng loại phần tử phương pháp phần tử hữu hạn Gu L (2003) giới thiệu dạng thức phương pháp không lưới dựa dạng yếu Galerkin kết hợp với hàm nội suy Moving Kriging (MK) gọi phương pháp MKG Một ưu điểm hàm nội suy MK thỏa mãn tính chất hàm delta Knonecker, khắc phục trở ngại điều kiện biên trọng yếu xảy phương pháp không lưới Nội dung báo đề xuất mơ hình phân tích chuyển vị FGM dựa vào lý thuyết S-FSD kết hợp với phương pháp MKG Mơ hình vật liệu chức trình bày mục Lý thuyết đơn giản biến dạng cắt bậc trình bày mục Mơ hình phân tích đề xuất mục Ví dụ số thực để kiểm chứng độ tin cậy mơ hình trình bày mục Sau kết luận thu từ mơ hình nghiên cứu nêu Tấm vật liệu chức Xét FGM đươc chế tạo từ vật liệu kim loại gốm có chiều dày h Mặt hoàn toàn kim loại gốm Mặt phẳng xy nằm Chiều dương trục z hướng lên Trong báo này, tỷ số Possion’s xem số Ngược lại, môđun đàn hồi E , mật độ khối lượng  xem thay đổi liên tục theo chiều dày FGM với luật hỗn hợp Voigt hay theo lược đồ Mori-Tanaka Theo đó, mơđun đàn hồi E  z  , mật độ khối lượng   z  xác định sau: TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 E ( z)  Em  ( Ec  Em )Vc (1) (2)  ( z)  m  ( c  m )Vc Trong số m c đại diện cho thành phần kim loại gốm tương ứng; z  Vc   0.5   h   n 29 thể tích thành phần gốm; n số hàm mũ, thể gia tăng tỷ lệ phần thể tích; z biến tọa độ theo chiều dày 0.5h  z  0.5h Hình Quan hệ Vc tỷ lệ chiều dày z h theo số n Hình biểu diễn thay đổi thể tích thành phần gồm Vc tỷ số chiều dày FGM trị số n thay đổi Đối với giá trị n lớn n  100 Vc bé - xem vật liệu bao gồm kim loại Đối với giá trị n bé n  0.01 - xem vật liệu bao gồm gốm Sự thay đổi việc kết hợp hai vật liệu kim loại gốm tuyến tính n  Lý thuyết biến dạng cắt bậc đơn giản Đối với lý thuyết biến dạng cắt bậc FSD, trường chuyển vị  u1 , u2 , u3  có thuyết sau để làm đơn giản lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSD): (i) chuyển vị theo phương đứng gồm thành phần chuyển vị uốn wb cắt ws gây ra, nghĩa là: thể biểu diễn biến số sau: u3 (x, y,z)= wb (x, y)+ ws (x, y) (8) Không giống với lý thuyết FSD, trường chuyển vị xác định theo công thức công thức (6)-(8) gồm ẩn số: u(x, y),v(x, y),wb (x, y) ws (x, y) Bởi thành phần góc xoay đạo hàm bậc thành phần chuyển vị uốn tương thích với rời rạc lý thuyết biến dạng cắt bậc đơn giản (S-FSD) tránh tượng khóa cắt (shear locking) Dựa giả thiết biến dạng nhỏ, mối quan hệ biến dạng chuyển vị u1(x, y,z)= u(x, y)  zwb (x, y) / x (3) u1(x, y,z)= u(x, y)  zwb (x, y) / x (4) u3 (x, y,z)= w(x, y) (5) Trong u(x, y),v(x, y),w(x, y) ẩn số chuyển vị mặt theo phương x, y,z tương ứng; x ( x, y),  y ( x, y) góc xoay pháp tuyến mặt phẳng theo trục x, y Lý thuyết biến dạng cắt bậc đơn giản (S-FSD) sử dụng giả w(x, y)= wb (x, y)+ ws (x, y) ; (ii) thành phần góc xoay thành phần chuyển vị uốn gây ra: x (x, y)  wb (x, y) / x  y (x, y)  wb (x, y) / y ; Vì cơng thức (3), (4) (5) viết lại sau: u1 ( x, y, z )  u( x, y)  zx ( x, y) (6) u2 (x, y,z)= v(x, y)+ z y (x, y) (7) KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ 30 biểu diễn sau: hàm dạng đạo hàm theo Gu L (2003) Tongsuk P., Kanok-Nukulchai W (2004) Giả thiết hàm phân bố u  x i  xấp xỉ u wb    z   x x      x   v  z  w2b   x x     y    u v  wb  ε   zy      z  xy     y x  xy    ws  yz    x   ws     y   (9) miền  x cho  x   Giả sử giá trị hàm số nội suy dựa giá trị điểm nút x i  i  1, n  với n tổng số điểm nút miền  x Hàm nội suy MK u h  x  , x  x xác định sau: u h (x)   pT (x)A  r T (x)B u(x) (16) Hay Công thức (9) viết dạng ma trận sau: n u h (x)   Φ I ( x )u I (17 ε  -zκ  ε =  0+   0  γ  (10) Trong   wb   u       ws   x   x    x    wb   v  κ  ε0   γ      w  (11.a,b,c)  y  y      s  u  v   y   w  y x  2 b   xy  Mối quan hệ kết hợp thiết lập dựa luật Hooke phương trình sau: σ = Dm (z)(ε0 - zκ) τ = Ds ( z )γ (12a,b) với σ = Dm ( z )(ε0 - zκ) τ   xz  yz  T (13a,b)  1 v E( z)  Dm (z) = v   1- v  0 (1- v ) /  (14) kE  z  1 0 1+ v  0 1 (15) Ds  z  = Trong k hệ số hiệu chỉnh cắt Trong ΦI (x) hàm dạng MK, xác định sau ΦI (x)   pT (x)A  r T (x)B (18) A , B định nghĩa sau: A   PT R 1P  PT R 1 (19) B = R -1 (I - PA) (20) 1 Trong I ma trận đơn vị, véc tơ p(x) đa thức với m hàm sở : pT ( x)   p1 (x), p2 (x), p3 (x) , pm (x) (21) Cụ thể, ma trận P kích thước n  m , giá trị hàm sở đa thức (13) cho sau:  p1 (x1 )  p (x ) P    p1 (x m ) p2 (x1 ) p2 (x ) p2 (x m ) pm (x1 )  pm (x )   (22)   pm (x m )  Véc tơ r(x) phương trình (16) định nghĩa sau: r T ( x)   R(x1, x), R  x , x  , R  x n , x  (23) R  x i , x j  hàm tương quan cặp Mô hình phân tích n nút x i x j biểu 4.1 Hàm dạng MK phương sai trường giá trị u(x) : Phương pháp MK dùng để xây dựng TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 ΦI (x j )   PA  RB R(x i , x j )  cov u(x i ), u(x j )  R(xi , x)  cov u(x i ), u(x) Có nhiều cách để xác định hàm R(x i , x j ) phương pháp hàm Gauss phương pháp thường sử dụng tính đơn giản, hiệu R(x i , x j )  e  rij2 (24) Với: rij  x i  x j ,   hệ số (25) Ngoài ra, ma trận R  R( xi , x j )  n.n biểu diễn dạng tường minh sau: R(x1 , x )   R(x , x ) R  R( xi , x j )       R(x n , x1 ) R(x n , x ) R(x1, x n )  R(x , x n )      (26) Đối với toán FGM, không đạo hàm bậc sử dụng mà đạo hàm bậc hàm dạng thiết lập sau: m n j k I i (x)   p j ,i (x) AjI   rk ,i (x)BkI m n I ,ii (x)   p j ,ii (x) AjI   rk ,ii (x)BkI j (27) ΦI (x j )  PA  RR 1 (I  PA)  I (31) Biểu thức (31) dẫn đến tính chất Kronecker’s delta xác định biểu thức (32) 1 i  j Φ I (x j )   ij   0 i  j k m n j k I (x j )   p j (x j ) AjI   rk (x j )BkI (29) Hay biểu thức (29) viết dạng sau: u  P (33) đó, P xác định từ cơng thức (22)  hệ số bất kỳ, xấp xỉ xác Sự xấp xỉ trường chuyển vị sau: uh (x)  pT (x)  u(x) (34) Đặc biệt, sử dụng hàm p(x) hàm tuyến tính xây dựng hàm dạng MK tất số, số hạng tuyến tính xác định lại hoàn toàn: n  (x)  1,   x  x I j Cần lưu ý ảnh hưởng hệ số tương quan  hàm dạng rõ ràng Một điểm quan trọng hàm dạng MK, sở hữu tính chất Kronecker’s delta Điều loại bỏ trở ngại đáng kể hầu hết phương pháp không lưới áp đặt điều kiện biên để giải toán học Để chứng minh cho điều này, khảo sát lại hàm dạng MK xác định biểu thức (18) (32) Ngoài ra, hàm nội suy MK sở hữu tính quán, nghĩa xây dựng lại hàm có bậc thấp Để đơn giản, thuộc tính tóm tắt sau: Nếu u I đạt từ đa thức có bậc nhỏ m nghĩa n (28) (30) Trong ma trận định nghĩa công thức (19) (20) (22) Thay công thức (20) vào (30) ta được: tương quan Trong báo sử dụng pT (x) hàm bậc hai sau: pT ( x)  1, x, y, x , y , xy  31 I j n I  x, I  x  y1  y (35) j Mặt khác, yếu tố quan trọng phương pháp không lưới miền ảnh hưởng, bán kính miền ảnh hưởng dùng để xác định số lượng nút rời rạc phạm vi miền nội suy xét Bán kính miền ảnh hưởng d m xác định sau: d s   dc (36) Trong  hệ số miền giá đỡ, thông thường  nằm khoảng từ 2.0 đến 3.0 Giá trị d c chiều dài đặc trưng cho khoảng cách nút với điểm xét 4.2 Các phương trình rời rạc KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ 32 Những chuyển vị hệ tọa độ tổng quát mặt phẳng xấp xỉ theo biểu thức (17) : u h  u h vh wsh  wbh T (37) Và u I   uI vI wsI  T wbI (38) Thay biểu thức (17) vào biểu thức (11,a,b,c) nhận n ε   BmI u I n κ =  BbI u I (39) I I I n γ   BsI u I Trong đó: I , x  B  I , y  m I 0 I , xx  B  0 I , yy 0 I , xy 0  0 0 I , y I , x b I 0  0 0 Với toán chuyển vị, dạng yếu biểu diễn sau: ε T  (47)  D ( z)dz wbh / x    n u  wbh / y    N 2I u I   I   (48) zDm ( z )dz I N  0   s T   Trong  Dm B  ε  ε   0 D   b κ B D (42a,b,c) h /2 D  s D   s  h /2 Dm ( z )dz B  (43a,b)  h /2  h /2 h /2 Db   z Dm ( z )dz (44) với h /2  I0 , I1, I      z  1, z, z  dz (45a,b)  h /2 u  u =  1 u2  I 0 I 0 0  I  0 I , x N  0 I , y  0 0 0 0  0 I  h /2 I I  m   1  I1 I  I h /2 h /2 m T T  Bm   Dm K   b   B   B (49a,b) Thay biểu thức (39) (42a,b,c) vào biểu thức (41) tốn chuyển vị FGM viết lại sau: K   Md  (46) Trong ma trận độ cứng, khối lượng hệ tọa độ tổng thể xác định sau:  Bm   Dm K   b   B   B (40a,b,c)  uh    n h u1   v    NI uI  wh + wh  s   b Dεd     γ D γd     u mud  (41) T 0 0 I , x  BmI    0 0 I , y  T B   Bm  s d   B D s Bs d        b b D B   (51) T B   Bm  d     Bs  D s Bs d  b b  D B   (52) (50) TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 Kết số Trong phần này, chuyển vị FGM với số n suy giảm thay đổi với điều kiện biên khác khảo sát dựa mơ hình phân tích kết hợp lý thuyết S-FSD với phương pháp không lưới MKG (SFSD-MKG) Lược đồ bậc Gauss  sử dụng phương pháp khơng lưới MKG để tích phân dạng yếu Điều kiện biên ký hiệu sau: gối tựa đơn giản (S), ngàm (C), tự (F) Các điều kiện biên áp đặt thơng qua phương trình đề xuất Shuohui Y cộng (2014) sau: (i) Cạnh biên gối tựa đơn: w w v  wb  b  ws  s  , x  0, a y y w w u  wb  b  ws  s  , y  0, b x x (ii) Cạnh biên gối tựa ngàm: u  v  wb  wb wb w w   ws  s  s  , x y x y 33 x  0, a y  0, b Bài toán 1: Tấm FGM hình vng có chiều dày h  0,01m sản xuất từ vật liệu Al / Al2O3 Thuộc tính vật liệu Al là: vm  0.3, Em  70GPa , m  2707kg / m3 , thuộc tính vật liệu Al2O3 là: vc  0.3 , Ec  380GPa c  3800kg / m3 Tấm sử dụng số lượng điểm nút 13 13 Hệ số hiệu chỉnh cắt ks  0.8601 Phương pháp không lưới MKG sử dụng thông số:   3,  Kết chuyển vị FGM có số liệu với lực tác dụng vào FGM lực phân bố có giá trị P  Chuyển vị kiểm chứng toán chuyển vị điểm khơng thứ nguyên định nghĩa sau: 100wm Em h3 w 12 1  vm2  PL4 Bảng Chuyển vị không thứ nguyên FGM so sánh với phương pháp khác Type SSSS SFSF a h Method n0 n  0.5 n 1 n2 S-FSDT - IGA (Shuohui) FSDT - IGA (Shuohui) FSDT - kpRitz (Shuohui) FSDT- ES-DSG3 (Shuohui) Bài báo %(BB/Ritz) 0.1717 0.1717 0.1722 0.1703 0.1777 3.18 0.2324 0.2324 0.2403 0.2232 0.2402 -0.05 0.2719 0.2719 0.2811 0.2522 0.2803 -0.29 0.3115 0.3115 0.3221 0.2827 0.3204 -0.52 20 S-FSDT - IGA (Shuohui) FSDT - IGA (Shuohui) Bài báo %(LV/ FSDT) 0.1440 0.1440 0.1507 4.65 0.1972 0.1972 0.2058 4.34 0.2310 0.2310 0.2403 4.04 0.2628 0.2628 0.2728 3.81 100 S-FSDT - IGA (Shuohui) FSDT - IGA (Shuohui) Bài báo %(BB/ FSDT) 0.1423 0.1423 0.1490 4.69 0.1949 0.1949 0.2036 4.44 0.2284 0.2284 0.2378 4.11 0.2597 0.2597 0.2698 3.88 0.5083 0.5089 0.6918 0.6926 0.8099 0.8108 0.9247 0.9258 S-FSDT - IGA (Shuohui) FSDT - IGA (Shuohui) KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ 34 Bài báo %(BB/ FSDT) 0.4939 -2.95 0.6717 -3.01 0.7858 -3.08 0.8968 -3.13 S-FSDT - IGA (Shuohui) FSDT - IGA (Shuohui) Bài báo %(BB/ FSDT) 0.4614 0.4615 0.4483 -2.86 0.6319 0.6321 0.6135 -2.94 0.7404 0.7406 0.7183 -3.02 0.8420 0.8422 0.8164 -3.07 100 S-FSDT - IGA (Shuohui) FSDT - IGA (Shuohui) Bài báo %(BB/ FSDT) 0.4584 0.4584 0.4454 -2.84 0.6281 0.6281 0.6098 -2.91 0.7360 0.7360 0.7139 -3.00 0.8367 0.8367 0.8112 -3.05 20 Bài toán 2: Tiếp tục kiểm chứng kết chuyển vị FGM có số liệu Bài toán 1, hệ nút 13 13 , a h  100 , hệ số   ,   , hệ số hiệu chỉnh cắt ks  0.8601 Lực tác dụng vào lực phân bố có giá trị P  Chuyển vị kiểm chứng toán chuyển vị điểm chuyển vị khơng thứ nguyên định nghĩa sau: 10wc Em h3 w PL4 Bảng Chuyển vị FGM có a h  100 với điều kiện biên khác Type Method n=0 n = 0.5 n=1 n=2 n=5 n = 10 SSSS S-FSDT 0.4438 0.6846 0.8904 1.1411 1.3494 1.4816 FSDT 0.4438 0.6847 0.8904 1.1411 1.3494 1.4816 Bài báo 0.4648 0.7132 0.9204 1.1696 1.3873 1.5357 %(BB/FSDT) 4.73 4.16 3.37 2.50 2.81 3.65 S-FSDT 1.4302 2.2062 2.8692 3.6770 4.3483 4.7740 FSDT 1.4302 2.2062 2.8693 3.6770 4.3483 4.7740 Bài báo 1.3896 2.1405 2.7781 3.5525 4.2042 4.6257 %(BB/FSDT) -2.84 -2.98 -3.18 -3.39 -3.31 -3.11 S-FSDT 0.2096 0.3232 0.4204 0.5387 0.6372 0.6996 FSDT 0.2097 0.3234 0.4205 0.5389 0.6375 0.7000 Bài báo 0.2066 0.3158 0.4053 0.5123 0.6088 0.6777 %(BB/FSDT) -1.48 -2.35 -3.60 -4.94 -4.50 -3.19 S-FSDT 0.1384 0.2135 0.2776 0.3557 0.4208 0.4621 FSDT 0.1384 0.2135 0.2776 0.3558 0.4209 0.4622 Bài báo 0.1370 0.2104 0.2719 0.3460 0.4103 0.4535 %(BB/FSDT) -1.02 -1.46 -2.07 -2.76 -2.53 -1.87 SFSF SCSC CCCC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 Bảng Bảng cho thấy chuyển vị FGM so sánh với kết phương pháp khác có độ sai số chấp nhận (