GIẢI BÀI TOÁN UỐN VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ĐỀ TÀI GIẢI BÀI TOÁN UỐN VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN MINH NHÂN GVHD: T.S TRỊNH ANH NGỌC Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Toán – Tin Học, Năm học 2012 – 2013 LỜI NÓI ĐẦU Tấm nói chung Kirchhoff nói riêng có vai trò to lớn kĩ thuật Chúng ta bắt gặp chúng sống hàng ngày Ví dụ mặt bàn mà sử dụng để đặt thứ lên dạng tấm, hay trần nhà bê tông thể khác Ngoài sử dụng rộng rãi kết cấu kiến trúc, sàn cầu, kết cấu nước, mặt lát (pavement), containers, máy bay, tên lửa (missles), tàu, nhạc cụ, chi tiết máy… Tấm sử dụng rộng rãi nhờ khả chịu lực Nhưng loại khác khả khác Do nghiên cứu biến dạng tác dụng tải quan trọng Bên cạnh nghe đến câu chuyện đoàn quân qua cầu nhiên cầu dao động dội dẫn đến cầu bị sập với đoàn quân bị rơi xuống sông hẵn bạn biết vật có tần số dao động riêng bị tác dụng lực có tần số với tần số riêng tượng cộng hưởng xảy ra, biên độ dao động vật tăng mạnh vật bị phá hủy nhanh chóng Về khía cạnh này, không ngoại lệ Nội dung đề tài tập trung nghiên cứu Kirchhoff (một loại mỏng tuân theo giả thiết Kirchhoff) mà cụ thể biến dạng uốn tần số dao động riêng Một số kết bước đầu mặt lý thuyết tính toán uốn, dao động Kirchhoff đạt Vì đề tài thực thời gian ngắn, việc người thực chưa có kinh nghiệm việc vận dụng phương pháp phần tử hữu hạn nên sai sót xảy Do ý kiến đánh giả thầy bạn hết sực quý giá để đề tài hoàn thiện Các ý kiến đóng góp có xin gửi địa nhan.hcmus@gmail.com Equation Section 1 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TẤM KIRCHHOFF .3 1.1 Giới thiệu Kirchhoff 1.2 Giả thiết Kirchhoff cho mỏng 1.3 Các thiết lập cho Kirchhoff hình chữ nhật .5 1.3.1 Trường chuyển vị biến dạng Kirchhoff 1.3.2 Các ứng suất Kirchhoff .7 1.3.3 Các hàm lượng Kirchhoff 1.3.4 Xấp xỉ phần tử hữu hạn 1.3.5 Thao tác đánh số phần tử, nút bậc tự 14 CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN UỐN TẤM KIRCHHOFF 16 2.1 Nguyên lý lượng cực tiểu 16 2.2 Lập trình chương trình tính toán kết thu 16 CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF 22 3.1 Nguyên lý Hamilton toán dao động tự 22 3.2 Kết tính toán minh họa 24 ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TẤM KIRCHHOFF 1.1 Giới thiệu Kirchhoff Tấm Kirchhoff thành phần kết cấu bao hai mặt phẳng song song mặt trụ vuông góc với mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng gọi độ dày ( h ) Chúng ta giả sử độ dày mỏng nhỏ so với kích thước đặc trưng khác mặt phẳng (độ dài, độ rộng, đường kính, vv.) Dựa vào hình dạng mặt phẳng người ta phân loại vuông, tròn, elip, đa giác, tam giác, tứ giác.v.v Các tải tĩnh động tác dụng lên phần lớn vuông góc với mặt phẳng Tấm Kirchhoff thường chia thành hai nửa độ dày mặt phẳng song song với mặt Mặt phẳng gọi mặt trung hòa (middle plane, hay midplane) Dưới tác dụng tải ngang (transverse loads) ban đầu phẳng biến dạng mặt trung hòa chuyển thành mặt cong Ta quan tâm tới có độ dày không đổi, hình dạng tương ứng với dạng hình học mặt trung hòa Một chống lại tải ngang cách uốn Các tính chất uốn phụ thuộc phần lớn vào độ dày so với kích thước khác Cụ thể, phân thành ba nhóm theo tỉ số a / h , với a kích thước đặc trưng mặt h độ dày Những nhóm - Tấm dày với tỉ số a / h  8,9,10 Loại đưa tất thành phần ứng suất, biến dạng chuyển vị vật thể rắn sử dụng phương trình tổng quát lý thuyết đàn hồi ba chiều vào phân tích - Màng với tỉ số a / h  80,81, ,100 - Tấm mỏng (thin plate) với 8,9,10  a / h  80, ,100 Nhóm lại phân thành hai lớp khác + Tấm cứng (stiff plates): với tỷ số độ võng cực đại độ dày w / h  0.2 + Tấm dẻo (flexible plates): với w / h  0.3 1.2 Giả thiết Kirchhoff cho mỏng Trong thực hành kĩ thuật, khái niệm mỏng thường hiểu cứng Xét loadfree (không tải), mặt xy trùng với mặt trung hòa trục z vuông góc với nó, hướng xuống Các giả thiết lý thuyết biến dạng nhỏ, đàn hồi, tuyến tính toán uốn mỏng phát biểu sau: Vật liệu đàn hồi, đồng đẳng hướng Tấm ban đầu phẳng Độ võng (thành phần pháp tuyến vector chuyển vị) mặt trung hòa nhỏ so với độ dày Độ dốc (slope) mặt phẳng bị lệch nhỏ bình phương không đáng kể so với đơn vị Các đường thẳng, ban đầu vuông góc với mặt trung hòa trước biến dạng thẳng vuông góc với mặt trung hòa sau bị lệch, độ dài đoạn thẳng không bị thay đổi Điều có nghĩa biến dạng cắt  xz ,  yz không đáng kể biến dạng pháp  z bỏ qua Giả thiết nhắc đến “giả thiết pháp tuyến thẳng” (hypothesis of straight normal) Ứng suất pháp mặt trung hòa,  z , nhỏ so với thành phần ứng suất khác bỏ qua quan hệ ứng suất-biến dạng Bởi chuyển vị nhỏ, nên giả thiết mặt phẳng trung hòa không bị kéo căng sau uốn Nhiều số giả thiết này, biết giả thiết Kirchhoff, tương tự với giả thiết lý thuyết uốn đơn dầm (simple bending theory of beams) Những giả thiết có tác dụng hạn chế toàn 3d sang toán 2d Lý thuyết uốn dựa giả thiết gọi lý thuyết Kirrchhoff hay lý thuyết cổ điển 1.3 Các thiết lập cho Kirchhoff hình chữ nhật Xét mỏng hình chữ nhật có chiều dài a , chiều rộng b , dộ dày h Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình , Mặt xy trùng với mặt trung hòa, trục z hướng xuống Chúng ta suy trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất phiếm hàm lượng cho lý thuyết uốn Kirchhoff cho cứng 1.3.1 Trường chuyển vị biến dạng Kirchhoff Đặt u , v, w thành phần vector chuyển vị điểm mặt trung hòa tương ứng theo hướng x, y , z Thành phần pháp tuyến vector chuyển vị w (còn gọi độ võng) tải phân bố bên (lateral distributed load) p dương theo hướng xuống Theo giả thiết (4) không đáng kể biến dạng cắt ta có:  z   xz   yz  (1.1) Mà z  w w u w v ,  xz   ,  yz   z x z y z (1.2) suy w  x, y , z   w0  x, y  ; u ( x, y , z )   z w0 w  u  x , y  ; v ( x , y , z )   z  v0 ( x , y ) x y (1.3) Dựa vào giả thiết (6) – “chuyển vị nhỏ nên giả sử mặt trung hòa không bị kéo căng sau bị biến dạng” ta suy u0  v0  Do phương trình trở thành w0  u ( x, y, z )   z x  x, y   w0   x, y  v ( x, y , z )   z  y   w( x, y, z )  w0 ( x, y )   (1.4) Như thành phần chuyển vị u , v lớp nằm ngang biến thiên tuyến tính theo độ dày độ võng, w không phụ thuộc vào z Hình bên cho thấy mặt cắt tạo mặt phẳng song song với Oxz, y  const trước sau biến dạng Xét đoạn AB có độ dài z hình vẽ Sau bị biến dạng, điểm A dịch chuyển khoảng w theo phương z tới điểm A1 Vì biến dạng cắt ngang không đáng kể (giả thiết 4) nên vị trí sau biến dạng  B1  điểm B phải nằm pháp tuyến mặt trung hòa điểm A Do giả thiết (4) (5) khoảng cách z hai điểm A B không thay đổi sau biến dạng Thế (1.4) vào (1.2) ta x  z  w0 , x y  z  w0  w0 ,    z xy y xy (1.5) 1.3.2 Các ứng suất Kirchhoff Với giả thiết 4, ta có  z   xz   yz  Quan hệ ứng suất biến dạng cho trường hợp ứng suất phẳng cho bởi:  x  E    y      xy      1  x   x          y    D   y     xy      xy    0    (1.6) với   1    E     D       0    (1.7)   w0     x   x    w0       z D       z  DLw   y y    xy     2 w  2   xy  (1.8)  2     x   2  L     y   2  2   xy  (1.9) Thế (1.5) vào (1.6) ta với toán tử 1.3.3 Các hàm lượng Kirchhoff Năng lượng biến dạng U  x x   y y   xy xy  dV V (1.10) Thế (1.6) vào (1.10) ta T x  x      U     y   D   y  dV 2V  xy   xy      (1.11) Thế (1.5) vào (1.11) ta có U h3 T T z L w D L w dV       Lw   DLw  dA   2V 12  (1.12) với  mặt trung hòa Công tải phân bố p tác dụng mặt W   pw0  x, y  dA (1.13)  với  mặt phẳng Động K   u  v  w2  dV V (1.14) với  khối lượng riêng cho số Thế (1.4) vào (1.14) ta K  2 h 2   w    w0   z  z  w   dzdA   h   x  y      (1.15) hay   w     w  K   0 2 x    w0   y  T  h  0 h  12  0      w0     w T   0  dA    Τw0  m Τw0  dA  x  2    h   w0  12   y  (1.16) Trong toán tử   1    T    x     y  (1.17) ma trận  h  h3 m    12  0   0  0   h  12  (1.18) Năng lượng   U W (1.19) h3 T  Lw   DLw  dA   pw0  x, y  dA  12   (1.20) Thế (1.12) (1.13) vào (1.19) ta có 1.3.4 Xấp xỉ phần tử hữu hạn Miền toán đơn giản miền hình chữ nhật nên sử dụng phần tử tứ giác đơn giản so với phần tử khác   Ne  e , với  e hình chữ nhật có dạng e1 K    Mq  i (3.16) Giải phương trình ta tìm vector riêng qi gọi dạng dao động (mode) thứ i tương ứng với tần số riêng i Trong thực tế, dao động tự với tần số bé quan tâm nhiều 3.2 Kết tính toán minh họa Kế thừa code lập trình dùng cho toán uốn tấm, ta chỉnh sửa để sử dụng cho toán Các bước tiến hành Nhập thông số toán:  Các kích thước tấm: chiều dài a , chiều rộng b , độ dày h  Các số vật liệu: modun Young E , số poisson, khối lượng riêng rho  Các kích thước lưới: nx, ny số nút ox, oy Lập ma trận, vector dùng để tham chiếu  Đánh số thứ tự nút, từ trái sang phải, từ lên  Tính ma trận tọa độ nút (coord)  Tính ma trận nút phần tử (enodes)  Tính vector bậc tự biên (bactudobien)  Tính ma trận lắp ghép (la) Tính ma trận me , k e lắp ghép Viết hàm giải toán trị riêng vector riêng Xuất 13 tần số dao động bé đồ thị dạng dao động tương ứng Cụ thể với thông số đầu vào E = 10920.0; poisson = 0.30;a=1.0; b=1.0; h=0.01;rho=1 Các tần số không thứ nguyên tính công thức bên   a  G (3.17) với modun cắt G cho G E 1    (3.18) Trường hợp bị ngàm bốn cạnh Bảng 12 tần số riêng nhỏ ứng với mode kích thước lưới 24 Lưới 20x20 Mode Tần số dao động tự (x 1.0e+003) Tần số không thứ nguyên (x1.0e+002) 10 11 12 0.0113497 0.0231258 0.0231258 0.0339423 0.0414484 0.0416569 0.0516332 0.0516332 0.0663215 0.0663215 0.0684664 0.0756865 0.0017513 0.0035684 0.0035684 0.0052374 0.0063956 0.0064278 0.0079672 0.0079672 0.0102336 0.0102336 0.0105646 0.0116787 Lưới 30x30 Tần số dao động Tần số không thứ tự (x nguyên 1.0e+004) (x1.0e+002) 0.0011366 0.0017537 0.0023169 0.0035750 0.0023169 0.0035750 0.0034088 0.0052599 0.0041526 0.0064075 0.0041728 0.0064388 0.0051913 0.0080103 0.0051913 0.0080103 0.0066428 0.0102500 0.0066428 0.0102500 0.0069039 0.0106530 0.0076129 0.0117469 So sánh kết với sách “Matlab Codes for Finite Element Analysis – A.J.M Ferreira – trang 185 ” Các đồ thị tương ứng sau: Lưới 20x20 25 26 27 28 Lưới 30x30 29 30 31 Trường hợp tựa đơn bốn cạnh Bảng 12 tần số dao động tự nhỏ mode tương ứng Mode 10 11 12 Lưới 20x20 Tần số dao động tự Tần số không thứ (x 1.0e+003) nguyên 0.0062 0.0962 0.0156 0.2402 0.0156 0.2402 0.0248 0.3831 0.0311 0.4803 0.0311 0.4803 0.0403 0.6212 0.0403 0.6212 0.0529 0.8162 0.0529 0.8162 0.0555 0.8562 0.0619 0.9546 So sánh với kết sách “Matlab Codes for Finite Element Analysis - A.J.M Ferreira – trang 184 ” Sau số dạng dao động ứng với trường hợp 32 33 Một số dạng dao động ứng với trường hợp khác Trường hợp ngàm cạnh Ox 34 Trường hợp ngàm cạnh Ox cạnh song song với Trường hợp ngàm nút đỉnh 35 Trường hợp tựa đơn cạnh Ox, Oy cạnh song song với Ox 36 ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI Đề tài sử dụng phần tử Q , phần tử chữ nhật nút để giải toán uốn mỏng tìm tìm tần số dao động tự Phần tử Q dễ dạng thuận tiện tính toán có nhiều mặt hạn chế áp dụng cho trường hợp miền toán đơn giản, số bậc tự phần tử lớn đa thức xấp xỉ phải có bậc cao nên trình tính toán diễn lâu v,v Một số hướng phát triển thêm đề tài cần phát triển tiếp sau:      Sử dụng phần tử khác để tính toán (phần tử tam giác, tứ giác) Tính biến dạng lực phân bố không Tính dao động có ngoại lực tác dụng Tính toán với có hình dạng khác (như hình tròn) Mô dao động hình ảnh động 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trịnh Anh Ngọc - Giáo trình phương pháp phần tử hữu hạn A.J.M Ferreira – Matlab Codes for Finite Element Analysis – Solids and Structures C.M Wang, J.N Reddy, K.H Lee - Shear Deformation Beams and Plates – Relationships with Classical Solutions Maurice Petyt – Introduction to Finite Element Vibration Analysis E Ventsel, T Krauthammer - Thin Plates and Shells – Theory, Analysis, and Application http://en.wikipedia.org/wiki/Vibration_of_plates http://en.wikipedia.org/wiki/Plate_theory http://en.wikipedia.org/wiki/Kirchhoff-Love_plate_theory O.C Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng – The Finite Element Method – Fifth edition – Volume – Solid Mechanics 10 Martin H Sadd - Elasticity – Theory, Applications, and Numerics 11 J.N Reddy, M.L Rasmussen – Advanced Engineering Analysis 38 [...]... (mode) thứ i của tấm tương ứng với tần số riêng i Trong thực tế, thì dao động tự do với tần số bé nhất được quan tâm nhiều nhất 3.2 Kết quả tính toán và minh họa Kế thừa code lập trình đã dùng cho bài toán uốn tấm, ta có thể chỉnh sửa để sử dụng cho bài toán này Các bước tiến hành 1 Nhập các thông số của bài toán:  Các kích thước của tấm: chiều dài a , chiều rộng b , độ dày h  Các hằng số vật liệu:... Để đảm bảo tính hội w w , tụ, ta cần đảm bảo w , và các đạo hàm cũng phải liên tục giữa các phần tử Do đó cả ba x y đại lượng này đều được lấy làm các bậc tự do tại nút Hơn nữa, đa thức xấp xỉ phải có bậc tối thiểu là 2 Với việc sử dụng phần tử tứ giác thì mỗi phần tử sẽ có 12 bậc tự do Để đơn giản trong việc lập trình tính toán ta sử dụng phần tử tham chiếu  r như sau Khi đó đa thức xấp xỉ w0... Ox và cạnh song song với Ox 4 Ngàm 3 cạnh Ox, Oy và cạnh song song Ox Equation Section 3 21 CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF Ngoài tải trọng tĩnh, tấm cũng như các kết cấu khác còn có thể chịu tải trọng động với một tần số dao động nào đó Nếu tần số dao động này bằng với một trong số các tần số riêng của các kết cấu này thì hiện tượng cộng hưởng sẽ xảy ra, kết cấu sẽ bị khuếch đại dao động. .. kết cấu sẽ bị khuếch đại dao động và có thể bỉ phá hủy nhanh chóng Vì vậy, Việc biết trước các tần số riêng của các kết cấu trước khi đem vào sử dụng là rất quan trọng Ở chương này, chúng ta sẽ đi tìm các tần số riêng đó đối với tấm hình chữ nhật ở trên bằng việc áp dụng nguyên lý Hamilton 3.1 Nguyên lý Hamilton và bài toán dao động tự do của tấm Phát biểu toán học của nguyên lý Hamilton cho trường... Thao tác đánh số phần tử, nút và các bậc tự do Miền của bài toán sẽ được phân hoạch thành các phần tử hình chữ nhật bằng nhau Cụ thể, các cạnh trên trục Ox, Oy lần lượt được chia đều bởi nx , ny nút Việc đánh số nút toàn cục cũng như phần tử được tiến hành từ dưới lên và từ trái sang phải Trên một phần tử, thứ tự nút cục bộ được đánh ngược chiều kim đồng hồ từ dưới lên Các bậc tự do được xắp xếp thành... với Phương trình (3.14) là một phương trình đa thức bậc N n theo  Giải phương trình này ta được N n nghiệm 1 , 2 , , N Các nghiệm này được gọi là các tần số dao động tự do Với mỗi tần số n i tìm được ta thay vào phương trình (3.13) để được một hệ phương trình 23 K    Mq  0 i (3.16) Giải phương trình trên ta tìm được một vector riêng qi được gọi là dạng dao động (mode) thứ i của tấm. .. Đánh số thứ tự các nút, từ trái sang phải, từ dưới lên trên  Tính ma trận tọa độ các nút (coord)  Tính ma trận nút phần tử (enodes)  Tính vector các bậc tự do biên (bactudobien)  Tính ma trận lắp ghép (la) 3 Tính ma trận me , k e và lắp ghép 4 Viết hàm giải bài toán trị riêng vector riêng 5 Xuất 13 tần số dao động bé nhất và đồ thị dạng dao động tương ứng Cụ thể với các thông số đầu vào là E =... tự do tại các nút và theo số thứ tự toàn cục của nút đó u T    w1  w1 x w1 y w2 w2 x w2 y wnn wnn x wnn  y  (2.5) 2.2 Lập trình chương trình tính toán và các kết quả thu được Từ những kết quả thu được trong lý thuyết ta có thể sử dụng phần mềm Matlab để giải bài toán này Các bước tiến hành 1 Nhập các thông số của bài toán:  Các kích thước của tấm: chiều dài (a), chiều rộng (b),...   K  U    W  dt  0 t2 (3.1) e t1 Trong đó K là động năng, U là năng lượng biến dạng, We là công do các ngoại lực gây ra và t1 , t2 lần lượt là thời điểm đầu và thời điểm cuối Ở đây chúng ta đang xét về dao động tự do của tấm nên  We  0 Do đó (3.1) trở thành    K  U  dt     K  U  dt  0 t2 t2 t1 t1 (3.2) Thế (1.43) và (1.38) vào (3.2) ta được 1 1     w 0 e m e w 0 e ... mãn phương trình    U  W   0 (2.1) Thay (1.45) vào (2.1) ta được  w 0 e T k  w   f    0 e 0 e (2.2) e Do biến phân  w 0 e là bất kì nên từ (2.2) ta suy ra T k e w0 e  f e (2.3) Thực hiện tổng lắp ghép trên các phần tử ta được hệ phương trình K u  F (2.4) Trong đó u là vector chứa tất cả các bậc tự do tại nút được sắp xếp theo bộ ba bậc tự do tại các nút và theo