GIẢI BÀI TOÁN UỐN VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Nội dung của đề tài này tập trung nghiên cứu về tấm Kirchhoff một loại tấm mỏng tuân theo những giả thiết của Kirchhoff mà cụ thể là về sự biến dạng uốn cũng như tần số dao động riêng củ

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh

Khoa Toán – Tin Học, Năm học 2012 – 2013

LỜI NÓI ĐẦU

Tấm nói chung và tấm Kirchhoff nói riêng có vai trò to lớn trong kĩ thuật Chúng ta có thể bắt gặp chúng trong cuộc sống hàng ngày Ví dụ như mặt của chiếc bàn mà chúng ta vẫn sử dụng để đặt mọi thứ lên đó cũng là một dạng tấm, hay cái trần nhà bê tông của chúng ta cũng là một thể hiện khác của tấm Ngoài ra tấm còn được sử dụng rộng rãi trong kết cấu kiến trúc, như sàn cầu, kết cấu nước, mặt lát (pavement), containers, máy bay, tên lửa (missles), tàu, nhạc cụ, chi tiết máy… Tấm được sử dụng rộng rãi nhờ khả năng chịu lực của nó Nhưng các loại tấm khác nhau thì khả năng đó cũng khác nhau Do đó nghiên cứu về sự biến dạng của tấm dưới tác dụng của tải

là rất quan trọng Bên cạnh đó nếu đã từng nghe đến câu chuyện một đoàn quân đi đều qua một chiếc cầu và bỗng nhiên chiếc cầu dao động dữ dội dẫn đến chiếc cầu bị sập cùng với cả đoàn quân bị rơi xuống sông thì hẵn các bạn cũng biết mỗi một vật đều có một tần số dao động riêng

và khi nó bị tác dụng bởi một lực có tần số bằng với tần số riêng này thì hiện tượng cộng hưởng xảy ra, biên độ dao động của vật tăng mạnh và vật bị phá hủy nhanh chóng Về khía cạnh này, tấm cũng không ngoại lệ

Nội dung của đề tài này tập trung nghiên cứu về tấm Kirchhoff (một loại tấm mỏng tuân theo những giả thiết của Kirchhoff) mà cụ thể là về sự biến dạng uốn cũng như tần số dao động riêng của nó Một số kết quả bước đầu cả về mặt lý thuyết cũng như tính toán về sự uốn, dao động của tấm Kirchhoff đã đạt được Vì đề tài được thực hiện trong thời gian ngắn, cũng như việc người thực hiện chưa có kinh nghiệm trong việc vận dụng phương pháp phần tử hữu hạn nên sai sót có thể xảy ra Do đó mọi ý kiến đánh giả của thầy và các bạn là hết sực quý giá để đề tài được hoàn thiện Các ý kiến đóng góp nếu có xin gửi về địa chỉ nhan.hcmus@gmail.com

Equation Section 1

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TẤM KIRCHHOFF 3

1.1 Giới thiệu về tấm Kirchhoff 3

1.2 Giả thiết Kirchhoff cho tấm mỏng 4

1.3 Các thiết lập cho tấm Kirchhoff hình chữ nhật 5

1.3.1 Trường chuyển vị và các biến dạng của tấm Kirchhoff 5

1.3.2 Các ứng suất của tấm Kirchhoff 7

1.3.3 Các hàm năng lượng của tấm Kirchhoff 7

1.3.4 Xấp xỉ phần tử hữu hạn 9

1.3.5 Thao tác đánh số phần tử, nút và các bậc tự do 14

CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN UỐN TẤM KIRCHHOFF 16

2.1 Nguyên lý năng lượng thế năng cực tiểu 16

2.2 Lập trình chương trình tính toán và các kết quả thu được 16

CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF 22

3.1 Nguyên lý Hamilton và bài toán dao động tự do của tấm 22

3.2 Kết quả tính toán và minh họa 24

ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TẤM KIRCHHOFF

1.1 Giới thiệu về tấm Kirchhoff

Tấm Kirchhoff là các thành phần kết cấu được bao bởi hai mặt phẳng song song và một mặt trụ vuông góc với các mặt phẳng tấm Khoảng cách giữa hai mặt phẳng tấm được gọi là độ dày (h) của tấm Chúng ta giả sử độ dày của tấm mỏng là nhỏ so với các kích thước đặc trưng khác của mặt phẳng tấm (độ dài, độ rộng, đường kính, vv.) Dựa vào hình dạng của mặt phẳng tấm thì người ta phân ra các loại tấm vuông, tròn, elip, đa giác, tam giác, tứ giác.v.v Các tải tĩnh hoặc động tác dụng lên tấm phần lớn vuông góc với mặt phẳng tấm

Tấm Kirchhoff thường được chia thành hai nửa bằng nhau về độ dày bởi một mặt phẳng song song với các mặt của tấm Mặt phẳng này gọi là mặt trung hòa (middle plane, hay midplane) của tấm Dưới tác dụng của tải ngang (transverse loads) một tấm ban đầu phẳng sẽ biến dạng và mặt trung hòa chuyển thành mặt cong Ta chỉ quan tâm tới tấm có độ dày không đổi, khi đó hình dạng của tấm được tương ứng với dạng hình học của mặt trung hòa của nó

Một tấm chống lại các tải ngang bằng cách uốn Các tính chất uốn của tấm phụ thuộc phần lớn vào độ dày của nó khi so với các kích thước khác Cụ thể, tấm được phân thành ba nhóm theo tỉ

số a h/ , với a là kích thước đặc trưng của tấm trong một mặt và h là độ dày của tấm Những nhóm này là

- Tấm dày với tỉ số a h/ 8,9,10 Loại tấm này được đưa tất cả các thành phần ứng suất, biến dạng và chuyển vị như đối với vật thể rắn sử dụng các phương trình tổng quát của lý thuyết đàn hồi ba chiều vào phân tích

- Màng với tỉ số a h/ 80,81, ,100

- Tấm mỏng (thin plate) với 8,9,10a h/ 80, ,100 Nhóm này lại được phân thành hai lớp khác nhau

+ Tấm cứng (stiff plates): với tỷ số giữa độ võng cực đại và độ dày của tấm w h/  0.2 + Tấm dẻo (flexible plates): với w h/  0.3

1.2 Giả thiết Kirchhoff cho tấm mỏng

Trong thực hành kĩ thuật, khái niệm tấm mỏng thường được hiểu là tấm cứng Xét một tấm free (không tải), trong đó mặt xy trùng với mặt trung hòa của tấm và trục z vuông góc với nó, hướng xuống

load-Các giả thiết cơ bản về lý thuyết biến dạng nhỏ, đàn hồi, tuyến tính của bài toán uốn tấm mỏng

có thể được phát biểu như sau:

1 Vật liệu tấm là đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng

2 Tấm ban đầu là phẳng

3 Độ võng (thành phần pháp tuyến của vector chuyển vị) của mặt trung hòa là nhỏ so với độ dày của tấm Độ dốc (slope) của mặt phẳng bị lệch do đó rất nhỏ và bình phương của nó là không đáng kể khi so với đơn vị

4 Các đường thẳng, ban đầu vuông góc với mặt trung hòa trước biến dạng thì vẫn thẳng

và vuông góc với mặt trung hòa sau khi bị lệch, và độ dài của những đoạn thẳng đó không bị thay đổi Điều đó có nghĩa là các biến dạng cắt  xz, yz là không đáng kể và biến dạng pháp z cũng có thể được bỏ qua Giả thiết này được nhắc đến như là “giả thiết về các pháp tuyến thẳng” (hypothesis of straight normal)

5 Ứng suất pháp đối với mặt trung hòa, z, là nhỏ so với các thành phần ứng suất khác

và có thể được bỏ qua trong các quan hệ ứng suất-biến dạng

6 Bởi vì các chuyển vị của một tấm là nhỏ, nên giả thiết rằng mặt phẳng trung hòa vẫn

không bị kéo căng sau khi uốn

Nhiều trong số các giả thiết này, được biết như là giả thiết của Kirchhoff, là tương tự với những giả thiết trong lý thuyết uốn đơn của dầm (simple bending theory of beams) Những giả thiết này

có tác dụng hạn chế bài toàn tấm 3d sang bài toán 2d Lý thuyết uốn tấm dựa trên các giả thiết trên gọi là lý thuyết tấm Kirrchhoff hay lý thuyết tấm cổ điển

1.3 Các thiết lập cho tấm Kirchhoff hình chữ nhật

Xét một tấm mỏng hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b, và dộ dày h Gắn hệ trục tọa độ

Oxyz vào tấm như hình , Mặt xytrùng với mặt trung hòa, trục z hướng xuống

Chúng ta có thể suy ra trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất và các phiếm hàm năng lượng cho

lý thuyết uốn Kirchhoff cho tấm cứng

1.3.1 Trường chuyển vị và các biến dạng của tấm Kirchhoff

Đặt u v w, , là các thành phần của vector chuyển vị của các điểm trên mặt trung hòa của tấm tương ứng theo các hướng x y z, , Thành phần pháp tuyến của vector chuyển vị w (còn gọi là độ võng) và tải phân bố bên (lateral distributed load) p là dương theo hướng xuống dưới Theo giả thiết (4) về sự không đáng kể của biến dạng cắt ta có:

Dựa vào giả thiết (6) – “chuyển vị của tấm là nhỏ nên giả sử mặt trung hòa không bị kéo căng sau khi bị biến dạng” ta suy ra u0 v0 0 Do đó các phương trình trên trở thành

v x y z z x y

y

w x y z w x y

(1.4)

Như vậy các thành phần chuyển vị u v, trên một lớp nằm ngang bất kì biến thiên tuyến tính theo

độ dày của tấm trong khi độ võng, w thì không phụ thuộc vào z

Hình bên dưới cho thấy một mặt cắt của tấm tạo bởi mặt phẳng song song với Oxz y, const

trước và sau biến dạng

Xét đoạn AB có độ dài z như hình vẽ Sau khi bị biến dạng, điểm A dịch chuyển một khoảng

w theo phương z tới điểm A1 Vì các biến dạng cắt ngang không đáng kể (giả thiết 4) nên vị trí sau khi biến dạng  B của điểm 1 B phải nằm trên pháp tuyến của mặt trung hòa tại điểm A Do giả thiết (4) và (5) khoảng cách z giữa hai điểm A và B không thay đổi sau khi biến dạng Thế (1.4) vào (1.2) ta được

1.3.2 Các ứng suất của tấm Kirchhoff

Với các giả thiết 4, 5 ta có z xz yz  0 Quan hệ ứng suất biến dạng cho trường hợp ứng suất phẳng cho bởi:

 

2

1 01

2 0 2

2 0

0

2

w

x y xy

w x w y w

1.3.3 Các hàm năng lượng của tấm Kirchhoff

Năng lượng biến dạng của tấm là

với  là mặt trung hòa của tấm

Công của tải phân bố đều p tác dụng trên một mặt của tấm là

h h

   , với e là các hình chữ nhật có dạng

Ta nhận thấy đạo hàm cấp cao nhất xuất hiện trong các biểu ở trên là cấp 2 Để đảm bảo tính hội

Khi đó đa thức xấp xỉ w0 trên miền tham chiếu là

Phép biến đổi hình học (ở đây x1 x x4, 2 x y3; 1  y y2, 3  y4)

00

0 0

w w

x r

w w

y s

0 0

w1w

,

,2

đề cập ở trên và các bộ ba này được xắp xếp theo thứ tự nút cục bộ

Equation Section 2

CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN UỐN TẤM KIRCHHOFF

2.1 Nguyên lý năng lượng thế năng cực tiểu

Nguyên lý về năng lượng thế năng cực tiểu phát biểu như sau: Trong tất cả các chuyển dịch thõa các điều kiện biên của một vật rắn đàn hồi, những chuyển dịch thõa phương trình cân bằng làm cho năng lượng thế năng đạt cực tiểu địa phương Tức là chuyển dịch cần tìm là chuyển dịch thõa mãn phương trình

 K u    F (2.4) Trong đó  u là vector chứa tất cả các bậc tự do tại nút được sắp xếp theo bộ ba bậc tự do tại các

nút và theo số thứ tự toàn cục của nút đó

2.2 Lập trình chương trình tính toán và các kết quả thu được

Từ những kết quả thu được trong lý thuyết ta có thể sử dụng phần mềm Matlab để giải bài toán này Các bước tiến hành

1 Nhập các thông số của bài toán:

 Các kích thước của tấm: chiều dài (a), chiều rộng (b), độ dày (ha)

 Các hằng số vật liệu: E, 

 Các kích thước lưới: nx, ny lần lượt là số nút trên ox, oy

2 Lập các ma trận, vector dùng để tham chiếu

 Đánh số thứ tự các nút, từ trái sang phải, từ dưới lên trên

 Tính ma trận tọa độ các nút (coord)

 Tính ma trận nút phần tử (enodes)

 Tính ma trận điều kiện biên (dcond)

 Tính ma trận lắp ghép (la)

3 Tính ma trận độ cứng phần tử là lắp ghép

4 Khử điều kiện biên

5 Tìm nghiệm

6 Xuất độ võng ra màn hình, đưa ra đồ thị minh họa

Cụ thể, các kết quả thu được với thông số đầu vào của bài toán

Giá trị chính xác được trích từ “The Finite Element Method – Fifth edition – Volumn 2 – Solid Mechanics – O.C Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng – trang 136”

Đồ thị cho thấy sự hội tụ nghiệm

Đồ thị tương ứng với một số kích thước lưới

Lưới 40x40

Một số đồ thị cho các trường hợp khác

1 Ngàm cạnh Ox

2 Ngàm cạnh Ox Oy ,

3 Ngàm 2 cạnh Ox và cạnh song song với Ox

4 Ngàm 3 cạnh Ox Oy và cạnh song song , Ox

Equation Section 3

CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA TẤM KIRCHHOFF

Ngoài tải trọng tĩnh, tấm cũng như các kết cấu khác còn có thể chịu tải trọng động với một tần số dao động nào đó Nếu tần số dao động này bằng với một trong số các tần số riêng của các kết cấu này thì hiện tượng cộng hưởng sẽ xảy ra, kết cấu sẽ bị khuếch đại dao động và có thể bỉ phá hủy nhanh chóng Vì vậy, Việc biết trước các tần số riêng của các kết cấu trước khi đem vào sử dụng

là rất quan trọng Ở chương này, chúng ta sẽ đi tìm các tần số riêng đó đối với tấm hình chữ nhật

ở trên bằng việc áp dụng nguyên lý Hamilton

3.1 Nguyên lý Hamilton và bài toán dao động tự do của tấm

Phát biểu toán học của nguyên lý Hamilton cho trường hợp vật rắn biến dạng là

2 1

t t lần lượt là thời điểm đầu và thời điểm cuối

Ở đây chúng ta đang xét về dao động tự do của tấm nên W e 0 Do đó (3.1) trở thành

nên phương trình (3.6) trở thành

           

2 1

với vector  u cho bởi (2.5)

Ta giả sử là nghiệm của bài toán có dạng

    i t

e



với  q là vector hằng (biên độ)

Thay (3.12) vào (3.11) và giãn ước e i t ta được

   

Giải phương trình trên ta tìm được một vector riêng  q được gọi là dạng dao động (mode) thứ i

i của tấm tương ứng với tần số riêng i Trong thực tế, thì dao động tự do với tần số bé nhất được quan tâm nhiều nhất

3.2 Kết quả tính toán và minh họa

Kế thừa code lập trình đã dùng cho bài toán uốn tấm, ta có thể chỉnh sửa để sử dụng cho bài toán này Các bước tiến hành

1 Nhập các thông số của bài toán:

 Các kích thước của tấm: chiều dài a, chiều rộng b, độ dày h

 Các hằng số vật liệu: modun YoungE, hằng số poisson, khối lượng riêng rho

 Các kích thước lưới: nx ny, lần lượt là số nút trên ox oy,

2 Lập các ma trận, vector dùng để tham chiếu

 Đánh số thứ tự các nút, từ trái sang phải, từ dưới lên trên

4 Viết hàm giải bài toán trị riêng vector riêng

5 Xuất 13 tần số dao động bé nhất và đồ thị dạng dao động tương ứng

Cụ thể với các thông số đầu vào là

E = 10920.0; poisson = 0.30;a=1.0; b=1.0; h=0.01;rho=1

Các tần số không thứ nguyên được tính bởi công thức bên dưới

a G

Tần số dao động

tự do (x 1.0e+004)

Tần số không thứ nguyên (x1.0e+002)

Lưới 30x30

2 Trường hợp tấm tựa đơn trên bốn cạnh

Bảng 12 tần số dao động tự do nhỏ nhất và các mode tương ứng

Mode

Lưới 20x20 Tần số dao động tự

do (x 1.0e+003)

Tần số không thứ nguyên

3 Một số dạng dao động ứng với các trường hợp khác

Trường hợp ngàm cạnh Ox

Trường hợp ngàm cạnh Ox và cạnh song song với nó

Trường hợp ngàm 4 nút ở đỉnh

Trường hợp tựa đơn trên cạnh Ox Oy và cạnh song song với , Ox

ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI

Đề tài này đã sử dụng phần tử 4Q , phần tử chữ nhật 4 nút để giải bài toán uốn tấm mỏng và tìm

tìm tần số dao động tự do của tấm Phần tử Q tuy dễ dạng và thuận tiện trong tính toán nhưng 4cũng có nhiều mặt hạn chế như chỉ áp dụng được cho trường hợp miền bài toán đơn giản, số bậc

tự do phần tử quá lớn do đó đa thức xấp xỉ phải có bậc cao nên quá trình tính toán diễn ra lâu hơn v,v Một số hướng phát triển thêm của đề tài cần được phát triển tiếp như sau:

 Sử dụng các phần tử khác để tính toán (phần tử tam giác, tứ giác)

 Tính biến dạng của tấm khi lực phân bố không đều

 Tính dao động của tấm khi có ngoại lực tác dụng

 Tính toán với tấm có hình dạng khác (như hình tròn)

 Mô phỏng dao động của tấm bằng hình ảnh động

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trịnh Anh Ngọc - Giáo trình phương pháp phần tử hữu hạn

2 A.J.M Ferreira – Matlab Codes for Finite Element Analysis – Solids and Structures

3 C.M Wang, J.N Reddy, K.H Lee - Shear Deformation Beams and Plates – Relationships with Classical Solutions

4 Maurice Petyt – Introduction to Finite Element Vibration Analysis

5 E Ventsel, T Krauthammer - Thin Plates and Shells – Theory, Analysis, and Application

10 Martin H Sadd - Elasticity – Theory, Applications, and Numerics

11 J.N Reddy, M.L Rasmussen – Advanced Engineering Analysis