sử dụng Phương pháp véctơ giải toán hình học không gian

Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh A PHầN Mở ĐầU Lí chọn đề tài Trong chương trình hình học phổ thông trung học nghiên cứu lý thuyết vectơ, vận dụng vecto để xây dựng khái niệm hình học, quan hệ hình học số hệ thức lượng số hình hình học Đi liền với mở rộng khái niệm phương pháp mới, công cụ để giải toán, mà hình học véctơ ví dụ Véctơ không phương tiện để xây dựng kiến thức hình học mà công cụ hiệu để giải toán từ đại số, giải tích, ,đến hình học Nhờ phương pháp véctơ mà toán hình học thông thường có nội dung song song, thẳng hàng, đồng qui, đồng phẳng, tỉ số đoạn thẳng, toán cực trị ,quỉ tích,trong hình học đựơc giải cách đơn giản, dể hiểu Với đa số học sinh trí tưởng tượng không gian hạn chế gặp nhiều khó khăn tiếp cận với toán hình học không gian, phương pháp véctơ giúp học sinh học tập cách chủ động, phát huy tính độc lập sáng tạo giải toán mà không phụ thuộc vào hình hình học Vì viết dạn đưa số số định hướng thể phương pháp véc tơ qua số dạng toán điển hình hình học không gian nhằm giúp học sinh có thêm phương pháp hiệu bổ sung vào cẩm nang giải toán không gian lĩnh vực xem trừu tượng toán học Cấu trúc đề tài Mở đầu Lí chọn đề tài Cấu trúc đề tài Nội dung Kiến thức phương pháp Qui trình giải toán hình học công cụ véctơ Các ví dụ minh họa Kết luận Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh B NộI DUNG Kiến thức phương pháp 1.1 Định nghĩa véctơ: Vectơ đoạn thẳng có hướng, đầu xác định làm gốc, đầu xác định làm điểm 1.2 Các phép toán véctơ Phép cộng véc tơ Phép trừ véc tơ Phép nhân véctơ với số Tích vô hướng hai véctơ 1.3 Các qui tắc véctơ Qui tắc tam giác: AB BC AC Qui tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành đó: AB AD AC Với điểm O, M, N ta có phân tích: MN ON OM Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD đó: AB AD AA' AC ' 1.4 Trọng tâm, tâm tỉ cự Cho n điểm phân biệt A1,A2, An n số thực , , n ( n ) tồn điểm G thõa mãn: GA1 GA2 n GAn (*) điểm O ta có: OA OA OA 1 2 n n OG (**) n Điểm G thõa mãn (*) gọi tâm tỉ cự hệ n điểm { A1,A2, An} ng vi h { , , n } Khi n ta cú GA1 GA2 GAn , im G gi l trng tõm ca h n im A1,A2, An Đặc biệt : I trung điểm đoạn AB IA IB MA MB 2MI, M G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC MA MB MC 3MG, M G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD MA MB MC MD 4MG, M 1.5 Một số quan hệ hình học tính chất khác Quan hệ thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng k 0, AB k AC Từ suy Với ta ra: điểm A,B,C thẳng hàng lúc O ta có phân tích OC OA OB + =1 Quan hệ đồng phẳng Ba vetơ a, b, c đồng phẳng tồn số k,l , n cho Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh ka lb mc Ba véctơ a, b, c không đồng phẳng từ ka lb mc k=l=m=0 Bốn điểm A,B, C, Dđồng phẳng m,n AB mAC nAD OA OB OC OD, O, Quan hệ vuông góc: a b a.b 1.6 Các kỷ gii cỏc bi toỏn thng gp Các toán thẳng hàng , song song Để chứng minh điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véctơ AB, AC phương, Tức tồn k cho AB k AC , lấy điểm O chứng minh OA mOB nOC với m+n=1 Để chứng minh đường thẳng a có vectơ phương a song song với đường thẳng b có véc tơ chỏ phương b ta chứng minh a, b phân biệt a,b phương Để chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) nằm mặt phẳng (P) ta lấy mặt phẳng (P) hai véctơ b, c không phương chứng minh ba vectơ a, b, c đồng phẳng tức tồn m,n cho a mb nc Các toán đồng qui Bài toán chứng minh số hữu hạn dường thẳng đồng qui điểm O, ta đưa toán chứng minh thẳng hàng tức lấy đường thẳng hai điểm chứng minh chứng minh qua O Các toán đồng phẳng Để chứng minh véctơ không gian a, b, c đồng phẳng ta tìm cách biểu diển vec tơ qua hai véctơ lại: a mb nc Để chứng minh điểm A, B, C, D đồng phẳng ta chọn vécơ AB,AC,AD chứng minh vec tơ đồng phẳng tồn (k,m,n) , k+m+n=1 O ta OA kOB mOC nOD Các toán vuông góc Để chứng minh đường thẳng a có vectơ phương a vuông góc với đường thẳng b có véctơ phương b ta chứng minh a.b Để chứng minh đường thẳng a có vectơ phương a vuông góc mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n ta chứng minh a,n phương ta lấy mặt phẳng (P) hai véctơ b, c không phương chứng minh a.b a.c Để chứng minh hai mặt phẳng (P) (Q) vuuong góc với ta chứng minh hai vec tơ pháp tuyến chúng vuông góc với Các toán tính toán độ dài, tỉ số đoạn thẳng, đẳng thức hình học Để tính toán độ dài đoạn thẳng hay tỉ số ta chuyển đổi mối liên hệ độ dài Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh hình học AB, đại số AB , độ dài vectơ AB , chuyển bình phương vô hướng sang bình 2 phương vectơ AB AB , chuyển từ ngôn ngữ hình học sang vectơ AB kAC AB kAC (A, B, C nằm đường thẳng), Các toán cực trị hình học Qui trình giải toán công cụ véctơ Bước 1: Chuyển cách diển đạt ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ Bước 2: Chọn hệ véctơ sở thực yêu cầu toán thông qua biến đổi véctơ Bước 3: Chuyển kết luận véctơ sang ngôn ngữ hình học tương ứng Các ví dụ minh họa Ví dụ ( Đề thi HSG 11 năm 2012 Tỉnh QB) Cho t din SABC cú SA = SB = SC = 1, mt phng (P) i qua trng tõm M ca t din, ct cnh SA, SB, SC ln lt ti D, E, F (khỏc S) a) Chng minh rng: SM SD SE SF SD SE SF 1 b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : SD.SE SE.SF SF.SD Câu a) Cách 1: ( không cần hình vẽ) G trọng tâm tứ diện SABC GS GA GB GC SG SA SB SC SG SA SB SC SA SB SC S = SD SE SF SD SE SF SD SE SF SD SE SF F Cách 2: Gi S' SG (ABC) G SG D S l trng tõm ca tam giỏc ABC nờn SS' A C 4SG 3SS' SA SB SC E SA SB SC SD SE SF S' SD SE SF SD SE SF B SD SE SF Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh SG SD SE SF SD SE SF Câu b:Theo cõu a, ta cú SM SD SE SF SD SE SF M M,D,E,F ng phng nờn: 1 1 SD SE SF 1 SD SE SF 1 1 1 16 Do ú: SD.SE SE.SF SF.SD SD SE SF Du = xy v ch SD = SE = SF (P) //(ABC) 1 16 Vy: Max (P) //(ABC) SD.SE SE.SF SF.SD Ví dụ 2: Cho hỡnh lp phng ABCDABCD cnh a Gi I, J ln lt l trung im ca ca cỏc cnh AB,CD Hai im M,N thuc AD,BB cho AM=BN Chng minh MN vuụng gúc v ct IJ ti trung im MN Li gii 1( Hỡnh hc tng hp) Ta cú IJ//(BCCB) nờn mp(IJN) ct (BCCB) theo giao tuyn NK//IJ Ta cú (ABAB)//(DCCD) v (ABAB) ct (INJ) theo giao tuyn IN nờn (DCCD) ct (INJ) theo giao tuyn JL//IN Ta cú (ADDA)//(BCCB) v (ADDB)ct (INJ) theo giao tuyn KN, nờn (BCCB) ct (INJ) theo giao tuyn LM//NK Ta cú NK//BC//AD/ML nờn A M D I BN KC' BN C' K BB ' C ' B B Ta cú: AIM ' C ' JK CK=AMSuy BN=AM nờn M trựng M, hay M C L N thuc mt phng (IJN) ngha l MN, IJ ng phng A' D' J Ta cú AIM BIN IM IN Tng t ta cú JN=JM suy IJ l trung trc MN B' K C' Li gii 2( Phng phỏp vộct) a a t AM=BN=k ta cú: IJ BC ' BB ' B ' C ' BN AM IM IN k k Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh m IM, IN khụng cựng phng nờn MN v IJ ng phng a MN MA AB BN , IJ MN IM IN MA AB BN k Nờn MN vuụng gúc IJ gi s HN x MN , HM yMN HM.IJ x ta cú MN vuụng gúc IJ v H, I, J thng hng nờn HN.IJ y IH z IJ suy HM HN Vớ d 3: Cho t din ABCD cú gúc tam din vuụng ti nh B Bit AB=1,BC=BD, CD=2 Gi M,N ln lt l trung im ca cỏc cnh BC v CD Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AM v BN Li gii: AM BM BA a c , BN ( BC BD) a b 2 2 AE x AM xa xc , BF yBN ya yb 2 Suy ra: EF EA AB BF y x a yb x c 2 y x a yb x c a c EF AM 2 y x a yb x c a b EF BN 2 x x Suy ra: y x y nờn EF a b c Do ú | EF | EF a b c 6 Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Vớ d 4: Cho hình hộp ABCDABCD a)Chứng mnmh đỉnh A, trọng tâm G tam giác BDA1 đỉnh C1 thẳng hàng AG b) Tính tỉ số A GC ' B a Li gii: Chọn hệ sở: { AB a , AD b , AA' c } c a) Theo tính chất hình hộp ta được: AB A' B ' a , AD B 'C ' b ta có: AG GB = AB a ' ' AG GA = AA c A' AG GD = AD b AG GB GA ' GD = a b c mà G trọng tâm tam giác DBA nên GB + GA' + GD = Vậy AG = C b D G C' B' D' ( a b c ) (1) Mặt khác theo qui tắc hình hộp ta có: ' ' ' ' ' ' ' = a b c (2) AC AA A'C ' = AA A B B C ' từ (1) (2) ta suy AC AG (*) Đẳng thức (*) chứng tỏ A, G, C thẳng hàng ' ' ' b) Từ đẳng thức AC AG AG = AC =( ( AG GC ) ) 3 ' AG AG = GC Vậy GC ' ta chứng minh ba điểm A, G, C thẳng hàng cách hai véc tơ AG GC ' phương, nhiên ta sử dụng điều kiện A, G, C thẳng hàng DG xDA yDC ' với x+y=1 Thật vậy: G trọng tâm tam giác BDA nên DG DM với M trung điểm AB ' ' ' ' ' Mà DM ( DB DA ) DG ( DB DA ) = ( DC CB DD D A ) = (a 2b c ) 3 ' Ta biểu diển vectơ DA, DC qua hệ vectơ sở ta DA b , DC ' a c Từ DA DG b (a c ) = (a 2b c) Như DG DA DG 3 3 3 Ví dụ 5: Giả sử M,N,P điểm theo thứ tự lấy cạnh SA, SB, SC tứ diện SABC Gọi I giao điểm mặt phẳng (SAB), (CAN), (ABP) J giao điểm ba mặt phẳng (ANP), (BMP), (CMN) Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Chứng minh S, I, J thẳng hàng Từ suy JS MS NS PS JI MA NB PC li gii: Ta xác định I, J : Trong mặt phẳng (SAB) gọi C giao điểm AN BM B giao điểm MC với AP mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SAB) gọi A gia điểm BP với CN Lúc mặt phẳng (BCM) có I giao điểm BB với CC Trong mặt phẳng (ANP) giaođiểm cóJ NB PC Chọn véctơ a , SB sở{ SA hệ b , SC c } Đặt S SM xMA , SN yNB , SP zPC với x,y,z >0 lúc x x SM xMA x( SA SM ) SM SA a x x z y tương tự : SN c b , SP M P z y B Trong mặt phẳng (SAB) ta có C giao điểm AN BM nghĩa C thuộc đường thẳng A BM nên theo điều kiện điểm thuộc đường thẳng ta có SC ' k SM (1 k ) SB C ' Do : SC ' N A ' C ' s tương tự C thuộc AN ta có SC ' lSN (1 l )SA k SM (1 k ) SB = l SN (1 l ) SA kx ly SA (1 k ) SB SB (1 l ) SA x 1 y kx ly a (1 k )b b (1 l ) a x 1 y Do a, b không phương nên ' B k 11x x y 1kx x 1l ly k l y y y x x y a b x y x y z x y z Tương tự ta tính SA' c a b c , SB ' x z x z z y z y Vì I giao điểm CC nên I nằm BB CC BB với ' Do đó: MI mMB (1 m) MB nMC ' (1 n) MC (*) ' ' z x x Mà MB SB SM c a a x z x z x Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh ' z xz c a x z (1 x z )(1 x ) xy y tương tự: MC ' a b (1 x y )(1 x ) x y x x mà MB SB SM b a , MC SC SM c a x x Thay giá trị vào (*) ta được: (1 k ) x kz ky c a (1 k )b a= x z (1 x z )(1 x ) x l ly lxy = b a (1 l )c a x y (1 x y )(1 x) x MB ( ly kz lxy kxz (1 l ) x )b ( (1 k ))c )a + (1 k x y x z (1 x y )(1 x ) (1 x z )(1 x) x a, b, c sở nên : lxy kxz l x x x y x x z x lk k x y kz k x z Giải hệ ta được: k l z x x y z x y x y z Ta biểu diển SI , SJ qua sở theo x,y,z ta có: x a, SI SM MI mà SM x x z z xz z x y x MI c a (b a) x y z x z (1 z x )(1 x) x y z x y z x z y x yz hay MI c b a x y z x y z x x y z SI ( xa yb zc) x y z hoàn toàn tương tự SJ ( xa yb zc ) x y z Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh SJ hay SJ (1 x y z ) JI x y z SI MS NS PS x y z điều chứng tỏ S,I,J thẳng hàng ta có: IJ MA NB PC Ví dụ 6: Cho hình hộp chử nhật ABCABCD Gọi M,N chia AC CD theo tỉ số m,n Xác định m,n để MN// BD Li gii: ' ' ' ' ' Chọn hệ véctơ sở B A a , B B b , B C c ' B C Vì M chia AC theo tỉ số m nên MA mMC ' mà ta có MA MB B ' A , MC ' MB ' B 'C ' Do đó: MB ' B ' A mMB ' mB 'C ' D A B ' A mB 'C ' a b mc MB ' hay MB ' m m b c n(a c ) tương tự NB ' n c ' Ta có: MN B ' N B ' M ' C a n 1 m B )a b (1 )c MN ( n m m m A' (*) D' ' ' ' ' ' ' Để MM//B D MN k B D k ( B C C D D D ) hay MN k a kb kc (**) SI SJ n n m k m Từ (*) (**) k n Vậy với m=-3 n=-1 MN//BD m m k m k Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD gọi I,K,E,F chia đoạn AB,DC,BC,AD theo tỉ số -2,-2, 3 , 2 a)Chứng minh BC, IK, AD đồng phẳng AB, EF ,CD đồng phẳng b) Chứng minh điểm I,E,F,K đồng phẳng Li giải: Chọn hệ véctơ sở { BC a, BD b, BA c} +Theo giả thiết ta có IA IB , KD 2KC , EB EC , FA FD 2 Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian 10 A Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh a) Ta có: AD BD BA b c IK IA AD DK c (b c ) DC = 3 F a (b c ) 3 Hay IK BC AD IK , BC , AD đồng phẳng 3 +Tacó EF EB BA AF BC BA AD = 5 (b a) c 5 hay EF CD BA EF , CD, BA đồng phẳng I c B b D a K E b) Chứng minh điểm I,E,F,K đồng phẳng C ta IF IA AF BA ( BD BA) c (b c ) = b c 5 15 1 y Giả sử tồn x,y cho IK xIE y IF a b c xc xa c 3 3 15 2 x 10 x y y 1 15 y x Như IK 10 IE IF IK , IE , IF đồng phẳng 9 Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCDABCD Gọi M, N trung điểm AD, BB Chứng minh MN vuông góc AC ' Chọn hệ sở: { AB a , AD b , AA c } C B MN MA AB BN mà MA DA b , 2 AB a ' BN BB c nên MN b a c 2 2 ' ' ta có A C A A AD DC a b c A D N A' Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian M B ' c D' ' 11 Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh MN A'C ( b a c) ( a b c ) = 2 2 1 a.b b b.c a a.b a.c a.c b.c c 2 2 Do ABCDA B C D hình lập phương nên a.b b.c c.a ' Do đó: MN A C MN A'C Bi tng t: Bi 1:Cho hỡnh chúp S.ABC, ỏy l tam giỏc cõn nh A, D l trung im BC, v DE AB ( E AB ), Bit SE ( ABC) Gi M l trung im DE Chng minh AM (SEC) Bi 2: Cho tam din O.ABC vuụng to O Gi OH l ng cao ca O.ABC, I l trung im AH Gi s SO, SA,S B,SC l din tớch ca cỏc mt (ABC), (OBC), (OAC) v (OAB) Chng minh rng : S 2O IO S 2A IA S 2B IB S 2C IC Bi 3: Cho t din ABCD Gi O l mt im bt kỡ thuc phn ca t din Gi VA, VB, VC,VD ln lt l th tớch ca cỏc chúp O.BCD, O.ACD, O.ABD, O.ABC Chng minh rng: VA OA VB OB VC OC VD OD Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian 12 Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh C Kết luận Qua ví dụ trình bày lần thấy tiên lợi phương pháp véctơ với số toán hình học không gian Với phương pháp vectơ chắn giải nhiều vấn đề khó khăn môn hình học không gian số vấn đề đòi hỏi trí tưởng tượng cao không gian, gây khó khăn cho học sinh giáo viên, Vơi phương pháp vectơ hy vọng phần khắc phục khó khăn Hơn nũă qua cách giải toán công cụ vectơ ta tìm mối quan hệ đối tượng không gian giúp nắm vấn đề để thay đổi hay thêm bớt số kiện toán sở hình thành toán Rất mong em nắm phương pháp để vận dụng làm thi kì thi HSG, ĐH nhớ em đề xuất cách giải khác qua ví dụ để làm phong phú thêm cho kho phương phương pháp Chúc em thành công Đồng hới , ngày 30/03/2012 Người viết Nguyễn Thanh Hậu Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian 13 [...]... khụng gian 12 Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh C Kết luận Qua các ví dụ trình bày ở trên một lần nữa chúng ta thấy được sự tiên lợi của phương pháp véctơ với một số bài toán hình học không gian Với phương pháp vectơ chắc chắn rằng sẽ giải quyết được nhiều vấn đề khó khăn trong môn hình học không gian nhất là một số vấn đề đòi hỏi trí tưởng tượng cao trong không gian, gây khó khăn cho học. .. và cả giáo viên, Vơi phương pháp vectơ hy vọng rằng sẽ phần nào khắc phục được những khó khăn trên Hơn nũă qua cách giải toán bằng công cụ vectơ ta tìm được mối quan hệ giữa các đối tượng trong không gian giúp chúng ta nắm chắc vấn đề hơn để có thể thay đổi hay thêm bớt một số dữ kiện bài toán trên cơ sở đó hình thành bài toán mới Rất mong các em nắm chắc phương pháp này để vận dụng khi làm các bài... để vận dụng khi làm các bài thi trong các kì thi HSG, ĐH và nhớ rằng các em có thể đề xuất các cách giải khác qua những ví dụ trên để làm phong phú thêm cho kho phương phương pháp của mình Chúc các em thành công Đồng hới , ngày 30/03/2012 Người viết Nguyễn Thanh Hậu Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian 13 ... cũng có A C A A AD DC a b c A D N A' Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian M B ' c D' ' 11 Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh 1 1 MN A'C ( b a c) ( a b c ) = 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 a.b b b.c a a.b a.c a.c b.c c 2 2 2 2 2 2 Do ABCDA B C D là hình lập phương nên a.b b.c c.a 0 ' Do đó: MN A C 0 MN A'C Bi tp tng t: Bi 1:Cho... 2 3 3 1 IF IA AF BA ( BD BA) c (b c ) = b c 3 5 3 5 5 15 2 1 1 1 3 y Giả sử tồn tại x,y sao cho IK xIE y IF a b c xc xa c 3 3 3 3 5 15 2 2 3 x 3 10 x 1 3 9 y 3 5 y 5 1 1 1 9 15 y 3 x 3 Như vậy IK 10 5 IE IF IK , IE , IF đồng phẳng 9 9 Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCDABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB Chứng minh rằng MN vuông góc AC ... khụng gian 12 Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh C Kết luận Qua ví dụ trình bày lần thấy tiên lợi phương pháp véctơ với số toán hình học không gian Với phương pháp vectơ chắn giải. .. môn hình học không gian số vấn đề đòi hỏi trí tưởng tượng cao không gian, gây khó khăn cho học sinh giáo viên, Vơi phương pháp vectơ hy vọng phần khắc phục khó khăn Hơn nũă qua cách giải toán. .. thẳng), Các toán cực trị hình học Qui trình giải toán công cụ véctơ Bước 1: Chuyển cách diển đạt ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ Bước 2: Chọn hệ véctơ sở thực yêu cầu toán thông