Phương pháp vectơ giải toán Hình KG

Trang 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ Hình học không gian là một chủ đề tương đối khó đối với học sinh, khó cả cách tiếp cận vấn đề và cả trong tìm lời giải bài toán. Làm sao để học sinh học hình học không gian dễ hiểu hơn, hoặc chí ít cũng giải được một số bài tập điển hình nào đó là câu hỏi thường trực đối với giáo viên bộ môn Toán mà từng ngày, từng giờ tìm câu trả lời. Vectơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học định lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài toán hình học được thuận lợi. Để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của vectơ giải các bài toán hình học, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ giải một số bài toán hình học không gian” ngõ hầu trao đổi với các bạn đồng nghiệp những kinh nghiệm của mình trong lĩnh vực này. Đề tài chỉ xin đưa ra một số ví dụ cho các dạng toán sau:  Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song  Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng  Chứng minh quan hệ vuông góc; tính góc và độ dài đoạn thẳng  Chứng minh các hệ thức hình học B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. Nội dung chủ đề vectơ trong chương trình Toán THPT Ở chương trình lớp 10 vectơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Chương 1 – Vectơ, trình bày các khái niệm cơ bản nhất về vectơ (vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ bằng nhau) và các phép toán cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số. Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu Trang 2 về tọa độ: trục và hệ trục tọa độ trong mặt phẳng, tọa độ của vectơ, của điểm đối với trục và hệ trục tọa độ. Chương 2 – Tích vô hướng của vectơ và ứng dụng, bao gồm: định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ của tích vô hướng, hệ thức lượng trong tam giác. Ở chương trình lớp 11, vectơ trong không gian là một bài trong Chương III – Quan hệ vuông góc trong không gian. Các phép toán và tính chất của vectơ trong không gian được hiểu tương tự như vectơ trong mặt phẳng, nên không trình bày một cách tỉ mỉ. Chỉ có một khái niệm mới là sự đồng phẳng của ba vectơ. Việc đưa vectơ trong không gian vào chương trình giúp cho việc chứng minh một số tính chất về quan hệ vuông góc thuận lợi hơn và là một trong những yêu cầu giảm tải của chương trình phân ban 2006. Chương trình lớp 12 có đưa vào khái niệm tích có hướng (còn gọi là tích vectơ) của hai vectơ, kí hiệu là ; a b       hoặc a b    , được xác định bởi biểu thức tọa độ, để làm cơ sở viết phương trình mặt phẳng. II. Sử dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học Dùng vectơ và các phép toán vectơ chúng ta có thể giải nhanh gọn một số bài tập hình học. Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng:  Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các vectơ AB  , AC  , AD  đồng phẳng, tức là AB k AC lAD      .  Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song (có thể trùng nhau) ta chứng minh các vectơ AB  và CD  cùng phương, tức là AB kCD    .  Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), hoặc nằm trên mặt phẳng (P) ta lấy trong (P) hai vectơ a  và b  không cùng phương và chứng minh ba vec tơ AB  , a  , b  đồng phẳng; hoặc tìm một vectơ c  trong (P) sao cho AB  và c  cùng phương.  Để chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD ta chứng minh . 0 ABCD    . Trang 3  Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn vectơ AB  theo các vectơ đã biết và tính . AB AB   . Khi đó . AB AB AB    .  Để tính góc  AOB ta xét tính vô hướng . OAOB   và dùng công thức  . cos . OAOB AOB OA OB      . III. Một số ví dụ hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ giải một số bài toán hình học không gian A. Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB  và AC  cùng phương, tức là AB k AC    . Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song, ta chứng minh k    , AB kCD    . Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BD và CB’D’. Chứng minh rằng A, G, G’, C’ thẳng hàng. Bước 1: Phân tích bài toán Để chứng minh A, G, G’, C’ thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ AG  , ' ' C G  , ' AC  cùng phương. Chọn một hệ vectơ cơ sở (gồm 3 vectơ không đồng phẳng) sao cho thuận lợi nhất cho việc biểu diễn AG  , ' ' C G  , ' AC  theo hệ vectơ cơ sở đó, thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh. Chú ý giả thiết G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BD và CB’D’. Bước 2. Thực hiện giải bài toán Đặt AB a    , AD b    , ' AA c    Ta có: ' AC a b c        (1) Vì G là trọng tâm tam giác A’BD nên:     1 1 ' 3 3 AG AD AB AA a b c              (2) Vì G’ là trọng tâm tam giác CB’D’ nên: Trang 4 c b a G' G A D C C' A' D' B' B     1 1 ' ' ' ' ' ' ' 3 3 C G C C C B C D a b c               (3) Từ (1) và (2) suy ra: 1 ' 3 AG AC    , tức là A, G, C’ thẳng hàng. Từ (1) và (3) suy ra: 1 ' ' ' 3 C G AC     , tức là A, G’, C’ thẳng hàng. Vậy bốn điểm A, G, G’, C’ thẳng hàng. Ví dụ 2. Cho hai tia Ax, By chéo nhau, M di chuyển trên Ax, N di chuyển trên By. Giả sử AM BN  , I là điểm chia trong MN theo tỉ số IM k IN  . Chứng minh I di chuyển trên một tia cố định. Bước 1. Phân tích bài toán Để chứng minh I di chuyển trên một tia cố định, ta cần dự đoán tia cố định đó, muốn vậy ta xét một vài trường hợp đặc biệt: - Khi M trùng với A, N trùng với B, gọi O là điểm chia trong đoạn AB theo tỉ số OA k OB  . - Lấy 0 M Ax  và 0 N By  sao cho 0 0 AM BN  và gọi I 0 là điểm chia trong đaọn M 0 N 0 theo tỉ số 0 0 0 0 I M k I N  . Do vậy, điểm I di chuyển trên tia OI 0 . Để chứng minh điều này, ta xét trường hợp M di chuyển trên Ax, N di chuyển trên By và AM BN  , I là điểm chia trong MN theo tỉ số IM k IN  , ta chứng minh O, I 0 , I thẳng hàng. Hay các vectơ 0 OI  và OI  cùng phương. Bước 2. Thực hiện giải bài toán Gọi O là điểm chia trong đoạn AB theo tỉ số OA k OB  ; tức là: 0 OA kOB      . Trang 5 Lấy 0 M Ax  và 0 N By  sao cho 0 0 AM BN  và gọi I 0 là điểm chia trong đoạn M 0 N 0 theo tỉ số 0 0 0 0 I M k I N  ; tức là: 0 0 0 0 0 M I kN I      . Đặt a OB    , 0 b AM    , 0 c BN    với b c    . Khi đó: 0 0 0 0 OI OA AM M I        (1) 0 0 0 0 OI OB BN N I        (2) Từ (2) suy ra:   0 0 0 0 kOI k OB BN N I        (3) Vì 0 OA kOB      và 0 0 0 0 0 M I kN I     nên từ (1) và (3) suy ra: 0 0 0 1 1 1 1 1 1 k k OI BN AM b c k k k k              Thực hiện tương tự ta có: 1 1 1 k OI BN AM k k        Vì 0 0 AM BN  , AM BN  nên 0 . . AM t AM t b      ; 0 . . BN t BN t c      . Bởi vậy: 0 1 1 . 1 1 1 1 k k OI BN AM t b c t OI k k k k                      Do đó I nằm trên OI 0 (đpcm). Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C’D sao cho MN song song với BD’. Bước 1. Phân tích bài toán Đường thẳng MN song song với BD’, tức là có số thực k sao cho ' MN kBD    . Giả sử điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C’D xác định bởi các hệ thức MC mAC    , ' ' C N nC D    . Biểu diễn MN  và ' BD  qua hệ vectơ cơ sở, thay vào đẳng thức ' MN kBD    ta tìm được m và n. x y I 0 N 0 M o I O A B M N Trang 6 Bước 2. Thực hiện giải bài toán Đặt BA a    , ' BB b    , BC c    . Giả sử điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C’D xác định bởi các hệ thức MC mAC    , ' ' C N nC D    . Theo giả thiết MN//BD’ nên có số k sao cho     ' 1 MN kBD k a b c ka kb kc               Mặt khác           ' ' ' ' 1 2 MN MC CC C N mAC CC nC D m c a b n a b n m a n b mc                                 Từ (1) và (2) ta có 1 3 1 2 3 n m k m k n k n m k                      Vậy, điểm M và n xác định bởi các hệ thức: 1 3 MC AC    , 2 ' ' 3 C N C D    . B. Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các vectơ AB  , AC  , AD  đồng phẳng, tức là AB k AC l AD      . Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), hoặc nằm trên mặt phẳng (P) ta lấy trong (P) hai vectơ a  và b  không cùng phương và chứng minh ba vec tơ AB  , a  , b  đồng phẳng; hoặc tìm một vectơ c  trong (P) sao cho AB  và c  cùng phương. Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của cạnh CD, M chia trong AD theo tỉ số MA k MD  , N chia trong BC theo tỉ số NB k NC  . Chứng minh I, J, M, N đồng phẳng. c b a N A D C C' A' D' B' B M Trang 7 Bước 1. Phân tích bài toán Để chứng minh I, J, M, N đồng phẳng, ta chứng minh IJ  , IM  và IN  đồng phẳng. Hay có sự biểu diễn IJ mIM nIN      . Muốn vậy, ta chọn một hệ vectơ cơ sở và biểu diễn các vectơ IJ  , IM  , IN  theo chúng, từ đó ta suy ra I, J, M, N đồng phẳng. Bước 2. Thực hiện giải bài toán Đặt AB a    , AC b    , AD c    . Từ giả thiết M chia trong AD theo tỉ số MA k MD  , N chia trong BC theo tỉ số NB k NC  , ta có:   1 k AM kMD AM k AD AM AM AD k               hay 1 k AM c k         1 k BN kNC BN k BC BN BN AC AB k                 hay   1 k BN b a k       Từ đó: 1 2 1 k IM IA AM a c k            (1)     1 1 2 1 12 1 k k k IN IB BN a b a a b k k k                   (2)     1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 IJ IC ID IA AC IA AD a b c                     (3) Từ (1), (2) và (3) ta thấy:   2 1 1 k k IM IN a b c IJ k k             Vậy I, J, M, N đồng phẳng. c b a M N I J A B C D Trang 8 Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BB’, C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng C’D song song với mặt phẳng (MNP). Bước 1. Phân tích bài toán Để chứng minh C’D song song với mặt phẳng (MNP), ta chứng minh ba vectơ ' C D  , MN  , MP  đồng phẳng. Nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại hai số thực x và và y sao cho: ' . . C D x MP y MN      . Bước 2. Thực hiện giải bài toán Đặt AB a    , AD b    , ' AA c    Ta có: 1 1 2 2 MN MA AB BN a b c              1 1 ' ' 2 2 MP MD DD D P a b c              ' ' ' ' C D C D D D a c           Giả sử ' . . C D x MP y MN      1 1 1 1 2 2 2 2 a c x a b c y a b c                              1 1 1 1 2 2 2 2 a c x y a x y b x y c                                  1 1 2 1 1 2 0 2 2 3 1 1 2 x y x y x y x y                        Vậy 2 2 ' . . 3 3 C D MP MN       c b a N P M A D C C' A' D' B' B Trang 9 Từ đó suy ra ba vectơ ' C D  , MN  , MP  đồng phẳng. Dễ thấy C’ không thuộc mặt phẳng (MNP) nên suy ra C’D song song với mặt phẳng (MNP). C. Chứng minh quan hệ vuông góc; tính góc và độ dài đoạn thẳng Để chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD ta chứng minh . 0 ABCD    . Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn vectơ AB  theo các vectơ đã biết và tính . AB AB   . Khi đó . AB AB AB    . Để tính góc  AOB ta xét tính vô hướng . OAOB   và dùng công thức  . cos . OAOB AOB OA OB      . Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD va BB’. Chứng minh rằng ' MN A C  . Bước 1. Phân tích bài toán Để chứng minh ' MN A C  , ta chỉ cần khẳng định tích vô hướng . ' 0 MN A C    . Muốn vậy, ta chọn hệ vectơ cơ sở thích hợp, biểu diễn các vectơ MN  , ' A C  qua hệ vectơ đó và tính tích . ' MN A C   . Bước 2. Thực hiện giải bài toán Đặt AB a    , AD b    , ' AA c    , ta có: 1 1 2 2 MN MA AB BN b a c               ' ' ' ' ' A C A B A D A A a b c              Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên: . . . 0 ab bc ca          và a b c x       (với x là độ dài cạnh hình lập phương) Từ đó ta có: c b a N M A D C C' A' D' B' B Trang 10   1 1 . ' 2 2 MN A C b a c a b c                      2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . . . 2 2 2 2 2 2 ab b b a ab ac ac bc c c                           2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 0 2 2 2 2 b a c x x x             Vậy ' MN A C    , suy ra ' MN A C  . Ví dụ 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một mặt phẳng đi qua D’ song song với DA’ và AB’ cắt đường thẳng BC’ tại M. Tính độ dài D’M. Bước 1. Phân tích bài toán Chọn một hệ vectơ cơ sở, từ giả thiết của bài toán ta sẽ biểu diễn được ' D M  qua hệ vectơ cơ sở. Từ đó độ dài đoạn thẳng 2 ' ' D M D M   Bước 2. Thực hiện giải bài toán Đặt ' ' D A x    , ' D D y    , ' ' D C z    . Một mặt phẳng đi qua D’M song song với DA’ và AB’ nên ba vectơ ' D M  , ' A D  và ' AB  đồng phẳng, tức là ' . ' . ' D M p A D q AB      Hay       ' . . . . . D M p b a q c b p a p q b qc                  (1) Ba điểm B, C’, M thẳng hàng nên ' ' BC kC M    hay   ' ' ' ' BB B C k C D DM          . . . a b k c pa p q b q c                         . . 1 . a b kp a k p q b k q c                   1 1 1 2 1 1 0 kp p k p q q k q                       c b a A' B' C' C A B D D' M [...]... KẾT Trên đây là những ví dụ sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán hình học không gian, các ví dụ tác giả lựa chọn đưa ra nhằm minh họa sự thuận lợi của vectơ để giải một số bài tập Tác giả mong được các đồng nghiệp góp ý xây dựng để làm tốt hơn công tác giảng dạy của mình Hy vọng đề tài này là một ý kiến trong khai thác vectơ giải các bài toán Bá Thước, tháng 4 năm 2009 Người viết: Đỗ Đường Hiếu... Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L, M, N Chứng minh rằng: SA SC SB SD    SK SM SL SN Bài 9 Cho hình chóp S.ABC; G là trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’ Chứng minh rằng: SA SB SC SG   3 SA ' SB ' SC ' SG ' C ĐÔI LỜI KẾT Trên đây là những ví dụ sử dụng phương pháp vectơ. .. biết AA '  AB 5 C' Bước 1 Phân tích bài toán  B'  Biểu diễn hai vectơ AB ' và BC ' theo A' một hệ vectơ cơ sở đã chọn và tính tích vô    hướng AB '.B ' C Ta lại có: a        AB '.B ' C  AB '.B ' C.cos  AB '; B ' C      C B từ đây ta xác định được giữa hai đường b c thẳng AB’ và BC’ A Bước 2 Thực hiện giải bài toán            Đặt...  1 Suy ra, góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ là α với cos   4 D Chứng minh các hệ thức hình học Ví dụ 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm của cạn SC Mặt phẳng qua AK cắt S các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N Chứng minh rằng: SB SD   3 SM SN K Bước 1 Phân tích bài toán N Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N, tức là bốn điểm A, K, c D M,... SA  m.SM  n.SN (*) Đặt     SB SD  x,  y , biểu diễn SK , SA , SN theo ba vectơ không đồng SM SN          phẳng là: SA  a , SB  b , SC  c Thay vào (*), đồng nhất hai vế, ta tìm được x y Bước 2 Thực hiện giải bài toán          Đặt SA  a , SB  b , SC  c là ba vectơ không đồng phẳng Đặt SB SD  x,  y , ta cần chứng minh x  y  3 SM SN Trang 12... tam giác BCD, O là trung điểm AG Trang 13 1 Tính độ dài AG theo a 2 Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau 3 Chứng minh OB, OC, OD đôi một vuông góc Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho a 3a BM  , DN  2 4 1 Chứng minh MN  AM 2 Chứng minh  SAM    AMN  Bài 7 Cho lăng...  1  AB  CD  thì AB / /CD 2 Bài 3 Cho hai tia Ax và By chéo nhau Trên Ax và By lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM  kBN , k là một số dương Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng MN Bài 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên đoạn thẳng BD và AD’ lần lượt lấy hai điểm thay đổi M và N sao cho DM  AN  x 0  x  a 2  Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố . thức hình học B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. Nội dung chủ đề vectơ trong chương trình Toán THPT Ở chương trình lớp 10 vectơ. trình bày phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. Chương 1 – Vectơ, trình bày các khái niệm cơ bản nhất về vectơ (vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ bằng nhau) và các phép toán cộng,. nghiên cứu hình học định lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài toán hình học được thuận lợi. Để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của vectơ giải các bài toán hình học,