Hướng dẫn giải toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ Người thực hiện: Lê Ngọc Phương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phần NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Phần KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị, đề xuất TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 3 18 18 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa kỳ thi THPT Quốc gia năm vừa qua, có số dạng tốn hình học khơng gian đề thi mà học sinh thường gặp tính tỉ số, tính góc, độ dài đoạn thẳng hay phức tạp số toán cực trị mà ta thường vận dụng phương pháp véctơ để xử lý Tuy nhiên nhiều học sinh gặp lúng túng cách vận dụng phương pháp véctơ để giải dạng toán Nguyên nhân khái niệm véctơ phép toán véctơ đưa vào đầu chương trình lớp 10 Đây vấn đề hồn tồn việc giải tốn có nội dung liên quan tới véctơ, vấn đề khó nhiều học sinh Để giảm bớt khó khăn làm tăng thêm hứng thú học tập cho học sinh vấn đề này, tơi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ” Qua phát triển tư sáng tạo học sinh Các toán khai thác viết có lời giải khác tài liệu, qua thực tế dạy học sinh định hướng cho học sinh khai thác xây dựng toán số hướng khác từ toán đơn giản cách đặc biệt hoá, khái quát hoá, từ toán phẳng giúp học sinh phát triển tốn có tính chất tương tự khơng gian Góp phần phát huy tính tích cực học sinh, tăng cường khả tự học, tự khám phá Rèn luyện cho học sinh tư linh hoạt, sáng tạo 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo Toán học, trước tập tơi thường cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý Phát cách giải tương tự khái quát phương pháp đường lối chung Trên sở với tốn cụ thể em khái qt hố thành toán tổng quát xây dựng tốn tương tự Thứ hai mong muốn bổ sung phương pháp bồi dưỡng cho học sinh giỏi trước đến Xây dựng phương pháp rèn luyện khả sáng tạo Toán cho học sinh cho lúc nơi em tự phát huy lực độc lập sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các tốn sử dụng phương pháp véc tơ để tính tỉ số, tính góc, độ dài đoạn thẳng hay phức tạp số toán cực trị mặt phẳng không gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: + Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài + Phương pháp quan sát (hoạt động dạy - học giáo viên HS) + Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn ) + Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) + Phương pháp thực nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cơ sở triết học: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình phản ánh cách lơgíc biện chứng quan niệm nội thân em Từ kích thích em phát triển tốt 2.1.2 Cơ sở tâm lí học: Theo nhà tâm lí học: Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư đứng trước khó khăn cần phải khắc phục Vì GV cần phải để học sinh thấy khả nhận thức với điều biết với tri thức nhân loại Căn vào quy luật phát triển nhận thức hình thành đặc điểm tâm lí từ lớp cuối cấp THCS, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Tốn học, mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngồi có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học hình học khơng gian em thường có tâm lí: tập phần q khó, hình vẽ khơng trực quan, khơng biết cách trình bày lời giải toán cho mạch lạc, dễ đọc Đặc biệt kiến thức hình học phẳng em quên nhiều, khó vận dụng vào việc giải tập khơng gian Trong kiến thức véc tơ em làm quen lớp 10, lượng kiến thức ứng dụng vào việc giải tập hình học khơng gian giúp em cảm thấy làm tập môn đại số (là môn học em khơng có tâm lí sợ mơn hình học) 2.1.3 Cơ sở giáo dục học: Để giúp em học tốt GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thời gian bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2017-2018, 2018-2019 2.2.2 Khảo sát chất lượng đầu năm mơn hình học: Thơng qua việc cho học sinh làm tập hình học khơng gian kết thu có 45% học sinh vẽ hình làm số ý đơn giản 2.2.3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết chưa cao Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh đòi hỏi nhiều cơng sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Các em lúng túng việc tìm hướng giải tập hình học khơng gian - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng, tư hàm, tư lơgíc hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học mơn hình học Đây mơn học đòi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng HS mà khó GV việc truyền tải kiến thức tới em Hơn điều kiện kinh tế khó khăn, mơi trường giáo dục, động học tập,… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập, chưa thấy ứng dụng to lớn mơn hình học đời sống Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội thích hợp Tuy nhiên ngồi việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán 2.3 Các giải pháp thực Quy trình chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Bước Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học khơng gian cho “ngôn ngữ” véctơ Bước Thực yêu cầu tốn thơng qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở Bước Chuyển kết luận véctơ thành tình chất hình học khơng gian tương ứng Dạng Sử dụng điều kiện đồng phẳng điểm uuur uuur uuur A, B, C, D điểm đồng phẳng DA = mDB + nDC A, B, C, D điểm đồng phkhi với điểm O ta có uuur uuu r uuur uuur OD = mOA + nOB + pOC , m + n + p = Ví dụ (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi ( α ) mặt phẳng không qua S cắt cạnh SA, SB, SC , SD uur uuur uuu r uur SB M , N , P, Q thỏa mãn SA = 2SM ; SC = 3SP Tính tỉ số SN  SD    giá trị biểu thức T =  ÷ +  ÷ đạt giá trị nhỏ  SN   SQ  Giải:uur uuur uuur uuur Đặt SB = xSN , SD = ySQ với x ≥ 1; y ≥ , đó: 2  SD   SB  2 SB T = ÷ = x + 4y ÷ + 4  SN   SQ  uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur Ta có: SA + SC = SB + SD = 2SO ⇔ SD = SA + SC − SB uuu r uuu r uur uuu r uur r uuur uur x uuu SQ = SD = SA + SC − SB = SM + SP − SN (*) y y y y y Vì điểm M , N , P, Q đồng phẳng nên từ (*) ta có: ( )  x + +  − ÷= ⇔ x + y = y y  y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: 1 ( x + y ) =  x.1 + y ÷ ≤ ( x + y ) 1 + ÷⇒ T = x + y ≥ 20 , 2   4 SB = x = dấu ‘=’ x = 4; y = Vậy SN Dạng Phần quan hệ song song Bài toán Hai đường thẳng phân biệt AB CD song song với uuur uuur AB = kCD r r Bài tốn Cho hai a, b khơng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc uuur r r (P) Khi :AB//(P) ⇔ AB = xa + yb Bài toán Cho hai mặt phẳng phân biệt (ABC) (MNP) Khi đó: (ABC) / / ( MNP ) uuu r uuuu r uuur  AB = xMN + yMP ⇔  uuur uuuu r uuur  AC = x1 MN + y1 MP Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F trọng tâm tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF uuur r uuur r uuur r { AA = a, AB = b, AC = c} Bước1:Chọn hệ véc tơ sở Theo ra:+M trọng tâm tam giác AA1B1: uuuu r uuur uuur AM = ( AA1 + AB1 ) (1) B1 +N trọng tâm tam giác A1B1C1: uuur uuur uuur uuuu r AN = ( AA1 + AB1 + AC1 ) N (2) A1 +E trọng tâm tam giác ABC: uuur uuur uuur AE = ( AB + AC ) C1 M (3) +F trọng tâm tam giác BCC1: uuur uuu r uuur uuuu r AF = ( AB + AC + AC1 ) F B (4) E A uuuu r uuur + MN / / EF ⇔ MN = k EF C Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ uuuu r uuur uuuu r r r a + c (5) uuur uuur uuur r r Từ (3), (4): EF = AF − AE = a + c (6) uuuu r uuur Từ (5), (6): MN = EF (7) ( Từ (1), (2): MN = AN − AM = ( ) ) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học không gian Từ (7) : MN // EF Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N trung điểm cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1) uuur r uuur r uuuur r Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở { DA = a, DC = c, DD1 = b} uuuur B1 r uuur uuuu DA + DA1 (1) uuur uuuu r uuuur + N trung điểm B1C1: DN = DB1 + DC1 (2) uuuu r uuuur uuuu r + MN / / ( DA1C1 ) ⇔ MN = xDC1 + yDA1 (3) ( + M trung điểm AA1: DM = ) ( uuuu r uuur uuuur Suy ra: uuuu r uuuur uuuu r MN = DC1 − DA1 r r r r c−a+c+b ( C1 D1 A1 ) M Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Từ (1), (2): MN = DN − DM = N C B ) D A (4) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (4) : MN // (DA1C1) Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 Gọi M, N trung điểm cạnh AA1, CC1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1) // (AB1N) Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở B1 uuur r uuur r uuur r { AA = a, AB = b, AC = c} G uuuu r uuur + M trung điểm AA1: AM = AA1 uuur uuur uuuu r + N trung điểm CC1: AN = AC + AC1 ( ) C1 A1 (1) (2) M N B + G trọng tâm tam giác A1B1C1: uuur uuur uuur uuuu r AG = ( AA1 + AB1 + AC1 ) uuuu r uuur uuur  MG = x AB1 + y AN uuur uuur + (MGC1 ) / / ( AB1 N ) ⇔  uuuur  MC1 = x1 AB1 + y1 AN (3) A C (4) Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Ta có: uuuu r uuur uuuu r r 1r 1r MG = AG − AM = a + b + c (5) 3 uuuu r uuur uuuu r r r r MG = x AG − y AM = ( x + y )a + xb + yc (6) r r r Từ (5) (6) , a, b, c không đồng phẳng nên ta có: 1 2 = x + y  r uuur uuur uuuu 1 ⇒ x = y = ⇒ MG = AB1 + AN  =x 3 3 1 3 = y  uuuur uuuu r uuuu r r r 1r 1r r MC1 = AC1 − AM = a + c − a = a + c 2 Ta có: uuur uuur uuur r r AN = AC + CN = a + c uuuur uuur (10) Từ (8) (9): MC1 = AN ( ) (7) (8) (9) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học khơng gian uuuu r uuur uuur 3 uuuur uuur Từ (10) : MC1 = AN ⇒ MC1 / / mp( AB1 N ) Từ (7) : MG = AB1 + AN ⇒ MG//mp(AB1 N ) (11) (12) Từ (11) (12) : mp( MGC1 ) / / mp( AB1 N ) Bài tập vận dung Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB 1A1; N, I trung điểm CC1 CD Chứng minh : EN//AI Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N lần trọng tâm tam giác ABA1 ABC Chứng minh : MN//(AA1C1) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E trung điểm BB1, CC1, AA1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1)//(BA1N) (A1GN)//(B1CE) Dạng Phần góc khoảng cách 10 Bài tốn Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức: uuur uuur AB.CD cosϕ = uuu r uuur AB CD uuur uuur2 Bài toán Khoảng cách hai điểm A B : AB = AB = AB r Bài toán Cho điểm M đường thẳng l có véc tơ phương a , điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l Phương pháp giải: uuuur ur Đặt AM = m , gọi N hình chiếu M lên l uuuu r uuur uuuu r uuuu r r ur r r ur r Khi đó: MN = AN − AM = xa − m MN ⊥ a ⇔ ( xa − m ) a = uuuu r Khoảng cách cần tìm : MN = ( r ur xa − m ) Bài tốn Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC) Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc MA (ABC) Phương pháp giải: uuuur ur uuur r uuur r uuuu r uuur uuuu r r Đặt AM = m , AB = a, AC = b , gọi N hình chiếu M lên (ABC) r ur Khi : MN = AN − AM = xa + yb − m  Do MN ⊥ ( ABC ) nên   r r ur r ( xa + yb − m)a = r ur r  r ( xa + yb − m)b = Khi cho biết x, y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC) r r r ur ( r r xa + yb − m r r ) Nếu xa + yb ≠ góc AM (ABC) góc m xa + yb , r r r xa + yb = AM ⊥ (ABC) ur Bài tốn Cho đường thẳng chéo nhau, d1 qua A1 có véc tơ phương a1 ; uu r đường thẳng d2 qua A2 có véc tơ phương a2 Tính khoảng cách góc hai đường thẳng Phương pháp giải: ur uu r a1.a2 + Góc hai đường thẳng : cosϕ = ur uur a1 a2 11 uuuu r ur ur uu r +Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó: P1 P2 = xa1 + m + ya2 uuuu r ur  P1 P2 a1 = uuuu r ur ur uu r Do  uuuur uur ⇒ x, y Khoảng cách cần tìm: P1 P2 = ( xa1 + m + ya2 )2  P1 P2 a2 = Ví dụ Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 a, điểm O O1 tương ứng trọng tâm dáy ABC A1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO1 đường thẳng B1O 5a Hãy tính đường cao lăng trụ Chọn hệ véc tơ sở A1 uuuur ur uuu r r uuur ur AA1 = m, AB = n, AC = p ur Giả sử h = m { } C1 O1 B1 Ta có: uuuu r uuuur uuur uuuu r ur r ur AO1 = AA1 + AB1 + AC1 = 3m + n + p 3 uuur uuur uuur ur r ur B1O = AO − AB1 = −3m − 2n + p uuuu r uuur AO1 = B1O = 9h + 3a Suy ra: uuuu r uuur 6h + a AO1.B1O = − ( 6h + a ) , cosϕ = ( 3h + a ) ( ) ( uuuu r Vì: AO1 cosϕ = ( ) ) A C O B 9h + 3a (6h + a ) 5a a = ⇒h= 2 6(3h + a ) 5a nên Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4.Điểm D nằm cạnh SC, CD=3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Tính thể tích hình chóp uur r uur r uuu r r SA = a , SB = b , SC =c Chọn hệ véc tơ sở { } Đặt ϕ góc phẳng đỉnh hình chóp N hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng BD uuur uuur uuur uuur uuur r r r AN = DN − DA = xDB − DA = − a + xb) + (1 − x )c Do AN ⊥ DB uuur uuur r r r r r ⇒ AN DB = ⇔ −a + xb + (1 − x)c (b − c) = ( ) ⇔ (17 x − 1) − 8( x + 1)cosϕ = (1) 12 S D C A N B uuur Mặt khác: AN = ⇔ AN = ⇔ 17 x − x + 13 − 8( x + 1) cos ϕ = (2) Từ (1) (2) ta x = Vì : cosϕ = 55 64 Ta tính độ dàiđường cao hình chóp SO Vì O trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uur uur uuu r r r r SO = SA + SB + SC = a + b + 4c 3 uuu r r r r 1 ⇒ SO = a + b + 4c = 48 + 96cosϕ = 58 3 uuur r r AB = b − a = uuur AB uuu r 174 Vậy: VS ABC = SO = 16 ( ) ( ( ) ) Ví dụ Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC cạnh , cạnh bên SC vng góc với đáy có độ dài M,N trung điểm BC, AB Hãy tìm số đo góc khoảng cách SM CN 13 Ta chọn hệ véc tơ sở S uuu r r uuu r r uuu r r { CA = a, CB = b, CS = c} +Ta tìm góc ϕ SM CN? Ta có: Khi đó: P uuur uuuu r uuu r r r SM = CM − CS = (b − 2c) uuur r r CN = (a + b) uuur uuur SM CN cosϕ = uuur uuur = ⇒ ϕ = 450 SM CN C A Q M N +Tính khoảng cách SM CN? B Gọi P thuộc SM Q thuộc CN Khi đó: uuur uuur uuur uuu r r r r PQ = xSM + yCN + SC =  ya + ( x + y ) b − ( x + ) c  Do PQ đoạn vng góc chung SM CN nên:  uuur uuur r x=−  uuur r r r uuur  PQ.SM = x + y = −   ⇔ ⇒ PQ = a − b − 2c ⇒ PQ =  uuur uuur r ⇔  6 x + y = y =  PQ.CN =  ( ) r r r ( a − b − 2c ) = 3 Ví dụ Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vuông góc vng góc với đáy, SA = Mặt phẳng ( α ) song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng ( β ) song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) uuu r r uuu r r uuur r Chon hệ véc tơ sở { AS = a, AB = b, AC = c} ur r A r C Giả sử m, n véc tơ khác , tương ứng vng góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) ,còn ϕ góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) ur r m.n Thế thì: cosϕ = ur r m.n ur r r r Đặt m = xa + yb + zc S B 14 r r r r r uur ur  y = −23  b − c xa + yb + zc = ur  SB.m = 6 x − y − z =  ⇔ ⇔ Ta có: m ⊥ ( α ) ⇔  uuur ur ⇔ r r r r  y + 2z = c ( xa + yb + zc ) =  x = − z  AC.m = ur Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ m ⊥ ( α ) khơng xác định ur r r r Chọn z = −1 ⇒ x = 1, y = nên m = a + 4b − 2c véc tơ vng ( )( ) góc với ( α ) uuu rr  r r r r  SC.n = o t = − u ⇔ Tương tự : n = ta + ub + vc ⊥ ( β ) ⇔  uuur r v = −2u  AB.n = r r r r Chọn : u = −2 ⇒ v = 4, t = ⇒ n = a − 2b + 4c ur r m.n Khi : cosϕ = ur r = m.n Bài tập vân dụng Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: 1.Giữa AB1 BC1 2.Giữa AB B1C Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc ϕ , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE Dạng Phần quan hệ vng góc Bài tốn Hai đường thẳng phân biệt AB CD vng góc với uuur uuur AB.CD = r r Bài tốn 10 Cho hai a, b khơng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không uuur r  AB.a = thuộc (P) Khi :AB ⊥ (P) ⇔  uuur r  AB.b = 15 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc BM CN = , = Chứng minh rằng: MA1 NB1 đường chéo BA1 CB1 cho: MN ⊥ BA1 , MN ⊥ CB1 uuu r r uuur r uuur r Chọn hệ véc tơ sở { BA = a, BB1 = b, BC = c} r r r rr rr C1 D1 rr Khi đó: a = b = c = a; a.b = c.b = a.c = A1 B1 Theo : N uuuu r uuur BM = ⇒ BM = BA1 = 3 MA1 uuur uuur CN = ⇒ CN = CB1 = 3 NB1 ( r r a+b ) M D r r ( b − c) A B uuur uuur uuur r r BN = BC + CN = 2b + c uuuu r uuur uuuu r r r r MN = BN − MN = −a + b + c uuuu r uuur r r r r r MN BA1 = −a + b + c a + b = ⇒ MN ⊥ BA1 uuuu r uuur r r r r r MN CB1 = − a + b + c b − c = ⇒ MN ⊥ CB1 ( Mặt khác: ) ( Do đó: C ) ( )( ) ( )( ) Ví dụ 10 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có mặt hình thoi nhau.Các góc phẳng góc tam diện đỉnh A Chứng minh rằng: A1C ⊥ ( AB1 D1 ) uuur r uuuur r uuuur r Chọn hệ véc tơ sở A1 A = a, A1B1 = b, A1 D1 = c { } · A B = ·AA B = ϕ Gọi m độ dài cạch hình hộp ta có: Theo giả thiết : ·AA1 D1 = D 1 1 16 uuur r r r uuur uuur r r r r r A1C = a + b + c ⇒ A1C AB1 = (a + b + c ) b − a = uuur uuur ⇒ A1C ⊥ AB1 (1) uuur uuuu r r r r r r A1C AD1 = (a + b + c ) c − a = uuur uuuu r ⇒ A1C ⊥ AD1 (2) ( ( ) D1 C1 O1 B1 A1 ) Từ (1) (2) suy A1C ⊥ ( AB1 D1 ) D C A B Bài tập vân dụng Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN ⊥ A’C Bài Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), SA=a , AC=2a, AB=a, ·ABC = 900 Gọi M N hai điếm cho: uuur uuur r 3MB + MS = uuu r uuur r NS + NC = Chứng minh: SC ⊥ (AMN) Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO ⊥ (ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: DC ⊥ (SOE)) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong trình dạy “Phương pháp véctơ” học sinh lớp 11B1, tác giả thấy học sinh hứng thú, tốn áp dụng phương pháp thơng thường gặp mà gặp khó khăn sử dụng “Phương pháp véctơ” chuyện trở nên dễ dàng Để kiểm nghiệm xác, tác giả cho đề kiểm tra 45 phút lớp 11B 11B4, lớp lớp 11B thực nghiệm đề tài này, lớp 11B4 lớp đối chứng Đề kiểm tra sau: Câu (5 điểm) Cho hình chóp S ABCD Gọi E giao điểm AB CD , F giao điểm AD BC Mặt phẳng ( α ) không qua S , song song với mặt phẳng ( SEF ) cắt cạnh SA , SB , SC , SD hình chóp M , N , P , Q Chứng minh SM SP SN SQ + = + SA SC SB SD 17 Câu (5 điểm) Cho hình chóp S ABCD   có đáy ABCD hình bình hành Gọi G uuu r uuu r uuu r uuur uuur r điểm thỏa mãn: GS + GA + GB + GC + GD = Một mặt phẳng qua AG cắt cạnh SB, SC , SD M , N , P Chứng minh rằng: BM CN DP + + = SM SN SP Sau chấm tác giả thu kết sau Điểm Lớp thực nghiệm (50 học sinh) Lớp đối chứng 0-2,5 3-4,5 5-6,5 7-8,5 9-10 0% 4% 10% 32% 54% 0% 0% 96,2% 3,8% 0% (52 học sinh) Các điểm – 10 có cách giải phổ biến sau: Câu uuur uur uuu r uuu r SM + SP = SN + SQ r SN uur SQ uuu r SM uur SP uuu ⇔ SA + SC = SB + SD SA SC SB SD u u r u u u r u u r r SM SP SN SQ uuu ⇔ SA = − SC + SB + SD SA SC SB SD uur SA  SP uuu r SN uur SQ uuu r ⇔ SA = − SC + SB + SD  ÷ SM  SC SB SD  Vì bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng nên Suy SA  SP SN SQ  + + − ÷= SM  SC SB SD  SP SN SQ SM ⇔− + + = SC SB SD SA ta có SM SP SN SQ + = + SA SC SB SD Câu Gọi O giao điểm hai đường chéo uuu r uur uur uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD = suy SO = SA + SB + SC + SD ⇔ ( uuu r uuu r uuu r uuur uuur AC BD Ta có: ) r Do GS + GA + GB + GC + GD = uuu r uuur r uuu r uuur uuu r uuu r uur uur uuu r uuu r SA + SB + SC + SD = 5 suy GS + 4GO = ⇔ SG = 4GO ⇔ SG = SO = ( ) r SD uur   uur SB uuur SC uuu =  SA + SM + SN + SP ÷ Vì A, G, M , N , P đồng phẳng nên ta có 5 SM SN SP  18 1+ SB SC SD SM + BM SN + CN SP + DP BM CN DP + + =5⇔ + + =4⇔ + + = SM SN SP SM SN SP SM SN SP Kết kiểm tra lớp thực nghiệm đối chứng cho thấy, lớp 11B1 đa số học sinh hiểu bài, vận dụng tốt “Phương pháp véctơ” vào việc giải tập; học sinh thấy hứng thú tính tự nhiên gần gũi đạt hiệu bất ngờ phương pháp Còn lớp 11B4, hoàn thành kiến thức véctơ gặp dạng toán nêu trên, học sinh phải giải Trao đổi “Phương pháp véctơ” với đồng nghiệp tác giả nhận phản hồi tích cực Mặc dù kết không áp dụng cho nhiều tốn, nhiên với hiệu mà mang lại tốn kích thích tính sáng tạo tư cho người học, gợi trí tò mò ham hiểu biết vào lĩnh vực khác tốn học Đó điều tác giả tâm đắc thực đề tài 19 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy rút số kết sau: - Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học vấn đề cần nghiên cứu đề tài cho học sinh cho lớp thực nghiệm - Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm - Giáo viên: Tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư học sinh, khắc phục tâm ngại, sợ tiếp cận nội dung mơn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học trở lên hấp dẫn người học thấy ý nghĩa môn học - Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri thức HS, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng - Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải tốn thơng qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em 3.2 Kiến nghị, đề xuất Xuất phát từ kiến thức chương trình học để xây dựng cách làm đạt hiệu cao phẩm chất mà người học tốn làm tốn cần phải có Thiết nghĩ, việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn thực thành công giáo viên biết hướng dẫn cho học sinh tìm tòi khai thác từ kiến thức cũ cách làm sáng tạo đạt hiệu cao 20 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Ngọc Phương 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập Hình học 11 (Cơ bản), NXB Giáo Dục Năm 2007 Ba thập kỷ đề thi toán vào trường đại học Việt Nam Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh 3.Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Nhà xuất Giáo dục Năm 1997 4.Tuyển tập đề thi thử THPT Quốc gia 2018 - 2019 Nguồn Internet 22 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Ngọc Phương Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên Tốn trường THPT Thạch Thành TT Tên đề tài SKKN phương tiện trực quan dạy học hình học khơng gian lớp 11” ‘Xây dựng tốn bất đẳng thức từ tính chất hàm số mũ hàm số logarit” Một số kinh nghiệm dạy “Khoảng cách” Hình (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại “Sử dụng phần mềm Geometer’s sketchpad làm Cấp đánh giá xếp loại học không gian Phép co mặt phẳng ứng dụng Cấp tỉnh (QĐ số 932/ QĐ-SGD ngày 11/9/2008) Cấp tỉnh (QĐ số 871/ QĐ-SGD ngày 18/12/2012) Cấp tỉnh (QĐ số 753/ QĐ-SGD ngày 03/11/2014) Cấp tỉnh (QĐ số 1112/ QĐ-SGD ngày 18/10/2017) C 2007- 2008 C 2011-2012 B 2013-2014 C 2016-2017 23 ... tài “HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ” Qua phát triển tư sáng tạo học sinh Các toán khai thác viết có lời giải khác tài liệu, qua thực tế dạy học sinh định hướng. .. biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán 2.3 Các giải pháp thực Quy trình chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp. .. năm mơn hình học: Thơng qua việc cho học sinh làm tập hình học khơng gian kết thu có 45% học sinh vẽ hình làm số ý đơn giản 2.2.3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh