Phương pháp 4 sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử

Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Giả sử chứng minh an  k Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó chia hết cho

Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH

NHÂN TỬ

Giả sử chứng minh an  k

Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số

mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số của k

Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n  35 Với  n  N

Giải: Ta có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M

= (33 + 23) (33 - 23)M

= 35.19M  35 Vậy 36n - 26n  35 Với  n  N

Ví dụ 2: CMR: Với  n là số tự nhiên chăn thì biểu thức

A = 20n + 16n - 3n - 1  232

Giải: Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chứng minh

A  17 và A  19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M  17M

16n - 1 = (16 + 1)M = 17N  17 (n chẵn)

 A  17 (1)

ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n)

có 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p  19

có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q  19 (n chẵn)

 A  19 (2)

Từ (1) và (2)  A  232

Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - 1  (n - 1)2 Với  n >1

Giải: Với n = 2  nn - n2 + n - 1 = 1

và (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1

 nn - n2 + n - 1 (n - 1)2

với n > 2 đặt A = nn - n2 + n - 1 ta có A = (nn - n2) + (n - 1)

= n2(nn-2 - 1) + (n - 1)

= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1)

= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1)

= (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)]

= (n - 1)2M  (n - 1)2

Vậy A  (n - 1)2 (ĐPCM)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: CMR: a 32n +1 + 22n +2  7

b mn(m4 - n4)  30

Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63  72 với n chẵn n  N, n  2

Bài 3: Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1) 

192

Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1  240

Bài 5: Cho 3 số nguyên dương a, b, c và thoả mãn a2 = b2 + c2 CMR: abc 

60

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài 1: a 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n

= 3.9n + 4.2n

= 3(7 + 2)n + 4.2n

= 7M + 7.2n  7

b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1)  30

Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = 1 và n = 2k (k  N)

có 3n + 63 = 32k + 63

= (32k - 1) + 64  A(n)  8

Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k  N)

Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1)  64 và 3

Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3  a2, b2 và c2 chia hết cho 3 đều

dư 1  a2  b2 + c2 Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 Vậy M  3

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5  a2, b2 và c2 chia 5 dư 1 hoặc 4

 b2 + c2 chia 5 thì dư 2; 0 hoặc 3

 a2  b2 + c2 Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 Vậy M  5

Nếu a, b, c là các số lẻ  b2 và c2 chia hết cho 4 dư 1

 b2 + c2  (mod 4)  a2  b2 + c2

Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn

Giả sử b là số chẵn

Nếu C là số chẵn  M  4

Nếu C là số lẻ mà a2 = b2 + c2  a là số lẻ

 b2 = (a - c) (a + b)  









 











 















2 2

2

c a c a b



2

b

chẵn  b  4  m  4

Vậy M = abc  3.4.5 = 60