Sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ phân tích thành nhân tử việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Đào Văn Chánh T Trường THPT Trần Quốc Tuấn, Hòa Định Đông, Phú Hòa, Phú Yên rong Đề thi Đại học Cao đẳng môn Toán từ 2014 trở trước, Đề thi TNTHPT (Từ 2015 đến nay), có câu giải phương trình, hệ phương trình Đại số, (thường đánh số hay 8), câu tương đối khó đa số học sinh Để giải câu này, việc phân tích thành nhân tử vế phương trình (vế lại zero) cách nghĩ tới, trước quan tâm tới cách khác Vấn đề khó để biết nhân tử Nếu biết “hên xui” Bài viết này nhằm giúp học sinh dùng Máy tính cầm tay (MTCT) (Loại mà Bộ giáo dục cho phép vào phòng thi, gần học sinh có) để hổ trợ việc phân tích thành nhân tử (ở giải cách phân tích thành nhân tử) cách chắn nhanh gọn, mò mẫm thời gian sức lực Sau dự đoán nhân tử, việc tìm nhân tử lại có nhiều đường, dễ lẫn không dễ, mà tạm phân loại trình bày sau đây: I Phân tích thành nhân tử đa thức biến bậc bốn Ví dụ 1: Ví dụ phân tích thành nhân tử biểu thức (2 x − x − 3) − + x Nhập trực tiếp phương trình vào MTCT lệnh giải với nghiệm ban đầu x0 ∈ { −2, 0, 2} ta nghiệm x1 ≈ −1.322875656, x2 ≈ −0.6180 , x3 ≈ 1.618033 Rồi lưu nghiệm vào ô nhớ A,B,C(Chỉ có MTCT plus có tính này) Muốn lưu nghiệm x1 vào ô nhớ A chẳng hạn sau MTCT tìm x1 , ta bấm phím < = (Để lưu vào nhớ tạm X) phím: ALPHA X SHIFT RCL ( −) (Máy X → A ) Sau nhập vào MTCT: AB:AC:BC bấm dấu “=” nhiều lần để kiểm tra tích “chẵn” Ở ta có BC = −1 , kiểm tra tiếp B + C = Vậy B, C nghiệm phương trình x − x − = ⇒ dự đoán nhân tử x − x − Để tìm nhân tử lại ta nhập vào (2 x − x − 3)2 − + x MTCT: Dễ thấy số hạng x2 − x − có bậc cao thương 4x nên ta sửa vào (2 x − x − 3)2 − + x − x lệnh tính MTCT: x − x −1 với x = 1000 ta kết là −7 = 0.x − Kết : (2 x − x − 3) − + x = (4 x − 7)( x − x − 1) Ví dụ 2: Giải x + x + = (8 x − 3) x + ( 3x + x + 3) (8 x − 3) ≥ PT ⇔ 2 2 ( 3x + x + 3) = (8 x − 3) (2 x + 1) Ta cố gắng phân tích thành nhân tử ( 3x + x + 3) − (8 x − 3) (2 x + 1) cách nhập vào MTCT lệnh giải với nghiệm ban đầu x0 ∈ { −2, 2} ta nghiệm : x1 = 0; x2 = 0.85714 Nghiệm x2 nhớ vào B trở thành x2 = Vậy có thừa số x − x Tìm thừa số lại cách nhập vào MTCT biểu thức ( 3x + x + 3) − (8 x − 3) (2 x + 1) Ta x2 − x dễ thấy số hạng có bậc cao thương −17x nên ta sửa vào MTCT: ( 3x + x + 3) − (8 x − 3) (2 x + 1) + 17 x x2 − x lệnh tính với x = 1000 ta kết là −9 = 0.x − Vậy ( 3x + x + 3) − (8 x − 3)2 (2 x + 1) = (7 x − x)(17 x + 9) Việc giải khó, dành cho bạn Nhược điểm : Không thể áp dụng phương trình vô nghiệm có máy PLUS có chức nhớ nghiệm, đặc biệt nghiệm “lẻ” ! II Phân tích thành nhân tử đa thức bậc hai hai biến ax + by + cxy + dx + ey + f Ta xem tam thức bậc hai x (hoặc y) Ta tìm x (hoặc y) theo biến lại Nguyên tắc áp dụng không dễ, phải đối mặt với phép tính tay cồng kềnh, dễ sai sót Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử biểu thức g ( x, y ) = xy ( x − y ) + y ( x + 1) − x − Ta làm trên, ta có 1 x = 1999 = y − 1; x = = Vậy đoán 2000 y g ( x) = ( xy − 1) ( −2 y + x + 1) Việc kiểm tra điều dự đoán (thường đúng) bên khó khăn ! III Phân tích thành nhân tử biểu thức lượng giác Ví dụ 5: Giải: 8sin x − 9sin x + 5cos x = π nên đoán nhân tử sin x = cos x, tan x = 1, 2sin x = 2, Nếu theo hướng nhân tử sin x = cos x , ta phân tích phương trình tương đương: (sin x − cos x)(2sin x − 4cos x − 1) = Giải : Dùng MTCT giải nghiệm x = Giải dành cho bạn đọc Ta làm thế, không biến đổi mà lệnh cho MTCT giải Do máy giải với hệ số số ta gán biến cho 1000 chẳng hạn, giải biến lại theo 1000 Ví dụ ta gán 1000 cho biến y giải x = 1001 chẳng hạn ta đoán x = y + ta có thừa số ( x − y − 1) Nếu theo hướng nhân tử tan x = , ta có 8sin x − 9sin x + 5cos x = 8sin x tan x − tan x + = (do cos x = không thỏa) Đặt t = tan x , PT ⇔ 8t 1 − ÷− 9t + = ⇔ t − 5t + 9t − = 1+ t2 ⇔ (t − 1)(t − 4t + 5) = ⇔ t = Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử biểu thức f ( x, y ) = x + y − 3xy + 3x − y + (Đề ĐH khối B 2013) Ví dụ 6: (Đề AA1-2014): Giải : sin x + 4cos x = + sin x Giải: Ta xem f ( x, y ) tam thức bậc hai 2 x: f ( x, y ) = x + ( −3 y + 3) x + y − y + Gán y = 1000 Giải phương trình bậc hai tìm x ta 999 y − = có x = 999 = y − 1, x = 2 Vậy đoán f ( x, y ) = ( x − y + 1) ( x − y + 1) π nên đoán nhân tử cos x − 1,sin x − cos x, ta kết PT ⇔ (sin x − 2)(2cos x − 1) = Giải: Dùng MTCT nhẩm nghiệm x = IV Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Ví dụ 7: Giải phương trình x + x + − (8 x − 3) x + = (1) Đặt t = x + ⇒ t = x + Bây ta giải t theo x PT (1) trở thành mt − (8 x − 3)t + 3x + x + − m(2 x + 1) = (1’) Vấn đề quan trọng tìm m ∈ [ −3; −2; −1;1; 2;3] để giải t theo x “chẵn” (Còn “lẻ” coi “bằng không” !) Sử dụng MTCT : Với m ∈ [ −3; −2; −1;1; 2;3] , ta giải phương trình bậc hai Ax + Bx + C = với ba hệ số: A = m; B = x − 3; C = 3x + x + − m(2 x + 1) Để giải tự động, ta nhập vào máy sau: M = M + 1: C = 3x + x + − m(2 x + 1) −(8 x − 3) − (8 x − 3) − 4MC 2M (không nhập nghiệm thứ hai : Đặt t = x3 + Phương trình viết lại mt − (7 x − 2)t + x3 + x − 3x + − m( x + 1) = Sử dụng MTCT : Với m ∈ [ −3; −2; −1;1; 2;3] , ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số: A = m; (gan x = 1000), B = x − 2, C = x + x − x + − m( x3 + 1) Để giải tự động, ta nhập vào máy: M = M + 1: C = x3 + x − 3x + − m( x + 1) −(7 x − 2) − (7 x − 2) − MC 2M Ta tìm m = nghiệm “chẵn” 3000 3x = t1 = 1500 = t2 = 1999 = x − 2 (cũng dễ tìm t2 sau biết t1 = 1500 ) : Vậy ta có dự đoán: ( (2) ⇔ x + − 3x )( ) x3 + − x + = −(8 x − 3) + (8 x − 3) − 4MC MTCT 2M không đủ nhớ) Ví dụ 9: Giải hệ (1 − y ) x + y = x + y + xy (1) y + + x2 + y2 = y − x (2) Bấm phím CALC , cho m = −5 (tùy) Đặt t = x + y , ta có x = 1000 bấm dấu “=” nhiều lần Nếu với m (1) ⇔ − mt + ( y − 1)t + x + y + xy + m( x + y ) = gặp thông báo “Math ERROR” bấm phím < > (để “go to” vượt qua) lại Sử dụng MTCT : Với m ∈ [ −3; −2; −1;1; 2;3] , ta giải phương bấm phím CALC để tính toán với m “Tiếp trình bậc hai với ba hệ số: A = −m, B = y − 1, C = x + y + 3xy + m( x + y ) t2 = theo” Ta thấy có A = m = phương 1000 x = − trình có hai nghiệm “đẹp” t1 = − 3 t2 = 2999 = x − (cũng dễ tìm t2 sau 1000 biết t1 = − ) Vậy ta có dự đoán: x + x + − (8 x − 3) x + = ( x ⇔ x2 + + ÷ 3 ) x2 + − 3x + = Ví dụ 8: Giải (7 x − 2) x + = x + x − 3x + (2) Ta tìm m = nghiệm “chẵn” t = −1101 = − x − y − t = 1200 = x + y Vậy ta có dự đoán : (1) ⇔ ( )( x2 + y + x + y + ) x2 + y − x − y = Kiểm tra dự đoán dễ dàng (và thường đúng) Việc giải dành cho bạn đọc V Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa cách nhân liên hiệp Ví dụ 10: Giải x − − x + = x − 11 Vậy ta dự đoán (a) có nhân tử ( y − 1)( x − y − 1) 11 ĐK: x ≥ , x ≠ 2x − PT ⇔ = x − 11 3x − + x + ⇔5 ( (a ) ⇔ (1 − y ) ⇔ ) 3x − + x + = x − 40 x + 99 Dùng MTCT giải phương trình cuối có nghiệm x = 3, x = ⇒ ( x − 3)( x − 8) = ⇒ x − 11x + 24 = Vậy dự đoán nhân tử x − 11x + 24 Trước hết ta tìm a, b ∈ ¡ cho 3x − + ax + b = có nghiệm x ∈ { 3;8} , có 5 + 3a + b = a = −3 ⇔ nghĩa 20 + 8a + b = b = Tương tự cho x + + cx + d = có nghiệm 10 + 3c + d = a = −1 x ∈ { 3;8} ⇔ ⇔ 15 + 8c + d = b = −7 Ta viết phương trình lại : (5 = ( x − 11x + 24 ) ⇔ ) ( 3x − − 3x + + x + − x − −9( x − 11x + 24) 3x − + x − = ( x − 11x + 24 ) + ) −( x − 11x + 24) x +1 + x + x − 11x + 24 = ⇔ −9 −1 + = 4(4') 3x − + x − x + + x + Dễ thấy phương trình (4’) vô nghiệm điều kiện x ≥ ⇒ x − > 0, x + > Ví dụ 11: Giải (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y (a) 2 y − 3x + y + = x − y − x − y − (b) (ĐH khối B năm 2014) x ≥ y ≥ Giải: ĐK: x ≥ y Ta phân tích thành nhân 4 x ≥ y + tử (a) Cho x=1000 Cho máy giải phương trình tìm y hai nghiệm y = 1, y = 999 = x − Do ( ) x − y − = ( x − y − 1) (1 − y )( x − y − 1) x − y +1 x − y +1 = = ( ( x − y − 1)( y − 1) −1 y +1 y +1 ) y −1 y =1 ⇔ y = x −1 vô nghiệm Nếu y = đơn giản Bạn đọc tự giải Nếu y = x − ĐK trở thành x ∈ [ 1; 2] (b) trở thành x − x − = − x 2 x − x − ≥ ⇔ (2 x − x − 3) = − x 2 x − x − ≥ ⇔ 2 (4 x − 7)( x − x − 1) = (Xem ví dụ Phân tích thành nhân tử đa thức biến bậc bốn) Để kết thúc viết, xem rèn luyện, mời bạn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau: 1) x + + 22 − 3x = x + (THTT ) 2) x2 + x + + x2 − ≤ x+4 x +1 2 x − y + (2 x + 1)( y + 1) = 3) 3 y + = 8x − y − 2 − x y + 3xy + x − 3xy − y + = 4) x+ y = x− y 5) ( x + 3) (4 − x)(12 + x) − 28 + x = 6) x − x3 − x − 14 x − 12 = 7) x + = 3x − x ( x + y − 4) x − y − xy + y = 8) x + y2 + x − y2 = y 9) (4 x + 7) x + = x + x − MTCT không hổ trợ có nhiêu vấn đề viết, bạn đọc tìm thấy nhiều hổ trợ khác MTCT giải toán