Bài viết này này nhằm giúp học sinh dùng Máy tính cầm tay MTCT Loại mà Bộ giáo dục cho phép vào phòng thi, gần như học sinh nào cũng có để hổ trợ việc phân tích thành nhân tử ở những bài[r]
(1)Sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ phân tích thành nhân tử việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Đào Văn Chánh Trường THPT Trần Quốc Tuấn, Hòa Định Đông, Phú Hòa, Phú Yên Trong Đề thi Đại học và Cao đẳng môn Toán từ 2014 trở trước, Đề thi TNTHPT (Từ 2015 đến nay), có câu giải phương trình, hệ phương trình Đại số, (thường đánh số hay 8), là câu tương đối khó đa số học sinh Để giải câu này, việc phân tích thành nhân tử vế phương trình (vế còn lại là zero) là cách đầu tiên nghĩ tới, trước quan tâm tới các cách khác Vấn đề là khó để biết nhân tử là gì Nếu biết thì “hên xui” Bài viết này này nhằm giúp học sinh dùng Máy tính cầm tay (MTCT) (Loại mà Bộ giáo dục cho phép vào phòng thi, gần học sinh nào có) để hổ trợ việc phân tích thành nhân tử (ở bài giải cách phân tích thành nhân tử) cách chắn và nhanh gọn, không phải mò mẫm thời gian và sức lực Sau đã dự đoán nhân tử, việc tìm nhân tử còn lại có nhiều đường, dễ lẫn không dễ, mà tôi tạm phân loại và trình bày sau đây: I Phân tích thành nhân tử đa thức biến bậc bốn 2 Ví dụ 1: Ví dụ phân tích thành nhân tử biểu thức (2 x x 3) x x 2, 0, 2 Nhập trực tiếp phương trình vào MTCT và lệnh giải với nghiệm ban đầu là ta x 1.322875656, x 0.6180 , x 1.618033 nghiệm Rồi lưu các nghiệm đó vào các ô nhớ A,B,C(Chỉ có các MTCT plus có tính này) Muốn lưu nghiệm x1 vào ô nhớ A chẳng hạn thì sau MTCT tìm x1 , ta bấm các phím (Để lưu vào nhớ tạm X) các phím: ALPHA X SHIFT RCL ( ) (Máy X A ) Sau đó nhập vào MTCT: AB:AC:BC bấm dấu “=” nhiều lần để kiểm tra tích nào “chẵn” Ở đây ta có BC , kiểm tra tiếp B C 1 Vậy B, C là 2 nghiệm phương trình x x 0 dự đoán nhân tử là x x Để tìm nhân tử còn lại ta nhập (2 x x 3)2 x x2 x vào MTCT: Dễ thấy số hạng có bậc cao thương là 4x nên ta sửa vào (2 x x 3)2 x 4x2 x x MTCT: và lệnh tính với x 1000 ta kết là là 0.x Kết 2 2 : (2 x x 3) x (4 x 7)( x x 1) 3x x 3 (8 x 3) 0 PT 2 3x x 3 (8 x 3)2 (2 x 1) Ví dụ 2: Giải 3x x (8 x 3) x (2) 3x Ta cố gắng phân tích thành nhân tử 2 x 3 (8 x 3)2 (2 x 1) x0 2, 2 cách nhập vào ta nghiệm : x1 0; x2 0.85714 MTCT và lệnh giải với nghiệm ban đầu là x2 x Nghiệm nhớ vào B trở thành Vậy nó có thừa số là x x Tìm thừa số còn lại 3x 2 x 3 (8 x 3) (2 x 1) cách nhập vào MTCT biểu thức x2 x 3x x 3 (8 x 3)2 (2 x 1) thương là 17x nên ta sửa vào MTCT: với x 1000 ta kết là là 0.x Vậy 3x Ta dễ thấy số hạng có bậc cao x2 6x 17 x và lệnh tính x 3 (8 x 3)2 (2 x2 1) (7 x x)(17 x 9) Việc giải không có gì khó, dành cho bạn Nhược điểm : Không thể áp dụng phương trình vô nghiệm và có các máy PLUS có chức nhớ các nghiệm, đặc biệt là các nghiệm “lẻ” ! II 2 Phân tích thành nhân tử đa thức bậc hai hai biến ax by cxy dx ey f Ta xem nó tam thức bậc hai x (hoặc y) Ta tìm x (hoặc y) theo biến còn lại Nguyên tắc là áp dụng không dễ, phải đối mặt với các phép tính tay cồng kềnh, dễ sai sót Ta làm thế, không biến đổi gì mà lệnh cho MTCT giải Do máy giải với hệ số là các số cho nên ta gán biến cho 1000 chẳng hạn, và giải biến còn lại theo 1000 này Ví dụ ta gán 1000 cho biến y và giải x 1001 chẳng hạn thì ta đoán x y và ta có thừa số là ( x y 1) 2 Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử biểu thức f ( x, y ) 2 x y 3xy 3x y (Đề ĐH khối B 2013) f ( x, y ) 2 x y 3 x y y Giải: Ta xem f ( x, y ) là tam thức bậc hai x: Gán 999 y x 999 y 1, x y 1000 Giải phương trình bậc hai tìm x ta có 2 Vậy đoán f ( x, y ) ( x y 1) x y 1 Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử biểu thức g ( x, y ) 2 xy ( x y ) y ( x 1) x Ta làm 1 x 1999 2 y 1; x 2000 y Vậy đoán g ( x ) xy 1 y x 1 trên, ta có Việc kiểm tra các điều dự đoán (thường đúng) bên trên không có gì khó khăn ! (3) III Phân tích thành nhân tử biểu thức lượng giác Ví dụ 5: Giải: 8sin x 9sin x 5cos x 0 nên đoán nhân tử có thể là sin x cos x, tan x 1, Giải : Dùng MTCT giải nghiệm 2sin x 2, Nếu theo hướng nhân tử là sin x cos x , ta phân tích phương trình tương đương: x (sin x cos x)(2sin x 4cos x 1) 0 Giải dành cho bạn đọc Nếu theo hướng nhân tử là tan x 1 , ta có 8sin x 9sin x 5cos x 8sin x tan x tan x 0 (do cos x 0 không thỏa) Đặt t tan x , PT 8t 9t 0 t 5t 9t 0 t (t 1)(t 4t 5) 0 t 1 Ví dụ 6: (Đề AA1-2014): Giải : sin x 4cos x 2 sin x nên đoán nhân tử là cos x 1,sin x Giải: Dùng MTCT nhẩm nghiệm được kết là PT (sin x 2)(2cos x 1) 0 x cos x, và ta IV Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn: 2 Ví dụ 7: Giải phương trình 3x x (8 x 3) x 0 (1) 2 Đặt t x t 2 x Bây ta giải t theo x PT (1) trở thành mt (8 x 3)t x x m(2 x 1) 0 (1’) Vấn đề quan trọng đây là tìm m 3; 2; 1;1; 2;3 để giải t theo x “chẵn” (Còn “lẻ” thì coi “bằng không” !) Sử dụng MTCT : m 3; 2; 1;1; 2;3 Với , ta giải phương trình bậc hai Ax Bx C 0 với ba hệ số: A m; B 8 x 3; C 3x x m(2 x 1) Để giải tự động, ta nhập vào máy sau: M M 1: C 3x x m(2 x 1) : (8 x 3) (không nhập nghiệm thứ hai t2 (8 x 3)2 MC 2M (8 x 3) (8 x 3) 4MC 2M vì MTCT không đủ nhớ) (4) Bấm phím CALC , cho m (tùy) và x 1000 bấm dấu “=” nhiều lần Nếu với m nào đó gặp thông báo “Math ERROR” thì bấm phím (để “go to” vượt qua) lại bấm phím CALC để tính toán với m “Tiếp theo” Ta thấy có A m 3 thì phương trình có hai nghiệm 1000 x 1000 t1 t1 t 2999 x t 3 và ) “đẹp” là (cũng dễ tìm sau đã biết 3x x (8 x 3) x 0 x x2 Vậy ta có dự đoán: x 3x 0 3 Ví dụ 8: Giải (7 x 2) x 2 x x 3x (2) 3 Đặt t x Phương trình viết lại mt (7 x 2)t x x x m( x 1) 0 Sử dụng MTCT : m 3; 2; 1;1; 2;3 Với , ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số: A m; (gan x 1000), B 7 x 2, C 2 x x 3x m( x 1) Để giải tự động, ta nhập vào máy: M M 1: C 2 x3 x 3x m( x 1) : (7 x 2)2 4MC 2M (7 x 2) Ta tìm m 2 thì nghiệm “chẵn” là (cũng dễ tìm t2 sau đã biết t1 1500 ) (2) x 3x t1 1500 3000 3x 2 và t2 1999 2 x x3 x 0 Vậy ta có dự đoán: (1 y ) x y x y 3xy (1) (2) y x y 2 y x Ví dụ 9: Giải hệ (1) mt ( y 1)t x y 3xy m( x y ) 0 , ta có Sử dụng MTCT : m 3; 2; 1;1; 2;3 Với , ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số: A m, B y 1, C x y 3xy m( x y ) Ta tìm m 1 thì nghiệm “chẵn” là t 1101 x y và t 1200 x y Đặt t x2 y (1) x y x y x y x y 0 Vậy ta có dự đoán : Kiểm tra dự đoán thì khá dễ dàng (và thường là đúng) Việc giải dành cho bạn đọc V Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa cách nhân liên hiệp 3x x x 11 Ví dụ 10: Giải (5) 11 PT x ,x ĐK: 2x 3x x x 11 3x x 4 x 40 x 99 Dùng MTCT giải phương trình cuối thì nó có nghiệm là x 3, x 8 ( x 3)( x 8) 0 x 11x 24 0 Vậy dự đoán nhân tử là x 11x 24 Trước hết ta tìm a, b cho 5 3a b 0 a b 4 3x ax b 0 có nghiệm là x 3;8 , có nghĩa là 20 8a b 0 10 3c d 0 a x 3;8 15 8c d 0 b Tương tự cho x cx d 0 có nghiệm là 5 3x 3x x x 4 x 11x 24 Ta viết phương trình lại : 9( x 11x 24) ( x 11x 24) 3x 3x x x 4 x 11x 24 x 11x 24 0 9 1 4(4') 3x 3x x x x 3x 0, x Dễ thấy phương trình (4’) vô nghiệm vì điều kiện (1 y ) x y x 2 ( x y 1) y (a) y x y 2 x y x y (b) Ví dụ 11: Giải (ĐH khối B năm 2014) x y x 2 y x 5 y Giải: ĐK: Ta phân tích thành nhân tử (a) Cho x=1000 Cho máy giải phương trình tìm y 1, y 999 x Vậy ta dự đoán (a) có nhân tử là ( y 1)( x y 1) y hai nghiệm là (a) (1 y ) x y ( x y 1) (1 y )( x y 1) x y 1 ( x y 1)( y 1) y 1 y1 y 1 y x Do x y 1 1 y 1 vô nghiệm y Nếu thì đơn giản Bạn đọc tự giải x 1; 2 Nếu y x thì ĐK trở thành và (b) trở thành x x x 2 x x 0 2 x x 0 2 (2 x x 3) 2 x (4 x 7)( x x 1) 0 (Xem ví dụ Phân tích thành nhân tử đa thức biến bậc bốn) Để kết thúc bài viết, xem rèn luyện, mời các bạn giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau: (6) 1) x 22 3x x (THTT ) 2) x2 x x2 x4 x 1 3) 2 x y (2 x 1)( y 1) 1 3 y 8 x y 4) 3x y 3xy x 3xy y 0 x y x y 5) 6) 7) 8) ( x 3) (4 x)(12 x) 28 x 0 2 x x x 14 x 12 0 x 3x x ( x y 4) x y xy y 0 x y x y 2 y 2 9) (4 x 7) x x x MTCT không hổ trợ có nhiêu vấn đề bài viết, bạn đọc có thể tìm thấy nhiều hổ trợ khác MTCT giải toán (7)