Đang tải... (xem toàn văn)
Để phân tích đa thức thành nhân tử có 4 phương pháp cơ bản đó là: Đặt nhân tủ chung, nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp sgk – Toán 8 tập 1 nhưng nếu chỉ [r]
(1)Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU I 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI I.1.1 Cơ sở lí luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành và phát triển thời kỳ đổi nước ta đã và đặt giáo dục và đào tạo trước thời cơ, thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường là nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu đó Việc học toán không phải là học SGK, không làm bài tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút điều gì bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là dạng toán quan trọng môn đại số đáp ứng yêu cầu này, là tảng, làm sở để học sinh học tiếp các chương sau này, là học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên, vì lý sư phạm và khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử Vấn đề đặt là làm nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ giải toán, kĩ vận dụng bài toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn I.1.2 Cơ sở thực tiễn Năm học 2007- 2008 và năm học 2008 - 2009 tôi nhà trường phân công giảng dạy môn toán 8,9 qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự các giáo viên và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thứ, (2) tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ vì để giải các dạng toán đó thì cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Trong thực tế giảng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là công việc quan trọng và không thể thiếu Để làm điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh số kiến thức các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có phương pháp đó là: Đặt nhân tủ chung, nhóm các hạng tử, dùng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp (sgk – Toán tập 1) với các phương pháp trên thì học sinh có thể gặp khó khăn quá trình giải toán( có bài chưa thể giải không có phương pháp tổng quát để giải) Vì dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa như: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng hạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng Đặc biệt là học sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp gặp các dạng toán khó; Hiểu điều này, kinh nghiệm dạy và học toán Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng nó giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú với môn toán nói chung và các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng I.2 Mục đích đề tài - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng toán này - Học sinh có khả phân tích thành thạo đa thức thành nhân tử - Phát huy khả suy luận, phán đoán và tính linh hoạt học sinh - Thấy vai trò việc phân tích đa thức thành nhân tử giải toán từ đó giáo dục ý thức học tập học sinh I.3 Thời gian - địa điểm I.3.1 Thời gian Đề tài nghiên cứu từ tháng năm 2008 tới tháng năm 2009 I.3.2 Địa điểm Trường PTCS Đại Thành Tiên Yên – Quảng Ninh I.3.3 Phạm vi đề tài I.3.3.1 Giới hạn đối tượng nghiên cứu “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” I.3.3.2 Giới hạn địa bàn Trường PTCS Đại Thành Tiên Yên – Quảng Ninh (3) I.3.3.3 Giới hạn khách thể: Học sinh lớp I.4 Phương pháp nghiên cứu I.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học Toán, các tài liệu có liên quan đến đề tài - Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Cụ thể là các tài liệu thiết thực học sinh phổ thông sở như: + Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, + Sách giáo viên 7, 8, + Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh I.4.2 Phương pháp chuyên gia Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài I.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu đề tài I.5 Đóng góp mặt lí luận và thực tiễn - Về mặt lý luận: Rèn luyện khả tư sáng tạo, kỹ phân tích tổng hợp, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì cho học sinh Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy lực sáng tạo gặp các dạng toán khó - Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phát và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với bài toán cụ thể các dạng khác PHẦN II NỘI DUNG Chương I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (4) II.1.1 Lịch sử nghiên cứu Trong qúa trình giảng dạy môn Toán trường THCS đây là nội dung nhiều giáo viên nghiên cứu mức độ khác và họ đã thu kết định Song việc thực kết nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố Bản thân tôi không có tham vọng sâu và nghiên cứu tất các phương pháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp học sinh THCS II.1.2 Cơ sở lý luận Trong việc dạy và học môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi kiến thức mới, và không với các phương pháp bản, thông thường mà còn phải hình thành lên số phương pháp khó hơn, phải có thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy lực sáng tạo gặp các dạng Toán khó Đây là thuận lợi cho giáo viên và học sinh đổi cách dạy và học Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” II.2.1 Thực trạng (5) Năm học 2007-2008 và 2008 - 2009 Tôi nhà trường phân công giảng dạy môn toán 8,9, qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự đồng nghiệp tôi nhận thấy Khi gặp các dạng bài tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích các em gặp nhiều lùng túng -Ví dụ 1: (trong tiết 25: Luyện Tập (Toán tập 1)) Khi giáo viên đưa bài tập Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: x − xy − x + y x + xy − x − y Nhiều học sinh thể lúng túng gặp ví dụ trên, có ít học sinh dơ tay phát biểu, có vài học sinh khá, giỏi GV: đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm nào? HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử Sau gợi ý, nhiều học sinh đã đưa lời giải nhiên bên cạnh đó còn tồn nhiều lời giải sau: x − xy − x + y = x + xy − x − y x (x − y −1)+ y x (x + y −1)− y (lời giải sai- phân thức chưa rút gọn) Nguyên nhân: học sinh thiếu kỹ phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử) Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số )giáo viên đưa bài tập Giải các phương trình sau cách phân tích vế trái thành nhân tử a x(2x - 7) – 4x + 14 = b x2 – 5x + = hay bài tập sau Tìm ĐKXĐ phương trình: Học sinh gặp x −4 x+3 nhiều lúng túng và chưa tìm cách giải Vì để giải các bài toán trên học sinh cần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo Nhưng việc giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử thông thường thì đa số các em đã gặp nhiều khó khăn Do các em có thể quên kiến thức chưa biết vận dụng kiến thức cách hợp lý Các em biết vân dụng phương pháp riêng lẻ vào giải các bài toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải các bài toán khó với yêu cầu cao - Ví dụ: (trong tiết 11: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử) giáo viên đưa bài tập: - Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Đa số học sinh thực đư ợc, đưa bài tập sau: phân tích đa thức x – y2 + 4x – thành nhân tử, nhiều học sinh đưa lời giải sau: (6) x2 – y2 + 4x – = (x2 – y2)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) đây là lời giải sai, hay bài toán sau: phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử nhiều học sinh đưa lời giải sau: x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y) = x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích được- đây là lời giải sai) Khi đứng trước bài toán phân tích đa thức thành nhân tử các em chưa có khả nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải nào, áp dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp và quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sót lời giải cách trình bày Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)2 – (x + 3)2 Nhiều học sinh đưa lời giải sau (2x - 1)2 – (x + 3)2 = 4x2 – 4x – – x2 – 6x – = 3x2 – 10x – 10 (đây là lời giải sai) Học sinh đã biết áp dụng đẳng thức vào phân tích đa thức chưa đúng phương pháp: lời giải đúng (2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = (2x – – x - 3)(2x – + x + 3) = (x - 4)(3x + 2) - Phân tích đa thức x – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Một số học sinh đưa lới giải sau x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết sai) - Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Một số học sinh đưa lới giải sau (Lời giải sai): 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y = 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết sai vì bỏ sót số 1) Trong chương trình sgk Toán giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm các hạng tử với các phương pháp trên có bài tập học sinh gặp khó khăn trình giải Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán tập 1) Bài 52a phân tích đa thức x2 – 3x + thành nhân tử Với đa thức này ta không thể áp dụng các phương pháp đã học để phân tích SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x tách = - + 6, từ đó đa (7) thức dễ dàng phân tích tiếp Vậy với các đa thức khác, có dạng tương tự ta làm nào? Vấn đề đặt đây là cách tách trên là ngẫu nhiên hay có phương pháp dựa trên quy luật nào, vấn đề này chương trình sách giáo khoa chưa đề cập đến và chưa đưa phương pháp giải tổng quát, thực tế quá trình giải toán, học sinh lại gặp nhiều bài tập dạng này (như đã đề cập ví dụ trên) Qua khảo sát thực trạng học sinh trường PTCS Đại Thành môn Toán tôi đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau số tiết dạy “các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Câu 1: Em có thích học môn Toán không? Chỉ có số học sinh trả lời là có, vì học Toán bổ ích và thú vị Bên cạch đó còn nhiều học sinh trả lời không thích học Toán vì học Toán khó Câu 2: Em có thích chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử không” ? Với câu hỏi này đa số học sinh trả lời là có Vì chuyên đề này thú vị có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tiễn Ví dụ: Tính nhanh a 37,5.6.5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6) = 375 – 75 = 300 b 452 + 402 – 152 + 80.45 = (45 + 40 )2 – 152 = 852 – 152 = (85+ 15)(85 - 15)= 100.70 = 7000 Như qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu dự các đồng nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đã đánh giá và rút số thực trạng trên việc dạy và học giáo viên và học sinh trường PTCS Đại Thành II.2.2 Đánh giá thực trạng Từ thực trạng tôi vừa nêu trên chứng tỏ năm qua kết học tập môn Toán học sinh trường PTCS Đại Thành là chưa tốt, có số học sinh giỏi, khá so với mức độ học sinh các trường vùng cao Vậy lại có kết trên, theo tôi chủ yếu các nguyên nhân sau * Nguyên nhân khách quan: - Trường PTCS Đại Thành là trường vùng cao - 100% học sinh là em dân tộc khả nhận thức còn nhiều hạn chế - Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm đúng mức đến việc học tập em mình theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập nhà * Nguyên nhân chủ quan (8) Môn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt môn toán đòi hỏi học sinh phải có tư nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện Tồn nhiều học sinh yếu tính toán, thiếu kĩ quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn kiến thức các lớp dưới, là chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt Giáo viên chưa hình thành cho học sinh hệ thống các phương pháp II.2.3 Nội dung vấn đề II.2.3.1 Những giải pháp đề tài Đề tài đưa các giải pháp sau: - Sắp xếp bài toán theo các mức độ, dạng toán - Xây dựng các phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) - Chữa các sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kĩ thực hành - Tìm tòi cách giải hay, khai thác bài toán - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giới thiệu phương pháp) (9) + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm và bớt cùng hạng tử + Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến) + Phương pháp tìm nghiện đa thức + Phương pháp hệ số bất định + Phương pháp xét giá trị riêng Tuy nhiên khuôn khổ giới hạn đề tài và phụ thuộc vào trình độ nhận thức học sinh Tôi không có tham vọng sâu nghiên cứu tất các phương pháp, mà tập chung vào các phương pháp (phương pháp 1,2,3,4)và thêm hai phương pháp nâng cao (phương pháp 5,6) Các phương pháp còn lại (phương pháp 7,8,9,10) mang tính chất giới thiệu Chương III Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.3.1 Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (10) II.3.1.1 Lý thuyết * Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi Đa thức đó thành tích đa thức II.3.1.2 Các phương pháp Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung a Phương pháp - Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt tất các hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích các nhân tử chung và nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) * Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên): - Hệ số nhân tử chung là ƯCLN các hệ số nguyên dương các hạng tử - Lũy thừa chữ các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt tất các hạng tử Đa thức, với số mũ nhỏ nó các hạng tử b Ví dụ Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2 = 3x2y ( 5y - 3x - y2 ) Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Phân tích ví dụ - Ta thấy hệ số nguyên dương các hạng tử ví dụ 1.1 là: 15; 9; và ƯCLN(15, 9, 3) = Vậy hệ số nhân tử chung là: - Lũy thừa chữ các hạng tử ví dụ 1.1 là: x 2y2 ; x3y ; x2y3 Lũy thừa chữ có mặt tất các hạng tử là x và y, số mũ lớn x là và y là Vậy ta có lũy thừa chữ nhân tử chung là : x2y Vậy nhân từ chung đa thức ví dụ 1.1 là: x2y Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh gặp lúng túng cách xác định nhân tử chung Giái viên có thể đưa gợi ý: (11) ? - Tìm nhân tử chung các hệ số 10 và ? (Học sinh trả lời là: 2) ? - Tìm nhân tử chung x(x – y) và y(y – x) ? (Học sinh có thể trả lời là: (x – y) (y – x) không xác định ) - GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) ngược lại để xuất nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ giải sau: Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y)) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) Chú ý: Nhiều để xuất nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A)) * Một số lưu ý sử dụng phương pháp Ví dụ 1.5 : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y = 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết sai vì bỏ sót số 1) Sai lầm đây là cách viết các hạng tử còn lại ngoặc, Học sinh đã bỏ sót số (HS cho bước thứ hai đặt nhân tử chung 3x 2y thì hạng tử thứ ngoặc còn lại là số 0) Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1 = 3x2y ( 5y - 3x + ) Ví dụ 1.6 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học sinh đây là: Thực đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai - Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 (12) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) * Chú ý: - Bình phương hai đa thức đối thì nhau: A2 = (-A)2 (Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn hai Đa thức đối thì nhau) c Bài tập áp dụng * Dạng 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 12x2y - 18y3 5x(x - 1) – 3x(x - 1) x(x + y) – 2xy(y - x) x2 + 5x3 + x2y 2 x(y 1) y(1 - y) 5 3x2(2z - y) - 15x(y - 2z)2 2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y) * Dạng 2: Tính nhanh: 1) 85.12,7 + 5.3.12,7 2) 52.143 – 52.39 – 8.26 *Dạng 3: Tính giá trị biểu thức: 15.91,5 + 150.0,85 x(x-1) – y(1 – x) x = 2001 ; y = 1999 x2 + xy + x x = 77; y = 22 x(x-y) + y(y-x) x = 53; y = * Dạng 4: Tìm x, biết: 5x(x-2000) – x + 2000 = x3 – 13x = x + 5x2 = x + = (x + 1)2 x3 + x = * Dạng 5: Chứng minh tính chia hết: Chứng minh dằng : 55n + – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên) Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho với số nguyên n Phương pháp 2: Dùng đẳng thức a Phương pháp: - Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 (13) A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) b Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 2.1: 9x2 + 6xy + y2 = (3x2) + 2.3x.y + y2 = (3x + y)2 Ví dụ 2.2: 4x2 - 12x + = (2x)2- 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2 Ví dụ 2.3: a (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy b 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2 = (x - 3y)(7x + y) Ví dụ 2.4: 8x + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 Ví dụ 2.5: 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = (3 - x)3 Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) Ví dụ 2.7: - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = (1 – 3xy2)[12 + 3xy2 + (3xy2)2 ] = (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 ) Khai thác ví dụ: Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng và vận dụng cách hợp lý các đẳng thức quá trình phân tích đa thức thành nhân tử Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà: - Nếu gặp Đa thức có hạng tử, đó có hạng tử có dạng bình phương (A và B2) và hạng tử còn lại có thể phân tích dạng (2.A.B) (– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa dạng đẳng thức (1) (2) (Ví dụ 2.1; 2.2) - Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng có thể phân tích, đưa dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng đẳng thức thứ (3) (Ví dụ 2.3) - Nếu gặp Đa thức có hạng tử, đó có hạng tử có dạng (hoặc có thể phân tích đưa dạng) lập phương (A3 và B3 A3 và -B3 ) hai hạng tử còn lại có thể phân tích đưa dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) thì áp dụng đẳng thức thứ (4) thứ (5) (Ví dụ 2.4; 2.5) (14) - Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu tổng hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa dạng lập phương (A3 và B3) thì áp dụng đẳng thức thứ (6) (7) (Ví dụ 2.6; 2.7) Chú ý: Đôi cần phải đổi dấu các hạng tử áp dụng đẳng thức Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử: Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) =[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42] = - (x2y + 4)2 c Bài tập áp dụng * Phân tích đa thức thành nhân tử a x2 + 6x + b 10x – 25 – x2 a x2 + 4y2 – 4xy b 6x – – x2 a, 4x2 – 25 b (3x + 1)2 - (x + 1)2 1 c 25 x2 – 64y2 a x3 + 27 b 8x3 - c (a + b)3 – (a - b)3 x3 + y3 + z3 – 3xyz Hướng dẫn: áp dụng bài 31 (sgk – tr 16) ta có: x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) đó : x3 + y3 + z3 – 3xyz = [(x + y)3 + z3] + [-3xy(x + y) - 3xyz] = (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(x + y +z) = (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy) *Tính nhanh: a 252 – 152 b 372 – 132 872 + 732 – 272 - 132 * Tìm x biết: – 25x2 = c 20092 - 92 x2 – x + = x3 – 0,25x = x2 – 10x = - 25 Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử a Phương pháp Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau là đặt nhân tử chung, là dùng đẳng thức b.Ví Dụ: (15) * Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22) b xy - 5y + 2x – 10 c 2xy + z +2x +yz Giải: a Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y) x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Cách 2: nhóm (x + x) và (– xy – y ) x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y ) = x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y) b xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) c Cách 1: nhóm (2xy + z) và (2x +yz) ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được) Cách 2: nhóm (2xy + 2x) và (z + yz) ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) * Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x2 – 2x + – 4y2 b x2 + 4x – y2 + Giải: a x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) b.Cách Nhóm: (x2 + 4x) và – (y2 - ) ta có x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x) - (y2 - ) = x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức không thể phân tích tiếp) Cách Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + – y)(x + +y) * Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: (16) Ví dụ 3.3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x2 – 2x – 4y2 – 4y b x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Giải: a Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y) ta có x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y) = x(x - 2)–4y(y + 1) (Đa thức không phân tích tiếp được) Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) và ( - 2x - 4y ) ta có x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) b Cách 1: Nhóm (x3 – x) và (3x2y + 3xy2 ) và (y3 – y ) ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y ) = x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1) = x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1) (Đa thức không thể phân tích tiếp ) Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) và (- x - y) ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – ( x + y) = (x + y)[(x + y)2 - 1] = (x + y)(x + y - 1)(x + y +1) Khai thác ví dụ: Qua các ví dụ trên ta có thể rút nhận xét: ví dụ 3.1 a,b ta nhóm các hạng tử với 2, với với và với ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử Nhưng ta nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ thì đa thức không thể phân tích dược Tương tự trường hợp (3.1.c) ta nhóm hạng tử với và với thì đa thức không thể phân tích được, đa thức có thể phân tích ta nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ và thứ với thứ Tương tự các ví dụ còn lại Như đa thức có thể phân tích tiếp sau nhóm cách hợp lý các hạng tử, Việc nhóm cách hợp lý các hạng tử đa thức thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà dựa vào kinh nghiệm quá trình giải toán và dựa vào các mối quan hệ sau: - Quan hệ các hệ số, các biến các hạng tử bài toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích (17) + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu các hạng tử sau nhóm ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Học sinh có thể đưa lới giải sau Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: - Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu hạng tử ngoặc thứ hai sau nhóm) Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) * Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục không thực nữa, thì cách nhóm đó đã sai có thể bị nhầm dấu quá trình nhóm, phải thực lại (Ví dụ 3.1c Cách1 ; Ví dụ 3.2b cách 1; Ví dụ 3.3a cách 1) c Bài tập áp dụng * Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – x – y2 – y x2 – 2xy + y2 – z2 3x2 – 3xy – 5x + 5y xz + yz – 5(x + y) a3 – a2x – ay + xy xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz x2 + 4x – y2 + x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 10.2x3 – 3x2 + 2x – * Tính nhanh giá trị đa thức x2 – 2xy – 4z2 + y2 x = 6; y = -4; z = 45 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 x = 0,5 * Tìm x ; biết x(x - 2) + x - = (18) 5x(x - 3) – x + = Trong quá trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta không thể vận phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều bài toán để phân tích cần phải có phối hợp các phương pháp Vì ngoài phương pháp đã nêu trên, chương trình SGK toán còn giới thiệu thêm phương pháp nữa, đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp a Phương pháp: Là kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét bài toán cách cụ thể, mối quan hệ các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp Khi phải phân tích đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau: - Đặt nhân tử chung tất các hạng tử có nhân tử chung - Dùng đẳng thức có - Nhóm nhiều hạng tử( thường nhóm có nhân tử chung, là đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử b Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử Ví dụ 4.1 : 3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4) ( Đặt nhân tử chung) =3x (y - )2 ( Dùng đẳng thức) Ví dụ 4.2: 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x2 + 2x + – y2) ( Đặt nhân tử chung) = 2[(x2 +2 x + 1) – y2] (Nhóm các hạng tử) = 2[(x + 1)2 – y2] ( Dùng đẳng thức) = 2(x + - y)(x + + y) Ví dụ 4.3: 2x – 2y – x + 2xy – y2 = (2x – 2y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm các hạng tử) = 2(x - y) – (x - y)2 ( Dùng đẳng thức) = (x - y)[2 – (x - y)] ( Đặt nhân tử chung) = (x - y)(2 – x + y) Ví dụ 4.4: 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2 = 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) ( Đặt nhân tử chung) = 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm các hạng tử) = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] ( Dùng đẳng thức) = 5x3y2(x - - y - z)(x - + y + z) Ví dụ 4.5: 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy =3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) ( Đặt nhân tử chung) (x 2x 1) (y 2ay a ) =3xy (Nhóm các hạng tử) (19) x 1 y a =3xy ( Dùng đẳng thức) x 1 y a x 1 y a =3xy =3xy( x - - y - a)(x - + y +a ) (Dùng đẳng thức) Ví dụ 4.6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT-tr toán tập 1); Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Khai thác ví dụ : Quan sát ví dụ 4.1; 4.2 ta thấy các hạng tử đa thức có nhân tử chung Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau đặt nhân tử chung ta thấy các hạng tử còn lại ngoặc có dạng đẳng thức) sau đó nhóm các hạng tử thích hợp, dùng đẳng thức phân tích tiếp đa thức Ví dụ 4.3 ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, có hạng tử thứ và hạng tử thứ hai có nhân tử chung, hạng tử còn lại có dạng đẳng thức, vì chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp đó tiến hành phân tích nhóm( phương pháp đặt nhân tử chung và đẳng thức ) xuất nhân tử chung, đa thức phân tích tiếp Các ví dụ còn lại làm tương tự Như để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng phối hợp nhiều phương pháp không thiết phải theo trình tự định nào Các phương pháp sử cách phù hợp trường hợp, bài toán cụ thể * Lưu ý : Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức đó cách triệt để Ví dụ 4.7: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Học sinh có thể đưa các lời giải sau: 1) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) 2) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) (20) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) Cả hai lời giải trên đên chưa hoàn chỉnh Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) c Bài tập áp dụng * Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + 2x3 + x2 x3 – 2x2 + x 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 x3 + 2x2y + xy2 – 9x x4- 2x2 x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y 5x2 + 5xy – x – y 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2 * Tìm x biết : 5x(x - 1) = x – 2(x + 5) – x2 – 5x = x3- x = (2x2 - 1) – (x + 3)2 = x2(x - 3) + 12 – 4x = * Tính nhanh : 1 x2 + x + 16 x2 – y2 – 2y – * Chứng minh : x = 49,75 x = 93 và y = 1) (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n 2) n3 – n chia hết cho với số nguyên n Khai thác ví dụ 4.6: Từ ví dụ 4.6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên 2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0; x + y = – z 3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)SBT-tr6) Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) (21) Trong chương trình sách giáo khoa Toán hành giới thiệu bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp Tuy nhiên phần bài tập lại có bài không thể áp dụng bốn phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai hạng tử khác “ thêm và bớt cùng hạng tử ” thích hợp áp dụng các phương pháp trên để giải Xin giới thiệu thêm hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán II.3.1.3 Các phương pháp khác (nâng cao) Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đa thức bậc hai ax2 + bx + c ) a Phương pháp: - Tách các hạng tử đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất dạng nhân tử chung có dạng đẳng thức b Ví dụ: Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, không có dạng đẳng thức đáng nhớ nào và không thể nhóm các hạng tử Như để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách các hạng tử đa thức thành hay nhiều hạng tử Giải: Cách 1: ( tách hạng tử bậc 2: x2 ) 2 x - 6x + = 3x - 6x - 2x + = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4) Cách 2: ( tách hạng tử bậc 1: - 6x) x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 3: ( tách đồng thời hạng tử bậc và hạng tử tư do: ) x2 - 6x + = x2 - 4x + - 2x + = (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 4: ( tách hạng tử tự do: ) x2 - 6x + = x2 - 6x + - = (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) (22) x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 = (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Ví dụ 5.2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Giải: Cách (tách hạng tử bậc hai : 3x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử bậc nhất: – 8x) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử tử : 4) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) = (x – 2)(3x – 2) Nhận xét: Từ ví dụ trên (5.2), ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (Ví dụ 5.2cách 1) - Làm xuất các hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất nhân tử chung x – (ví dụ 5.3cách 2) - Làm xuất đẳng thức và nhân tử chung (ví dụ 5.2cách 3) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm cần thiết học sinh giải toán * Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất: Nhận xét:- Trong các cách giải trên, hai ví dụ ta thấy cách là đơn giản và dễ làm Ở đây ta đã tách hạng tử bậc - 8x (ví dụ 5.2) thành hạng tử - 6x và - 2x Trong đa thức 3x – 6x – 2x + ta thấy hệ số các số hạng là: 3, – 6, –2, các hệ số thứ và thứ gấp - lần hệ số liền trước và tỷ lệ 6 hay (23) (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8, nhờ đó xuất thừa số chung (x - 2) Phân tích: - Trong đa thức 3x2 – 8x + có a = 3, b = – 8, c = Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa dạng ax2 + b1x + b2x + c cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1 a = c b2 hay b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Lập tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Áp dụng: Phân tích đa thức: – 6x2 + 7x – thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7) Ta có: a = – ; b = ; c = – Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = = + Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Chú ý: * Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức bậc biến Ví dụ:5.3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải 2 Cách 1: 4x - 7xy + 3y = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) 2 Cách 2: 4x - 7xy + 3y = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) * Đa thức bậc hai ax + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử phạm vi số hữu tỷ Nếu: (24) - Khi phân tích a.c tích thừa số nguyên cách không có thừa số nào có tổng b Ví dụ: đa thức x2 + 4x + có a = 1; b = => a.c = = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3) không có thừa số nào có tổng b = - Hoặc sau đưa đa thức bậc dạng a(x2 - k) thì k không phải là bình phương số hữu tỷ Ví dụ: x2 + 4x + = (x2 + 4x + 4) + = (x + 2)2 + = (x + 2)2 - (- 2); (-2) không phải là bình phương số hữu tỷ nào Vậy đa thức x + 4x + không phân tích thành tích Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ 5.4: Phân tích đa thức sau thừa số : n3 – 7n + Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Ví dụ 5.5: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) c Bài tập áp dụng * Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a x2- 3x + b x2 + x – c x2 + 5x + e 6x2 – 11x + f 9x2 + 12x – g 4x2 - 4x – 2) a 2x2 5xy + 2y2 ; (áp dụng ví dụ 5.3) b) 2x2 – 5xy – 3y2 Giải: a 2x2 5xy + 2y2 = (2x2 4xy) (xy 2y2) = 2x(x 2y) y(x 2y) d x2 – 4x + h 2x2 + 3x – 27 (25) = (x 2y)(2x y) 3) a) x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) b) xy(x + y) yz(y + z) + xz(x z) ; c) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2xyz ; d) (x + y)(x2 y2) + (y + z)(y2 z2) + (z + x)(z2 x2) ; e) x3(y z) + y3(z x) + z3(x y) ; f) x3(z y2) + y3(x z2) + z3(y z2) + xyz(xyz 1) Hướng dẫn: 3a Nhận xét z x = (y z) (x y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) = x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2) = (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z) Chú ý : - Ở câu 3a ta có thể tách y z = (x y) (z x) (hoặc z x= (y z) (x y)) - Đa thức câu 3.a là đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức thì giá trị đa thức Vì vậy, ngoài cách phân tích cách tách trên, ta còn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Phương pháp 10) 4) a) x3 – 4x + ; b) x3 + 7x – ; ( áp dụng ví dụ 5.4) Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử a Phương pháp: Thêm bớt cùng hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thông thường hay đưa dạng a2- b2 sau thêm bớt b Ví dụ: * Thêm và bớt cùng số hạng để làm xuất đẳng thức Ví dụ 6.1: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Cách 1: thêm bớt hạng tử x2 (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 (làm xuất đẳng thức và đặt nhân tử chung ) x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) (26) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 3: - Thêm x và bớt x: (làm xuất đẳng thức và đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) Ví dụ 6.2: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất đẳng thức và đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 ) - (x3 - 1) = x3(x2+ x + 1) - ( x - )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 6.3: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: ta nhận thấy: x4 = (x2)2 và = 22 để xuất đẳng thức bình phương tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 cần bớt 4x2 để giá trị đa thức không đổi Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Khai thác bài toán: * Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) * Thay x4 thành 4x4 và thành 81 ta có bài toán : 4x4 + 81 Hướng dẫn giải: Thêm 2x2.9 = 36x2 và bớt 36x2 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = ( 2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x) (27) *Thêm và bớt cùng hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 6.4: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 2: Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Ví dụ 6.5 Phân tích đa thức x5 + x thành nhân tử Giải: Cách Thêm x4 , x3 , x2 và bớt x4 , x3 , x2 x5 + x = x5 x4 + x3 + x4 x3 + x2 x2 + x = x3(x2 x + 1) x2(x2 x + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)(x3 x2 1) Cách Thêm và bớt x2 : x5 + x = x5 + x2 x2 + x = x2(x3 + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)[x2(x + 1) 1] = (x2 x + 1)(x3 x2 1) Giải: Ví dụ 6.6: Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử Giải : x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1) = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1) Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + c) Bài tập áp dụng * Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a 4x4 + ; d x5 + x4 + ; g) x5 x4 - ; b) 4x4 + y4 ; c.4x4 - 324 e) x5 + x + ; h) x7 + x5 + ; f) x8 + x7 + ; t) x8 + x4 + Hướng dẫn giải: Câu 1.a,b,c áp dụng ví dụ 6.3 Câu 1.d, e ,h, f ap dụng ví dụ 6.2 Câu 1.g áp dụng ví dụ 6.4; câu 1.f áp dụng ví dụ 6.1 Phương pháp 7: Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến số) (28) a) Phưong pháp: - Đặt ẩn phụ, đổi biến đa thức đã cho thành đa thức có bậc nhỏ và đơn giản Thực phân tích đa thức theo các phương pháp b Ví dụ: Ví dụ 7.1: Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + thành nhân tử Giải: đặt x2 = y ta 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3) Vậy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3) Ví dụ 7.2: Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử Giải: đặt x2 + x = y ta y2 + 3y + = (y +1)(y+2) Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2) Ví dụ 7.3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 Hướng dẫn: Ta thấy đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12 Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12 = y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2) = (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)] = (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1) Ví dụ 7.4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Hướng dẫn: Biến đổi đa thức đã cho (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*) Đặt x3 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5) Tương đương với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16) Ví dụ 7.5 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y 12)(y + 12) + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) c Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 + x)2 2(x2 + x) 15 ; b) x2 + 2xy + y2 x y 12 ; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12 ; (29) Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm đa thức a Phương pháp: Cách 1:Dựa vào kết luận: - Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức chứa nhân tử là: (x - a) - Nếu đa thức f(x)có nghiệm là p thì đa thức chứa nhân tử là(qx q p) Dựa vào đó ta tách đa thức f(x) cho xuất hiên nhân tử (x - a) (qx - p) Cách 2: Dựa vào định lý Bơ du - Đa thức f(x) có nghiệm là a thì f(x) chia hết cho (x - a) Vậy f(x) = (x-a)g(x) Tìm g(x) cách lấy f(x) chia cho (x-a) p - Đa thức f(x) có nghiệm là q thì f(x) chia hết cho (qx - p) Vậy f(x) = (qx-p)g(x) Tìm g(x) cách lấy f(x) chia cho (qx - p) * Cách tìm nghiệm đa thức Cho đa thức f(x), a là nghiệm đa thức f(x) f(a) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) thì a phải là nghiệm đa thức Ta đã biết nghiệm nguyên đa thức có phải là ước hệ số tự Ví dụ: xét đa thức P = x3 + 3x2 – Nếu đa thức P có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c) hay P = (x - a)(x2 + bx + c) => -ac = - a là ước - Vậy đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải là ước hạng tử không đổi.(hạng tử tự do) Ước (- ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy là nghiệm đa thức => đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tìm cách tách các hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1) b Ví dụ: Ví dụ 8.1: Phân tích x3 + 3x2 – thành nhân tử *Cách 1: x3 + 3x2 - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 *Cách 2: x3 + 3x2 - = x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1) +3(x - 1)(x + 1) = ( x - 1)(x + 2)2 Chú ý: - Nếu đa thức có tổng các hệ số không thì đa thức có nghiệm là (hay chứa nhân tử (x-1)) - Nếu đa thức có tổng các hệ số hạng tử bậc chẵn tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có nghiệm là (- 1) hay chứa nhân tử ( x + 1) Ví dụ 8.2: a Đa thức:f(x) = x3 - 5x2 + 8x - có - + - = (30) Đa thức có nghiệm là hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) x3 - 5x2 + 8x - = x3 – x2 – 4x2 + 8x – = (x3 – x2 ) – (4x2 - 8x + 4) = x2(x - 1) – 4(x - 1)2 = (x - 1)(x2 – 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 b.Đa thức: f(x) = 5x3 - 5x2 + 3x + 13 có -5 + 13 = + Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1) Vậy f(x) = ( x + 1).g(x) ta có: g(x) = (5x3 - 5x2 + 3x + 13): (x + 1) = (5x2 – 10x +13) Suy ra: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = (x + 1)(5x2 – 10x +13) + Nếu đa thức không có nghiệm nguyên đa thức có thể có nghiệm Giải: p hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng q đó p là ước hạng tử không đổi, q là ước dương hạng tử có bậc cao Ví dụ:8.3 phân tích đa thức: 2x3 - 5x2 + 8x – thành nhân tử 1 3 Nghiệm hữu tỷ có đa thức trên là:(-1), 1, ( ), ( ),( ),(- 3), Sau 1 kiểm tra ta thấy x = là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x – ) hay (2x - 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung ( 2x - 1) Giải: Cách 1: 2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Cách 2: Áp dụng định lý Bơ du f( x ) = 2x3 – 5x2 + 8x – có nhgiệm là : Vậy f ( x ) = ( 2x – )g(x) g(x ) = ( 2x3 – 5x2 + 8x – 3) : ( 2x – ) = x2 – 2x + Suy f ( x ) = (2x – ) ( x2 – 2x + ) Ví dụ 8.4 Phân tích đa thức f ( x ) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 thành nhân tử Giải: f(x) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 có nghiệm là -1 ( -1 là ước của12.) f( x) = ( x + 1).g(x) g(x) = (5x3 –15 x2 – 32x –12 ):( x +1) = 5x2 –20x –1 f(x ) = (x +1)(5x2 – 20x –1) c Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 – 2x + ; d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; b) x3 + 7x – ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; c) x3 – 5x + 8x – ; g) x3 – x2 + x – ; (31) h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – (giải nhiều cách) Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định a Phương pháp: Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai biến đổi cho đồng hệ số đa thức này với hệ số đa thức b.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Các hệ số 1; là Ư(3) không phải là nghiệm đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên Như vậy, đa thức trên phân tích có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân này cho kết quả: x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức này với đa thức đã cho ta a+c=-6 ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd = Xét bd = với b, d z; b { 1; 3}; với b = thì d = Hệ trên thành: a+c=-6 ac = a + bc = -14 2c = -14 + = - đó c = - 4; a = - Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Chú ý: Khi biết kết ta có thể trình bày lời giải bài toán trên sau: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) c.Bài tập; Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; b) x4 7x3 + 14x2 7x + ; c) x4 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2 Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng a Phương pháp: Xác định dạng các thừa số chứa biến đa thức, gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại (32) b Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nên thay x y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = Như P chứa thừa số x - y Do vai trò x, y, z P nên P chứa (x – y) thì chứa (y – z) và (z – x) Vậy dạng P là k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k phải là số vì có bậc tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc các biến x, y, z Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với x, y, z Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng ví dụ x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2) = - 2k => k = - Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Thật vậy: ta có x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y) = (x - y)(y - z)(x - z) II.3.1.4 Biện pháp Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức sau: Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc các lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, các thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều các đẳng thức Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần : - Quan sát đặc điểm bài toán: Nhận xét quan hệ các hạng tử bài toán (về các hệ số, các biến) - Nhận dạng bài toán: Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp) - Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài toán (33) Lưu ý: Kinh nghiệm giải toán phân tích đa thức thành nhân tử * Trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước biểu thức còn lại ngoặc, thường là thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng đẳng thức thì bước bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Chý ý: -Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp hai bước liền -Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp hai bước liền -Phương pháp dùng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp hai bước liền * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực các phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá bài toán chính xác theo lộ trình định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận xét đánh giá bài toán theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào bài toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tòi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác II.3.2 Kết thực nghiệm Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Điều đó thể cụ thể qua kết kiểm tra dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thống kê qua các giai đoạn hai lớp 8,9 trường PTCS Đại Thành năm học 2007 – 2008, 2008 – 2009 sau: a.Chưa áp dụng giải pháp ( Lớp năm học 2007 - 2008) Thời gian TS Điểm trung bình trở lên HS Số lượng Tỉ lệ (%) Đầu học kỳ I đến học kỳ II (34) Chưa áp dụng giải pháp 34 15 44% * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích bài toán, các đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày bài giải còn lung tung b) Áp dụng giải pháp( lớp năm học 2008 - 2009) Lần 1: Kiểm tra tiết Thời gian Đầu học kỳ I đến học kỳ II TS HS Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 20 Điểm trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 14 70% * Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm kiến thức các đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng khá tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải toán, biết nhận xét đánh giá bài toán các trường hợp, trình bày khá hợp lý Lần 2: Kiểm tra học kì I Thời gian TS Đầu học kỳ I đến học kỳ II HS Số lượng Tỉ lệ (%) Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 20 13 65% Điểm trung bình trở lên * Nhận xét: Học sinh nắm vững các kiến phân tích đa thức thành nhân tử, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bài toán đã biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi và vận dụng đẳng thức và đã trình bày bài giải hợp lý có hệ thống và logic, còn số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực tốt Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh các bài toán có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán dạng bài tập này Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình đã học, học và rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi bài tập Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, các (35) dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy khả toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo học sinh học toán II.3.3 Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài và kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút số kinh nghiệm sau: - Đối với học sinh yếu kém: Cần có quá trình liên tục củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp, vận dụng tốt các phương pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em quá xa nội dung SGK - Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm các phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành và việc vận dụng phương pháp đa dạng vào bài tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm các phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu các em - Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng học sinh quá trình cung cấp các thông tin có liên quan chương trình đại số đã đề cập trên Giáo viên phải định hướng và vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đã đề cập, giúp học sinh nắm vững các dạng toán và rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh các bài tập tổng hợp, kĩ vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập và học toán Nếu thực tốt phương pháp trên quá trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, Hướng phổ biến áp dụng (36) Đề tài triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi chương trình đại số lớp 8, cho các năm học sau, cho trường cùng loại hình Hướng nghiên cứu phát triển Đề tài nghiên cứu tiếp tục các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao) Đề tài nghiên cứu cho các đa thức phức tạp hơn, sâu vào việc nghiên cứu các đa thức đặc biệt Phần III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ III.1 Kết Luận Phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rộng trải suốt chương trình học học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng toán khác tạo lên lôgíc chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Trong năm học qua tôi đã vận dụng sáng kiến trên vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy các em hào hứng quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý Số học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng vào các bài tập là 80% Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin làm các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, trình bày đề tài mình không tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc (37) và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn chỉnh và đạt hiệu cao Xin chân thành cảm ơn ! III.2 Kiến nghị Để đề tài trên áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu cần phải có lượng thời gian định Tuy nhiên phân phối chương trình môn toán số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu là tiết (4 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Với lượng thời gian trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu mong muốn Vì Tôi xin có vài kiến nghị sau: - Đối với nhà trường: Tạo điều kiện thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy - Đối với phòng giáo dục: + Tổ chức các chuyên đề vấn đề nghiên cứu (phân tích các đa thức thành nhân tử ) để giáo viên dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm các biện pháp hay + Đưa thêm vào chương trình Tự chọn Toán 8, chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử” Phần IV: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO IV Tài liệu tham khảo: - Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008 - Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất GD - Nâng cao và phát triển Toán - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất GD - Những vấn đề chung đổi giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất GD – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 – 2000 và chu kỳ 2004 – 2007 môn Toán – Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất ĐHSP (38) – Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất ĐHSP IV.2 Mục Lục Nội Dung Phần I - Phần mở đầu Trang I.1 Lý chọn đề tài I.2 Mục đích đề tài I.3 Thời gian – địa điểm nghiên cứu I.4 Phương pháp nghiên cứu Phần II – Nội dung Chương I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.1.1 Lịch sử nghiên cứu II.1.2 Cơ sở lý luận Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu II.2.1 Thực trạng II.2.2 Đánh giá thực trạng II.2.3 Nội dung vấn đề II.2.3.1.Những giải pháp đề tài Chương III Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II.3.1.1 Lý thuyết II.3.1.2 Các phương pháp 2 5 9 11 11 (39) Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung Phương pháp 2: Dùng đẳng thức Phương pháp 3: Nhóm các hạng tử Phương pháp 4: Phối hợp các phương pháp II.3.1.2 Các phương pháp nâng cao Phương pháp 5: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp 6: Thêm và bớt cùng hạng tử Phương pháp 7: Đặt ẩn phụ Phương pháp 8: Tìm nghiệm đa thức Phương pháp 9: Hệ số bất định Phương pháp 10: Xét giá trị riêng II.3.1.4 Biện pháp II.3.2 Kết thực nghiệm II.3.3 Bài học kinh nghiệm Phần III – Kết luận – Kiến nghị III.1 Kết luận III.2 Kiến nghị Phần IV- Danh mục tài liệu tham khảo IV.1 Tài liệu tham khảo IV.2 Mục lục Bài giảng minh họa Đại số 8: Tiết 13 LUYỆN TẬP 11 14 16 19 22 26 29 30 32 33 33 35 36 38 38 39 40 41 I.Mục tiêu - Rèn kỹ giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử - Học sinh giải thành thạo loại bài tập phân tích đa thức thành nhân tử - Gới thiệu cho học sinh phương pháp tách hạng tử và thêm bớt hạng tử II Chuẩn bị giáo viên và học sinh Giáo viên: Máy chiếu bẳng phụ ghi gợi ý bài tập53a – tr24 sgk và các bước tách hạng tử Học sinh: Bảng nhóm, ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử III Phương pháp - Đàm thoại, vân đáp, nêu và giải vấn đề - Rèn kỹ giải toán IV Tiến trình bài giảng Ổn định tổ chức Kiểm tra bài cũ.(7’) ? HS1 Chữa bài tập 52 tr 24 – sgk ? HS2 Chữa bài tập 54a tr25 sgk GV hỏi thêm Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên tiến hành ntn? HS trả lời: Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên theo các bước sau: (40) - Đặt nhân tử chung tất các hạng tử có nhân tử chung - Dùng đẳng thức có - Nhóm nhiều hạng tử (thường nhóm có nhân tử chung là đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” đằng trước và đổi dấu ( Đưa nội dung câu trả lời máy chiếu) Luyên tập Hoạt động GV – HS Ghi Bảng Hoạt động 1: Luyện tập (12’) Bài 55(a,b) tr25 – sgk Bài 55 tr25 – sgk GV: đưa đề bài lên màn hình a, x3- x = - Để thời gian cho HS suy nghĩ Gợi ý: Chúng ta biết tìm nghiệm x(x - ) = đa thức dạng bậc Vậy để tìm x(x - )(x + ) = 2 x bài toán trên em làm 1 => x = ; x = ;x= - nào? HS:- Đưa đa thức vế trái dạng tích b, (2x - 1)2- (x + 3)2 = các đa thức bậc cách phân tích [(2x–1) – (x + 3)][(2x-1)+(x+3)] = đa thức vế trái thành nhân tử (2x – – x - 3)(2x – + x + 3) = GV: Yêu cầu hai học sinh lên bảng làm (x - 4)(3x + 2) = GV: Yêu cầu học sinh nhận xét => x = 4; x = - Bài 56 tr25 sgk GV: đưa đề bài lên màn hình - yêu cầu HS hoạt động nhóm Nửa lớp làm câu a Nửa lớp làm câu b Hs: hoạt động nhóm Bài 56 tr25 sgk Tính nhanh giá trị đa thức 1 a, x2 + x + 16 x = 49,75 = x2 + x + ( )2 = ( x + )2 = (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500 b, x2 – y2 – 2y – x = 93 ; y = GV: Cho các nhóm kiểm tra chéo bài = x2 – (y2 + 2y + 1) = x2 – (y + 1)2 = [x – (y + 1)][x + (y + 1)] = (x – y - 1)(x + y + 1) = (93 – – 1)(93 + +1) = 86.100 = 8600 GV: Đưa bài tập 53a tr24 sgk lên bảng Phân tích đa thức x2 – 3x + thành nhân tử (41) ? Ta có thể phân tích đa thức này các phương pháp đã học không? HS: Không phân tích các phương pháp đã học GV: Để phân tích đa thức trên cần có phương pháp khác Hoạt động 2: Phân tích đa thức thành nhân tử vài phương pháp khác (20’) Gv: Đa thức x2 – 3x + là tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c với a = 1; b = -3 ; c = - Đầu tiên ta lâp tích a.c = 1.2 = - Sau đó tìm xem là tích các cặp số nguyên nào (2= 1.2 = (-1).(-2) - Trong hai cặp số đó, ta thấy có: Bài tập 53a tr24 sgk (-1)+(-2) = -3 đúng hệ số b a, x2 – 3x + = x2 – x – 2x + Ta tách: -3x = -x - 2x = (x2 – x) – (2x - 2) Vậy đa thức biến đổi sau = x(x – 1) – 2(x – 1) 2 x – 3x + = x – x – 2x + = (x - 1)(x - 2) GV: yêu cầu học sinh lên bẳng làm tiếp GV: yêu cầu HS làm bài 53b tr 24 sgk (làm tương tự ví dụ trên) b, x2 + 5x + = x2 + 2x + 3x + ? Vậy đa thức x2 + 5x + tách = x(x + 2) + 3(x + 2) nào? = (x + 3)(x + 2) 2 HS: x + 5x + = x + 2x + 3x + GV: yêu cầu học sinh phân tích tiếp *Tổng quát: GV: Đưa tồng quát (máy chiếu) ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c phải có : b1 + b2 = b và b1.b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau: B1: Lập tích a.c B2:Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách B3: Chọn hai thừa số mà tổng b Gv: giới thiệu cách khác bài 55a.( tách hạng tử tự do) x2 – 3x + = x2 – – 3x + = (x2 – 4) – (3x - 6) = (x - 2)(x + 2) – 3(x - 2) b, x2 + 5x + = (x - 2)(x + - 3) (42) = (x - 2)( x - 1) GV: yêu cầu HS phân tích đa thức x2 + 5x + cách tách hạng tử tự HS: Thực = x2 + 5x + 10 – = (x2 – 4) + (5x +10) = (x - 2)(x + 2) + 5(x + 2) = (x + 2)(x + 3) GV: Yêu cầu HS làm bài 57(d) tr25 sgk Bài 57(d) tr25 sgk GV: Với các phương pháp đã học có thể Phân tích đa thức x4 + thừa số phân tích đa thức x4 + thừa số không? Giải: Ta có HS: suy nghĩ trả lời x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 GV Gợi ý: ta thấy x4 = (x2)2 = (x2 + 2)2 – 4x2 = 22 = (x2 + – 2x)(x2 +2+ 2x) Để xuất đẳng thức bình phương tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 để giá trị đa thức không đổi ta phải bớt 4x2 GV yêu cầu học sinh phân tích tiếp Hoạt động 3: Luyện tập – củng cố (5’) GV: yêu cầu HS làm bài tập HS: làm bài vào Phân tích các đa thức thành nhân tử: HS lên bảng trình bày a, 15x + 15xy – 3x – 3y a, = 3(5x2 + 5xy – x - y) = 3[(5x2 + 5xy) – (x + y)] = 3[5x(x + y) – (x + y)] = 3(x + y)(5x - 1) b, x + x – b, = x2 + 3x – 2x – = x(x + 3) - 2(x + 3) = (x - 2)(x + 3) c, 4x – c, = 4x4 + 4x2 + – 4x2 GV: quan sát, gợi ý học sinh làm bài = (2x2 + 1)2 – (2x)2 = (2x2 + – 2x)( 2x2 + + 2x) Gv: Nhận xét Hoạt động 4: Hướng dẫn nhà ( 1’) - Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Bài tập: 57, 58 sgk tr 25 – 35,36,37, tr7 SBT - Ôn lại quy tắc chia hai lũy thừa cùng số V Rút kinh nghiệm (43) Nhận xét đề tài khoa học và sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài: Tác giả nghiên cứu: Đơn vị công tác: Những ý kiến nhận xét 1/ Tính chất đề tài nghiên cứu 2/ Nội dung 3/ Phương pháp 4/ Hiệu (44) 5/ Hình thức 6/ Xếp loại khen thưởng Người nhận xét (1) Người nhân xét (2) Nhận xét hội đồng khoa học phòng GD&ĐT (45) (46)