§©y lµ hai líp cã rÊt nhiÒu häc sinh yÕu vµ trung b×nh, ®èi t−îng th−êng gÆp rÊt nhiÒu lóng tóng víi d¹ng bµi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.. Qu¸ tr×nh thùc hiÖn.[r]
(1)Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà xà héi chđ nghÜa ViƯt Nam Tr−êng THCS Phó C¸t Độc lập - tự - hạnh phúc
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
I S¬ yếu lý lịch
Họ tên: Hà Danh Hng
Sinh năm: 1979
Năm vào ngành: 2002
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên tr−ờng THCS Phú Cát-Quốc Oai-Hà Tây Chuyên ngành đào tạo: Tốn-Tin
Hệ đào tạo: Chính qui
Bộ môn đợc phân công giảng dạy: Toán 8A+8B
II Nội dung đề tài
1 Tên đề tài: “Một số gợi ý phân tích đa thức thành nhân tử học sinh Một số gợi ý phân tích đa thức thành nhân tử học sinh Một số gợi ý phân tích đa thức thành nhân tử học sinh Một số gợi ý phân tích đa thức thành nhân tử học sinh lớp
líp líp líp 8”
2 Lý chọn đề tài
- Trong dạy học mơn tốn việc giúp học sinh tìm h−ớng giải cho lớp toán việc làm quan trọng Đặc biệt, dạng có nhiều ứng dụng đại số nh− “ phân tích đa thức thành nhân tử” việc làm trở nên cần thiết
- Khi dạy ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đầu ch−ơng trình đại số 8, nhận thấy học sinh (chủ yếu học sinh yếu trung bình) gặp nhiều khó khăn việc giải tập thuộc dạng dựa vào SGK cung cấp Chính vậy, tơi đX suy nghĩ mạnh dạn đ−a vài gợi ý cho em sử dụng ph−ơng pháp nh− áp dụng tổng hợp ph−ơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử sở kinh nghiệm thân giải tốn Và mừng đX thu đ−ợc kết định
3 Phạm vi đối t−ợng thực đề tài
- Đề tài thực dạy tiết 14, 15 ch−ơng trình đại số lớp 8, với nội dung luyện tập giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Trên sở nội dung kiến thức SGK, ph−ơng pháp tơi có đ−a thêm vài gợi mở d−ới dạng ý sử dụng ph−ơng pháp
- Đối t−ợng thể nghiệm đề tài học sinh hai lớp 8A, 8B tr−ờng THCS Phú Cát Đây hai lớp có nhiều học sinh yếu trung bình, đối t−ợng th−ờng gặp nhiều lúng túng với dạng phân tích đa thức thành nhõn t
III Quá trình thực
1 Tình trạng tr−ớc thực đề tài
(2)thành nhân tử (các dạy kiến thức đảm bảo nh− sách giáo viên đX h−ớng dẫn), cho học sinh làm kiểm tra 10 vi ni dung :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 8x3 +
2 B = x + y + xy+ y2
KÕt qu¶ nh− sau:( líp 8A: 39 bµi/ 39 häc sinh, líp 8B: 38 bµi/38 häc sinh ) §iĨm
Líp 1-3 4-5 6-7 8-9 10
8A 11 15 1
8B 10 16
- Qua làm em nhận thấy rằng, có số em học sinh biết cách phân tích, nhóm tìm đáp số cuối cùng, cịn đa phần em khơng biết phải dùng ph−ơng pháp nào, nhóm hạng tử với nhau, dùng đẳng thức nào, có em nhóm đ−ợc nh−ng lại đặt nhân tử chung nhóm Điều cho thấy em ch−a tự hình thành đ−ợc thuật tốn để giải phân tích đa thức thành nhân tử qua ví dụ tập SGK Do đó, ng−ời thầy cần phải đ−ờng giúp em đến kết toán cách tất yếu, nhanh xác
2 Các biện pháp thực
a Mục đích đề tài
- Tơi suy nghĩ thể nghiệm đề tài với mong muốn giúp em học sinh áp dụng nhanh xác ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử : đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức nhóm, sở phối hợp tốt ph−ơng pháp để giải toán thuộc dng ny
b Các bớc tiến hành
Sau dạy tiết 10, 11, 12, 13 cho kiểm tra thu đ−ợc kết nh− trên, nhận thấy hai tiết luyện tập tiếp sau đó, cần phải hệ thống lại tất ph−ơng pháp đX học đ−a l−u ý cần thiết ph−ơng pháp, nhằm giúp em sử dụng xác có hiệu ph−ơng pháp đó, tránh sai sót đáng tiếc làm tập
1 Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung
• Chó ý:
- Nhân tử chung hệ số hạng tử UCLN hệ số Nếu hạng tử có hệ số ±1 phần hệ số đa thức khơng có nhân tử chung
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp đặt nhân tử chung
a A = 12x + 18y - 24z b B = 25x + 75y - z H−íng dÉn:
(3)HƯ sè cđa hạng tử thứ -1 Giải:
Ta có: A = 6.2x + 6.3y - 6.4z = 6(2x + 3y - 4z)
B không phân tích đợc thành nhân tử
- Nu cỏc hng t u đơn thức biến chung (có mặt tất số hạng) với số mũ nhỏ nhân tử chung
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp đặt nhân tử chung
c C = x3 + x4 - x5 d D = xy3 + x2y - x3yz
H−íng dÉn
Trong đa thức C ba số hạng đơn thức có biến chung x với số mũ nhỏ nên nhân tử chung x3
T−¬ng tự, đa thức D nhân tử chung xy Gi¶i:
Ta cã: C = x3(1 + x - x2 ) D = xy(y2 + x - x2z)
- Nếu hạng tử biểu thức biểu thức chung (có mặt tất số hạng) với số mũ nhỏ nhân tử chung
Vớ d 3: Phõn tớch đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp đặt nhân tử chung
e E = x(x+y) + 2(x+y) f F = 2(x-y)2 - 4(x-y)
H−íng dÉn
Đa thức E có hai hạng tử mà hạng tử biểu thức có chứa đa thức x+y với số mũ 1, đặt (x+y) làm nhân t chung
Tơng tự ,đa thức F có nhân tử chung 2(x-y) Giải:
E = (x+y)(x+2) F = 2(x-y)[(x-y)-2] = 2(x-y)(x-y-2)
• Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp đặt nhân tử chung
a 15x + 25y b x2y - xy2
c 24x5y3z - 8x2yz3 d 56x2y + 7x4 - 14xy
e x(2y+1) - 2(2y+1) f x4(5y - z) - x2(5y - z) g 36x2y(3y-2) + 12x(6y-4) h x(4x + 2y)-2(2xy + y2)
2 Ph−ơng pháp dùng đẳng thức
• Chó ý:
(4)a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab +b2) a3 +b3 = (a+b)(a2 - ab +b2)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp dùng đẳng thức:
a A = x2 - 25 b B = 27 + y3 c C = 8x3-1
H−íng dÉn
Ta nhận thấy ba đa thức có hai hạng tử, đa thức A hạng tử có số mũ chẵn nên ta tìm cách chuyển dạng a2 - b2 để phân tích:
Đa thức thứ hai có số mũ lẻ tổng hai đơn thức nên ta tìm cách chuyển dạng a3 +b3 để áp dụng:
Đa thức thứ ba có số mũ lẻ hiệu hai đơn thức nên ta tìm cách chuyển dạng a3 - b3 để áp dụng:
Gi¶i
Ta cã: A = x2 - 52 = (x+5)(x-5)
B = 33 + y3 = (3+y)(9 - 3y +y2) C = (2x)3- 13 = (2x-1)(4x2 +2x +1)
- Nếu đa thức có ba hạng tử, sử dụng đẳng thức: a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
a2 - 2ab + b2 = (a-b)2
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp dùng đẳng thức:
d D = x2 - 4x + e E = 25 + 20y + 4y2
H−íng dÉn
Hai đa thức có số hạng, ta tìm cách biến đổi để áp dụng đ−ợc đẳng thức t−ơng ứng, muốn ta tìm cách đ−a số hạng có bậc cao thấp dạng luỹ thừa bậc hai, tách số hạng trung gian thành hai lần tích số có dạng luỹ thừa bậc hai vừa rồi, đ−ợc áp dụng đẳng thức t−ơng ứng xong
Gi¶i
Ta cã: D = x2 - 2.x.2 + 22 = (x-2)2 E = 52 + 2.5.(2x) + (2x)2 = (5+2x)2
- Nếu đa thức có bốn hạng tử, sử dụng đẳng thức: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a- b)3
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp dùng đẳng thức:
(5)H−íng dÉn
T−ơng tự cách làm với đa thức có hai số hạng ta tìm cách đ−a số hạng có bậc cao thấp dạng luỹ thừa bậc tách số hạng trung gian thành 3a2b 3ab2 t−ơng ứng với đẳng thức
Gi¶i
Ta cã: F = x3- 3.x2.1 + 3.x.12 - 13 = (x-1)3 G = 23 + 3.22.y + 3.2.y2 + y3 = (2+y)3
• Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ph−ơng pháp dùng đẳng thức:
a 9x2 + 30x +25 b.0.25x4 - 16y2 c 27x3 - a3b3
d 9x2y2-18xy +
e 8x3 + 60x2y +150xy2 + 12y3 f x3 - 9x2 + 27x - 27
3 Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
• Chó ý:
- Các số hạng đem nhóm với cần thoả mXn điều kiện cuối tạo nhân tử chung với nhóm khác sử dụng đ−ợc đẳng thức với nhóm khác Do sau nhóm nhóm phải:
Hoặc đặt đ−ợc nhân tử chung:
VÝ dô 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
A = 2x - 2y + x2 - xy
H−íng dÉn
Ta có nhiều cách nhóm khác nhau, chẳng h¹n: 1) A = (2x - 2y) + (x2 - xy)
2) A = (2x + x2 ) +(- xy- 2y) 3) A = (2x - xy) + (-2y + x2)
Hai cách đầu cho kết A = (x-y)(2+x)
Tuy nhiªn cách thứ ba đa ta vào bế tắc nhóm nhân tử chung với nhóm
Gi¶i
Ta cã: A = (2x - 2y) + (x2 - xy) = 2(x - y) + x(x - y) = (x-y)(2+x)
Hoặc áp dụng đ−ợc đẳng thức:
VÝ dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
B = x2 - 2xy + y2 -1
H−íng dÉn
Rõ ràng cách gộp hai hạng tử thành nhóm không hiệu lẽ không tạo nhân tử chung Song ta nhận thấy ba hạng tử đầu quen thuộc, cách nhóm đX đem lại kết quả:
Giải
(6)= (x-y)2 - 12
= [(x-y)-1][(x-y)+1] = (x-y-1)(x-y+1)
Hc nhân tử chung nhóm khác:
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
C = x3 - 2x2 + x -2
H−íng dÉn
Hiển nhiên ta có nhiều cách nhóm, có cách nhóm là: C = (x3 - 2x2 )+ (x - 2)
Cách nhóm khơng hợp lý khơng dùng đ−ợc đẳng thức mà nhóm thứ hai khơng có nhân tử chung Tuy nhiên, ta đặt nhân tử chung nhóm xong, ta thấy khác:
Gi¶i
Ta cã: C = x2(x - )+ (x - 2) = (x-2)( x2+1)
ã Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiều hạng tử:
a x2 - y2 - 2yz - z2
b x3 - 2x2 - x + c 8x
2 + 4xy - 2ax - ay d - 2a + 2bc + a2 - b2 - c2
4 Phơng pháp phối hợp
ã Chú ý:
- Thứ tự phơng pháp u tiên áp dụng nh sau:
Phng phỏp t nhân tử chung
Ph−ơng pháp dùng đẳng thc
Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = 8x2 - 4xy - 8x - 2y +
H−íng dÉn
Đầu tiên ta dễ dàng nhận hạng tử có nhân tử chung 2, từ ta có:
A = 2(4x2 + 2xy - 4x - y + 1)
Sau đặt nhân tử chung ra, ta thấy đa thức bên có năm số hạng khơng có nhân tử chung mà khơng có đẳng thức có dạng nh− vậy, ta nghĩ đến việc nhóm hạng tử với nhau, rõ ràng việc nhóm hai số hạng với khơng đ−ợc d− hạng tử, từ ta đem tách thành hai nhóm, nhóm ba số hạng nhóm hai số hạng, không nhận ba số hạng (4x2 - 4x + 1) đẳng thức (2x-1)2, ta thử cách nhóm để tới kết
Gi¶i
Ta cã: A = 2[(4x2 - 4x + 1) +( 2xy - y) = 2[(2x)2 - 2.2x + 12] +( 2xy - y)
(7)= 2(2x-1)(2x-1+y) • Bài tập áp dụng:
1 Tính nhanh:
a 3,71.66 + 3,71.34 b 252 - 152 Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử :
a 4x2 + 8xy-3x-6y
b 2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z -
c xy2- x3 - xz2 - 2xy + x - 2x2z
d 6x - 4x2 + 3y - 4xy + y2
3 T×m x biÕt:
a x3 + 9x = 6x2 b. (x - 5)2 = 16
4 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến:
A = (x+y-z-t)2 - (z+t-x-y)2
5 Chøng minh r»ng với số nguyên n biểu thức sau chia hÕt cho 4: B = (2n + 3)2 -
IV.Kết thực đề tài có so sánh đối chứng
Sau cung cấp cho học sinh số ý sử dụng ph−ơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp với tập minh hoạ củng cố luyện tập (tiết 14, 15), cuối tiết 15, tơi có đề kiểm tra nh− sau cho học sinh hai lớp 8A, 8B:
Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử: A = 4x + 4y + x2 - y2
2 B = x2 - y2 + 2y -
Kết nh sau:( lớp 8A: 39 bài/ 39 học sinh, líp 8B: 38 bµi/38 häc sinh ) §iĨm
Líp 1-3 4-5 6-7 8-9 10
8A 0 11 11
8B 0 10 10 12
Kết cho thấy, việc định h−ớng toán, dạng toán học sinh, đặc biệt em có lực học trung bình đX đem lại kết định Điều đX tạo cho lạc quan, giúp tơi có thêm niềm tin để tích cực tìm tịi dạy học
V Bµi häc kinh nghiÖm
(8)sau, kết hợp với việc lựa chọn tập nhằm giúp học sinh có kĩ tốt để giải toán thuộc dạng
1 Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung
• Chó ý:
- Nhân tử chung hệ số hạng tử UCLN hệ số Nếu hạng tử có hệ số ±1 phần hệ số đa thức khơng có nhân tử chung
- Nếu hạng tử đơn thức biến chung (có mặt tất số hạng) với số mũ nhỏ nhõn t chung
- Nếu hạng tử biểu thức biểu thức chung (có mặt tất số hạng) với số mũ nhỏ nhân tử chung
2 Phng phỏp dựng đẳng thức
• Chó ý:
- Nếu đa thức có hai hạng tử, sử dụng đẳng thức: - Nếu đa thức có ba hạng tử, sử dụng đẳng thức: - Nếu đa thức có bốn hạng tử, sử dụng mt cỏc hng ng thc:
3 Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
ã Chú ý:
- Các số hạng đem nhóm với cần thoả mXn điều kiện cuối tạo nhân tử chung với nhóm khác sử dụng đ−ợc đẳng thức với nhóm khác Do sau nhóm nhóm phải:
Hoặc đặt đ−ợc nhân tử chung:
Hoặc áp dụng đ−ợc đẳng thức:
Hoặc nhân tử chung nhóm khác:
4 Phơng pháp phối hợp
ã Chú ý:
- Thứ tự phối hợp phơng pháp u tiên áp dụng nh sau:
Phng phỏp t nhân tử chung
Ph−ơng pháp dùng đẳng thc
Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
VI Phạm vi áp dụng
L ngi thy, vic đ−ờng đắn xác giúp học sinh giải tập công việc cần thiết nh−ng dễ dàng, đặc biệt mơn tốn, mơn học mà hệ thống tập vơ phong phú, việc làm trở nên khó khăn Với suy nghĩ cịn hạn chế đây, tơi mong phần giúp em học sinh tháo gỡ trở ngại giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử ch−ơng trình “ phổ thơng”, tơi hy vọng tài liệu tham khảo để bạn đồng nghiệp dạy tốt ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ch−ơng trình đại số 8, với đối t−ợng chủ yếu học sinh mà khả nhận thức t− mức trung bình
(9)Tơi cho rằng, phân tích đa thức thành nhân tử dạng quan trọng ch−ơng trình đại số phổ thơng, làm để học sinh làm đúng, làm thành thạo tốn thuộc dạng trăn trở khơng riêng tơi mà cịn câu hỏi lớn nhiều thầy cô Do mong muốn, quan chun mơn phát động thi nhằm huy động trí tuệ đơng đảo nhà giáo tâm huyết lĩnh vực
Do trình độ thân nhiều yếu kém, nên ý kiến đ−a không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong nhận đ−ợc ý kiến góp ý chân tình Hội đồng khoa học bạn đồng nghiệp, giúp có thêm kiến thức quý báu, phục vụ ngày tốt nghiệp giáo dục đào tạo a phng
Tôi xin trân trọng cảm ơn! Tôi xin trân trọng cảm ơn! Tôi xin trân trọng cảm ơn! Tôi xin trân trọng cảm ơn! Tài liệu tham khảo:
1 Sách giáo khoa Đại số
2 Để học tốt Đại số ( Hoàng Chúng - chủ biên) Phơng pháp giải toán cấp II
Quốc Oai, ngày 13 tháng 04 năm 2004