Phần a: đặt vấn đề Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những ngời yêu thích toán học. Đối với học sinh để có một kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân. I. Lí do chọn đề tài SKKN Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" đợc học khá kỹ ở chơng trình lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng đợc ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chơng trình đại số lớp 8 cũng nh ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan trọng. Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa dạng, có nhiều bài tập vận dụng tơng tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các bài toán khó. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. 1, Đối với học sinh : Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy toán 8C tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết quả cho thấy. Lớp S số Giỏi Khá TB Yếu- kém SL % SL % Sl % SL % 8C 32 03 9,3 04 12,5 14 43,7 11 34,3 Sau khi kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm bài rất mơ hồ, số học sinh làm đợc chỉ rơi vào học sinh Khá- Giỏi. Số còn lại là học sinh TB, Yếu, kém không biết giải quyết bài toán nh thế nào. 2, Đối với giáo viên :Thực trạng này, không thể đổ lỗi hết cho học sinh bởi vì ngời giáo viên là ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, nhng cũng chỉ tuân theo sách giáo khoa mà dạy loại toán này. Song lại đòi hỏi học sinh phải t duy tốt và phải thâu tóm đợc kiến thức đã học để vận dụng vào để giải bài tập . Nh vậy, là áp đặt, gò bó đối với học sinh. Phần B: giải quYết vấn đề Trớc hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ Phân tích đa thức thành nhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào đợc vận dụng nó và vận dụng nó nh thế nào ? - 1 - - Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của các đa thức,đơn thức khác. - Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác. Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết. + Rút gọn biểu thức +Giải phơng trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất I. Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 1- Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử. Ví dụ: x 4 + 5x 3 +15x - 9 Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc thêm bớt số hạng. Ta có thể phân tích nh sau: Cách 1: x 4 + 5x 3 + 15x - 9. = x 4 - 9 + 5x 3 + 15x = (x 2 - 3) (x 2 + 3) + 5x (x 2 + 3) = (x 2 + 3) (x 2 - 3 + 5x) = (x 2 + 3) (x 2 + 5x - 3) Cách 2: x 4 + 5x 3 + 15x - 9. = x 4 + 5x 3 - 3x 2 + 3x 2 + 15x - 9 = x 2 (x 2 + 5x - 3) + 3 (x 2 + 5x - 3) = (x 2 + 3) (x 2 + 5x - 3) Bài này cần lu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x 2 + 5x - 3 không phân tích đợc nữa. 2 - Phơng pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ: (b - c) 3 + (c - a) 3 + (a - b) 3 . Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b. Ta thấy: x + y + z = 0 => z = - x - y (b - c) 3 + (c - a) 3 + (a - b) 3 = x 3 + y 3 + z 3 = x 3 + y 3 + (- x - y) 3 = x 3 + y 3 - x 3 - y 3 - 3x 2 y - 3xy 2 = - 3xy ( x + y) - 2 - = 3xyz = 3 (b - c) (c - a) (a - b) 3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tìm nghiệm của đa thức. *Cách tìm nghiệm của một đa thức -Phơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có ) của một đa thức phải là ớc của hạng tử tự do. VD. Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau: x 3 + 3x 2 - 4 Giải: C1)Các ớc của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 .Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x = -2 là nghiệm của đa thức đã cho. C2) Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm x = 1. - Phơng pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ớc của hệ số tự do;q là ớc dơng của số hạng có bậc cao nhất. Chú ý: -Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1. Ví dụ: Đa thức a) 3x 4 - 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1. b) 4x 3 +5x 2 - 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1. - Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 . II. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử . Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng. Ví dụ: Rút gọn biểu thức: 60677 120106194 + + = xxxx xxxx A Giải : Ta có - 3 - 60677 120106194 + + = xxxx xxxx A Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5 Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5 Do đó 60677 120106194 + + = xxxx xxxx A )5)(4)(3)(1( )5)(4)(3)(2( +++ + = xxxx xxxx A )4)(1( )4)(2( ++ = xx xx A Dạng 2 : Chứng minh chia hết Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhng ở đây tôi chỉ trình bày phơng pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải. Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) Giải: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x 2 + 8x +7) (x 2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x 2 + 8x +11 (t - 4)(t + 4) +15 = t 2 - 1 = (t + 1)(t - 1) Thay t = x 2 + 8x +11 , ta có (x 2 + 8x + 12) (x 2 + 8x +10) (x 2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6) Vy [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có (4x + 3) 2 - 25 chia hết cho 8. Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3) 2 - 25 ra thừa số (4x + 3) 2 -25 = (4x + 3) 2 - 5 2 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1) Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên. Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM. Cách 2: (4x + 3) 2 - 25 = 16x 2 + 24x + 9 - 25 = 16x 2 + 24x - 16 = 8 (2x 2 + 3x - 2). - 4 - Vì x là số nguyên nên 2x 2 + 3x - 2 là số nguyên Do đó 8 (2x 2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra ĐPCM. Dạng 3: áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phơng trình. * Giải phơng trình bậc cao Ví dụ : Giải phơng trình ( 3x - 5 ) 2 -( x - 1 ) 2 = 0 Giải: Ta có: ( 3x - 5 ) 2 -( x - 1 ) 2 = 0 ú ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0 ú ( 4x - 6)(2x - 4) = 0 4x - 6 = 0 ú x = 3/2 hoặc 2x - 4 = 0 ú x = 2 Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2 III - Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1) x 3 - 4x 2 + 8x - 8 2) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + yz 2 + 2xyz 3) x 2 + 7x + 10 4) y 2 + y - 2 5) n 4 - 5n 2 + 4 6) 15x 3 + x 2 - 2n 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 1 10) x 4 - 4x 3 + 10x 2 - 12x + 9 11) (x 2 + x) (x 2 + x + 1) - 2 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3 13) CMR biểu thức (2n + 3) 2 - 9 chia hết cho 4 với mọi n nguyên. 14) CM biểu thức 24812 32 nnn ++ là số nguyên với mọi số chẵn n. 15) Chứng minh đa thức: x 79 + x 78 + + x 2 + x+ 1 chia hết cho đa thức x 19 + x 18 + + x 2 + x + 1 - 5 - C - Kết luận: I. Thực tiễn khảo sát sau khi áp dụng. Sau khi áp dụng các cách giải bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" trong đại số 8 thực tế học sinh chủ động khi giải toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" chứ không lúng túng, mơ hồ nh trớc. Kết quả tôi đã thu đợc sau khi áp dụng đề tài này đợc thể hiện ở bảng sau: Lớp S số Giỏi Khá TB Yếu- kém SL % SL % Sl % SL % 8C 30 04 13,3 08 26,7 12 40,0 06 20,0 II. Kết quả: Để giải quyết các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" đại số ở lớp 8 các em phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đaị số, phải biến đổi và sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến phức tạp. Đề tài này giúp học sinh giải quyết các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" trong đại số 8 có phơng pháp hơn, hiệu quả hơn .Khơi dậy đợc sự đam mê học toán nói chung và sự say mê giải các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử"nói riêng. Yêu cầu về phát huy tính tự giác rèn luyện khả năng t duy tích cực độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua hoạt động giải toán đã đợc học. Về mặt t tởng các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống, rèn luyện nếp nghĩ, làm việc khoa học, luôn có t tởng cầu tiến trong học tập cũng nh trong công việc. III. Bài học kinh nghiệm: Với đề tài "Phân tích đa thức thành nhân tử" đại số 8. Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" trong đại số 8. Trong mỗi giờ dạy tôi đa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ, trong mỗi ví dụ có gợi ý và hớng dẫn học sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các bài toán khác các em có thể giải đợc. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn còn có học sinh nắm cha vững tất cả các dạng giải toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" nh trình bày ở trên, đặc biệt là với học sinh yếu, kém. Trên đây là một số kinh nghiệm, biện pháp mà tôi đã thực hiện nhằm nâng cao chất lợng dạy môn toán ở cấp học THCS. Những điều đó, có đợc cũng qua tích lũy thực tế giảng dạy, tìm tòi các tài liệu, sách báo, Internet, học hỏi các thế hệ đồng nghiệp do trình độ năng lực của bản thân có hạn, không tránh khỏi những thiếu - 6 - sót . Rất mong nhận đợc sự giúp đỡ, góp ý của các đồng nghiệp để hoạt động dạy học của chúng ta ngày càng thêm hiệu quả. Ngày 20 tháng 4 năm 2011 Ngời thực hiện: o Th Thanh Võn - 7 - - 8 - Trờng tHCS ĐàO Xá phơng pháp PHÂN TíCH ĐA THứC THàNH NHÂN Tử ' ngời thực hiện: Đào Thị Thanh Vân Tổ bộ môn: KHoa học Tự nhiên Năm học 2010 - 2011 ************* . tháng 4 năm 2011 Ngời thực hiện: o Th Thanh Võn - 7 - - 8 - Trờng tHCS ĐàO Xá phơng pháp PHÂN TíCH ĐA THứC THàNH NHÂN Tử ' ngời thực hiện: Đào Thị Thanh Vân Tổ bộ môn: KHoa học Tự nhiên Năm. đổ lỗi hết cho học sinh bởi vì ngời giáo viên là ngời chủ động, chủ đạo kiến thức, nhng cũng chỉ tu n theo sách giáo khoa mà dạy loại toán này. Song lại đòi hỏi học sinh phải t duy tốt và phải. sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các bài toán khác các em có thể giải đợc. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn còn có học sinh nắm cha vững tất cả các dạng giải toán "Phân