SKKN - Phân tích đa thức thành nhân tử

Phần chung 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc. Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng. 1.2. Cơ sở lý luận Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chơng trình, nội dung của SGK, nắm vững ph- ơng pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thờng xuyên phải làm. Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dỡng những học sinh có năng khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp đợc tổ chức thờng xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ điều đó. Chơng trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi, trong đó chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những chuyên đề giữ một vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phơng trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, . nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, . Chính vì vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm. 1.3. Cơ sở thực tiễn Năm học này, bản thân tôi đợc Nhà trờng và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio. Đây là cơ hội để tôi đa đề tài này áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi. Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này. 2. Nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử. - Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phơng pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài . - Thực nghiệm việc sử dụng các phơng pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy. - Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu. 3. Giới hạn của đề tài Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại hai trờng: Trờng THCS Nguyễn Thái Học và Trờng THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tợng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 9 4. Đối tợng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 9 của Trờng THCS Dân tộc nội trú và Trờng THCS Nguyễn Thái Học. 5. Phơng pháp nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phơng pháp sau đây: a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận. b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn. c) Phơng pháp quan sát. d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. e) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm. 1 6. Thời gian nghiên cứu Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007 7. Tài liệu tham khảo Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9. - Chuyên đề bồi dỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn) - 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH). Nội dung đề tài 1. Nội dung thực hiện 1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa 1 + Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử. + Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy: a n x n + a n-1 x n-1 + + a 0 = c( c a n x n + c a n 1 x n 1 + + c a 0 ) ( với c 0, c 1 ). b) Định nghĩa 2 Giả sử P(x) P [ ] x là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên trờng P nếu nó không thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x). Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phân tích đợc trên P. 1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1 Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0. b) Định lý 2 Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức < 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích đợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0. c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Giả sử f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n , n > 1, a n 0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của a n nhng p là ớc của các hệ số còn lại và p 2 không phải là ớc của các số hạng tự do a 0 . Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q. 1.2. Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thành tích các đa thức trên trờng số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những kĩ thuật , những thói quen và kĩ năng sơ cấp. Dới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. 1.2.1. Phơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngợc). Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax 3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax 3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax by) = 2x 2 (ax + 2by + ax by) =2x 2 (2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (2a 2 3ax)(5y + 2b) (6a 2 4ax)(5y + 2b) 2 Giải: Ta có: P = (2a 2 3ax)(5y +2b) (6a 2 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a 2 3ax) (6a 2 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a 2 + ax) = (5y + 2b)(x 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x 2 (y 2z ) 15x(y 2z) 2 Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y 2z Do đó : B = 3x 2 (y 2z) 15x(y 2z) 2 = 3x(y 2z)((x 5(y 2z)) =3x(y 2z)(x 5y + 10z) Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a 2 3ax)(5c + 2d) (6a 2 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: C = (2a 2 3ax)(5c + 2d) (6a 2 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a 2 3ax 6a 2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax 4a 2 ) = a(5c + 2d)(x 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6xy 2 z xyz 2 + 3xy Giải: Ta có: Q = 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6xy 2 z xyz 2 + 3xy = 3xy(x 2 2x y 2 2yz z 2 + 1) = 3xy((x 2 2x + 1) (y 2 + 2yz + z 2 )) = 3xy((x 1) 2 (y + z) 2 ) = 3xy((x 1) (y + z))((x 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y z 1)(x + y + z 1) Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x 2 (y 2z) 10y( y 2z) Giải: Ta có : A = 16x 2 (y 2z) 10y( y 2z) = (y 2z)(16x 2 10y) Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 3 + 3x 2 + 2x + 6 Giải: Ta có : B = x 3 + 3x 2 + 2x + 6 = x 2 (x + 3) + 2( x + 3) = (x 2 + 2)(x + 3) Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z 3 + 3z 2 + 2z +1 Giải: Ta có : A = 6z 3 + 3z 2 + 2z +1 = 3z 2 (2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z 2 + 1) 1.2.2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử Phơng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ : Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy 2 xz 2 + yz 2 yx 2 + zx 2 zy 2 Giải: Ta có : B = xy 2 xz 2 + yz 2 yx 2 + zx 2 zy 2 = (xy 2 xz 2 ) + (yz 2 - zy 2 ) + (zx 2 yx 2 ) = x(y 2 z 2 ) + yz(z y) + x 2 (z y) = x(y z)(y + z) yz(y z) x 2 (y z) = (y z)((x(y + z) yz x 2 )) = (y z)((xy x 2 ) + (xz yz) = (y z)(x(y x) + z(x y)) = (y z)(x y)(z x) Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x 5 +6x 3 +6x 2 +9 3 Giải: Ta có : A= 4x 5 +6x 3 +6x 2 +9 = 2x 3 (2x 2 + 3) + 3(2x 3 + 3) = (2x 3 + 3)(2x 2 + 3) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 6 + x 4 + x 2 + 1 Giả: Ta có : B = x 6 + x 4 + x 2 + 1 = x 4 (x 2 + 1) + ( x 2 + 1) = (x 2 + 1)(x 4 + 1) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 2 + 2x + 1 y 2 Giải: Ta có: B = x 2 + 2x + 1 y 2 = (x 2 + 2x + 1) y 2 = (x + 1) 2 y 2 =(x +1 y)(x + 1 + y ) Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 2 + 2xy + y 2 xz - yz Giải: Ta có : A = x 2 + 2xy + y 2 xz - yz = (x 2 + 2xy + y 2 ) (xz + yz) = (x + y) 2 z(x + y) = (x + y)(x + y z) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x m + 4 + x m + 3 x - 1 Giải: Ta có : A = x m + 4 + x m + 3 x 1 = x m + 3 (x + 1) ( x + 1) = (x + 1)(x m + 3 1) Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x 2 (y z) + y 2 (z - x) + z 2 (x y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z Ta có : P = x 2 (y z) + y 2 z xy 2 + xz 2 yz 2 = x 2 (y z) + yz(y z) x(y 2 z 2 ) = x 2 (y z) + yz(y z) x(y z)(y + z) = (y z)((x 2 + yz x(y + z)) = (y z)(x 2 + yz xy xz) = (y z)(x(x y) z(x y)) = (y z)(x y)(x z) Nhận xét : dễ thấy z x = -((y z) + (x y) nên : P = x 2 (y z) - y 2 ((y z) + (x y)) + z 2 (x y) =(y z)(x 2 y 2 ) (x y)(z 2 y 2 ) = (y z) (x y)(x + y) - (x y)(z - y)(z + y) = (y z) (x y)(x + y (z + y)) = (y z) (x y)(x z) Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc 2 + c 2 a + abc abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c 2 ( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c 2 ) 4 = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a 2 b + ab 2 + b 2 c +bc 2 + c 2 a + ca 2 + 3abc Giải: Ta có : Q = a 2 b + ab 2 + b 2 c +bc 2 + c 2 a + ca 2 + 3abc = (a 2 b + ab 2 + abc) + (b 2 c +bc 2 +abc) + (c 2 a + ca 2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2a 2 b + 4ab 2 a 2 c + ac 2 4b 2 c + 2bc 2 4abc Giải: Ta có : A = 2a 2 b + 4ab 2 a 2 c + ac 2 4b 2 c + 2bc 2 4abc = (2a 2 b + 4ab 2 ) (a 2 c + 2abc) + (ac 2 + 2bc 2 ) (4b 2 c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) ac(a + 2b) + c 2 (a + 2b) 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab ac + c 2 2bc) = (a + 2b)(a(2b c) c(2b c)) = (a + 2b)(2b c)(a c) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x 2 y 2 (2x + y) + y 2 z 2 (z y) 4z 2 x 2 (2x + z) Giải: Ta có : P = 4x 2 y 2 (2x + y) + y 2 z 2 (z y) 4z 2 x 2 (2x + z) = 4x 2 y 2 (2x + y) + z 2 (y 2 (z y) 4x 2 (2x + z) = 4x 2 y 2 (2x + y) + z 2 ( y 2 z y 3 8x 3 4x 2 z) = 4x 2 y 2 (2x + y) + z 2 (z(y 2 4x 2 ) (y 3 + 8x 3 )) = 4x 2 y 2 (2x + y) + z 2 (z(y 2x)(y + 2x) (y + 2x)(y 2 2xy + 4x 2 )) = (2x + y)( 4x 2 y 2 + z 3 2xz 3 z 2 y 2 + 2xyz 2 4x 2 z 2 ) = (2x + y)(4x 2 (y 2 z 2 ) z 2 y (y z) +2xz 2 ( y z)) = (2x + y)(y z)(4x 2 y + 4x 2 z z 2 y + 2xz 2 ) = (2x + y)( y z)(y(4x 2 z 2 ) + 2xz(2x + z)) = (2x + y)( y z) (2x + z)(2xy yz + 2xz) 1.2.3. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác. Các hằng đẳng thức thờng dùng là : A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2 A 2 - 2AB + B 2 = (A - B) 2 A 2 - B 2 = (A + B) (A - B) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 - B 3 = (A - B)( A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B)( A 2 - AB + B 2 ) Sau đây là một số bài tập cụ thể: Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 4 + x 2 y 2 + y 4 Giải: Ta có : A = x 4 + x 2 y 2 + y 4 = (x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 ) - x 2 y 2 = (x 2 + y 2 ) 2 - x 2 y 2 = (x 2 + y 2 + xy)(x 2 + y 2 xy) Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a 6 b 6 + a 4 + a 2 b 2 + b 4 Giải: Ta có : B = a 6 b 6 + a 4 + a 2 b 2 + b 4 = (a 6 b 6 ) + (a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) = (a 3 + b 3 ) (a 3 - b 3 ) + (a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) = (a + b)( a 2 - ab + b 2 ) (a - b)( a 2 + ab + b 2 ) + (a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 ) a 2 b 2 = (a + b)( a 2 - ab + b 2 ) (a - b)( a 2 + ab + b 2 ) +(a 2 + b 2 ) 2 a 2 b 2 = (a + b)( a 2 - ab + b 2 ) (a - b)( a 2 + ab + b 2 ) +(a 2 +ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 ) 5 = (a 2 +ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 ) ((a b)(a + b) + 1)) = (a 2 +ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 )(a 2 b 2 + 1) Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x 4 + x 2 + 1 + (x 2 x + 1) 2 Giải: Ta có : M = x 4 + x 2 + 1 + (x 2 x + 1) 2 = (x 4 + 2x 2 + 1) x 2 + (x 2 x + 1) 2 = (x 2 + 1) 2 x 2 + (x 2 x + 1) 2 = (x 2 x + 1) (x 2 + x + 1) + (x 2 x + 1) 2 = (x 2 x + 1) (x 2 + x + 1 + x 2 x + 1) = 2(x 2 x + 1)(x 2 + 1) Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 4 + y 4 + z 4 - 2x 2 y 2 2x 2 z 2 - 2y 2 z 2 Giải: Ta có: A = x 4 + y 4 + z 4 - 2x 2 y 2 2x 2 z 2 - 2y 2 z 2 = (x 4 + y 4 + z 4 - 2x 2 y 2 2x 2 z 2 + 2y 2 z 2 ) 4y 2 z 2 = (x 2 y 2 z 2 ) 2 4y 2 z 2 = (x 2 y 2 z 2 2yz) (x 2 y 2 z 2 + 2yz) = (x 2 (y + z) 2 )( x 2 (y - z) 2 ) = (x y z) (x + y + z) (x y + z)(x + y z) Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + y) 3 +(x - y) 3 Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải nh sau : Cách 1: A = (x + y) 3 +(x - y) 3 = ((x + y) +(x - y)) 3 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x 3 3.2x(x 2 y 2 ) = 2x(4x 2 3(x 2 y 2 )) = 2x(x 2 + 3y 2 ) Cách 2: A = (x + y) 3 +(x - y) 3 = ((x + y) +(x - y))((x + y) 2 (x + y)(x y) + (x y) 2 = 2x(2(x 2 + y 2 ) - (x 2 y 2 )) = 2x(x 2 + 3y 2 ) Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x 2 + 40x + 25 Giải: Ta có: A = 16x 2 + 40x + 25 = (4x) 2 + 2.4.5.x + 5 2 = (4x + 5) 2 Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y) 3 +(y - z) 3 +(z - x) 3 Giải: Dễ thấy : x y =(x z) + (z y) Từ đó ta có : (x - y) 3 = (x z) 3 + (z y) 3 + 3(x z)(z y)((x z) + (z y)) = - (z - x) 3 - (y - z) 3 + 3(z x)(y z)(x y) = 3(z x)(y z)(x y) Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) (a 3 + b 3 + c 3 ) Giải: Ta có: A = (a + b+ c) (a 3 + b 3 + c 3 ) = a 3 + 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + (b + c) 3 - (a 3 + b 3 + c 3 ) = a 3 + 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + b 3 + 3b 2 c + c 3 - (a 3 + b 3 + c 3 ) = 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a 2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x 8 2 8 6 Giải: Ta có : P = x 8 2 8 = (x 4 + 2 4 ) (x 4 - 2 4 ) = (x 4 + 2 4 )((x 2 ) 2 (2 2 ) 2 ) = (x 4 + 2 4 )(x 2 2 2 )(x 2 + 2 2 ) = (x 4 + 2 4 )(x 2 + 2 2 )(x 2)(x + 2) Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (x 3 1) + (5x 2 5) + (3x 3) Giải: Ta có: Q = (x 3 1) + (5x 2 5) + (3x 3) = (x 1)(x 2 + x + 1) + 5(x 1) (x + 1) + 3(x 1) = (x 1)( x 2 + x + 1 + 5x + 5 + 3) = (x 1)( x 2 + 6x + 9) = (x 1)(x + 3) 2 1.2.4. Phơng pháp thực hiện phép chia: Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x). Sau đây là một số ví dụ cụ thể: Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x 5 + 6x 4 + 13x 3 + 14x 2 + 12x + 8 Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2) 5 + 6(-2) 4 + 13(-2) 3 + 14(-2) 2 + 12(-2) + 8 = 0 Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc: f(x) = (x + 2)(x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 4x + 4 có g(-2) = 0 Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc: g(x) = (x + 2)(x 3 + 2x 2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x 3 + 2x 2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0 Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x 2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x 2 + 1) = (x + 2) 3 (x 2 + 1) Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia đợc nhanh hơn. Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) nh sau : 1 6 13 14 12 8 -2 1 4 5 4 4 0 Vậy f(x) = (x + 2)(x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 4x + 4) Chia x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 4x + 4 cho (x + 2) nh sau : 1 4 5 4 4 -2 1 2 2 2 0 Vậy x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 4x + 4 = (x + 2)(x 3 + 2x 2 + 2x + 2) Chia x 3 + 2x 2 + 2x + 2 cho (x + 2) nh sau : 1 2 2 2 -2 1 0 1 0 Vậy x 3 + 2x 2 + 2x + 2 = (x + 2)(x 2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2) 3 (x 2 + 1) Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x 4 2x 3 11x 2 + 12x + 36 7 Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ớc của 36 : 1; 2; 3; 4; 6 ; 9; 12; 18; 36. Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 44 24 +36 = 68 68 = 0 Ta có: P = x 4 + 2x 3 4x 3 8x 2 3x 2 6x + 18x + 36 = x 3 (x + 2) 4x 2 (x + 2) 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x 3 4x 2 3x + 18) Lại phân tích Q = x 3 4x 2 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2) 3 4(-2) 2 3(-2) + 18 = 0 Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc : Q = (x + 2)(x 2 6x + 9) = (x + 2)(x 3) 2 Vậy: P = (x + 2) 2 (x 3) 2 1.2.5. Phơng pháp đặt ẩn phụ Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ. Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x 2 + x) + 4(x 2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x 2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y 2 + 4y 12 = y 2 2y + 6y 12 = y(y 2) + 6(y 2) = (y 2)(y + 6) (1) Thay : y = x 2 + x vào (1) ta đợc : A = (x 2 + x 2)(x 2 + x 6) = (x 1)(x + 2)(x 2 + x 6) Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) - 12 Giải: A = (x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x 2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành : A = y(y + 1) 12 = y 2 + y 12 = y 2 3y + 4y 12 = y(y 3) + 4(y 3) = (y 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x 2 + x + 1) vào (*) ta đợc : A = (x 2 + x + 1 - 3)(x 2 + x + 1 + 4) = (x 2 + x 2) (x 2 + x + 6) = (x 1)(x + 2)(x 2 + x + 6) Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 12 3x 6 + 1 Giải: B = x 12 3x 6 + 1 Đặt y = x 6 (y 0 ) Đa thức đã cho trở thành : B = y 2 3y + 1 = y 2 2y + 1 y = (y 1) 2 y = (y 1 - y )(y + 1 + y ) (*) Thay : y = x 6 vào (*) đợc : B = (x 6 1 - )1)( 66 xyx ++ = (x 6 1 x 3 )(x 6 + 1 + x 3 ) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 3 - 3 2 x 2 + 3x + 2 - 2 8 Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2 A = (y + 2 ) 3 - 3 2 (y + 2 ) 2 + 3(y + 2 ) + 2 - 2 = y 3 + 3y 2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y 2 + 2 2 y + 2) + 3(y + 2 ) + 2 - 2 = y 3 - 3y 2 = y 3 - y 2y 2 = y(y 2 1) 2(y + 1) = y(y 1)(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1)(y(y 1) 2) = (y + 1)(y 2 y 2) = (y + 1)(y + 1)(y 2) = (y + 1) 2 (y 2) (*) Thay : y = x - 2 vào (*), đợc : A = (x - 2 + 1) 2 (x - 2 - 2) Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Giải: Ta có: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x 2 + 8x + 7)( x 2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x 2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y 2 + 8y + 15 = y 2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x 2 + 8x + 7), ta đợc : M = (x 2 + 8x + 10)(x 2 + 8x + 12) = (x 2 + 8x + 10)( x 2 + 2x + 6x + 12) = (x 2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x 2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) Bằng cách biến đổi tơng tự nh bài 36, ta đa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích đợc đa thức A thành tích các nhân tử. Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 4 + 6x 3 + 7x 2 - 6x + 1 Giải: Giả sử x 0 , ta viết đa thức dới dạng : A = x 2 ((x 2 + 2 x 1 ) + 6( x - x 1 ) + 7 ) Đặt y = x - x 1 thì x 2 + 2 x 1 = y 2 + 2 Do đó : A = x 2 (y 2 + 2 + 6y + 7) = x 2 ( y + 3) 2 = (xy + 3x) 2 Thay y = x - x 1 , ta đợc A = 2 3) 1 ( + x x xx = (x 2 + 3x 1) 2 Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0 9 Nhận xét : Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = a 0 x 2n + a 1 x n 1 +.+ a n 1 x n 1 +a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 Bằng cách đa x n làm nhân tử của A, hay : A = x n (a 0 x n + a 1 x n 1 + .+ a n 1 x + a n + x a n 1 + + 1 1 n x a + n x a 0 Sau đó đặt y = x + x 1 ta sẽ phân tích đợc A thành nhân tử một cách dễ dàng nh bài tập trên. Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 2 + 2xy + y 2 x y - 12 Giải: Ta có: A = x 2 + 2xy + y 2 x y 12 = (x + y) 2 (x + y) 12 - Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành : A = X 2 X 12 = X 2 - 16 X + 4 = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + 4 - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta đợc : A = (x + y 4)( x + y + 3) Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z) 2 + (xy + yz + zx) 2 Giải: A = (x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z) 2 + (xy + yz + zx) 2 Đặt : x 2 + y 2 + z 2 = a xy + yz + zx = b ( x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức A trở thành : A = a(a + 2b) + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 (*) Thay : a = x 2 + y 2 + z 2 b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc : A = (x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx) 2 Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (x y) 3 + (y z) 3 + (z x) 3 Giải: Đặt : A = x y ; B = y z; C = z x Ta có : A + B + C = 0. Nên A + B = - C Lập phơng hai vế : (A + B) 3 = - C 3 A 3 + 3AB(A + B) + B 3 = - C 3 A 3 + B 3 + C 3 = - 3AB(A + B) A 3 + B 3 + C 3 = 3ABC Thay : A = x y ; B = y z; C = z x, ta đợc : (x y) 3 + (y z) 3 + (z x) 3 = 3(x y)(y z)(z x) 1.2.6. Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng) Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đa về hằng đẳng thức đáng nhớ. Sau đây là một số ví dụ : Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 2 6x + 5 10 [...]... 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3 7x2 + 17x - 5 Giải: Ta có : Q = 3x3 7x2 + 17x - 5 = 3x3 x2 6x2 + 2x + 15x 5 = x2(3x 1) 2x(3x 1) + 5(3x 1) 13 = (3x 1)(x2 2x + 5) Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 x2 x - 2 Giải: Ta có : A = x3 x2 x - 2 = x3 1 (x2 + x + 1) = (x 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x 1 1) = (x2 + x + 1)(x 2) Bài 49: Phân tích đa. .. 1) = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) Cách 3 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 5x2 + 6xy + y2 Giải: Cách 1 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách 2 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) (x2 - y2) 12 = 6x(x... x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x 1 1) = (x2 + x + 1)(x 2) Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + x2 x + 2 Giải: Ta có : B = x3 + x2 x + 2 = (x3 + 1) + (x2 - x + 1) = (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) = (x2 - x + 1)(x + 2) Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x3 6x2 x + 30 Giải: Ta có : C = x3 6x2 x + 30 = x3 + 2x2 8x2 16x + 15x + 30... (x y)(y z)(z x) thơng là hằng số k, nghĩa là : P = k(x y)(y z)(z x) , k là hằng số Cho : x = 1; y = -1 ; z = 0 ta đợc : 12. (-1 )2. (-2 ) + (-1 )2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 0) = k 2. (-1 ). (-1 ) -2 = 2k k = -1 Vậy P = -1 (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x z) Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ab(a b) + bc(b c) + ca(c a) Giải: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi... a.c = t Bớc 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trờng hợp) t = pi.qi Bơc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b Bớc 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bớc 5 : từ đây nhóm các số hạng và đa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - 3 Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3 = x4 x2+ 3x2 3 = x2(x2 1) +... 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - 3 + 2) = (x2 + 3)(x2 1) = (x2 + 3)(x 1)(x + 1) Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3 = (3x4 3) 2x4 + 2x2 = 3(x4 1) 2x2(x2 1) = 3(x2 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 1) = (x2 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 1) (x2 + 3) = (x 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + 1 Giải: Cách 1 : A = x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + 1 -. .. 14 bd = 3 Xét bd = 3 với b, d Z , b {1;3 Hệ điều kiện trở thành : } với b = 3; d = 1 a+ c = 6 ac = 8 a + 3c = 14 Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2 Vậy M = x4 6x3 + 12x2 14x + 3 = (x2 2x + 3)(x2 4x + 1) Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 14 Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy... + y2)2 (xy)2 = (x2 + y2 xy)(x2 + y2 + xy) Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + 1 + (x2 x + 1)2 Giải: Ta có : A = x4 + x2 + 1 + (x2 x + 1)2 = x4 + (x2 x + 1) + (x2 x + 1)2 + x = (x2 x + 1)(x2 x + 2) + x(x + 1)(x2 x + 1) = (x2 x + 1)((x2 x + 2) + x(x + 1)) = (x2 x + 1)(2x2 + 2) Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x4 + 81 Giải: Ta có : P = 4x4 + 81 = 4x4 +... hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính đợc các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phơng trình sơ cấp Sau đây là một số ví dụ : Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 6x3 + 12x2 14x + 3 Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng : x4 6x3 + 12x2 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 6x3 + 12x2 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hai đa thức, ... nhất hai đa thức ta đợc hệ điều kiện: a + c = 0 ac + b + d = 0 ad + bc = 8 bd = 63 a = 4 b = 7 c = 4 d = 9 Vậy : B = x4 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) 1.2.8 Phơng pháp xét giá trị riêng Đây là một phơng pháp khó, nhng nếu áp dụng nó một cách linh hoạt thì có thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh Trong phơng pháp này ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi . bài 36, ta đa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích đợc đa thức A thành tích các nhân tử. Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 4. bản về phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý 1 Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó