skkn phân tích đa thức thành nhân tử

sáng kiến kinh nghiệm hay đẫ đạt trên 80 điểm.Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả năng tư duy, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú , say mê học tập bộ môn. Nêu lên được một số kinh nghiệm của bản thân về dạy học: “ Phân tích đa thức thành nhân tử”

phân tích đa thức thành nhân tử - A Đặt vấn đề: I Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận Đào tạo hệ trẻ trở thành ngời động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng thực giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xã hội giới khách quan vấn đề mà nhiều nhà giáo dục quan tâm.Vấn đề không nằm mục tiêu giáo dục Đảng Nhà nớc ta giai đoạn lịch sử Trong tập hợp môn nằm chơng trình giáo dục phổ thông nói chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán môn khoa học quan trọng, cầu nối ngành khoa học với đồng thời có tÝnh thùc tiÔn rÊt cao cuéc sèng x· héi với cá nhân Đổi phơng pháp dạy học đợc hiểu tổ chức hoạt động tích cùc cho ngêi häc, kÝch thÝch, thóc ®Èy, híng t ngời học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ khơi dậy thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh tự thân ngời học từ phát triển, phát huy khả tự học họ Đối với học sinh bậc THCS vậy, em đối tợng ngời học nhạy cảm việc đa phơng pháp học tập theo hớng đổi cần thiết thiết thực Vậy làm để khơi dậy kích thích nhu cầu t duy, khả t tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm môn học đem lại niỊm vui høng thó häc tËp cho häc sinh? Tríc vấn đề ngời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vËn dơng, sư dơng phèi hỵp phân tích đa thức thành nhân tử - phơng pháp dạy học học cho phù hợp với kiểu bài, đối tợng học sinh, xây dựng cho học sinh hớng t chủ động, sáng tạo Cơ sở thực tiễn Nội dung chơng trình đại số phong phú đa dạng, bao hàm nhiều kiến thức đòi hỏi xác logic Mong muốn nắm vững kiến thức toán học để học học giỏi môn toán nguyện vọng nhiều học sinh Trong đặc biệt chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Nó đợc đa vào chơng đầu, sau phần đẳng thức đáng nhớ Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử chứa đựng nhiều kiến thức, kỹ phơng pháp suy luận mà chơng trình đòi hỏi Nó liên quan tới nhiều nội dung khác chơng trình nh: Quy đồng phân thức, giải phơng trình chứa ẩn mẫu, phơng trình tích, bất phơng trình, chứng minh chia hết đa thức Các tập Phân tích đa thức thành nhân tử đơn giản mà hàm xúc, không khó nhng đòi hỏi sáng tạo, chắn chúng lôi em làm em hứng thú học toán Dần dần hình thành cho em học sinh thói quen tìm phơng pháp tối u cho công việc sống Các em học sinh thờng gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải toán Phân tích đa thức thành nhân tử có không vận dụng kiến phân tích đa thức thành nhân tử - thức chơng trình họ, có giải đợc đoạn vào ngõ cụt, bế tắc Qua nhiều năm giảng dạy chăn trở, suy nghĩ tìm tòi thu thập tài liệu xếp cho hợp lý mong muốn giúp đỡ em bớt gặp khó khăn trình tìm lời giải cho toán Phân tích đa thức thành nhân tử II Mục đích nghiên cứu đề tài Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả t duy, lực tự học học sinh, tạo điều kiện cho em hứng thú , say mê học tập môn Nêu lên đợc số kinh nghiệm thân dạy học: Phân tích đa thức thành nhân tử B Giải vấn đề: Phần I: Các kiến thức cần nhớ Khái niệm Phân tích đa thức thành nhân tử( hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: a- Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thông thờng: - Đặt nhân tử chung ( thừa số chung) - Dùng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm hạng tử b- Phân tích đa thức thành nhân tử vài phơng pháp khác( bổ sung – n©ng cao) phân tích đa thức thành nhân tö - - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm bớt hạng tử - Phơng pháp biến đổi (đặt ẩn phụ) - Phơng pháp hệ số bất định - Phơng pháp xét giá trị riêng Phần 2:BàI TậP áP DụNG: I/ ĐặT NHÂN Tử CHUNG ( THừA Số CHUNG) Kiến thức: Phơng pháp thờng đợc xét đến trớc tiên dựa vào tính chất phân phối phép nhân đôi với phép cộng đa thức: AB + AC = A(B + C) VÝ dô: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Ví dụ 1: A = 6x3 – 9x2 = 3x2 (2x - 3) VÝ dô : B = 3x(x – 2y) + 6y(2y - x) = 3x(x – 2y) - 6y(x – 2y) = (x – 2y)(3x – 6y) = (x – 2y).3(x – 2y) (1) (2) = 3(x – 2y)2 VÝ dô : C = 4x(x - y) + (y - x)2 = 4x (x - y) + (x - y)2 = (x - y)(4x + 3x – 3y) = ( x- y)(7x – 3y) NhËn xÐt - Khi hạng tử đa thức có chung hay nhiều nhân tử, ta đặt nhân tử chung dấu ngoặc nh ví dụ - Nhiều ta phải đổi dấu làm xuất nhân tử chung nh ví dụ : phân tích đa thức thành nhân tử - (2y - x) = - (x – 2y) ë vÝ dô sè mũ chẵn nên (y - x)2 = (x - y)2 tránh mắc sai lầm nh ví dụ (y - x)2 = - (x - y)2 sai Vì ta cần ý : Tích không đổi ta đổi dấu hai nhân tử ( tổng quát số chẵn nhân tử) - Một ý mà em cần nhớ phải phân tích Triệt ®Ĩ” nh ë vÝ dơ nÕu ta dõng l¹i (1) (2) đa thức đợc phân tích thành nhân tử nhng cha Triệt để II/ PHƯƠNG PHáP DùNG HằNG ĐẳNG THứC: Kiến thức: Phơng pháp dựa vào đẳng thức đáng nhớ Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: VD1: A = a4 b4 = (a2)2 - (b2)2 = (a2 - b2) (a2 + b2) (1) = (a - b)(a + b) (a2 + b2) (2) VD2: B = (x2 + 1)2 = 4x2 = (x2 – 2x + 1) (x2 + 2x + 1) (1) = (x2 - 1) (x2 + 1) (2) VD3: C = (x + y)2 – 2(x + y) + = (x + y – 1)2 NhËn xÐt : VD1; VD2 ta dùng đẳng thức a2 - b2 = (a - b) (a + b) hai ví dụ ta dựng lại (1) đa thức đợc phân tích nh chua Triệt để Còn VD2 từ (2) ta lại phË tÝch tiÕp: (x2 - 1) (x2 + 1) = (x2 - 1)2 - VD3 cho c¸c em thÊy ta phải quan sát kỹ biểu thức để dùng đẳng thøc cho nhanh phân tích đa thức thành nhân tử - III/ PHƯƠNG PHáP NHóM NHIềU HạNG Tử Kiến thức: Cần tìm cách nhóm hạng tử cách thích hợp nhằm xuất nhân tử chung dạng đẳng thức ®· häc VÝ dơ 2: Ph©n tÝch ®a thức sau thành nhân tử a VD1 : A = xy – 5y + 2y – 10 C¸ch 1: A = (xy – 5y) + (2x - 10) = y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2) C¸ch 2: A = (xy + 2x) – (5y + 10) = x(y + 2) – 5(y + 2) = (x - 5)(y + 2) b- VD2 : B = ax – bx + ab – x2 = (ax– x2) + ( ab– bx) = x(a - x) + b(a - x) = (a - x) (b + x) c- VD3 : C = x2- y2 + 4x + = (x2+ 4x + 4) - y2 = (x + 2)2 - y2 = (x + + y)(x + - y) NhËn xÐt: - ë ví dụ có hai cách nhóm thích hợp - ë vÝ dô nÕu ta nhãm (ax - bx) + (ab - x2 ) = x(a - b)+ (ab - x2 ) đến bế tắc Nh em cần nhớ quan sát cân nhắc để nhóm cho thích hợp c- VD4 : D = (x + y)3 – x3 – y3 = (x + y)3 – (x3 +y3) = (x + y)( x2+ 2xy + y2) - (x + y)( x2 - xy + y2) = 3xy (x + y) phân tích đa thức thành nhân tử - * Trong VD4 em nhóm nhẵm xuất đẳng thức (x3 +y3) Tuy nhiên cách giải dài, ta giải cách khác ngắn gọn khao triển đẳng thức (x + y)3 D= (x + y)3 – x3 – y3 C¸ch 2: = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 – y3 = 3x2y + 3xy2 = 3xy (x + y) c- VD4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x2(y - z)+ y2(z - x) + z2(x - y) - Dạng tập ta có hai cách giải: Cách 1: Khai triển số hạng cho lại tìm cách nhóm cho xuất nhân tử chung giống nhân tử số hạng lại E = x2(y - z)+ y2z - y2x + z2x - z2y = x2(y - z)+yz(y - z) - x(y2 – z2) = (y-z)( z2+yz – xy – xz) = (y-z) [x(x-y)z(x-y) ] = (y-z)(x-y)(x-z) C¸ch : T¸ch z-x = -(y - z) (x - y) Hoàn toàn tơng tự lµ: y – z = - (x-y) – (z - x) Hay: x – y = - (y - z) – (z - x) Ta sÏ cã E = x2(y - x)- y2[(y-z) + (x -z) ] + z(x-y) = (x-z)( x2- y2) – (x - y)( y2- z2) = = y(y - z)(x- y)(x-z) Ngoài dạng tập có cách giải khác phơng pháp xét giá trị riêng (phần sau) phân tích đa thức thành nhân tử - IV PHƯƠNG PHáP TáCH MộT HạNG Tử THàNH NHIỊU H¹NG Tư Tam thøc bËc 2: A = ax2 + bx + c a Phơng pháp tách hạng tử bx : - Tổng quát tìm tích ac: - Ph©n tÝch ac = b1b2 /b1 + b2 = b - T¸ch ax2 + bx + c = ax2+ b1x+ b2x + c VÝ dơ : Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử: A = 4x2 4x – Ta cã : ac = 4(-3) = -12 = -6.2 ( v× -6 + = -4 = b) ⇒ A = 4x2 – 6x + 2x– = 2x(2x -3)+ (2x -3) = (2x-3)(2x+1) NhËn xÐt: Phơng pháp tách bx nhằm xuất hệ số tỉ lệ a b2 = nhờ mà xuất thừa số chung b1 c * Phơng pháp phần lớn em hay dùng dễ nhớ dùng cho nhiều toán *Tuy nhiên để phân tÝch ac = b1b2 /b1 + b2 = b ta cần ý nh sau: - Nếu ac>0 mà b>0 ⇒ b1 vµ b2>0 VÝ dơ: A = x2 + 5x + cã ac = 1.4 = 4> vµ b = 5>0 ⇒ b1 = ; b = * b