SKKN phân tích đa thức thành nhân tử

Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử phần một : mở đầu 1.ý do chọn đề tài. Đa thức và phân tích đa thức thành phân tử là một trong những nội dung kiến thức cơ bản, trọng tâm trong chơng trình toán ở trờng phổ thông. Đặc biệt là chơng trình Đại số ở trờng THCS, nó là cơ sở xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài toán khác nhau trong chơng trình nh : Quy đồng và rút gọn phân thức, giải phơng trình, nhất là phơng trình bậc cao, giải bất phơng trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm cực trị. Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng nh nhiều vấn đề toán học khác có liên quan, tìm đợc lời giải và lời giải tối u cho một bài toán. Nhng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó khăn đối với học sinh, đó là trong trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, do đó nếu áp dụng những phơng pháp thông thờng đã đợc học nh trong sách giáo khoa thì học sinh không thể phân tích đợc thành nhân tử. Ngoài ra còn có những đa thức không có nghiệm thực thì học sinh không thể phân tích đợc thành nhân tử. Vì vậy một câu hỏi thờng đợc đặt ra trong trờng hợp này là: Những đa thức nào thì không thể phân tích đợc thành nhân tử ? Nếu trả lời đợc câu hỏi trên, học sinh sẽ có khả năng giải đợc một cách nhanh gọn một số bài tập cụ thể. Ví dụ: Khi xét một phơng trình bậc hai, học sinh có thể kết luận đợc phơng Ngời thực hiện : 2 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử trình đó có hay không có nghiệm thực mà không cần giải phơng trình . Bên cạnh đó ngoài những phơng pháp thông thờng còn có thể sử dụng một số phơng pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử trong những trờng hợp nhất định, những phơng pháp này trong trơng trình của sách giáo khoa cha có điều kiện để đề cập đến nhng nếu đợc giáo viên cung cấp thêm thì học sinh có thể có hiểu đợc một cách toàn diện hơn về lý thuyết có kỹ năng giải các bài toán tổng hợp một cách nhanh chóng . Để có thể cung cấp cho học sinh một cách hệ thống đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần phải hiểu và nắm vững các kiến thức về vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm của đa thức một cách chính xác, có hệ thống, hiểu đợc gốc của mọi vấn đề. Từ đó giáo viên biết đợc phải cho và chỉ cần cho học sinh biết những điều gì và đến chừng mực nào để có thể vận dụng hợp lý, đa vào bài giảng của mình những nội dung kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh, đa ra những bài tập thích hợp . 2. Mục đích nghiên cứu : - Vận dụng những kiến thức về cấu trúc đại số, về lý thuyết trờng vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở ch ơng trình đại số ở các lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ phù hợp. 3. Nhiêm vụ nghiên cứu: 3.1. Về lý thuyết: - Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững các nội dung kiến thức cơ bản : + Các cấu trúc đại số : Nhóm, vành,Trờng, vành đa thức. Ngời thực hiện : 3 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử + Các khái niệm về đa thức, nghiệm của da thức, đa thức bất khả quy. +Một số định lý về nghiệm của đa thức. +Một số định lý, mệnh đề về phân tích đa thức thành tích của các đa thức bất khả quy 3.2. Về thực tiễn giảng dạy: - Nghiên cứu nội dung, chơng trình sách giáo khoa để nắm đợc mức độ, giới hạn nộidung kiến thức có thể cung cấp cho học sinh. - Vận dụng các nội dung lý thuyết ở mức độ phù hợp vào giảng dạy phần đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử ở chơng trình đại số THCS. - Thực tế vận dụng vào một bài giảng cụ thể trong phần phân tích đa thức thành nhân tử. 4. Ph ơng pháp nghiên cứu: - Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết. - Phơng pháp thử nghiệm s phạm. - Phơng pháp điều tra thực tiễn. 5.Giới hạn phạm vi nghiên cứu . - Đề tài chỉ tâp trung nghiên cứu việc vận dụng một số kiến thức về đa thức một ẩn, nghiệm của đa thức một ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa thức ( một ẩn ) thành nhân tử ở chơng trình đại số lớp 8 và ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các phơng trình bậc cao cho học sinh trong việc mở rộng kiến thức. 1.1.Định nghĩa nhóm, nhóm giao hoán, nhóm: Ngời thực hiện : 4 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử - Một vị nhóm A đợc gọi là một nhóm nếu với mỗi phần tử a A sao cho aa = e = aa. a đợc gọi là phần tử nghịch đảo của a và đợc ký hiệu bởi a -1 - Một vị nhóm cộng A đợc gọi là một nhóm nếu vời mỗi phần tử a A đều tồn tại một phần tử a Asao cho a + a = 0 = a+ a. a đợc gọi là phần tử đối của a và đợc ký hiệu bởi a. - Nếu phép toán trong nhóm có tính chất giao hoán thì ta nói đó là một nhóm giao hoán hay một nhóm aben. - Một tập hợp con B của nhóm A đợc gọi là một nhóm con của nhóm A nếu B cũng là nhóm đối với phép toán trong A. 1.2 Định nghĩa vành, vành giao hoán, vành con. -Tập hợp A đợc gọi là một vành nếu trên A có phép cộng và phép nhân soa cho: + A với phép cộng là một nhóm giao hoán. + A với phép nhân là một vị nhóm. + Phép nhân phân phối đối với phép cộng. - Vành A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân giao hoán. Một tập con B của vành A đợc gọi là một vành con củaA nếu B là một vành đối với phép toán trong A. 1.3Định nghĩa trờng, trờng con. - Một trờng là một vành giao hoán có đơn vị khác 0 và mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo . - Một tập con B có ít nhất là hai phần tử của trờng A đợc gọi là một trờng con Ngời thực hiện : 5 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử của A nếu B cũng là một trờng đối với các phép toán trong A. 2.Nhắc lại về đa thức : 2.1. Định nghĩa vành đa thức một ẩn: - Giả sử A là một vành của E giao hoán có đơn vị ,u E. Phần tử : a 0 +a 1 u+a 2 u 2 + +a n u n +(1)-trong đó a i A, (với mọi i=0,1,n,) và chỉ có một số hữu hạn a i 0 đợc gọi là một đa thức của phần tử u trên vành A. Tập hợp các đa thức của u trên vành A đợc kí hiệu là [u]. - Khi coi u là môt phần tử tuỳ ý thì ta gọi u là một ẩn , mỗi đa thức của u đợc ký hiệu là f(u),g(u)và đợc gọi là đa thức của ẩn u. - Nếu tồn tại một đa thức dạng (1) với các a i không đồng thời bằng 0 mà a 0 +a 1 u +a 2 u 2 ++a n u n = 0 E thì ta nói u là một phần tử đại số trên A. Trái lại ta nói u là một phần tử siêu viêt trên A. Định nghĩa giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn: Giả sử f(x) =a 0 +a 1 x +a 2 x 2 ++a n x n xK và k. Nếu trong đa thức f(x) ta thay x = thì f ( ) =a 0 +a 1 +a 2 2 ++a n n K .f ( ) đợc gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x = 2.2 Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết ,phép chia có d ) và hệ quả : - Định lý : Giả sử K[ x] là vành đa thức trên trờng K. Khi đó với hai đa thức bất kỳ f (x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai đa thức q (x) và r (x) sao cho f(x) = g(x) . q(x) +r(x); r(x) = 0 hoặc bậc r(x) < bậc g(x) . Ngời thực hiện : 6 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử q(x) đợc gọi là thơng , r(x) đợc gọi là d trong phép chia đa thức đa thức f(x) cho đa thức g(x) . Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) g(x) Nếu f(x) 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) còn d - Hệ quả : Giả sử K là một trờng , f(x) K (x) và K . Khi đó f( ) là d trong phép chia f(x) cho x- 2.3 Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn . - Giả sử A là một vành .Phần tử A đợc gọi là nghiệm của đa thức . f(x) [ ] x nếu f( ) = 0 2.4 Định lý Bơ du về nghiệm của một đa thức : Giả sử K là một trờng . Phần tử K là nghiệm của đa thức f(x) K [x] khi và chỉ khi f(x) chia hết cho nhị thức x- . 3. Nhắc lại về phân tích đa thức thành nhân tử : 3.1, Định nghĩa đa thức bất khả quy : - Đa thức f (x) 0 và khác ớc của 1 đợc gọi là đa thức bất khả quy nếu t đẳng thức f(x) =g(x) . h(x)suy ra g(x) lả ớc của đơn vị . 3.2. Tiêu chẩn Aidenxtainơ về đa thức bất khả quy : -Giả sử f(x) =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ++a n x n ,vứi các a 1 Z Nếu có một số nguyên tố p thỏa mãn các điều kiện sau: i) p không phải là ớc của a n ii) p là ớc của a 1 với i = 0,1,2,,n-1. Ngời thực hiện : 7 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử iii) p 2 không phải là ớc của a 0 thì f(x) là đa thức bất khả quy trong Q(x) 3.3.Một số mệnh đề về đa thức bất khả quy : 3.3.1. Giả sử R là trờng số thực .Trong R(x) mọi đa thức bậc nhất ax+b và mọi đa thức bậc hai ax 2 +bx +c với biệt thức = b 2 - 4ac < 0 đều là đa thức bất khả quy. Ngợc lại mọi đa thức bất khả quy trong R x đều là đa thức bậc nhất hoặc là đa thức bậc hai ax 2 +bx+c với biệt thức < 0 3.3.2. Giả sử K là một trờng. Nếu p(x) là một đa thức bất khả quy thuộc K x còn f(x) là một đa thức tùy ý thuộc k x thì f(x) chia hết cho p(x) hoặc f(x) nguyên tố với p(x) . 3.3.3.Giả sử K là một trờng .Trong vành K x , nếu đa thức bất khả quy p(x) là ớc của tích f(x) .g(x) thì p(x) là ớc của f(x) hoặc g(x). 3.3.4. Giả sử K là một trờng .Trong vành K x , nếu tích f(x) .g(x) chia hết cho h(x) đa thức bất khả quy p(x) và ( h(x), g(x)) = 1 thì f(x) chia hết cho h(x) . 3.3.5. Giả sử K là một trờng. Trong vành K x ,nếu f(x) chia hết cho hai đa thức nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho tích của chúng . 3.4. Định lý về sự phân tích một đa thức ( có bậc n 1) thành tích các đa thức bất khả quy . - Giả sử K là một trờng .Mỗi đa thức f(x) K x có bậc lớn hơn 1 đều có thể phân tích đợc thành tích của các đa thức bất khả quy . II. Vận dụng các nội dung lý thuyết trên vào giảng dạy: 1. Tìm hiểu giới hạn của nội dung, chơng trình sách giáo khoa : Ngời thực hiện : 8 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử - Trong chơng trình đại số lớp 7, ở chơng IV, học sinh đã đợc học khái niệm đa thức, bậc của đa thức, cách tìm giá trị của đa thức tại một giá trị của ẩn, định nghĩa nghiệm của một đa thức và bớc đầu học sinh đã biết cách tìm nghiệm của một đa thức đơn giản ( bậc nhất, bậc hai) - ở chơng I của sách giáo khoa môn đại số lớp 8, học sinh đã đợc học về các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, về phép chia đa thức ( phép chia hết và phép chia có d ) nhng học sinh mới chỉ biết cách phân tích thành nhân tử các đa thức tơng đói đơn giản, có bậc thấp bằng một số cách thông thờng, cha có sự liên hệ kết nối giữa các kiến thức về nghiệm của đa thức đó thành nhân tử, về giá trị của đa thức,d trong phép chia của đa thức với việc tìm nhiệm của đa thức nên học sinh cha có sự hiểu biết một cách toàn diện và có hệ thống về đa thức. -Trong trơng trình cuối của chơng trình Đại số lớp 8, học sinh xẽ đợc học về ph- ơng trình và cách giải một số phơng trình, trong đó có cách giải một số phơng trình bậc cao bằng cách đa về phơng trình tích. Để có thể đa các phơng trình bậc cao về dạng phơng trình tích để giải, học sinh cần phải thành thạo kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và việc phân tích đa thức thành nhân tử lúc này có thể thực hiện với đa thức phức tạp hơn rất nhiều so với các dạng đa thức mà học sinh đã đợc làm quen trớc đó. Trong một số trờng hợp, các đa thức cần phân tích thành nhân tử có bậc cao, lại không có nghiệm hữu tỉ, do đó việc áp dụng phơng pháp cơ bản để phân tích là rất khó khăn hoặc không thể thực hiện đợc, đôi khi có thể gặp những đa thức không có nghiệm (thực) nên không thể phân tích đ ợc thành nhân tử. Ngời thực hiện : 9 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử 2. những nội dung kiến thức cần cung cấp và làm rõ cho học sinh trong quá trình giảng dạy về đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử : 2.2. các khái niệm cơ bản: 2.1.1. Đa thức: - Đa thức là một biểu thức đại số trong đó phép tính thực hiện đối với các biến chỉ là phép cộng, trừ, nhân. (đa thức là một biểu thức nguyên ) Ví dụ: Biểu thức: f(x) = 2x 3 - 5x 2 + 2x + 4 là một đa thức của biến (ẩn) x. Biểu thức: g(y) = 3y 2 + 7y - 1 là một đa thức của biến (ẩn) y. Biểu thức: h(x,y) = 2x 3 y - x 2 y 2 - y 3 + 1 là một đa thức của hai biến (ẩn)x và y. 2.1.2.Giá trị của một đa thức tại một giá trị của ẩn: Xét đa thức f(x), nếu thay x = a là một giá trị số cụ thể ta sẽ tính đợc một giá trị cụ thể của f(x) = f(a) gọi là giá trị của đa thức f(x) tại x = a. Ví dụ: Xét biểu thức : f(x) = x 3 - 4x 2 + 2x + 4 Nếu thay x=1 vào đa thức ta sẽ có f(1) =1 3 4.1 2 + 2.1 + 4 = 3 là giá trị của đa thức f(x) tại x = 1. 2.1.3. Nghiệm của một đa thức: - Định nghĩa : Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x)(hay là nghiệm của phơng trình f(x) = 0) nếu f(a) = 0. Ví dụ: Ngời thực hiện : 10 Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử i) Xét đa thức f(x) = x 3 - 4x 2 + 2x + 4 Nếu thay x = 2 vào đa thức, ta có: f(2) =2 3 - 4.2 2 + 2.2 + 4 = 0 Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức f(x) đã cho ii) Xét đa thức h(x,y) = x 3 y - x 2 y - y 3 +1 Nếu thay x = 1, y = 1 vào đa thức thì ta có h(1,1) = 1 3 .1 1 2 .1 1 3 +1 = 1 - 1 1 + 1 = 0 - Định lý : Giả sử P n (x) có bậc n 1. Điều kiện cần và đủ để đa thức P n (x) có nghiệm là a là nó chia hết cho x a. P n (x) = (x a).Q(x) (1) Trong đó Q(x) là đa thức bậc n 1 Chứng minh : Điều kiện cần : Nếu P n (x) có nghiệm là a, ta chia P n (x) cho x a ta có P n (x) = (x a).Q(x) + r (2) Trong đó Q(x) là đa thức bậc n 1, còn r là đa thức bậc 0, tức r là hằng số Thay x = a vào 2 vế của (2) ta đợc P n (a) = r = 0 => P n (x) chia hết cho x a Trờng hợp P n (x) có bậc là 0 (P n (x) = a n = const), thì nó bằng 0 với mọi x nếu a n = 0 và khác 0 với mọi x nếu a n 0 Điều kiện đủ : Nếu P n (x) có dạng nh biểu thức (1) thì rõ ràng P n (a) = 0 do đó nó có nghiệm là a. Ngời thực hiện : 11 [...]... đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử *Chú ý: - Một đa thức bậc nhất ax+b ( với 0 ) luôn có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất - Một đa thức bậc n ( n 2 ) có thể chỉ có một nghiệm, có thể có đúng n nghiệm hoặc cũng có thể vô số nghiệm 2.2 .Phân tích đa thức thành nhân tử: 2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử : - Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức đó dới dạng một tích của đa thức có bậc... đẳng thức 12 Ngời thực hiện : Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử VD : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x2 + 1)2 6(x2 + 1) + 9 b) 9(x + 5) 2 (x +7) 2 Giải : Mỗi hạng tử của đa thức trên đều không có nhân tử chung nên không thể phân tích các đa thức đó thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung Có thể áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích các đa thức đó thành. .. khó phân tích, ta có thể vận dụng các mệnh đề lý thuyết trên để làm đơn giản bớt bằng cách nhẩm nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng phơng pháp tách các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để phân tích đa thức đó thành phân tử Ví dụ : Với đa thức g(x) = x 3- x2 + 2x + 4, ta đã biết nếu phân tích thành nhân tử 17 Ngời thực hiện : Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành. .. thành nhân tử nó sẽ chứa nhân tử x + 1 do đó ta có thể thực hiện phép chia đa thức g(x) cho nhị thức x+1 và tìm đợc đa thức k(x) = x 2- 2x+4 Khi đó :g(x) = (x+1).(x 2-2x +4) Đến đây không thể phân tích tiếp đa thức k(x) thành phân tử đợc vì x2- 2x + 4 đa thức này là một đa thức bậc hai nhng không có nghiệm nên không thể tách thành tích của hai đa thức bậc nhất Một số bài tập ứng dụng 3.1Các bài tập về phân. .. 4 Đa thức vế trái có thể phân tích thành nhân tử vì nó thuộc dạng Đa thức có tổng các hệ số chứa biến với số mũ chẵn bằng tổng các hệ số chứa nhiều biến với số mũ lẻ Ta sử dụng phơng pháp sau để phân tích thành phân tử : Tách từ hạng tử thứ hai trở đi, mỗi hạng tử thành hạng tử khác,sao cho hạng tử đầu tiên có hệ số bằng hệ số của hạng tử liền trớc Với phơng pháp nh vậy, ta đi phân tích đa thức thành. .. tích của hai đa thức trong đó có một đa thức là x a Vậy nếu đa thức f(x) có một nghiệm là a thì nó có thể phân tích thành tích có dạng: (x a) h(x) Ta có thể biểu thị mối liên quan giữa tính chất chia hết, nghiệm của đa thức và khả năng phân tích thành nhân tử của một đa thức nh sau: f(x) phân tích thành tích (x a).h(x) f(x) chia hết cho x - a f(x) có một nghiệm là a ii) Nếu một đa thức f(x) có tổng... ứng dụng 3.1Các bài tập về phân tích đa thức thành phân tử Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành phân tử a) 2x3 5x2 + 3x + 13 Gợi ý cách giải : Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên đa thức có nghiệm là -1 và do đó khi phân tích đa thức thành nhân tử sẽ có chứa nhị thức x+1 b)x4+4x2-5 Gợi ý cách giải Tổng các hệ số bằng 0 =>có nghiệm là 1 =>có chứa nhị thức x - 1 c)27x4- 9x3 + 14x2... kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử Sau đó nhóm các hạng tử có nhân tử chung e) Phơng pháp thêm bớt một hay nhiều hạng tử f) Phơng pháp đổi biến 2.3 Liên hệ giữa tính chất chia hết của đa thức với việc viết đa thức dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức 2.3.1 Định nghĩa về phép chia hết và phép chia có d của một đa thức cho một đa thức: -Với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x)... nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử nhân tử nh sau: x4+2x3+x2+x+1 = x 4+x3+x3+x2+x+1 = x3(x+1) +x 2(x+1) +(x+1) = (x+1)(x3+x2+1) Khi đã phân tích thành phân tử thì việc đi giải phơng trình trên trở thành đơn giản x4+2x3+x2+x+1=0 (x+1)(x 3+x2+1) =0 x+1=0 x=-1 phơng trình có ngiệm là x = -1 Phần ba :kết luận -Trong chơng Đại số ở trờng THCS, đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử chỉ là... hiện : Sáng kiến king nghiệm đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử nhị thức x + 1 Ví dụ: Đa thức g(x) = x 3 x2+ 2x + 4 có tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng 3 nên đa thức này có một nghiệm là -, khi phân tích thành nhân tử đa thức g(x)có thể viết dới dạng tích (x+1).k(x), tức là có chứa thừa số (x+1) iiii)Xét đa thức f(x)=a nxn + an-1xn-1 + + a1x1 + . 2.2 .Phân tích đa thức thành nhân tử: 2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử : - Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức đó dới dạng một tích của đa. : Phân tích đa thức thành nhân tử phần một : mở đầu 1.ý do chọn đề tài. Đa thức và phân tích đa thức thành phân tử là một trong những nội dung kiến thức