SKKN PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử và các bài tập ỨNG DỤNG

TRƯỜNG THCS TAM ĐA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: “ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG ” SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán Người thực hiện: Hoàng Văn Chanh Giáo viên môn Toán Đơn vị công tác: Trường THCS Tam Đa Năm học: 2013-2014 Phần I Lí lịch Họ tên tác giả: Hoàng Văn Chanh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Tam Đa Tên đề tài: “ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG ” Phần II Nội dung MỞ ĐẦU A Đặt vấn đề: Môn toán môn học phong phú đa dạng, niềm say mê người yêu thích toán học Đối với học sinh để có kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên: Làm để trang bị cho em đầy đủ kiến thức? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân 1) Ý nghĩa tác dụng Trong nhiều năm phân công làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi tích lũy nhiều kiến thức dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử” dạng tập vận dụng ,đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa nhanh gọn, vừa dễ hiểu 2) Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng” Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS B Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu: 1) Nhiệm vụ Nhiệm vụ khái quát: Nêu phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” Nhiệm vụ cụ thể: -Tìm hiểu thực trạng học sinh -Những phương pháp thực -Những chuyển biến sau áp dụng -Rút học kinh nghiệm 2) Phương pháp tiến hành: a) Cơ sở lý luận Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" học kỹ chương trình lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm tinh thần trình giảng dạy toán lớp dày công tìm tòi, nghiên cứu để tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thông minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong SGK trình bày phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm hạng tử, dùng đẳng thức Trong chuyên đề giới thiệu thêm phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập b) Cơ sở thực tiễn Thực tế giảng dạy cho thấy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sgk trình bầy đầy đủ chi tiết, song việc vận dụng em lại lung túng thiếu tính hệ thống Đặc biệt học sinh giỏi nội dung kiến thức chưa đáp ứng nhu cầu em Khi học chuyên đề học sinh tiếp thu thích thú Các ví dụ đa dạng, có nhiều tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải toán khó c) Các phương pháp tiến hành -Phương pháp đọc sách tài liệu -Phương pháp nghiên cứu sản phẩm -Phương pháp tổng kết kinh nghiệm -Phương pháp thực nghiệm -Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề NỘI DUNG ĐỀ TÀI: 1) Mục tiêu nghiên cứu: Chỉ phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” Đổi phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học,cụ thể chất lượng mũi nhọn 2) Giải pháp đề tài Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức,đơn thức khác -Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều toán khác Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức +Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhỏ I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 1- Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử Ví dụ 1: x4 + x3 + 2x2 +x +1 Đa thức cho có số hạng đặt nhân tử chung áp dụng đẳng thức, ta nghĩ tới cách nhóm số hạng thêm bớt số hạng Ta phân tích sau: Cách 1: x4 + x3 + 2x2 +x +1 =(x4+2x2+1)+(x3+x) =(x2+1)2+x(x2+1) =(x2+1)(x2+x+1) Cách 2: x4 + x3 + x2 +x2+x +1 =x2(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+1)(x2+x+1) Bài cần lưu ý học sinh tập hợp số hữu tỉ đa thức x + x +1 không phân tích Ví dụ 2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 - 7x2 + 15x - 25 Giải: x3 - 7x2 + 15x - 25 =x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 =x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) =(x- 5)(x2- 2x + 5) Ví dụ 3:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Giải: Đa thức cho có số hạng lại không đặt nhân tử chung mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z) Ví dụ 3: x2 + 6x + Với phương pháp biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức ta phân tích đa thức Nếu tách số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành số hạng nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Từ có nhiều khả biến đổi đa thức cho thành tích Cách 1: x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 2: x2 + 6x + - = (x+3)2 - = (x + - 1) (x+ +1) = (x+2) (x+4) Cách 3: x2 - + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 4: x2 + 6x + = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + (x + 4) = (x + 4) (x - + 6) = (x+2) (x+4) Ví dụ 4: x3 - 7x - Ta tách sau: Cách 1: x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1) (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + (x - 3)] = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 2: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x (x2 - 4) - (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Cách 4: x3 - 7x - = x3 + - 7x - = (x + 1) (x2 - x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: x3 - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: x3 - 7x - = x3 - 9x + 2x - = x (x - 3) (x + 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2) Chú ý: Cần lưu ý học sinh phân tích đa thức phải triệt để, tức kết cuối phân tích Tất nhiên yêu cầu có tính chất tương đối phụ thuộc tập hợp số mà ta xét Nếu phân tích không triệt để học sinh gặp tình cách phân tích có kết khác Chẳng hạn tập cách 1, cách cho ta kết là: x3 - 7x - = (x + 1) (x2 - x - 6) Cách 2, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau: - Một đa thức dạng ax2 +bx + c phân tích thành nhân tử tập hợp Q đa thức có nghiệm hữu tỉ  ∆ (hoặc ∆ , )là số phương (trong ∆ = b2-4ac ( ∆ , = b,2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 +bx + c tách làm xuất đẳng thức : ∆ (hoặc ∆ , )là số phương chứa hạng tử A2 +2AB +B2 A2 - 2AB +B2 Ví dụ 5: x + 4y = x + 4y + 4x y – 4x y = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) Ví dụ 6: a5 + a - Số mũ a từ xuống nên a5 a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung Cách 1: a5 + a - = a5 - a4 + a3 + a4 - a3 + a2 - a2 + a - = a3 (a2 - a + 1) + a2 (a2 - a + 1) – ( a2 - a + 1) = (a2 - a + 1) (a3 + a2 - 1) Cách 2: a5 + a - = a5 + a2 - a2 + a - = a2 (a + 1) (a2 - a + 1) - (a2 - a + 1) = (a2 - a + 1) (a3 + a2 -1) - Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ Phân tích đa thức a3 + b3 + c3 − 3abc thành nhân tử” Bài học sinh giải sau: a + b3 + c − 3abc = ( a + b ) − 3a 2b − 3ab + c − 3abc = ( a + b ) + c − 3ab(a + b + c ) = (a + b + c) (a + b) − (a + b)c + c − 3abc  = (a + b + c)  a + b + c − ab − bc − ca  = 2 ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )    Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 − 3abc =0 2 (a + b + c) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  =0   a+b+c =0 a =b =c ⇔ Nếu cho a= x- y; b= y-z ; c = z-x a+b+c =0 Do ta có toán sau: Bài toán 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 Từ nhận xét học sinh giải cho kết : (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3= (x-y)(y-z)(z-x) Nếu cho a= x2+y2 , b= z2-x2 , c= -y2-z2 cho a+b+c = ta lại có toán sau Bài toán 2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2+y2)3 + (z2-x2)3 - (y2 + z2)3 Giải: Ta có (x2+y2)3 + (z2-x2)3 - (y2 + z2)3= (x2+y2)3 + (z2-x2)3 + (-y2 - z2)3 = 3(x2+y2) (z2-x2) (-y2 - z2) = 3(x2+y2).(y2+z2)(x+z)(x-z) Ví dụ 2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 6x – 11x + - Đặt x2 = y - Đa thức cho trở thành: 6y – 11y + = (3y – 1)(2y – 3) - Trả lại biến cũ: 6x – 11x + = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x - )( x + ) Ví dụ (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thông thường gặp toán học sinh thường thực phép nhân đa thức với đa thức đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức bậc với năm số hạng thường khó dài dòng Nếu ý đến đặc điểm đề bài: Hai đa thức x2 + x + x2 + x + khác hạng tử tự do, ta đặt y = x2 + x + y = x + x biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai đơn giản nhiều Đặt y = x2 + x + Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + + 4) (x2 + x + - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) Ví dụ 4: (x + 2) (x + 4) (x + 6) (x + 8) + 16 Nhận xét: Ta có: + = + ta nhân thừa số x + với x +8 x + với x + ta đa thức có phần biến giống (x + 2) (x + 4) (x + 6) (x + 8) + 16 = (x2 + 8x + 2x + 16) (x2 + 6x + 4x + 24) + 16 = (x2 + 10x + 16) (x2 + 10x + 24) + 16 Đặt x2 + 10x + 16 = y ta được: y (y + 8) + 16 = y2 + y + 16 = (y + 4)2 =( x2+10x+20)2 3- Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức a) Cách tìm nghiệm đa thức -Phương pháp tìm nghiệm nguyên đa thức:Nghiệm nguyên (nếu có ) đa thức phải ước hạng tử tự VD Tìm nghiệm nguyên đa thức sau: x3 + 3x2 - Giải: C1)Các ước : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử giá trị ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức cho C2) Tổng hệ số đa thức nên đa thức cho có nghiệm x = - Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q p ước hệ số tự do;q ước dương số hạng có bậc cao VD Tìm nghiệm đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + Giải: Các ước : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương : 1;2 (q) Xét số ± 1; ± 3;± 1/2; ± 3/2 ta thấy -3/2 nghiệm đa thức cho Chú ý: -Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - có + + (-3) + (-6) = nên có nghiệm x = Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (-3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b)x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a chứa nhân tử x-a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x-a VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x3 + 3x2 - b 2x3 + 5x2 + 5x + Giải : a)C1 Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 C2 Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= -2 nên chứa nhân tử x + Ta có x3 + 3x2 - = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 c) Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + có nghiệm x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) 10 II Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng Ví dụ: Rút gọn biểu thức: 3x3 − x + x − A= x − x2 − x + Giải : Ta có A= 3x3 − x + x − x3 − x − x + Ta thấy tử thức phân thức có nghiệm :1; có nghiệm là:1; −3 ; Mẫu thức phân thức Do A= x − x + x − ( x − 1) (3x − 1) x − = = 2 x − x − x + ( x − 1) (2 x − 3) x + Ví dụ :Rút gọn biểu thức B= x + 3x − x3 + x − Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm 1; mẫu thức có nghiệm ;nên ta có x + 3x − x3 − x + x − x + x − B= = x + x − x3 − x + x − x + x − x2 + x + = Ta thấy tử mẫu không phân tích x + 2x + Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức C= x + 2x − x − − − x +1 x −1 x2 −1 MTC = x2 - = (x + 1)(x - 1) ( x + 3)( x − 1) − ( x − 1)( x + 1) − ( x − 3) ( x + 1)( x − 1) x + 2x − − 2x + x + − x + C = ( x + 1)( x − 1) C = 11 − x2 = −1 ( x + 1)( x − 1) 1 xy yz xz Ví dụ 4: Cho x + y + z = Tính P = z + x + y C = 1 1 1 Giải: Ta có x + y + z = ⇔ x + y + z = xyz Do đó: P= xy yz xz xyz xyz xyz + + = + + z x2 y2 z x y 1 1  = xyz  + + ÷ = xyz =3 x y  xyz z Vậy P= Dạng : Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) GiảI: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11  (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6) Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM 12 Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ĐPCM Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n biểu thức n n2 n3 A= + + số nguyên n n n 2n + 2n + Ta có: + + = 6 Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n + n3 chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho n Vậy số nguyên n biểu thức A= + n2 n3 + số nguyên Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x 50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x 16 + x15 + + x2 + x + Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x 16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c 13 Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B 1 1 + + = a b c a+b+c 1 1 CMR: n + n + n = n với n lẻ a b c a + bn + cn 1 1 bc + ac + ab => = Ta có: + + = a b c a+b+c abc a+b+c ?Ví dụ 6: Cho => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b + c = => b = - c Hoặc a + c = => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình a) Giải phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phương trình sau: 14 x + 2y = x + 2y = (I) 3x + 4y = 24 3x + 4y = 16 x + 2y = x + 2y = 12 (III) 3x + 4y = 12 3x + 4y = Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại) Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y = Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x3 + xy - = => 2x3 + xy = => x (2x2 + y) = x=1 x=1 = 2x2 + y = = y=5 > > x=7 x=7 = Hoặc 2x2 + y =1 y = - 97 > x=-1 x=-1 = Hoặc 2x2 + y =-7 > y-9 x=-7 x=-7 = Hoặc 2x2 + y = - > y = -99 (II) (IV) Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > thỏa mãn x3 + y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = Vì x > y > => x2 + xy + y2 - = => x2 - 2xy + y2 = - 3xy => (x - y)2 = - 3xy => - 3xy > => 3xy < => xy < x.y ≤ => x = 2; y = b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình 15 ( 3x - )2 -( x - )2 = Giải: Ta có: ( 3x - )2 -( x - )2 =  ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) =  ( 4x - 6)(2x - 4) =  4x - =  x = 3/2 2x - =  x = Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = Giải : Ta có x3 + 3x2 + 4x + =  x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) = (x + 1) = => x = -1 (x2 + 2x + 2) = giá trị x ∈ Q Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 Ví dụ 3: x3 - 7x2 + 15x - 25 = ⇔ x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = ⇔ x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = ⇔ (x- 5)(x2- 2x + 5) = x − = ⇔  x − 2x + = x = ⇔  ( x − 1) + = 0(voly ) Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = {5} *Ví dụ 4: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1) ⇔ (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 ⇔ (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40 Đặt x2 + 6x + = t (*) ⇒ x2 + 6x + = t + Phương trình cho trở thành: t(t + 3) = 40 ⇔ t2 + 3t – 40 = ⇔ (t – 5)(t + 8) = t = t = −8 ⇔ Thay t = vào (*), ta có: x2 + 6x + = ⇔x2 + 6x = x = x = - ⇔x(x + 6) = ⇔ 16 Thay t = -8 vào (*), ta có: x2 + 6x + = - ⇔ x2 + 6x + 13 = 25 27 + + = 4 27 ⇔ (x + )2 + = (Vô lý) ⇔x2 + 2x Vậy phương trình có tập nghiệm: S = {0; -6} Ví dụ 5: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x + 3x + 4x + 3x + = (5) Ta thấy x = không nghiệm phương trình (5) ⇒ Chia hai vế (5) cho x ≠ 0, ta 1 + =0 x x 1 ⇔ (x2 + ) + 3(x + )+4=0 x x Đặt x + = t (*) x ⇒x + = t – x x + 3x + + Phương trình cho trở thành : t + 3t + = ⇔ (t + 1)(t + 2) = t = −1 ⇔ t = −2 Thay t = - vào (*), ta : x + = -1 ⇔ x + x + = (Vô nghiệm) x Thay t = - vào (*), ta : x + = - ⇔ x + 2x + = ⇔ (x + 1) = x ⇔ x = -1 Vậy phương trình (5) có tập nghiệm S = {-1} *Ví dụ 6: Giải phương trình đối xứng bậc lẻ x – x + 3x + 3x – x + = (6) có x = - nghiệm phương trình (6) Do (6) ⇔ (x + 1)(x – 2x + 5x – 2x + 1) = Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + = (6’) Ta thấy x = không nghiệm (6’) Chia hai vế (6’) cho x ≠ 0, ta có: x – 2x + - 1 1 + = ⇔ (x + ) – 2(x + ) + = x x x x ) = t (*) x Đặt (x + ⇒ (x + ) = t2 – x2 (6’) ⇔ t – 2t +3 = 17 ⇔ (t – 1) + = ( vô nghiệm) Vậy phương trình (6) có tập nghiệm S = {-1} Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau : Giải: Theo toán , ta có a +b + c =1 a + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = a + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)  a + b + c − ab − bc − ca  ⇔ − 3abc = − ab − bc − ca ⇔ 3abc = ab + bc + ca ( 1) Mặt khác: ( a+b+c)2=1 ⇔ a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc = ⇔ ab + bc + ca = ( 2) a=0 Từ (1) (2) suy ra: 3abc=0 ⇔ b = c=0 Từ ta suy nghiệm hệ: (a,b,c) = { (0;0;1) ; (0;1;0) ; (1;0;0) } Nhận xét Từ kết 7, ta giải toán sau: Ví dụ 8: Cho a +b + c =1 a + b + c = Tính giá trị biểu thức a + b + c3 = P = a2012 + b2013 +c2014 Giải: Áp dụng kết toán 7, ta có: P = III - Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 - 2n 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 18 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) Tính nhanh số trị biểu thức sau với a) x = - P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b) a = 5,75; b = 4,25 2 Q = a - a b - ab + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - chia hết cho với n nguyên n n n3 15) CM biểu thức + + số nguyên với số chẵn n 12 24 16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + + x2 + x+ chia hết cho đa thức x19 + x18 + + x2 + x + 17): Giải phương trình : (3x-2)3- (x-3)3 = (2x+1)3 18) Giải phương trình nghiệm nguyên (x+y)3= (x-2)3+ (y+2)3 + 19) Phân tích đa thức thành nhân tử (x+y+z)3- (x+y-z)3- (x-y+z)3- (-x+y+z)3 2 bc ca ab a b c 20) Cho abc ≠ 0; a + b + c = Tính giá trị P = + + 21) Cho a+b+c+d=0 Chứng minh rằng: a3+b3+c3+d3=3(c+d)(ab-cd) 22) Cho x,y,z thỏa mãn x2+y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ B= x6 + y6 KẾT LUẬN: Trên đưa suy nghĩ mà giảng dạy "PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH MHÂN TỬ VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG" cho bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Tôi tự nghiên cứu cho học sinh áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết cao Hầu hết học sinh nắm kiến thức yêu thích học kiến thức Xin giới thiệu với bạn đọc, em học sinh , bậc cha mẹ học sinh tham khảo, góp phần nhỏ vào lực 19 giải toán tri thức toán học Rất mong bạn đọc tham khảo góp ý cho để nội dung phong phú hoàn thiện hơn./ Người thực hiện: Hoàng Văn Chanh TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học môn toán trường THCS 2) Sách hướng dẫn giảng dạy môn toán lớp 3) Sách giáo khoa toán 4) 5) Tài liệu Bồi dưỡng thường xuyên môn toán chu kỳ 2004-2007 Toán nâng cao chuyên đề Đại Số Mục lục Phần I Lí lịch Trang Phần II Nội dung MỞ ĐẦU A Đặt vấn đề: Trang B Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu: 1) Nhiệm vụ Trang 2) Phương pháp tiến hành: a) Cơ sở lý luận 20 b) Cơ sở thực tiễn c) Các phương pháp tiến hành Trang NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Mục tiêu nghiên cứu: Trang4 Giải pháp đề tài Trang I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Trang 4-10 II Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Trang 10-18 III Bài tập: Trang 18-19 KẾT LUẬN: Trang 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 20 21 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS TAM ĐA Tổng điểm……… .Xếp loại…………………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH- HIỆU TRƯỞNG (Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) 22 ... đa thức thành nhân tử giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác -Phân. .. b) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a chứa nhân tử x-a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x-a VD: Phân tích đa thức. .. dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử