Đang tải... (xem toàn văn)
Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.[r]
(1)PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng đẳng thức) a) 25x2 - 10xy + y2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 c) 81x2 – 64y2 d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 a e) 2 b ab ( a+b +c )3 − a3 −b − c3 f) ( Dùng đẳng thức số 3) ( Dùng đẳng thức số và 7) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử) 2 2 a) x x x b) x z x yz x z xyz c) x2y + xy2 – x – y d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử) a) x2 - 6x + b) x2 – 8x + 12 2 c) a b c b c a c a b d) x3 – 7x – ( Tách c - a = c - b + b - a) ( Tách - 7x = -4x - 3x ) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử ) a) x4 + b) a4 + 64 c) x5 + x + d) x5 + x - Bài 4*: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ) Bài giải mẫu : (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt: x2 + x + = y , ta có x2 + x + = y + Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – + y – = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay x2 + x + = y , ta : (x2 + x + – 3)( x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5) a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 2 c) (x + 8x + 7)( x + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phối hợp nhiều phương pháp ) a) x2 + 4xy + 3y2 b) 2x2 - 5xy + 2y2 ( Tách -5xy = -4xx - xy) c) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) d) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm) Định lí ( Bedu) : Dư phép chia f(x) cho x - a số a Suy : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Bài giải mẫu : Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 3x + thành nhân tử Với x = -1 ( Dùng MTBT để tìm nghiệm) Ta có : (-1)3 - 5.(-1)2 + 3.(-1) + = -1 - -3 + = Vậy x = -1 là nghiệm đa thức nên đa thức chia hết cho x - (-1) = x + Từ sở trên, ta phân tích đa thức thành : x3 – 5x2 + 3x + = x3 + x2 – 6x2 - 6x + 9x + ( Để làm xuất hiên nhân tử x + 1) = ( x3 + x2) – ( 6x2 + 6x) + ( 9x + ) = x2( x + 1) - 6x( x + 1) + 9( x + 1) = (x + 1)( x2 - 6x + 9) = ( x + 1)( x - 3)2 a) x2 – 7x + 10 b) x2 – 3x – c) x x 12 d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) e) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) f) x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz (2) Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm và hoán vị vòng) Bài giải mẫu : Phân tích đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhân tử Xem đa thức với ẩn a Thay a = b Ta có : b(b2 – c2) – b(b2 – c2) + c(b2 – b2) = Vậy a = b là nghiệm đa thức nên đa thức chia hết cho a - b Mặt khác: a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) nên vai trò a, b và c là nhau, suy đa thức chia hết cho b - c; c -a + Bậc đa thức đã cho Suy : a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = k(a-b)(b-c)(c-a) Với k Z Cho a = 0; b = 1; c = Ta có : 12 22 02 22 02 12 k 1 = 2k k 1 Vậy a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = (a-b)(b-c)(c-a) a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) d) bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Tìm x , biết : a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = b) 5x(x – 3) + – x = 2 2 c) (5x + 3x – ) = (4x – 3x – ) d) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho với n Z Bài 3: Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 4: Chứng minh rẳng : 4n a) 15 b) 55n+1 – 552 chia hết cho 54 Bài 5: Cho x + y = -3 và x.y = -28 Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 2 Bài 6: a) Cho a b c 2 a b c Chứng minh : a = b = c = a b c 3 ab ac bc Chứng minh : a = b = c ( nhân vế cho 2) b) Cho Chuyển dạng bình phương tổng hiệu Bài 7: a) Cho a +b +c = và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị : a4 + b4 + c4 b) Cho số x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = và xy + yz + zx = Hãy tính giá trị Biếu thức : S = (x-1)2011 + (y - 1)2012 + (z +1)2013 Bài 8: Chứng minh rằng: a) a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ ab+ac+ ad b) a2 + b2 + c ≥ ab −4 ac+ bc Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = thì x3 + y3 + z = 3xyz Bài 10: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc ( Viết dạng bình phương tổng) (3) ĐÁP ÁN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng đẳng thức) a) 25x2 - 10xy + y2 = ( 5x - y)2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = ( 2x + 3y)2 c) 81x2 – 64y2 = (9x)2 - (8y)2 = ( 9x + 8y)(9x - 8y) xy x y xy x y d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 = a e) 2 b ab a = 2 b ab a b ab a b ab = 2 2 a b a b a b 3 a b 3 a b 1 a b 1 a b c a b3 c3 ( a+b +c )3 − a3 −b − c3 f) = a b c a a b c b bc c = a b c a a b c = b c a b c 2ab 2bc 2ac a ab ac a b bc c b c 3a 3ab 3bc 3ac = b c 3a a b 3b a b a b b c a c = = Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử) 2 x x 3x 3 2 x x 1 x 1 x x x a) = x 1 x 3 2 2 xz x xy xz yz x z x yz x z xyz b) xz x xz xy yz xz x x z y x z = = xz x z x y x y xy x y xy x y x y x y xy 1 2 c) x y + xy – x – y = = d) 8xy – 5xyz – 24y + 15z xy 24 y xyz 15 z 8 y xy 3 z xy 3 xy 3 y z = 3 2 3 2 x x y 3xy y x y x y x y e) x + y(1 – 3x ) + x(3y – 1) – y x y x xy y 1 = 2 2 x y x y x y x xy y 1 f) x + 3x y + x + 3xy + y + y Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử) x a) x - 6x + = x x x x x x x b) x2 – 8x + 12 = x x 2 2 2 a b c b c a c a b a b c b c b b a c a b c) a b c b c b b b a c2 a b a b c b b c b a b c2 a b a b a b b c a b b c b c a b b c a c (4) d) x3 – 7x – = x x x = x x x x x x x 3 x 1 x x 3 = Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử ) 2 a) x4 + x x x ( Thêm bớt hạng tử 4x ) 2 x x x x x x = a 16a 64 16 a a 16a 64 16a b) a + 64 2 a 4a a 4a a 4a x x x x x x 1 x x 1 x x 1 c) x5 + x + x x 1 x x 1 = d) x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Bài 4*: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ) a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 ( *) Đặt t = x2 + x Ta có : (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = t2 - 2t - 15 = ( t + 3)( t - 5) x x 3 x x ( *) b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – Giải bài 3: Cách : Từ a + b + c = a + b = - c (a + b)3 = (- c)3 a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3 a3 + b3 + c3 = 3abc Cách :a + b + c = a + b = - c - ab(a + b) = abc - a2b – ab2 = abc Tương tự : - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc Do đó : 3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b) 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c) a3 + b3 + c3 = 3abc Cách :a + b + c = a + b = - c - c2(a + b) = c3 -a2c – bc2 = c3 Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3 Do đó : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3 - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3 -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3 a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 8: Chứng minh rằng: a) a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ ab+ac+ ad Giải b) a2 + b2 + c ≥ ab −4 ac+ bc 2 2 a) Ta cã: a b c d ab ac ad (5) a2 a2 a2 a2 ab b ac c ad d ⇒ a 2+ b2+ c 2+ d ≥ ab+ac +ad 2 a a a a2 −b + − c + −d + ≥ 2 ( )( )( ) (®pcm) a2 + b2 + c − ab +4 ac −8 bc=(a − ab+ b 2)+ c 2+(4 ac − bc) b) Ta cã: c ¿2 a −2 b ¿2 +2 (a − 2b) c +¿ ¿¿ ¿ 2 ⇒ a +4 b + c ≥ ab − ac+ bc a −2 b+2 c ¿2 ≥ ¿¿ (®pcm) Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = thì x3 + y3 + z = 3xyz Từ x + y + z = x + y = - z nên x3 + y3 + z = x3 + y3 - ( x+ y) = x3 + y3 - x3 - y3 - 3xy(x + y) = - 3xy(-z ) = 3xyz (6)