Đang tải... (xem toàn văn)
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán 8 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Nâng cao hiệu quả dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường PTDT Bán trú Tiểu [r]
(1)Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn Sáng kiến kinh nghiệm: Bác Hồ dạy: “Non sông Việt Nam có trở nên vẻ vang hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang sánh vai cùng các cường quốc năm châu hay không chính là phần lớn công học tập các em” Trong chương trình phổ thông thì môn toán lại có vai trò đặc biệt quan trọng Để thực lời dạy Bác thì các em lại phải học tốt môn toán Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề dặc biệt quan tâm Vì nó sử dụng nhiều giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng các biểu thức hữu tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này học sinh Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Việc tìm phương pháp thích hợp cho lời giải bài toán ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm nhiều cách giải khác bài toán tất phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức học sinh Khi lựa chọn các phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ vận dụng kiến thức đã học giải bài toán cụ thể Không phân tích đa thức thành nhân tử học sinh ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan : Hằng đẳng thức, kỹ thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm đa thức Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải tư nhiều nắm kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đó Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử quá trình giải, nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán và đồng thời phát huy trí tuệ học sinh Qua quá trình giảng dạy môn Toán tôi mạnh dạn đưa sáng kiến và giải pháp thực việc “ Nâng cao hiệu dạy học phân tích đa thức thành nhân tử trường PTDT Bán trú Tiểu học và THCS Túc Đán” nhằm giúp các em nắm vững số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, số bài tập nâng cao, số bài tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy đó là công cụ đắc lực giải số loại toán Và qua đó nhằm phát huy trí lực học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Thời gian thực và triển khai sáng kiến kinh nghiệm: Tôi đã bắt đầu nghiên cứu từ năm học 2011 - 2012 và bắt đầu triển khai thực từ năm học 2012 - 2013, bước đầu đã thu số kết định (2) Phần thứ hai: NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Để học tốt dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nắm vững số kiến thức sau: Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: A( B + C) = AB + AC Các đẳng thức đáng nhớ: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = ( A + B)( A - B) ( A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 ( A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) Các phép toán cộng, trừ đơn thức, cộng, trừ đa thức Phép nhân đơn thức với đa thức: A ( B + C) = AB + AC Phép nhân đa thức với đa thức: (A + B)( C + D) = AC + AD + BC + BD Phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã xếp Quy tắc đổi dấu đa thức Định lí Bơ - du: Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên m thì f(x) chia hết cho x - m (3) Chương THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Khảo sát chất lượng học sinh đầu năm: Kết khảo sát chất lượng đầu năm học 2012 – 2013 các em học sinh khối lớp sau: Khối lớp Số HS Điểm 0-2 Điểm 3-4 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 45 4% 27% 65% 4% 0% Thuận lợi: Nội dung chương trình SGK đổi giảm nhẹ tính lý thuyết kinh viện, tăng yêu cầu thực hành Thời lượng dành cho lí thuyết đã giảm, chiếm 60% tổng thời lượng Thời gian dành cho bài tập, luyện tập, ôn tập và thực hành tăng lên, giúp khắc sâu kiến thức cho HS so với chương trình cũ Giáo viên tham gia đầy đủ các lớp bồi dưỡng chuyên môn đổi nội dung chương trình SGK, đổi phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh vùng cao Nhà trường quan tâm nhà nước trang bị sách giáo khoa cho học sinh, giảm bớt phần nào thiếu thốn tài liệu học tập Khó khăn: Trong trình giảng dạy toán trường tôi gặp nhiều khó khăn vì 100% đối tượng học sinh là người dân tộc thiểu số có nhận thức chậm, kĩ tư toán học còn yếu, nên việc giúp các em tiếp cận kiến thức và vận dụng vào giải bài tập là điều quan trọng Tài liệu toán học, sách tham khảo, sách nâng cao thư viện nhà trường còn ít số lượng, nghèo nàn chủng loại Học sinh không có điều kiện tiếp xúc với các loại sách tham khảo, nâng cao Tài liệu HS trang bị để học tập là SGK + SBT toán Kinh tế gia đình đại đa số HS còn nghèo, không trang bị đầy đủ các dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập môn toán HS như: máy tính bỏ túi… Khi triển khai chương trình thay sách và sử dụng phương pháp (dạy, học theo hướng tích cực) thì học sinh thông qua việc đọc thông tin SGK,học sinh rèn luyện tính làm việc độc lập, tự nghiên cứu có hiệu nhiên HS có thể chưa thực nghiên cứu còn chểnh mảng nên chưa lĩnh hội đầy đủ kiến thức dẫn đến còn "hổng kiến thức" dẫn đến chán nản, bỏ học Đề tài “ Nâng cao hiệu dạy học phân tích đa thức thành nhân tử trường PTDT Bán trú Tiểu học và THCS Túc Đán” từ trước đến chưa triển khai (4) Chương CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các phương pháp thông thường Phương pháp đặt nhân tử chung: Khi phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp này thường làm sau: - Tìm nhân tử chung - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung, các nhân tử khác - Đặt nhân tử chung ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại hạng tử dấu ngoặc với dấu chúng Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử M1 = 5x2( x - 2y) - 15x ( x - 2y) = ( x - 2y)( 5x2 - 15x) ( Đặt ( x - 2y) làm nhân tử chung) = 5x( x - 2y)( x - 3) ( Đặt 5x làm nhân tử chung) Phương pháp dùng đẳng thức: Áp dụng các đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử M2 = x2 + 4xy + 4y2 = x2 + 2x.2y + (2y)2 (Áp dụng quy tắc nhân đơn thức) = (x + 2y) (Hằng đẳng thức thứ nhất) Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử M3 = 25x4 - 10x2y + y2 = (5x2)2 - 2.5x2 y + y2 (Áp dụng quy tắc nhân đơn thức) 2 = ( 5x - y) (Hằng đẳng thức thứ hai) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm các hạng tử kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất dạng dẳng thức xuất nhân tử chung các nhóm dùng các phương phap đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M4 = 4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) (Nhóm các hạng tử) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) (Đặt nhân tử chung) = (x+2y)(4x-3) (Đặt nhân tử chung) (5) Phối hợp nhiều phương pháp: Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp này thường tiến hành theo các trình tự sau : + Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản dễ nhận xét + Nhóm hạng tử + Dùng đẳng thức Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử M5 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử) = 3(a - b) + (a - b) (Đặt NTC và dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử M6 = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (2a - 2b) (Nhóm các hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức và đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) II Một số phương pháp phân tích đa thức khác Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích thành nhân tử thông thường và kết hợp các phương pháp sau để làm các bài toán khó Phương pháp tách hạng tử: Ví dụ 7: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: N = a2 - 6a + Cách 1: N = a2 - 4a - 2a + (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a) = (a - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử) = a (a - 4) - (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) Có thể tách hạng tử tự tạo thành đa thức có nhiều hạng tử đó có thể kết hợp làm xuất đẳng thức nhân tử chung với các hạng tử còn lại Cách 2: N = a2 - 6a + - = (a2 - 6a + 9) - (Tách = - 1) (nhóm hạng tử - xuất đẳng tử) (6) = (a - 3)2 - = (a - 2) (a + 2) = (a - 2) ( a - 4) (Sử dụng đẳng thức) (Dùng đẳng thức và đặt NTC) (Đặt NTC) Cách 3: N = a2 - 4a + - 2a + = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) = (a - 2)2 - 2(a -2) = (a - 2) ( a - 4) (Tách = + 4, - 6x = - 4x + ( - 2x) (Nhóm hạng tử) (Dùng đẳng thức và đặt NTC) (Đặt NTC) Cách 4: N = 3a2 - 6a + - 2a2 = 3a (a - 2) - 2(a2 - 4) = 3a (a - 2) - 2(a - 2)(a + 2) = (a - 2)(3a - 2a - 4) = (a - 2)(a - 4) (Tách a2 = 3a2 - 2a2) (Đặt NTC) (Dùng Hằng đẳng thức) (Đặt NTC) Trong tam thức bậc hai: ax2 + bx + c Tách hệ số b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau; + Tìm tích a.c + Phân tích a.c thừa số nguyên với cách + Chọn thừa số mà tổng b Ngoài có thể tách hạng tử bậc hai, có thể tách đồng thời nhiều hạng tử tuỳ theo dạng bài toán Phương pháp thêm bớt hạng tử: Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử P1 = x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 (Thêm 4x2, bớt 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (Nhóm hạng tử) 2 = (x + 2) - (2x) (Dùng đẳng thức) 2 = (x + 2x + 2) (x - 2x + 2) Ví dụ 9: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (Thêm 16a2, bớt 16a2) = (a2 + 8)2 - (4a)2 (Dùng đẳng thức) = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) (Dùng đẳng thức) Như vây việc thêm bớt cùng hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào để xuất bình phương tổng và làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương thì phân tích triệt để (7) Ở ví dụ P1 đã có bình phương hạng tử (1) và bình phương hạng tử (2) Vậy muốn là đẳng thức thì còn thiếu lần tích hạng tử Do đó ta thêm 2.x2.2 = 4x2 thì đồng thời phải bớt 4x2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 10: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (Nhóm, đặt nhân tử chung) Ta thấy hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x) đặt y (đổi biến): D1 = y2 + 4y - 12 Khi đó ta có thể dùng phương pháp tách thêm bớt D = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y ) D = y (y - 2) (y + 6) (Đặt nhân tử chung) 2 Hay D = (x + x - 2) (x + x + 6) thay lại biến x D đã phân tích thành nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6) Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp đã nêu trên Chú ý có tam thức không thể phân tích tiếp : x2 + x + = (x + )2 + Do không phân tích tiếp Còn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2) Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2) Phương pháp tìm nghiệm đa thức: Cho đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) Nguyên tắc: Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên m thì f(x) chia hết cho x m (Định lý Bơ - du) Khi đó dùng phép chia đa thức ta có: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp dựa vào các phương pháp nêu trên Các phương pháp tìm nghiệm đa thức + Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = đa thức có nghiệm x = chứa nhân tử chung (x- 1) + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1 chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét hệ số ta xét các ước hệ số tự (hệ số không đổi) (Ư(d)) ước nào làm cho đa thức có giá trị thì ước đó là nghiệm đa thức Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử E1 = x3 + 3x2 - xét tổng các hệ số ta thấy a + b + c = + + (-4) = x1 = (8) E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1) Sau đó dùng phương pháp đẳng thức để phân tích tiếp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + Xét các Ư(2) = có x = -2 là nghiệm E2 E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 Phương pháp hệ số bất định: Ví dụ 12: Phân tích đa thức 2x3 - 5x2 + 8x - thành nhân tử Giải : Nếu đa thức tiện phân tích thành nhân tử thì phải có dạng (ax + b)( cx2 + dx + m) = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm Đồng đa thức này với đa thức đã cho 2x3 - 5x2 + 8x - , ta được: 2x3 - 5x2 + 8x - = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm Suy : a.c = ; ad + bc = -5 ; am + bd = ; b.m = -3 Có thể giả thiết a > (vì a < thì ta đổi dấu hai nhân tử) Do đó a = a = Xét a = thì c = suy : 2d + b = -5 ; 2m + bd = ; bm = -3 b có thể là ± ± Xét b = -1 thì m = d= -2 thoả mãn các điều kiện trên a = ; b = -1 ; c = ; d = -2 ; m = Vậy 2x3 - 5x2 + 8x - = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Tóm lại, vận dụng các phương pháp trên giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử có thể phân tích đa thức thành nhân tử theo nhiều cách Việc học sinh tự mình giải bài toán làm tăng hứng thú học tập các em, giúp các em cảm thấy môn toán không phải là môn học khó và khô khan Từ giúp các em yêu thích môn toán nói riêng và các môn học khác nối chung Ví dụ 13: Phân tích A = x2 - 4x +3 thành nhân tử Cách 1: A = (x2 - 4x + 4) - = (x - 2)2 - = (x - - 1)(x - + 1)= (x - 3)(x - 1) Cách 2: A = x2 - + - 4x = (x - 1)(x + 1) - 4(x - 1) = (x - 1)(x - 3) Cách : A = x2 - - 4x + 12 = (x - 3)(x + 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x + - 4) = (x -3)(x - 1) Cách 4: A = x2 - 2x + - 2x + = (x - 1)2 - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 3) Cách : A = x2 - x - 3x + = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x - 3) Cách : A = x2 - 3x - x+ = x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(x - 1) (9) Cách : A = 4x2 - 4x - 3x2 + = 4x (x - 1) - (x2 - 1) = 4x (x - 1) - 3(x - 1)(x + 1) = (x - 1) [4x - 3(x + 1)] = (x - 1) (4x - 3x - 3) = (x - 1)(x - 3) Cách : A = x2 - 4x +3 = (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd ac 1 ad bc bd 3 * TH1 : a = c = b d b bd 3 d A = (x - 3)(x - 1) * TH2 : a = c = -1 b d 4 b 3 bd 3 d 1 A = (-x + 3)(-x + 1) = (x - 3)(x - 1) (10) Chương HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy trường PTDTBT TH&THCS Túc Đán năm học 2011 - 2012 đã thu số kết định so với năm học trước: So sánh với năm Năm học 2011-2012 2012-2013 học trước Áp dụng đề tài Chưa áp dụng Đã áp dụng chưa Số HS 49 45 -4 Điểm 0-2 4% 0% - 4% Điểm 3-4 30% 4% - 26% Điểm 5-6 62% 36% - 26% Điểm 7-8 4% 40% + 36% Điểm 9-10 0% 20% + 20% (11) Phần thứ ba: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ I Kết luận: Trên đây là số phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử Tuỳ theo dạng đa thức mà áp dụng cách giải cho phù hợp Sau năm giảng dạy dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử, tôi rút số kinh nghiệm sau: - Cần phải đọc kĩ đề bài, phân tích đề bài để từ đó xác định phương pháp phân tích cho phù hợp - Cần luyện kĩ cộng, trừ đơn thức và biến đổi đa thức cho học sinh - Cần luyện kĩ tính toán, cần nhắc nhở Học sinh chú ý dấu - Học sinh cần phải ghi nhớ và có kĩ vận dụng các đẳng thức đáng nhớ mọt cách linh hoạt - Lưu ý bước thử lại quan trọng, vì có số học sinh quá trình biến đổi, tính toán có thể bị sai dấu, sai số sai luỹ thừa biến dẫn đến kết sai II Khuyến nghị: - Mỗi học sinh cần trang bị đầy đủ đồ dùng học tập thước kẻ, máy tính bỏ túi… - Các em cần nâng cao ý thức tự giác học tập, tính hợp tác hoạt động nhóm, tính cẩn thận tính toán Thường xuyên kiểm tra, soát lại bài giải sau làm xong bài tập - Mỗi giáo viên cần phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, rèn luyện để không ngừng trau dồi kiến thức kỹ dạy học - Thường xuyên đổi cách soạn, cách giảng, đưa các ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học, đa dạng hoá các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học để lôi học sinh vào quá trình học tập - Cần quan tâm sâu sát đến đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh yếu kém, giúp đỡ ân cần, nhẹ nhàng tạo niềm tin, hứng thú cho các em vào môn học - Trong quá trình dạy giáo viên phải hướng dẫn học sinh vào việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, tạo tình có vấn đề để học sinh thảo luận Trong tiết phải tạo quan hệ giao lưu đa chiều giáo viên – học sinh, cá nhân, tổ chức nhóm (12) Sau nghiên cứu và triển khai vấn đề này thân tôi nhận thấy: Để nâng cao hứng thú cho học sinh học môn Đại số thì giáo viên phải tạo hứng thú cho học sinh thông qua tìm hiểu kiến thức mới, thông qua việc phân loại bài tập, hướng dẫn học sinh giải bài tập… Đồng thời phải luôn gần gũi, tìm hiểu khó khăn, sở thích học sinh để từ đó có biện pháp phù hợp Đề tài “ Nâng cao hiệu dạy học phân tích đa thức thành nhân tử trường PTDT Bán trú Tiểu học và THCS Túc Đán” tiến hành thời gian ngắn, đối tượng nghiên cứu tiến hành trên các em học sinh khối lớp 8, và số năm giảng dạy thân tôi chưa nhiều Nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, có thể chưa hết các dạng bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử, và phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh vùng cao Rất mong đóng góp ý kiến các cấp quản lí giáo dục và các thầy cô giáo đề tài hoàn thiện hơn, nâng cao chất lượng dạy học môn toán lớp nói riêng, môn toán trung học sở nói chung Túc Đán, ngày 29 tháng 11 năm 2012 Người thực Đỗ Quang Thắng (13) TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS môn Toán / Bộ Giáo dục và Đào tạo – 2004 Những vấn đề chung đổi giáo dục trường THCS môn Toán / Bộ Giáo dục và Đào tạo – 2007 Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên chu kì III ( 2004-2007)/ Bộ Giáo dục và Đào tạo – NXB Giáo dục – 2007 Sách giáo khoa Toán / Phan Đức Chính, Tôn Thân Tuyên –NXB Giáo dục – 2004 Sách giáo viên Toán / Phan Đức Chính, Tôn Thân Tuyên –NXB Giáo dục – năm 2004 Sách Bài tập Toán / Tôn thân (chủ biên)- NXB Giáo dục – 2004 Vở Bài tập Toán / Nguyễn Văn Trang ( Chủ biên) – NXB Giáo dục -2003 Sách Thiết kế bài giảng Toán 8/ Nguyễn Hữu Thảo-NXB Hà Nội–2003 Toán nâng cao Đại số / Nguyễn Vĩnh Cận – NXB Đại học Sư phạm – 2004 10 Bài tập nâng cao và số chuyên đề Toán / Bùi Văn Tuyên – NXB Giáo dục – 2004 11 Luyện giải và ôn tập Toán 8/ Dương Vũ Thụy – NXB giáo dục – 2004 12 Phương pháp giải toán THCS Ôn tập và kiểm tra Toán – NXB TP.HCM – 2004 (14) ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG PTDTBT TH&THCS TÚC ĐÁN: (15) ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ (PHÒNG GD - ĐT TRẠM TẤU): (16) (17)