Đang tải... (xem toàn văn)
- Qua việc viết chuyên đề này bản thân tôi nhận thấy mảng kiến thức “Phân tích đa thức thành nhân tử” là công cụ khá đắc lực giúp cho các em học sinh đặc biệt là học sinh khối THCS giải [r]
(1)Mục lục Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lí chọn SKKN.
2 Thời gian thực triểnkhai SKKN.
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1 Cơ sở lý luận vấn đề.
2 Thực trạng vấn đề.
3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề.
1) Phương phát đặt nhân tử chung:
2) Phương pháp nhóm hạng tử:
3) Phương pháp dùng đẳng thức:
4) Phương pháp tách hạng tử:
5) Phương pháp thêm bớt hạng tử:
6) Phương pháp dùng phối hợp nhiều phương pháp:
7) Phương pháp biến đổi:
8) Phương pháp sử dụng nghiệm hạ bậc da thức:
9) Phương pháp xét giá trị riêng:
10) Phương pháp hệ số bất định:
4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm.
Phần III: KẾT LUẬN.
Danh mục chữ viết tắt: SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm.
THCS: Trung học sở. HS: Học sinh
Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ. 1 Lí chọn SKKN.
- Vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử đề cập đến phân phối chương trình đại số với thời gian song lại cung cụ hữu hiệu học sinh khối nói riêng học sinh khối trở lên, nói chung giải loại tập "Tìm giá trị biểu thức, rút gọn, chứng minh giải phương trình, bất phương trình "
(2)thấy HS nắm biết vận dụng thành thạo phương pháp vào việc giải tập cụ thể, nguyên nhân theo tơi lí sau:
- HS khơng chịu học lí thuyết bản, không nắm vững hàng đẳng thức
- Không chựu khó suy nghĩ để triển khai theo hai chiều thuận đảo Chính điều làm ảnh hưởng khơng đến khả biến đổi HS làm tập
- Thời gian học tiết lớp hạn chế (45’) nên đối tượng HS trung bình yếu chưa thể hình dung có đủ thời gian để tư
- Tiết luyện tập cịn nên giáo viên chưa đủ thời gian để kiểm tra tất đối tượng HS, kiểm tra việc vận dụng lí thuyết HS trình giải tập
- Cũng lí thời gian mà giáo viên khơng đủ điều kiện để đưa phương pháp khác “Đối với HS giỏi” em cịn hạn chế
- Chính lí tơi chọn đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử” nhằm nâng cao lực giải toán cho HS
2 Thời gian thực triểnkhai SKKN. Tiết 14 chương I, tháng năm 2010
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1 Cơ sở lý luận vấn đề.
- Toán học môn khoa học, tảng cho mơn khoa học khác, có ứng dụng hầu hết lĩnh vực sống Toán học giữ vai trò quan trọng bậc học Làm để học đợc tốn, học giỏi tốn vấn đề đặt mà lúc giải đợc cách đễ dàng Với cơng vị giáo viên tốn, tơi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ để tìm phơng pháp tốt phù hợp với đơn vị kiến thức, giúp em tiếp thu kiến thức cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu
- Chương trình tốn đa dạng phong phú, việc đề phương pháp dạy học phù hợp với tất dạng điều khó thực Với dạng lên lớp có phương pháp tối ưu nhất, phương pháp phù hợp với kiểu lại khơng thực phù hợp với kiểu khác Do giáo viên cần cố gắng trau dồi nghiệp vụ sư phạm để hướng dẫn học sinh lĩnh hội tri thức, kỹ năng, phương pháp nhằm đáp ứng yêu cầu ngày cao xã hội
- Kiểu phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề khó đại đa số giáo viên đứng lớp Một phần khả giáo viên hạn chế việc truyền đạt kiến thức, kỹ mặt khác tính chất khơ khan tiết học, khó tạo hứng thú học sinh
2 Thực trạng vấn đề.
- Trong phần đưa phương pháp để phục vụ giải tập dạng “Phân tích đa thức thành nhân tử” sau phần lí thuyết tổng qt tập có tính chất minh hoạ
3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề.
(3)1) Phương phát đặt nhân tử chung: * Lí thuyết bản:
AB + AC + AD = A(B + C + D)
* Loại 1: Nếu đa thức cho có dạng: AB + AC + AD Ta áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng để đưa phương trình tích A(B + C + D)
* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 2x(x + 1) + 2(x + 1) = 2(x + 1)(x + 1) = 2(x + 1) b, 9xy + 15xy - 21xy = 3xy(3xy + 5x - 7y)
* Loại 2: Nếu đa thức cho chưa có sẵn dạng AB + AC + AD Ta phải tìm cách đưa đa thức dạng theo trình tự sau:
+ Bước 1: Phát nhân tử chung hạng tử đa thức cho kiến thức dã học
+ Bước 2: Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung với nhân tử khác
+ Bước 3: Áp dụng luật phân phối phép nhân với phép cộng để viết thành tích
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4x(x - 2y) + 8y(2y - x) = 4x(x - 2y) - 4.2y(x - 2y) = 4(x - 2y)(x - 2y)
= 4(x - 2y) 2) Phương pháp nhóm hạng tử:
- Khi áp dụng phương pháp cần làm theo bước sau:
+ Bước 1: Phát hạng tử có nhân tử chung cho nhóm dạng đặng thức
+ Bước 2: Phát tiếp hạng tử có hạng tử có chứa nhân tử chung dạng đẳng thức, kết hợp thành nhóm dùng đẳng thức
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x + 3xy - 3xy - 9xy = (x + 3xy) - (3xy + 9xy) = x(x + 3y) - 3xy(x + 3y) = (x + 3y)(x - 3xy) = x(x + 3y)(1 - 3y)
b, axy + axy - bxy - bxy - a + b = (axy - bxy) + (axy - bxy) - (a - b) = xy(a - b) + xy(a - b) - (a - b) (a - b)(xy + xy - 1)
3) Phương pháp dùng đẳng thức:
- Khi áp dụng phương pháp làm theo bước sau: + Bước 1: Phát qui dạng đẳng thức đáng nhớ
+ Bước 2: Áp dụng đẳng thức thích hợp để viết thành tích hoắc luỹ thừa
+ Nhắc lại đẳng thức đáng nhớ:
(4)4) (A + B) = A + 3AB + Ab + B 5) (A - B) = A - 3AB + AB - B 6) A + B = (A + B)(A - AB + B) 7) A - B = (A - B)(A + AB + B)
Với A B biểu thức tuỳ ý
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thàng nhân tử: a, 4x + 4xy + y = (2x) - 2.2xy + y
= (2x - y) b, 16x - 8x + = (4x) - 2.4x + = (4x - 1) = [(2x) - 1]
= [(2x - 1)(2x + 1)]
+ Chú ý: Khi dạy phương pháp học sinh giỏi nên cho làm quen thêm số đẳng thức như:
1) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2AC + 2BC 2) (A - B - C) = A + B + C - 2AB - 2AC - 2BC
3) (A + B + C) = A + B + C + 3(A + B)(A + C)(B + C) 4) A - B = (A - B)(A + AB + AB + + AB + AB + B) 5) (A + B) = A + CAB + CAB + + CAB + B
4) Phương pháp tách hạng tử:
- Khi gặp đa thức khơng có thừa số chung khơng có dạng đẳng thức (mặc dù sử dụng đến phương pháp nhóm) ta phải tìm cách tách vài hạng tử để trở thành đa thức có nhiều hạng tử với mục đích tách để trở thành đa thức xuất hạng tử có nhân tử chung dạng đẳng thức để nhóm sau đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để phân tích
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x - x - = x - - x +
= (x - 2) - (x - 2)
= (x - 2)(x + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x + 2x + - x - 2)
= (x - 2)(x + x + 2) b, 3x - 8x + = (3x - 6x) - (2x - 4) = 3x(x - 2) - 2(x - 2) = (x - 2)(3x - 2)
* Nhận xét: Khi dạy phương pháp khó khăn mắc phải HS (khơng phải HS giỏi) lúng túng cách tách hạng tử cho thích hợp Do giáo viên hướng dẫn HS cách giới thiệu toán dạng tổng quát (thuật tách) thực hành làm sau:
1) Tính tích a.c
2) Phân tích a.c (bằng cách) thành tích hai thừa số nguyên 3) Chọn cặp hai thừa số có tổng b
5) Phương pháp thêm bớt hạng tử:
(5)đã khai triển gợi cho ta phải thêm vào hạng tử để xuất dạng đẳng thức đồng thời phải bớt hạng tử để đa thức cho khơng thay đổi, phương pháp dừa vào tính chất
A + B = A + B + C - C * Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, 4x + = (2x) +
= [(2x) + 4x + 1] - 4x = (2x + 1) - (2x)
= (2x + + 2x)(2x + - 2x) b, x + x + = (x - x) + (x + x + 1) = x(x - 1) + (x + x + 1) = x[(x) - 1] + (x + x + 1) = x(x - 1)(x + 1) + (x + x + 1)
= x (x- 1)(x + x + 1)(x + 1) + (x + x + 1) = (x + x + 1)[x(x - 1)(x + 1) + 1]
= (x + x + 1)(x - x + x - x + 1)
6) Phương pháp dùng phối hợp nhiều phương pháp:
- Với dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” không lúc áp dụng phương pháp hai phương pháp mà đa tìm kết Do phải biết kết hợp nhuần nhuyễn kiến thức học cách phù hợp để đa thức cho phân tích cách triệt để
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, a + 5a + 15a - = (a - 9) + (5a + 15a)
= (a + 3)(a - 3) + 5a(a + 3) = (a + 3)(a - + 5a)
b, bc(b - c) + ab(a - b) + ac(a - c) = bc - bc + ab - ab + ac - ac
= (abc - ab) - (ac - ab) - (bc- bc) + (ac - abc) = ab(c - b) - a(c - b) - bc(c - b) + ac(c - b) = (c - b)(ab - a - bc + ac)
= (c - b)[(ab - a) - (bc - ac)] = (c - b)[a(b - a) - c(b - a)] = (c - b)(b - a)(a - c)
7) Phương pháp biến đổi:
- Khi đa thức cho đa thức bậc cao ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để hà bậc để đưa đa thức cho dda thức dạng đơn giản
* Chú ý: Sau phân tích đến bước cuối phải thay trở lại biến ban đầu
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, (x + x) + 4x + 4x - 12 = (x + x) + 4(x + x) - 12 (1) Đặt x + x = y (1) trở thành:
y + 4y - 12 = (y - 4) + (4y - 8)
= (y + 2)(y - 2) + 4(y - 2) = (y - 2)(y + + 4)
(6)Thay y = x + x ta có: (x + x - 2)(x + x + 6) b, x + 6x + 7x - 6x + ( với x ≠ 0) ta có: x + 6x + 7x - 6x + = x(x + 6x + - + )
= x[(x + ) + (6x - ) + 7] (2) Đặt x - = y x + = y + (2) trở thành:
x(y + + 6y + 7) = x(y + 6y + 9) = x(y + 3) Thay y = x - ta có: x(x - + 3) = x
= (x + 3x - 1)
8) Phương pháp sử dụng nghiệm hạ bậc da thức:
- Phương pháp sử dung phân tích đa thức bậc cao biến nhẩm nghiệm
* Cơ số: Dựa định lí Bơ Du: Nếu a nghiệm đa thức f(x) (x - a) ta có f(x) = (x - a).Q(x) hệ số Q(x) xác định nhờ lược đồ hoóc ne
* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x - x - = x - - x +
= (x - 2) - (x - 4)
= (x - 2)(x + 2x + 4) - (x - 2)(x + 2) = (x - 2)(x + 2x + - x - 2)
= (x - 2)(x + x + 2) b, x + x - x +
Các ước 1;
f(1) = + - + =
f(-1) = (-1) + (-1) - (-1) + =
Xét (với x ước 2) hiển nhiên x = 1 không nghiệm
và Z
Với x =
Nhưng f(2) ≠ x = không nghiệm đa thức cho f(x) = x + x -x +
Với x = -2
và f(-2) = x = -2 nghiệm đa thức cho f(x) = x + x -x + Do đó: x + x - x + = (x + 2)(x + x + 1)
9) Phương pháp xét giá trị riêng:
- Phương pháp sử dung đa thức nhiều biến, biến có vai trị đa thức
* Phương pháp chung: Ta cho biến giá trị cụ thể để xác dịnh thừa số cịn lại
* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c -a) Nếu thay a = b thì:
P = + bc(b - c) + ca(c - a) Nếu P (a - b)
(7)Nếu P (a - b)(b - c)(c- a) thấy: - Bậc P biến
- Bậc đa thức chia (a - b)(b - c)(c - a) có bậc tập hợp biến thương phép chia nói phải đa thức bậc hay nói cách khác thương số “k” Vậy ab(a - b) + bc(b - c) + ac(c - a) = k(a - b)(b - c)( c - a) ta phải tìm giá trị k cho a = 2, b = 1, c = 0( giá trị biến không đồng thới 0) Ta được: 2.1.1 + + = k.1.1.(-2)
= -2k k = -1
Vậy ab(a - b) + bc(b - c) + ac(c - a) = -(a - b)(b - c)(c - a) 10) Phương pháp hệ số bất định:
- Dừa sở đồng thức
- Thường dược sử dụng trường hợp toán dạng đa thức nhân tử Ta cần phân tích đa thức cho có nghiệm hữu tỉ Lúc ta phải xác định hệ số đa thức nhân tử với giả thiết phân tích
* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x - 5x + 8x -
* Nhận xét: Nếu đa thức cho phân tích thành hai đa thức bậc bậc hai phải có dạng:
(ax + b)(cx + dx + m) = acx + adx + amx + bcx + bdx + bm = acx + (ad + bc)x + (am + bd)x + bm
Mà kết kết bán đầu nên hệ số tương ứng tức là:
Vậy: 2x - 5x + 8x - = (2x - 1)(x - 2x + 3) 4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm
- Qua việc viết chuyên đề thân tơi nhận thấy mảng kiến thức “Phân tích đa thức thành nhân tử” công cụ đắc lực giúp cho em học sinh đặc biệt học sinh khối THCS giải tập nhanh chóng, thuận lợi q trình viết tơi hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các chúu ý phần, phương pháp để tránh mắc phải sai lầm Nội dung trình bày hầu hết nằm sách giáo khoa nâng cao dần thơng qua học sinh vừa phát huy trí tuệ cách chọn vẹn vừa thấy rõ vai trò to lớn mảng kiến thức vào việc giải tập có liên quan
- Trên số kinh nghiệm giảng dạy học sinh “Phân tích đa thức thành nhân tử” Hoặc kiến thức có liên quan Chắc chắn cịn nhiều thiếu sót Vậy tơi mong bạn đọc đóng góp ý kiến để bổ sung cho viết tơi hồn thiện
Phần III: KẾT LUẬN. Tài liệu tham khảo:
(8)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN BÌNH TRƯỜNG THCS XÃ VŨ LINH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP”
PHƯƠNG PHÁP:
(9)Họ tên: Nguyễn Văn Thành Chức vụ: Giáo viên
Tổ chuyên môn: KH tự nhiên Trường THCS Vũ Linh