SKKN một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Để dạy tốt bộ môn Toán ngoài những việc như soạn bài, chuẩn bị đồ dùng dạy học, kiểm tra đánh giá theo đúng quy định, vào sổ điểm đầy đủ, lên lớp đúng giờ, giảng dạy theo đúng nội dung c

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là cơ sở then chốt cho các ngành khoa học khác: công nghệ thông tin, dầu khí Những kiến thức toán học là một yêu cầu rất gần gủi, cần thiết và trở thành một nhu cầu không thể thiếu được trong cuộc sống hàng hàng ngày và trong công việc

Là một môn học có liên quan đến quá trình tư duy lô gíc tổng hợp và các môn học khác

… Chính vì lẽ đó là một giáo viên Toán tôi nghĩ và cần làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào đời sống, lao động sản xuất, vào việc học tập các môn học khác

Qua thực tế giảng dạy ở trường THCS dù tuổi nghề còn ít ỏi nhưng bản thân tôi luôn

có mong muốn, trong mỗi giờ mình lên lớp, mình sẽ phải làm những gì? Làm như thế nào? Để học sinh hứng thú, học thật hiểu thật nhằm nâng cao chất lượng bộ môn mình đảm nhiệm Đứng trước yêu cầu đó tôi luôn trăn trở và luôn tìm tòi ra các biện pháp nhằm truyền thụ kiến thức một cách nhanh nhất hiệu quả nhất

Để dạy tốt bộ môn Toán ngoài những việc như soạn bài, chuẩn bị đồ dùng dạy học, kiểm tra đánh giá theo đúng quy định, vào sổ điểm đầy đủ, lên lớp đúng giờ, giảng dạy theo đúng nội dung chương trình của ngành quy định mà cần hiểu biết sâu sắc về kiến thức cơ bản của bộ môn, cần có kỹ năng tốt trong giảng dạy, có phương pháp tốt và đúng với đặc trưng của bộ môn, nắm bắt được tâm sinh lý lứa tuổi và tình hình học tập của từng học sinh trong lớp, thường xuyên học hỏi tìm tòi nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ để nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy và giáo dục

Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu của thời đại

Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như trong phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng

Là một giáo viên cấp trung học cơ sở, tôi luôn ý thức được trách nhiệm của bản thân cũng như tầm quan trọng của môn học mình đảm nhiệm Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán, tôi nhận thấy đây là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh, giúp học sinh trở thành con người mới chủ nghĩa xã hội Ngoài ra, việc học tốt môn Toán còn giúp cho học sinh học tốt các môn học khác Vì vậy, dưới góc độ là một giáo viên dạy Toán tôi thấy việc hướng dẫn các em nắm vững đối với từng dạng toán là rất cần thiết

Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy vẫn còn một ít giáo viên chỉ chú trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của học sinh

Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán 8, tôi nhận thấy rất nhiều học sinh lúng túng, thường mắc phải những sai lầm khi thực hiện bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

đặc biệt đối với những học sinh trung bình, học sinh yếu, từ đó các em cũng gặp không ít khó khăn trong việc giải những bài toán ứng dụng có liên quan Ngược lại, đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích

thú, say mê học tập Xét thấy dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí khá

quan trọng trong chương trình Đại số 8, việc nắm vững dạng toán này sẽ giúp cho các em

rất nhiều trong việc giải các bài toán khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x, Thực tế sách giáo khoa chỉ giới thiệu một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp các phương pháp Do đó, khi gặp những bài tập phức

tạp thì các phương pháp này chưa thể áp dụng để giải được, làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải toán, chưa đáp ứng được nhu cầu tìm tòi, học tập đối với

những học sinh khá giỏi Chính vì lí do đó, nên tôi chọn SKKN: "Một số phương pháp

giúp học sinh giải tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử" để nghiên cứu

2 Điểm mới và phạm vi áp dụng của SKKN.

Điểm mới của đề tài là ngoài phân tích các phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử ở sách giáo khoa, bản thân tôi còn giới thiệu thêm các phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dùng hệ số bất định, phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập

Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú Các ví dụ đa dạng, có nhiều bài tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc các phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các bài toán khó

Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8 của trường THCS mà tôi giảng dạy

Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình SGK, SBT Toán 8 hiện hành và một số phương pháp phân tích khác (năm phương pháp)

ở sách tham khảo cùng một số bài tập ứng dụng có liên quan

II NỘI DUNG

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt quá trình học tập, là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nổ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy khi học, các em không những nắm chắt lý thuyết cơ bản mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng toán, trên cơ sở đó tìm ra các cách trình bày bài toán ngắn gọn hơn

Với những nét đặc thù của môn Toán, để nắm vững được kiến thức thì đòi hỏi học sinh không phải chỉ chú ý học lí thuyết là đủ mà phần lớn phải thực hành được các dạng bài tập Bởi vì bài tập Toán học nói chung chiếm một vị trí quan trọng trong quá trình dạy – học môn Toán Nó giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, thực hiện tốt các mục đích dạy – học Toán ở trường phổ thông, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, khả năng ứng dụng vào thực tiển Riêng đối với dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

đã góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo, tính cẩn thận, chính xác cho học sinh, giúp các em có khả năng ứng dụng vào giải được một số dạng bài tập khác

Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử không khó mấy đối với những học sinh khá, giỏi nhưng lại khá khó khăn đối với những đối tượng học sinh trung bình, yếu Bởi

vì, để giải được các bài tập dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà

nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kĩ năng giải bài tập nhất định

Giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, đòi hỏi học sinh phải kết hợp tốt các phương pháp phân tích được giới thiệu trong sách giáo khoa:

 Phương pháp đặt nhân tử chung;

 Phương pháp dùng hằng đẳng thức;

 Phương pháp nhóm hạng tử;

 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

Đó là điều kiện là tiền đề để học sinh giải tốt các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử Ngoài ra, cần giới thiệu cho các em nắm được một số phương pháp phân tích khác để kích thích sự tìm tòi, học hỏi của các em chẳng hạn như:

 Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử;

 Phương pháp đặt ẩn phụ;

 Phương pháp hệ số bất định;

 Phương pháp tìm nghiệm của đa thức;

 Phương pháp đổi dấu một hạng tử A = -(-A)

Đồng thời giáo viên cần hệ thống những dạng bài tập có liên quan để học sinh thấy được việc ứng dụng của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải một số bài toán khác, thông qua đây học sinh cũng được củng cố sâu sắc hơn

Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần tạo ra cho các em có niềm tin, yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và

tự mình tìm ra câu trả lời Khi gặp những bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn

và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Phân tích đa thức thành nhân tử” ở lớp 8, tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh nắm vững các phương pháp phân tích rồi phân tích các đa thức thành kĩ năng, sau đó áp dụng vào các bài toán liên quan

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có khá nhiều thời gian nghiên cứu Với thời lượng phân phối chương trình chỉ có 6 tiết (4 tiết học lí thuyết, 2 tiết luyện tập) thì các em học sinh chỉ kịp hoàn thành phần bài tập còn việc đi sâu vào nghiên cứu, khai thác, tìm hiểu các cách giải bài toàn phân tích đa thức thành

nhân tử là rất hạn chế Hơn nữa, đa số học sinh là con em của nông dân lao động, thuộc vùng sâu nên điều kiện tự học, tự tìm hiểu của các em chưa thật tốt, các bậc phụ huynh phần lớn phó thác việc học tập của con em mình cho nhà trường dẫn đến kết quả học tập còn thấp

Kết quả bài làm 15 phút của học sinh về phân tích đa thức thành nhân tử (năm học 2014- 2015) thật đáng lo ngại:

TS

HS

Tuy vậy, với sự trang bị khá đầy đủ sách tham khảo của Thư viện nhà trường kết hợp với sự say mê, tìm tòi học hỏi của phần lớn học sinh và lòng nhiệt tình, tâm huyết với nghề của giáo viên giảng dạy là điều kiện rất thuận lợi cho việc nghiên cứu và áp dụng kinh nghiệm này

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy dạy và học theo phương pháp cổ điển thì chất lượng thu được còn hạn chế so với phương pháp tôi đã áp dụng; việc hệ thống các phương pháp giải đối với từng loại toán là rất cần thiết, nó giúp các em thấy được sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng loại toán Đồng thời giúp các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú trong học

bộ môn Toán

2 Các giải pháp thực hiện

Trước hết giáo viên cần cho học sinh ôn lại một số kiến thức cơ bản có liên quan đến việc giải bài toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” như: đơn thức, đa thức, các quy tắc nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức,… và cho học sinh thấy rõ: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức cho trước thành tích của những đơn thức hoặc đa thức Đồng thời nắm vững được những phương pháp phân tích đã tìm hiểu trong sách giáo khoa và cho học sinh biết được một số ứng dụng của bài toán dạng này:

 Bài toán chứng minh chia hết;

 Rút gọn biểu thức;

 Tính giá trị biểu thức;

 Giải toán tìm x;

 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất;

 Quy đồng phân thức…

Trong phạm vi những kinh nghiệm này, tôi tập trung nghiên cứu các vấn đề sau đây:

2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thông thường.

Sách giáo khoa chỉ sử dụng những bài tập cụ thể để đưa đến từng phương pháp phân tích, do đó học sinh gặp không ít khó khăn để nắm vững được phương pháp Chính vì vậy cần có một cách khái quát cho từng phương pháp phân tích và những điểm lưu ý dễ gặp sai sót trong quá trình phân tích

2.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B nhân tử chung C, khi đó:

A + B = C.A1 + C.A2 = C.(A1 + A2)

Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 4xy2 + x2y

b) 10x – 5y

c) 5x(x – 1) – 3y(x – 1)

d) 2x(x – 3) – 5(3 – x)

Đây là những bài tập không khó, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ bị mắc phải sai lầm Chẳng hạn đối với ví dụ a, thì dễ dàng học sinh thấy được nhân tử chung của hai hạng tử là xy, do đó học sinh sẽ thực hiện một cách nhanh chóng Tuy nhiên ở ví dụ b, một số học sinh khẳng định là không có nhân tử chung nào (vì x  y) do chỉ chú trọng quan sát phần biến mà quên đi hệ số của hạng tử, còn trường hợp ở ví dụ c, thì học sinh gặp khá khó khăn khi không hiểu được nhân tử chung ở đây là một đa thức (x – 1) Riêng đối với ví dụ d, học sinh dễ mắc sai lầm khi chọn nhân tử chung là x – 3 Vì thế, trong việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân tử chung thì giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ và lưu

ý những trường hợp thường mắc sai sót này

Để tránh sai sót ở trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất đổi dấu A

= -(-A)

Giải :

a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x)

b/ 10x – 5y = 5(2x – y)

c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y)

d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3)

= (x – 3)(2x + 5)

2.1.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Trước tiên để sử dụng tốt phương pháp này, học sinh phải nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

2 2

2 2

(Với A, B là hai biểu thức tùy ý)

Giáo viên lưu ý học sinh, thông thường đề bài cho sẽ có dạng ở vế phải các hằng đẳng thức: bình phương một tổng, một hiệu; lập phương một tổng, một hiệu hoặc cho vế trái của các hằng đẳng thức còn lại.Vì vậy cần cho học sinh học thuộc các hằng đẳng thức này theo cả chiều thuận và chiều nghịch để các em vận dụng được tốt Việc sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường đi theo hai hướng:

*Hướng 1: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức.

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x2 + 6x + 9

b/ x2 – 5

c/ 1 – 27x3

d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2

Ở ví dụ trên các hằng đẳng thức đã được khai triển, việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức Thế như, nếu chủ quan thì học sinh sẽ dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ở ví dụ b, học sinh sẽ gặp khó khăn khi nhận dạng hằng đẳng thức, vì hạng tử thứ hai (số 5) chưa có dạng bình phương, để có dạng hằng đẳng thức thì giáo viên phải nhắc lại khái niệm căn bậc hai của một số (5 =( 5)2), ở

ví dụ c học sinh thường gặp khó khăn khi viết 27x3 = (3x)3 Riêng đối với ví dụ d, học sinh sẽ khó nhận dạng được hằng đẳng thức, bởi vì thông thường các bài tập hay cho dưới dạng các hạng tử là những đơn thức, gặp các hạng tử là những đa thức thì học sinh chưa hình dung nhận diện được

Giải:

a/ x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2

b/ x2 – 5 = (x + 5)(x - 5)

c/ 1 – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2)

d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2

= (x – y – x – y)2

= (-2y)2 = 4y2

*Hướng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện

hằng đẳng thức mới

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b)

b/ x2 - 2xy + y2 – z2

Ở những ví dụ này, khi phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ riêng dùng hằng đẳng thức là đủ mà phải có sự phối hợp tốt giữa các phương pháp : đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử Do đó việc nhóm những hạng tử thích hợp cũng góp phần thuận lợi cho chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử

Giải :

a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b)

= 4(a + b) [x(a – b) + 2]

= 4(a + b) (ax – bx + 2)

b/ x2 - 2xy + y2 – z2 = (x2 - 2xy + y2) – z2

= (x – y)2 – z2

= (x – y – z)(x – y + z)

2.1.3 Phương pháp nhóm hạng tử

Chúng ta đã biết, để phân tích đa thức thành nhân tử công việc quan trọng nhất là tạo

ra được nhân tử chung Do đó, trong nhiều trường hợp không thể áp dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay hằng đẳng thức thì việc nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung lại rất cần thiết Tuy nhiên, đối với phương pháp này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp và chú ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ

“ – ”

Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau:

“Cho đa thức

A + B + C + D (A,B,C,D là các biểu thức)

Nếu A, B, C, D không có nhân tử chung nào thì hãy thử với (A + B) và (C + D) hoặc các phép giao hoán khác Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo thành một hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức”.

Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x2 – 3x + xy – 3y

b/ 2xy + 3z + 6y + xz

c/ x2 – x – y2 – y

Các ví dụ trên mặc dù ở mức độ không khó lắm, chỉ cần nhóm hợp lí và áp dụng được phương pháp đặc nhân tử chung và hằng đẳng thức thì dễ dàng thực hiện được Tuy nhiên ở ví dụ câu a và c nếu không để ý về dấu thì học sinh sẽ mắc sai lầm khi nhóm hạng tử đằng trước dấu ngoặc là dấu trừ ‘‘ –’’ mà không đổi dấu những hạng tử trong ngoặc Đây là một sai lầm mà phần lớn học sinh mắc phải

Giải :

a/ x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y)

= x(x + y) – 3(x + y)

= (x + y)(x – 3)

b/ 2xy + 3z + 6y + xz =(2xy + 6y) + (3z + xz)

=2y(x + 3) + z(3 + x)

=(x + 3)(2y + z)

c/ x2 – x – y2 – y =( x2 – y2 ) – (x + y)

= (x + y) (x – y) – (x +y)

=(x + y) (x – y – 1)

Ngoài ra có một số bài toán phân tích đa thức phân tích đa thức thành nhân tử mà chúng ta không thể áp dụng trình tự những phương pháp đã biết, đòi hỏi tư duy linh hoạt của học sinh để biến đổi đa thức một vài bước, sau đó mới áp dụng các phương pháp đã biết để phân tích Chẳng hạn bài tập ở ví dụ sau đây :

Ví dụ 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)

Đối với đa thức dạng này phương pháp chung là khai triển hai trong số ba hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng

tử thứ ba Do đó, ta có thể khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a + b:

bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)

= b2c + bc2 + c2a – ca2 – ab(a + b)

= (b2c – ca2) + (bc2+ c2a) – ab(a + b)

= c(b2 – a2) + c2(b + a) – ab(a + b)

= c(b – a)(b + a) + c2(b + a) – ab(a + b)

= (b + a)(cb – ca + c2) – ab(a + b)

= (a + b)(cb – ca + c2 – ab)

= (a + b)[(cb + c2) – (ca + ba)]

= (a + b)[c(b + c) – a(c + b)]

= (a + b)(b + c)(c – a)

Với cách làm đó, ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung b + c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung là c – a hoặc riêng đối với bài tập này, ta có thể hướng dẫn như sau:

Vì (c – a) + (a + b) = (b + c) nên ta có:

bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)

= bc[(c – a) + (a + b)] + ca(c – a) – ab(a + b)

= bc(c – a) + bc(a + b) + ca(c – a) – ab(a + b)

= [bc(c – a) + ca(c – a)] + [bc(a + b) – ab(a + b)]

= (c – a)(bc + ca) + (a + b)(bc – ab)

= c(c – a)(a + b) + b(a + b)(c – a)

= (a + b)(b + c)(c – a)

Đây là dạng bài tập khá thú vị nhưng cũng không ít phức tạp ta chỉ nên giới thiệu cho đối tượng học sinh khá, giỏi nhằm nâng cao sự hiểu biết và kích thích tính tích cực của các em

Nhìn chung, các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm như thế nào thì cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử chung hoặc vận

dụng được hằng đẳng thức Như vậy, đòi hỏi học sinh phải nắm vững hai phương pháp

này (đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức).

Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thông thường đã nêu trong sách giáo khoa Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở các phương pháp đó thì chỉ thích hợp cho đối tượng học sinh trung bình, yếu còn đối với những học sinh khá, giỏi thì sẽ làm cho các em dễ nhàm chán Mặt khác, có những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà những phương pháp trên chúng ta chưa thể

áp dụng để phân tích được ngay Vì lí do đó nên chúng ta có thể giới thiệu thêm cho các

em một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác để giúp các em có điều kiện tìm hiểu tốt dạng toán này

2.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác

2.2.1 Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Phương pháp này áp dụng cho những đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân

tử Ta tách một hạng tử trong đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp

đã biết

Ví dụ 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a/ x2 + 4x + 3 b/ x2 – 7x + 12

Đối với ví dụ a, ta có thể làm theo một số cách sau:

*Cách 1: Tách hạng tử 4x = x + 3x

Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3

= (x2 + x) + (3x + 3)

= x(x + 1) + 3(x + 1)

= (x + 1)(x + 3)

*Cách 2: Tách hạng tử x2 = 4x2 – 3x2

Ta có x2 + 4x + 3 = 4x2 – 3x2 + 4x + 3

= (4x2 + 4x) – (3x2 – 3)

= 4x(x + 1) – 3(x2 – 1)

= 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1)

= (x + 1)(4x – 3x + 3)

= (x + 1)(x + 3)

*Cách 3: Tách hạng tử 3 = 4 – 1

Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1

= (x2 – 1) + (4x + 4)

= (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x – 1 + 4)

= (x + 1)(x + 3)

*Cách 4: Tách hạng tử 3 = 4 – 1 để tạo hằng đẳng thức

Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + 2.2.x + 22 – 1

= (x + 2)2 – 1

= (x + 2 – 1)(x + 2 + 1)

= (x + 1)(x + 3)

Tương tự như câu a, câu b chúng ta cũng có một số cách làm sau:

*Cách 1: Tách hạng tử -7x thành – 4x – 3x

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 4x – 3x + 12

= (x2 – 4x) – (3x – 12)

= x(x – 4) – 3(x – 4)

= (x – 4)(x – 3)

*Cách 2: Tách hạng tử 12 thành 21 – 9

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 21 – 9

= (x2 – 9) – (7x – 21)

= (x – 3)(x + 3) – 7(x – 3)

= (x – 3)(x + 3 – 7)

= (x – 3)(x – 4)

Cách 3: Tách hạng tử 12 thành -16 + 28

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 28 – 16

= (x2 – 16) – (7x – 28)

= (x – 4)(x + 4) – 7(x – 4)

= (x – 4)(x + 4 – 7)

= (x – 4)(x – 3)

Cách 4: Tách hạng tử -7x thành -6x – x và 12 = 9 + 3

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 6x + 9 – x + 3

= (x2 – 6x + 9) – (x – 3)

= (x – 3)2 – (x – 3)

= (x – 3)(x – 3 – 1)

= (x – 4)(x – 3)

Cách 5: Tách hạng tử -7x thành -8x + x và 12 = 16 – 4

Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 8x + 16 + x – 4

= (x2 – 8x + 16) + (x – 4)

= (x – 4)2 + (x – 4)

= (x – 4)(x – 4 + 1)

= (x – 4)(x – 3)

Với hai câu của ví dụ vừa nêu, khi phân tích các đa thức này thành nhân tử có nhiều lời giải tương ứng với nhiều cách tách hạng tử, học sinh có thể lựa chọn cách nào phù hợp với trình độ năng lực của mình nhất