(Sáng kiến kinh nghiệm) một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học sở then chốt cho ngành khoa học khác: cơng nghệ thơng tin, dầu khí Những kiến thức toán học yêu cầu gần gủi, cần thiết trở thành nhu cầu thiếu sống hàng hàng ngày cơng việc Là mơn học có liên quan đến q trình tư lơ gíc tổng hợp mơn học khác … Chính lẽ giáo viên Tốn tơi nghĩ cần làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kỹ tốn học phổ thơng bản, đại có lực vận dụng tri thức vào đời sống, lao động sản xuất, vào việc học tập môn học khác Qua thực tế giảng dạy trường THCS dù tuổi nghề cịn ỏi thân tơi ln có mong muốn, lên lớp, phải làm gì? Làm nào? Để học sinh hứng thú, học thật hiểu thật nhằm nâng cao chất lượng mơn đảm nhiệm Đứng trước u cầu tơi ln trăn trở ln tìm tịi biện pháp nhằm truyền thụ kiến thức cách nhanh hiệu Để dạy tốt mơn Tốn ngồi việc soạn bài, chuẩn bị đồ dùng dạy học, kiểm tra đánh giá theo quy định, vào sổ điểm đầy đủ, lên lớp giờ, giảng dạy theo nội dung chương trình ngành quy định mà cần hiểu biết sâu sắc kiến thức môn, cần có kỹ tốt giảng dạy, có phương pháp tốt với đặc trưng môn, nắm bắt tâm sinh lý lứa tuổi tình hình học tập học sinh lớp, thường xun học hỏi tìm tịi nâng cao trình độ chun môn nghiệp vụ để nâng cao chất lượng hiệu giảng dạy giáo dục Một mục tiêu nhà trường đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thời đại Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết phải tạo tiền đề vững chắc, lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên mơn nói chung mơn Tốn nói riêng Là giáo viên cấp trung học sở, ý thức trách nhiệm thân tầm quan trọng mơn học đảm nhiệm Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn, tơi nhận thấy mơn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực học tập học sinh, giúp học sinh trở thành người chủ nghĩa xã hội Ngoài ra, việc học tốt mơn Tốn cịn giúp cho học sinh học tốt mơn học khác Vì vậy, góc độ giáo viên dạy Tốn tơi thấy việc hướng dẫn em nắm vững dạng toán cần thiết Tuy nhiên, thực tế giảng dạy cịn giáo viên trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo bước, chưa ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo học sinh Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn 8, tơi nhận thấy nhiều học sinh lúng túng, thường mắc phải sai lầm thực tốn phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt học sinh trung bình, học sinh yếu, từ em gặp khơng khó khăn việc giải tốn ứng dụng có liên quan Ngược lại, học sinh khá, giỏi tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho em thích thú, say mê học tập Xét thấy dạng tốn Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí quan trọng chương trình Đại số 8, việc nắm vững dạng toán giúp cho em nhiều việc giải toán khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x, Thực tế sách giáo khoa giới thiệu số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp phương pháp Do đó, gặp tập phức tạp phương pháp chưa thể áp dụng để giải được, làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn q trình giải tốn, chưa đáp ứng nhu cầu tìm tịi, học tập học sinh giỏi Chính lí đó, nên tơi chọn SKKN: "Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt tốn phân tích đa thức thành nhân tử" để nghiên cứu Điểm phạm vi áp dụng SKKN Điểm đề tài phân tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sách giáo khoa, thân tơi cịn giới thiệu thêm phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dùng hệ số bất định, phương pháp nhẩm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Khi học chuyên đề học sinh tiếp thu thích thú Các ví dụ đa dạng, có nhiều tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải tốn khó Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp trường THCS mà giảng dạy Ý tưởng đề tài phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên thân nghiên cứu qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử chương trình SGK, SBT Toán hành số phương pháp phân tích khác (năm phương pháp) sách tham khảo số tập ứng dụng có liên quan II NỘI DUNG Thực trạng vấn đề nghiên cứu Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt q trình học tập, mơn học khó, địi hỏi học sinh phải có nổ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chương trình tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do học, em nắm chắt lý thuyết mà phải biết tự diễn đạt theo ý mình, từ biết vận dụng để giải loại toán Qua cách giải toán rút phương pháp chung để giải dạng toán, sở tìm cách trình bày toán ngắn gọn Với nét đặc thù mơn Tốn, để nắm vững kiến thức địi hỏi học sinh khơng phải ý học lí thuyết đủ mà phần lớn phải thực hành dạng tập Bởi tập Tốn học nói chung chiếm vị trí quan trọng q trình dạy – học mơn Tốn Nó giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển lực tư duy, thực tốt mục đích dạy – học Tốn trường phổ thơng, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, khả ứng dụng vào thực tiển Riêng dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo, tính cẩn thận, xác cho học sinh, giúp em có khả ứng dụng vào giải số dạng tập khác Các tốn phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó học sinh khá, giỏi lại khó khăn đối tượng học sinh trung bình, yếu Bởi vì, để giải tập dạng không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi học sinh cần có kĩ giải tập định Giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, đòi hỏi học sinh phải kết hợp tốt phương pháp phân tích giới thiệu sách giáo khoa:  Phương pháp đặt nhân tử chung;  Phương pháp dùng đẳng thức;  Phương pháp nhóm hạng tử;  Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp Đó điều kiện tiền đề để học sinh giải tốt tập phân tích đa thức thành nhân tử Ngoài ra, cần giới thiệu cho em nắm số phương pháp phân tích khác để kích thích tìm tịi, học hỏi em chẳng hạn như:  Phương pháp thêm, bớt hạng tử;  Phương pháp đặt ẩn phụ;  Phương pháp hệ số bất định;  Phương pháp tìm nghiệm đa thức;  Phương pháp đổi dấu hạng tử A = -(-A) Đồng thời giáo viên cần hệ thống dạng tập có liên quan để học sinh thấy việc ứng dụng toán phân tích đa thức thành nhân tử việc giải số tốn khác, thơng qua học sinh củng cố sâu sắc Xuất phát từ thực tế em học sinh ngại khó giải tốn, tơi thấy cần tạo cho em có niềm tin, u thích say mê học tập, ln tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời Khi gặp tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn cảm thấy dễ dàng việc “Phân tích đa thức thành nhân tử” lớp 8, thấy cần phải hướng dẫn học sinh nắm vững phương pháp phân tích phân tích đa thức thành kĩ năng, sau áp dụng vào tốn liên quan Trên thực tế, học sinh giải tốn dạng cần phải có nhiều thời gian nghiên cứu Với thời lượng phân phối chương trình có tiết (4 tiết học lí thuyết, tiết luyện tập) em học sinh kịp hồn thành phần tập việc sâu vào nghiên cứu, khai thác, tìm hiểu cách giải tồn phân tích đa thức thành nhân tử hạn chế Hơn nữa, đa số học sinh em nông dân lao động, thuộc vùng sâu nên điều kiện tự học, tự tìm hiểu em chưa thật tốt, bậc phụ huynh phần lớn phó thác việc học tập em cho nhà trường dẫn đến kết học tập thấp Kết làm 15 phút học sinh phân tích đa thức thành nhân tử (năm học 2014- 2015) thật đáng lo ngại: Khá giỏi Trung bình Yếu TS HS SL % SL % SL % 44 6.8 18 41 23 52.2 Tuy vậy, với trang bị đầy đủ sách tham khảo Thư viện nhà trường kết hợp với say mê, tìm tịi học hỏi phần lớn học sinh lịng nhiệt tình, tâm huyết với nghề giáo viên giảng dạy điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu áp dụng kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy thấy dạy học theo phương pháp cổ điển chất lượng thu cịn hạn chế so với phương pháp áp dụng; việc hệ thống phương pháp giải loại toán cần thiết, giúp em thấy đa dạng phong phú nội dung loại tốn Đồng thời giúp em có cách nhìn nhận nhiều góc độ khác dạng tốn, từ kích thích em có tìm tịi sáng tạo, khám phá điều lạ say mê học tập, có nhiều hứng thú học mơn Tốn Các giải pháp thực Trước hết giáo viên cần cho học sinh ôn lại số kiến thức có liên quan đến việc giải tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” như: đơn thức, đa thức, quy tắc nhân, chia đa thức, đẳng thức,… cho học sinh thấy rõ: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) phép biến đổi đa thức cho trước thành tích đơn thức đa thức Đồng thời nắm vững phương pháp phân tích tìm hiểu sách giáo khoa cho học sinh biết số ứng dụng toán dạng này:  Bài toán chứng minh chia hết;  Rút gọn biểu thức;  Tính giá trị biểu thức;  Giải tốn tìm x;  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất;  Quy đồng phân thức… Trong phạm vi kinh nghiệm này, tập trung nghiên cứu vấn đề sau đây: 2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường Sách giáo khoa sử dụng tập cụ thể để đưa đến phương pháp phân tích, học sinh gặp khơng khó khăn để nắm vững phương pháp Chính cần có cách khái quát cho phương pháp phân tích điểm lưu ý dễ gặp sai sót q trình phân tích 2.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta xác định A B nhân tử chung C, đó: A + B = C.A1 + C.A2 = C.(A1 + A2) Cách làm gọi phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 4xy2 + x2y b) 10x – 5y c) 5x(x – 1) – 3y(x – 1) d) 2x(x – 3) – 5(3 – x) Đây tập khơng khó, chủ quan học sinh dễ bị mắc phải sai lầm Chẳng hạn ví dụ a, dễ dàng học sinh thấy nhân tử chung hai hạng tử xy, học sinh thực cách nhanh chóng Tuy nhiên ví dụ b, số học sinh khẳng định khơng có nhân tử chung (vì x ≠ y) trọng quan sát phần biến mà quên hệ số hạng tử, cịn trường hợp ví dụ c, học sinh gặp khó khăn khơng hiểu nhân tử chung đa thức (x – 1) Riêng ví dụ d, học sinh dễ mắc sai lầm chọn nhân tử chung x – Vì thế, việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân tử chung giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ lưu ý trường hợp thường mắc sai sót Để tránh sai sót trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất đổi dấu A = -(-A) Giải : a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x) b/ 10x – 5y = 5(2x – y) c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y) d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(2x + 5) 2.1.2 Phương pháp dùng đẳng thức Trước tiên để sử dụng tốt phương pháp này, học sinh phải nắm vững bảy đẳng thức đáng nhớ: + ( A + B ) = A2 + AB + B 2 + ( A − B ) = A2 − AB + B 2 + A2 − B = ( A − B ) ( A + B ) + ( A + B ) = A3 + A2 B + AB + B 3 + ( A − B ) = A3 − A2 B + AB − B 3 + A3 − B = ( A − B ) ( A2 + AB + B ) + A3 + B = ( A + B ) ( A2 − AB + B ) (Với A, B hai biểu thức tùy ý) Giáo viên lưu ý học sinh, thông thường đề cho có dạng vế phải đẳng thức: bình phương tổng, hiệu; lập phương tổng, hiệu cho vế trái đẳng thức cịn lại.Vì cần cho học sinh học thuộc đẳng thức theo chiều thuận chiều nghịch để em vận dụng tốt Việc sử dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường theo hai hướng: *Hướng 1: Biến đổi đa thức ban đầu dạng quen thuộc đẳng thức Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x2 + 6x + b/ x2 – c/ – 27x3 d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 Ở ví dụ đẳng thức khai triển, việc phân tích cách viết theo chiều ngược lại đẳng thức em học sinh dễ dàng thực em thuộc biết cách vận dụng đẳng thức Thế như, chủ quan học sinh dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ví dụ b, học sinh gặp khó khăn nhận dạng đẳng thức, hạng tử thứ hai (số 5) chưa có dạng bình phương, để có dạng đẳng thức giáo viên phải nhắc lại khái niệm bậc hai số (5 =( )2), ví dụ c học sinh thường gặp khó khăn viết 27x3 = (3x)3 Riêng ví dụ d, học sinh khó nhận dạng đẳng thức, thơng thường tập hay cho dạng hạng tử đơn thức, gặp hạng tử đa thức học sinh chưa hình dung nhận diện Giải: a/ x2 + 6x + = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2 b/ x2 – = (x + )(x - ) c/ – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2) d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2 = (x – y – x – y)2 = (-2y)2 = 4y2 *Hướng 2: Sử dụng đẳng thức để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) b/ x2 - 2xy + y2 – z2 Ở ví dụ này, phân tích đa thức thành nhân tử không riêng dùng đẳng thức đủ mà phải có phối hợp tốt phương pháp : đặt nhân tử chung nhóm hạng tử Do việc nhóm hạng tử thích hợp góp phần thuận lợi cho phân tích đa thức thành nhân tử Giải : a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b) = 4(a + b) [x(a – b) + 2] = 4(a + b) (ax – bx + 2) b/ x2 - 2xy + y2 – z2 = (x2 - 2xy + y2) – z2 = (x – y)2 – z2 = (x – y – z)(x – y + z) 2.1.3 Phương pháp nhóm hạng tử Chúng ta biết, để phân tích đa thức thành nhân tử công việc quan trọng tạo nhân tử chung Do đó, nhiều trường hợp khơng thể áp dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay đẳng thức việc nhóm hạng tử để làm xuất nhân tử chung lại cần thiết Tuy nhiên, phương pháp giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt dấu trừ “ – ” Ta tổng quát phương pháp sau: “Cho đa thức A + B + C + D (A,B,C,D biểu thức) Nếu A, B, C, D khơng có nhân tử chung thử với (A + B) (C + D) phép giao hốn khác Tức nhóm hạng tử có nhân tử chung lại với tạo thành đẳng thức để làm xuất nhân tử chung đa thức” Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x2 – 3x + xy – 3y b/ 2xy + 3z + 6y + xz c/ x2 – x – y2 – y Các ví dụ mức độ khơng khó lắm, cần nhóm hợp lí áp dụng phương pháp đặc nhân tử chung đẳng thức dễ dàng thực Tuy nhiên ví dụ câu a c khơng để ý dấu học sinh mắc sai lầm nhóm hạng tử đằng trước dấu ngoặc dấu trừ ‘‘ –’’ mà không đổi dấu hạng tử ngoặc Đây sai lầm mà phần lớn học sinh mắc phải Giải : a/ x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y) = x(x + y) – 3(x + y) = (x + y)(x – 3) b/ 2xy + 3z + 6y + xz =(2xy + 6y) + (3z + xz) =2y(x + 3) + z(3 + x) =(x + 3)(2y + z) c/ x2 – x – y2 – y =( x2 – y2 ) – (x + y) = (x + y) (x – y) – (x +y) =(x + y) (x – y – 1) Ngồi có số tốn phân tích đa thức phân tích đa thức thành nhân tử mà khơng thể áp dụng trình tự phương pháp biết, đòi hỏi tư linh hoạt học sinh để biến đổi đa thức vài bước, sau áp dụng phương pháp biết để phân tích Chẳng hạn tập ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) Đối với đa thức dạng phương pháp chung khai triển hai số ba hạng tử giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ làm xuất nhân tử chung chứa số hạng tử thứ ba Do đó, ta khai triển hai hạng tử đầu giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất nhân tử chung a + b: bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) = b2c + bc2 + c2a – ca2 – ab(a + b) = (b2c – ca2) + (bc2+ c2a) – ab(a + b) = c(b2 – a2) + c2(b + a) – ab(a + b) = c(b – a)(b + a) + c2(b + a) – ab(a + b) = (b + a)(cb – ca + c2) – ab(a + b) = (a + b)(cb – ca + c2 – ab) = (a + b)[(cb + c2) – (ca + ba)] = (a + b)[c(b + c) – a(c + b)] = (a + b)(b + c)(c – a) Với cách làm đó, ta khai triển hai hạng tử cuối nhóm hạng tử để làm xuất nhân tử chung b + c, khai triển hai hạng tử đầu cuối để có nhân tử chung c – a riêng tập này, ta hướng dẫn sau: Vì (c – a) + (a + b) = (b + c) nên ta có: bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) = bc[(c – a) + (a + b)] + ca(c – a) – ab(a + b) = bc(c – a) + bc(a + b) + ca(c – a) – ab(a + b) = [bc(c – a) + ca(c – a)] + [bc(a + b) – ab(a + b)] = (c – a)(bc + ca) + (a + b)(bc – ab) = c(c – a)(a + b) + b(a + b)(c – a) = (a + b)(b + c)(c – a) Đây dạng tập thú vị khơng phức tạp ta nên giới thiệu cho đối tượng học sinh khá, giỏi nhằm nâng cao hiểu biết kích thích tính tích cực em Nhìn chung, tốn phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm cuối phải đạt mục đích có nhân tử chung vận dụng đẳng thức Như vậy, đòi hỏi học sinh phải nắm vững hai phương pháp (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức) Trên vừa xem xét ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường nêu sách giáo khoa Tuy nhiên, dừng lại phương pháp thích hợp cho đối tượng học sinh trung bình, yếu cịn học sinh khá, giỏi làm cho em dễ nhàm chán Mặt khác, có tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà phương pháp chưa thể áp dụng để phân tích Vì lí nên giới thiệu thêm cho em số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác để giúp em có điều kiện tìm hiểu tốt dạng tốn 2.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác 2.2.1 Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp áp dụng cho đa thức chưa phân tích thành nhân tử Ta tách hạng tử đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng phương pháp biết Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x2 + 4x + b/ x2 – 7x + 12 Đối với ví dụ a, ta làm theo số cách sau: *Cách 1: Tách hạng tử 4x = x + 3x Ta có x2 + 4x + = x2 + x + 3x + = (x2 + x) + (3x + 3) = x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x + 3) *Cách 2: Tách hạng tử x2 = 4x2 – 3x2 Ta có x2 + 4x + = 4x2 – 3x2 + 4x + = (4x2 + 4x) – (3x2 – 3) = 4x(x + 1) – 3(x2 – 1) = 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1) = (x + 1)(4x – 3x + 3) = (x + 1)(x + 3) *Cách 3: Tách hạng tử = – Ta có x2 + 4x + = x2 + 4x + – = (x2 – 1) + (4x + 4) = (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x – + 4) = (x + 1)(x + 3) *Cách 4: Tách hạng tử = – để tạo đẳng thức Ta có x2 + 4x + = x2 + 2.2.x + 22 – = (x + 2)2 – = (x + – 1)(x + + 1) = (x + 1)(x + 3) Tương tự câu a, câu b có số cách làm sau: *Cách 1: Tách hạng tử -7x thành – 4x – 3x Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 4x – 3x + 12 = (x2 – 4x) – (3x – 12) = x(x – 4) – 3(x – 4) = (x – 4)(x – 3) *Cách 2: Tách hạng tử 12 thành 21 – Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 21 – = (x2 – 9) – (7x – 21) = (x – 3)(x + 3) – 7(x – 3) = (x – 3)(x + – 7) = (x – 3)(x – 4) Cách 3: Tách hạng tử 12 thành -16 + 28 Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 28 – 16 = (x2 – 16) – (7x – 28) = (x – 4)(x + 4) – 7(x – 4) = (x – 4)(x + – 7) = (x – 4)(x – 3) Cách 4: Tách hạng tử -7x thành -6x – x 12 = + Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 6x + – x + = (x2 – 6x + 9) – (x – 3) = (x – 3)2 – (x – 3) = (x – 3)(x – – 1) = (x – 4)(x – 3) Cách 5: Tách hạng tử -7x thành -8x + x 12 = 16 – Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 8x + 16 + x – = (x2 – 8x + 16) + (x – 4) = (x – 4)2 + (x – 4) = (x – 4)(x – + 1) = (x – 4)(x – 3) Với hai câu ví dụ vừa nêu, phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều lời giải tương ứng với nhiều cách tách hạng tử, học sinh lựa chọn cách phù hợp với trình độ lực Thơng qua tập dạng này, giáo viên cần tổng kết cho học sinh thấy nhiều cách tách hạng tử có hai cách tách thơng dụng là: +Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dựa vào cách suy luận ngược lại sau: (mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq Như đa thức ax2 + bx + c, hệ số b tách thành hai hạng tử b = b + b2 cho b1 b2 = ac +Tách hạng tử tự thành hai hạng tử (c = c1 + c2) ví dụ vừa nêu Tuy nhiên có nhiều đa thức phân tích ta khơng áp dụng hai cách vừa nêu, phương pháp tách tách hạng tử mở rộng cho trường hợp cần tách nhiều hạng tử đa thức Để minh họa xem xét ví dụ sau: Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x3 – 2x – = x3 – 2x – + = (x3 – 8) – (2x – 4) = (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 2(x – 2) = (x – 2)(x2 + 2x + – 2) = (x – 2)(x2+ 2x + 2) b/ x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10 = (x3 + x2) + (7x2 + 7x) + (10x + 10) = x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1) = (x + 1)(x2 + 7x + 10) = (x + 1)(x2 + 2x + 5x + 10) = (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)] = (x + 1)(x + 2)(x + 5) 2.2.2 Phương pháp thêm, bớt hạng tử Với đa thức cho khơng có chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức khơng thể nhóm số hạng tử Đối với đa thức dạng ta phải biến đổi đa thức cách thêm, bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 + = x4 + + 4x2 – 4x2 ( ta thêm, bớt hạng tử 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = [(x2)2 + 2.x.2 + 22] – (2x)2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + – 2x) = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) Phương pháp thêm, bớt hạng tử mở rộng tự nhiên cần thêm, bớt nhiều hạng tử, để minh họa xem ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x3 – x + 1) Ta thêm, bớt hạng tử x3, x2, x vào đa thức cho b/ x5 + x + = x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x + = (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + x2 + x + = x3(x2 + x + 1) – x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) Ta thêm, bớt hạng tử x4, x3, x2 vào đa thức cho Phương pháp sử dụng đa thức có dạng: x5 + x4 + 1; x8 + x4 + 1; x10 + x8 + Các đa thức có dạng: xm + xn + m = 3k + 1; n = 3h + 2.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp thường áp dụng đa thức có dạng A(x).B(x) + C Trong A(x), B(x) biểu diễn qua Ví dụ A(x) viết dạng B(x) ngược lại Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + = y ⇒ x2 + x + = y + Ta có y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – + y – = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + + 1) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + ta : (y – 3)(y + 4) = (x2 + x + – 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 5) = (x2 – + x – 1)(x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5) = (x – 1)(x + + 1)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5) Ở ví dụ ta đổi biến x thành biến y sau phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử quay trở lại đa thức với biến ban đầu x Cuối ta lại tiếp tục phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử b/ 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 Với đa thức cho để nguyên khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm : 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m Ta có : 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz ta : (2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 2.2.4 Phương pháp dùng hệ số bất định Cơ sở phương pháp : Hai đa thức (viết dạng thu gọn) đồng hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức phải Ví dụ 11 : Phân tích đa thức sau thành tích đa thức : đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai x3 – 19x – 30 Ta có kết phân tích có dạng : x3 – 19x – 20 = (x + a)( x2 + bx + c) = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac Ta phải tìm hệ số a, b, c thỏa mãn: a+b=0 c + ab = -19 ac = -30 Vì a, c ∈ Z tích ac = -30 a, c ∈ { ± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6; ± 10; ± 15; ± 30} Với a = 2; c = -15 b = -2 thỏa mãn hệ thức trên, số phải tìm tức là: x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) Trên số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Thơng qua phương pháp phân tích ta thấy, việc phân tích đa thức thành nhân tử lúc áp dụng khuôn mẫu theo phương pháp giải cố định Do đó, tùy tập mà học sinh lựa chọn cho phương pháp giải thích hợp, đơi phải phối hợp nhiều phương pháp để có cách phân tích nhanh có hiệu Nếu có giải tập phân tích đa thức thành nhân tử mà không giới thiệu ứng dụng tốn chưa gây say mê, tìm tịi em Sau số ứng dụng tốn phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Một số tập ứng dụng Như biết: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức, đa thức khác Do vậy, số dạng toán ta áp dụng kết phân tích thành nhân tử giúp cho việc giải số dạng toán cách dễ dàng Dạng 1: Tính nhanh Ví dụ 12: Tính nhanh a/ 732 – 272 = (73 – 27)(73 + 27) = 46 100 = 4600 b/ 20022 – = 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 2000 = 4008000 c/ 37,5.6,5 - 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5) = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6) = 37,5.10 – 7,5.10 = 375 – 75 (hoặc: = 10(37,5 – 7,5) = 10.30 = 300) = 300 d/ 452 + 402 – 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 – 152 = (45 + 40)2 – 152 = 852 – 152 = (85 – 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Ví dụ 13: Tính giá trị biểu thức sau a/ 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500 b/ 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) , với x = 2010; y = 2011; z = -1 Ta có: 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) = 5x5 (x – 2z + 2z – x) = 5x5.0 = Với x = 2010; y = 2011; z = -1 biểu thức ( 43-11) ( 43+11) 432 -112 32.54 32 = = c/ 2 = 36,5 - 27,5 ( 36,5- 27,5) ( 36,5 + 27,5 ) 9.54 3 97 +83) ( 972 -97.83+832 ) ( 97 +83 d/ -97.83 = -97.83 180 180 180.8247 = -97.83 = 8247 -97.83 = 8247 -8051=196 180 Trong ví dụ trên, đặc biệt câu b nhận thấy học sinh không sử dụng phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử việc tính tốn gặp nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho em: +Trước hết phân tích biểu thức cho thành nhân tử +Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích để tính Có biểu thức học sinh tính theo cách tính thơng thường, tức thay giá trị biến vào biểu thức để tính giá trị Cách làm thường phức tạp cho kết Vì vậy, giáo viên cần gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử thay giá trị biến vào để tính giá trị biểu thức Chẳng hạn ví dụ sau đây: Ví dụ 14: Tính giá trị biểu thức x(x – 1) – y(1 – x) x = 2000, y = 1999 Ta có x(x – 1) – y(1- x) = x(x – 1) + y(x – 1) = (x – 1)(x + y) Thay x = 2001, y = 1999 ta (2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 Dạng 3: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 15: Tìm x, biết a/ x(x – 2) + x – = Ta có x(x – 2) + x – = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) Nên (x – 2)(x + 1) = ⇔ x = x = - b/ 5x(x – 3) – x + = Ta có 5x(x – 3) – x + = 5x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(5x – 1) Nên (x – 3)(5x – 1) = ⇔ x = x = Trong dạng tốn nhận thấy cách biến đổi đưa vế đẳng thức tích nhân tử vế cịn lại nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo trình tự sau: +Chuyển tất hạng tử đẳng thức vế trái vế phải +Sao phân tích vế trái thành nhân tử để dạng A(x).B(x) = +Sao tìm x đẳng thức A(x) = B(x) = ta kết Dạng 4: Chứng minh chia hết Đây dạng tốn khơng khó lắm, việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải lại khó cho em học sinh, hướng dẫn em giải theo định hướng sau đây: +Phân tích biểu thức thừa số nguyên tố để xuất số chia +Số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b≠ 0) có số nguyên k cho a = b.k Ví dụ 16: Chứng minh 55n + – 55n chia hết cho 54 với số tự nhiên n Ta có: 55n + – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54 chia hết cho 54 Ví dụ 17: Chứng minh (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n Ta có: (5n + 2)2 – = (5n + – 2)(5n + + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho với số nguyên n Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Ví dụ 18: CMR a3 + b3 + c3 = 3abc a = b = c a + b + c = Từ đẳng thức cho suy ra: a3 + b3 + c3 – 3abc = Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 – bc) = (b + c)[(b + c)2 – 3bc] = (b + c)3 – 3bc(b + c) a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3) = a3 + (b + c)3 – 3bc(b + c) = (a + b +c) [a2 – a(b + c) + (b + c)2] – 3bc(a + b +c) = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Do a3 + b3 + c3 – 3abc = a + b + c = hoặc: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a) = suy a = b = c Qua ví dụ nhận thấy cách phân tích đa thức thành nhân tử vế trái để đẳng thức dạng tích 0, sau xét thừa số chứng minh đẳng thức ta có kết cần tìm Tóm lại, q trình giải tốn khơng nắm phương pháp đầy đủ mà cần phải ý kĩ thực hành nhằm tránh sai sót khơng đáng có Mặc khác, việc khai thác kết dạng toán khơng phần quan trọng, thơng qua tập giúp cho học sinh củng cố cách vững kiến thức tìm hiểu Đó nội dung chuyên đề Qua thời gian áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có tác động tích cực mạnh mẽ đến đối tượng học sinh Kết đạt học kinh nghiệm Trong trình giảng dạy học kỳ I vừa qua áp dụng kinh nghiệm để soạn giảng vận dụng vào thực tế tơi nhận thấy có thay đổi đáng mừng: - Học sinh có thái độ học tập tích cực, thích thú tiết học, chủ động nêu lên thắc mắc, khó khăn với giáo viên, em hưởng ứng nhiệt tình Bên cạnh tập giao nhà em làm cách nghiêm túc, tự giác học nắm kiến thức sau học xong - Phần lớn kiểm ta nâng lên, em làm đúng, xác định hướng tốn, số học sinh chứng minh lơgíc chặt chẽ tăng - Từ học đa số em vận dụng vào thực tiễn kiến thức như: giải tập thông thường, tập nâng cao - Kết đạt qua thực tế giảng dạy: Kết kiểm tra 15 phút năm 2015-2016 vừa thật đáng phấn khởi : Khá giỏi Trung bình Yếu TS HS SL % SL % SL % 44 24 54.5 13 29.5 16 *Bài học kinh nghiệm Thực tiễn dạy học thời gian qua việc áp dụng phương pháp vào q trình giảng dạy, tơi rút số học sau: Một là: Mỗi giáo viên phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, rèn luyện để không ngừng trau dồi kiến thức, kỹ dạy học nói chung, Đại số nói riêng Nâng cao rèn luyện kỹ sư phạm độ nhuần nhuyễn Hai là: Thường xuyện đổi cách soạn, cách giảng; đưa ứng dụng công nghệ thơng tin vào dạy học, đa dạng hóa phương pháp hình thức tổ chức dạy học để lơi học sinh vào trình học tập Ba là: Cần quan tâm sâu sát đến đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh yếu kém, giúp đỡ ân cần, nhẹ nhàng, tạo niềm tin, hứng thú cho em môn học Bốn là: Trong trình giảng dạy giáo viên phải hướng học sinh vào việc phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, tạo tình có vấn đề để học sinh thảo luận Trong tiết học phải tạo giao lưu đa chiều giáo viên - học sinh, học sinh - học sinh, tổ - nhóm Năm là: Giáo viên cần mạnh dạn đưa ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học phần mềm vẽ hình, loại máy đa năng, hiệu ứng hình ảnh để tiết học thêm sinh động III PHẦN KẾT LUẬN Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài Qua việc hướng dẫn học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, khai thác kết toán từ có hướng áp dụng vào giải toán tương tự tạo tập phong phú đa dạng, đồng thời định hướng cách giải hay giúp học sinh hứng thú học tập Trong mức độ kiến thức toán trung học sở hạn hẹp nên chưa thể mở rộng phương pháp giải việc khai thác đề xuất ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên áp dụng chuyên đề vào giảng dạy, đối tượng học sinh lớp tiếp thu tốt, 100% học sinh khá, giỏi biết khai thác, phân tích kết toán để tổng kết thành phương pháp giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Đối với học sinh đại trà, sau sau hướng dẫn, chữa tập có nội dung đơn giản (bài tập SGK) hầu hết em nắm cách phân tích đa thức thành nhân tử; biết phân loại sử dụng phương pháp phân tích thích hợp; tự chọn cách giải biết trình bày làm; có hứng thú suy nghĩ, tìm tịi tốn có nội dung tương tự từ chỗ lo ngại với dạng tốn em có hứng thú học Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử chiếm thời lượng khiêm tốn song chứa đựng nhiều kiến thức bản, trọng tâm, quan trọng Do đó, kinh nghiệm áp dụng rộng rãi cho đối tượng học sinh khối lớp Tuy nhiên, học sinh giỏi áp dụng chun đề hồn tồn hữu ích, khai thác tìm học tốn em, học sinh đại trà giáo viên ý hướng dẫn em phương pháp phân tích thông thường (phương pháp SGK giới thiệu), kết hợp với lưu ý cho học sinh sai lầm thường mắc phải q trình phân tích cho phù hợp với chuẩn kiến thức, kĩ em dễ hiểu Để sáng kiến áp dụng rộng rãi nhà trường nên thường xuyên tổ chức chuyên đề áp dụng đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia trao đổi lẫn nhau, học sinh mở rộng nhiều hiểu biết Đồng thời giáo viên phải kiên trì sử dụng phương pháp dạy học cách linh hoạt, thường xuyên kiểm tra, đánh giá học sinh theo định hướng đổi Mặc khác, giáo viên cần phải đầu tư thời gian nghiên cứu dạy để đạt hiểu cao Bên cạnh đó, học sinh phải đầy đủ phương tiện học tập đặc biệt sách giáo khoa Tuy nhiên, kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé kinh nghiệm đút kết qua sách vở, quý thầy, giáo trước q đồng nghiệp Vì vậy, thân tơi mong góp ý, xây dựng quý lãnh đạo, quý đồng nghiệp nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy cống hiến nhiều cho nghiệp giáo dục nước nhà Kiến nghị, đề xuất: Để làm tốt hiệu công tác giáo dục, giảng dạy Tốn học nói chung, Đại số nói riêng nhà trường THCS, xin mạnh dạn đề xuất vài ý kiến nhỏ sau: - Các cấp lãnh đạo tổ chức thường xuyên hội thảo, chuyên đề bàn phương pháp dạy học Toán theo hai phân mơn: đại số hình học để cán giáo viên trao đổi nhiều nhằm học hỏi, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ - Tạo điều kiện đồ dụng dạy học nhằm phát huy hiệu dạy học  ... SKKN: "Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt tốn phân tích đa thức thành nhân tử" để nghiên cứu Điểm phạm vi áp dụng SKKN Điểm đề tài phân tích phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử sách... em Sau số ứng dụng tốn phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Một số tập ứng dụng Như biết: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức, đa thức khác Do vậy, số dạng toán. .. thức, đa thức, quy tắc nhân, chia đa thức, đẳng thức, … cho học sinh thấy rõ: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) phép biến đổi đa thức cho trước thành tích đơn thức đa thức Đồng