SKKN sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN tử GIẢI một số hệ PHƯƠNG TRÌNH đại số

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Học sinh khối 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định - Học sinh khối 11, 12 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định - Học sinh tham gia đội tuyển thi học sinh giỏi cấp Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 05 tháng 08 năm 2015 đến ngày 20 tháng 05 năm 2016 Tác giả: Họ tên : Cao Thị Mai Len Năm sinh : 1976 Nơi thường trú : Số nhà 12 ngõ 36 - Đường Trần Nhật Duật - Phường Trần Tế Xương- T.P Nam Định Trình độ chun mơn: Thạc sỹ sư phạm tốn học Chức vụ cơng tác: Giáo viên Toán Nơi làm việc: Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định Địa liên hệ: Cao Thị Mai Len Tổ Toán Tin- Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định Điện thoại: 0915703577 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Đồng tác giả (nếu có): Khơng có Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định Địa chỉ: 76 Vị Xuyên TP Nam Định Điện thoại: 0350 3640297 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Lý chọn đề tài 1.1 Định hướng đổi phương pháp dạy học - Trong xu giáo dục thời đại, người giáo viên ngồi đóng vai trò người truyền đạt tri thức phải người tổ chức, đạo, hướng dẫn, gợi mở, cố vấn, trọng tài cho hoạt động học tập tìm tòi, khám phá, giúp học sinh tự lực chiếm lĩnh kiến thức Giáo viên phải có lực đổi phương pháp dạy học chuyển từ kiểu dạy tập trung vào vai trò giáo viên hoạt động dạy sang cách dạy tập trung vào vai trò học sinh hoạt động học, từ cách dạy thơng báo- giải thích- minh họa sang cách dạy hoạt động tìm tòi khám phá - Trong phát triển nhanh vũ bão công nghệ thơng tin, xã hội thời đại đòi hỏi người giáo viên phải có ý thức, có nhu cầu, có tiềm khơng ngừng tự hồn thiện nhân cách, đạo đức, lối sống, nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ phát huy tính chủ động độc lập, sáng tạo việc thực mục tiêu giáo dục Giáo viên phải có lưc giải vấn đề nảy sinh thực tiễn dạy học giáo dục đường tổng kết kinh nghiệm, phát huy sáng kiến, thực nghiệm sư phạm - Trong bối cảnh đòi hỏi người giáo viên trung học phổ thơng phải đạt yêu cầu cao phẩm chất, lực chun mơn nghiệp vụ, phải có trình độ tin học ngoại ngữ để đáp ứng yêu cầu phát triển nội dung, đổi phương pháp dạy học nhu cầu, trình độ nhận thức học sinh THPT - Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định Nghị Quyết Trung ương khóa VII (1-1993), Nghị Trung ương khóa VIII (12- 1996) thể chế hóa Luật Giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/6/2005, điều 2.4, ghi "Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" Nghị hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam( khóa VIII, 1997) khẳng định: “ Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, bảo đảm điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ” Phương pháp dạy học đại (phương pháp dạy học tích cực) xuất nước phương Tây (ở Mỹ, Pháp ) từ đầu kỷ XX phát triển mạnh từ nửa sau kỷ, có ảnh hưởng sâu rộng tới nước giới, có Việt Nam Đó cách thức dạy học theo lối phát huy tính tích cực, chủ động học sinh, giáo viên người giữ vai trò hướng dẫn, gợi ý, tổ chức, giúp cho người học tự tìm kiếm, khám phá tri thức theo kiểu tranh luận, hội thảo theo nhóm Người thầy có vai trò trọng tài, cố vấn điều khiển tiến trình dạy Phương pháp dạy học ý đến đối tượng học sinh, coi trọng việc nâng cao quyền cho người học Giáo viên người nêu tình huống, kích thích hứng thú, suy nghĩ phân xử Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len ý kiến đối lập học sinh; từ hệ thống hố vấn đề, tổng kết giảng khắc sâu tri thức cần nắm vững 1.2 Những khó khăn dạy học phần hệ phương trình đại số Trong kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định, học sinh giỏi Quốc gia mơn Tốn, đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia mơn Tốn, phần hệ phương trình đại số ln tập không dễ em học sinh, phần tập có mức độ khó sau phần tập bất đẳng thức phần tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đề thi Toán Các tập phần thường yêu cầu học sinh tư suy nghĩ sáng tạo, biết vận dụng kiến thức tổng hợp biết năm học trung học phổ thông, phối hợp đa dạng phương pháp giải hệ phương trình đại số biến đổi tương đương, phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp nhẩm nghiệm, tách, thêm bớt, nhân chia liên hợp, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số, phương pháp lượng giác đặc biệt phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp giải quen thuộc với giáo viên học sinh tiếp cận Tuy nhiên tập giải theo phương pháp nhiều gây rắc rối cho giáo viên học sinh phân tích giải Nhân tử chung phương pháp phân tích thành nhân tử thường khơng có sẵn phương trình mà phải biến đổi theo thủ thuật cộng đại số, thế, nhân chia liên hợp có phải kết hợp hai phương trình tìm nhân tử chung Các hệ phương trình giải phương pháp phân tích thành nhân tử đa dạng, xu thời đại công nghệ thơng tin có phương pháp nhẩm nghiệm máy tính bỏ túi casio sau phân tích thành nhân tử dựa theo nghiệm Cách làm mẻ với giáo viên học sinh tiếp cận nên gặp nhiều khó khăn Vì lý nêu trên, tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN Bài tập tốn học có vai trò quan trọng mơn Tốn Thơng qua giải tập tốn học, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp ( thuật toán ), hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Tốn học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngơn ngữ Giải tập toán học thực chất trình tư Điều có nghĩa tìm kiếm hợp lý (hợp logic ) luận điểm (quy tắc) chung toán học (định nghĩa, định lý, lý thuyết, quy tắc, định luật, công thức) mà vận dụng chúng vào điều kiện tập hay kết trung gian nó, ta thu mà tập yêu cầu lời giải tập Phương pháp chung để giải toán sau : +) Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề - Phát biểu đề dạng thức khác để tìm hiểu rõ nội dung tốn - Phân biệt cho phải tìm, phải chứng minh - Có thể dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề +) Bước 2: Tìm cách giải - Tìm tòi phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đốn, biến đổi cho, biến đổi phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cho phải tìm với tri thức biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tương tự, trường hợp riêng, toán tổng quát hay toán có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với dạng toán chứng minh phản chứng, quy nạp tốn học, tốn dựng hình, tốn quỹ tích,… - Kiểm tra lời giải cách xem lại kĩ bước thực đặc biệt hoá kết tìm đối chiếu kết với số tri thức liên quan,… - Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lí +) Bước 3: Trình bày lời giải - Từ cách giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự thích hợp thực bước +) Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải - Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải - Nghiên cứu giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Trong chương trình Tốn THPT, mà cụ thể phân mơn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với hệ phương trình đại số cách giải vài dạng toán phần Tuy nhiên thực tế toán giải hệ phương trình đại số phong phú đa dạng Đặc biệt, đề thi học sinh giỏi Tỉnh- Quốc gia, THPT Quốc gia em gặp lớp tốn hệ phương trình đại số mà mức độ phức tạp phân tích tìm lời giải không dễ dàng Bên cạnh phương pháp giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá …thì phương pháp phân tích thành nhân tử phương pháp quen thuộc dễ tiếp cận với đa số học sinh từ lực học trung bình đến lực học Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len giỏi, quen thuộc gần gũi áp dụng vào hệ phương trình cụ thể tìm cách nhóm nhân tử chung- mấu chốt toán lại gặp nhiều rắc rối Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần hệ phương trình đại số mục nhỏ bài: Một số ví dụ hệ phương trình bậc hai hai ẩn chương III Trong SGK Đại số lớp 10 ban chí phần hệ phương trình đại số điểm qua sơ sài qua vài tập sách tập chương III Tóm lại SGK thời lượng dành cho phần ít, ví dụ tập phần hạn chế dạng Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác hệ phương trình đại số đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục Muốn vậy, tiết luyện tập giáo viên cần tổng kết lại cách giải dạng hệ phương trình thường gặp, nhắc nhở khắc phục sai lầm thường mắc phải học sinh, bổ sung thêm dạng tập nâng cao, ý rèn luyện cho học sinh kĩ giải hệ phương trình đại số theo phương pháp phân tích thành nhân tử Trong kỳ thi đại học năm 2011-2012, đề thi khối A mơn Tốn câu II ý có tốn ìï x y - xy + y - 2( x + y ) = ï ( x; y Ỵ ¡ ) giải hệ phương trình: ïí ïï xy ( x + y ) + = ( x + y ) ïỵ Hay đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2012-2013 có xuất hệ phương trình câu 3: ìï xy + x - = ( x; y Ỵ ¡ ) Giải hệ phương trình ïí ïïỵ x - x y + x + y - xy - y = Trong đề thi tuyển sinh đại học khối B môn Tốn năm 2013-2014 xuất hệ phương trình câu 3: Giải hệ phương trình ìï x + y - 3xy + x - y +1 = ï ( x; y Ỵ ¡ ) í ïï x - y + x + = x + y + x + y ỵ Trong đề thi tuyển sinh đại học khối B năm học 2014-2015 xuất hệ phương trình câu 8: Giải hệ phương trình ìï ( - y ) x - y + x = + ( x - y - 1) y ï ( x; y Ỵ ¡ ) í ïï y - 3x + y +1 = x - y - x - y - ïỵ Để giải hệ phương trình có nhiều cách tiếp cận nhiều phương pháp giải đưa ra, ta sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử với phương trình hệ, coi phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn, ẩn lại tham số mục đích tìm mối liên hệ hai ẩn x y để phân tích phương trình thành tích nhân tử để giải dễ dàng tập thêm bớt nhóm nhân tử chung, thực thao tác nhẩm nghiệm, tách nhân chia liên hợp phương trình có chứa bậc hai, bậc ba,… Thời đại công nghệ thông tin phát triển vũ bão, máy tính Casio với tính SHIFT, CALC, TABLE… hỗ trợ nhiều cho trình tiếp cận giải hệ phương Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len trình đại số theo phương pháp phân tích thành nhân tử, tiếp cận với tính ưu việt máy tính hỗ trợ ta giải dễ dàng tốn Có thể nhận thấy tập trên, không nắm vững kiến thức phương pháp phân tích thành nhân tử để giải gặp nhiều rắc rối bắt tay vào giải tập Một số em học sinh thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia thi THPT Quốc gia mơn tốn gặp tốn giải hệ phương trình đại số mà giải theo phương pháp phân tích thành nhân tử cảm thấy khó khăn lúng túng tìm nhân tử chung, thời gian đáng tiếc CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm gồm phần: Phần thứ nhất: LÝ THUYẾT CƠ BẢN Phần thứ hai: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Phần thứ ba: MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Phần thứ nhất: LÝ THUYẾT CƠ BẢN Phương pháp phân tích thành nhân tử Phân tích nhân tử thuật ngữ toán học dùng để cách viết số nguyên, hay tổng quát vật thể toán học, thành phép nhân số nguyên khác, hay tổng quát vật thể toán học khác Các số nguyên, hay vật thể toán học, nằm phép nhân gọi nhân tử Phân tích biểu thức chứa biến thành nhân tử biến đổi biểu thức tích biểu thức chứa biến khác, biểu thức chứa biến nằm phép nhân nhân tử biểu thức chứa biến Các cách phân tích thành nhân tử a Phương pháp đặt nhân tử chung Nếu hạng tử đa thức có nhân tử chung ta đặt nhân tử chung làm thừa số VD: ab - ac = a ( b - c ) b Phương pháp nhóm hạng tử Nếu đa thức có nhiều hạng tử, nhóm lại với mà phân tích thành nhân tử chung nhóm chúng lại theo nhóm thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ: bc - ad - bd + ac = b ( c - d ) + a ( c - d ) = ( c - d )( a + b) c Áp dụng đẳng thức Nếu đa thức vế đẳng thức đáng nhớ dùng đẳng thức để biểu diễn đa thức thành tích đa thức Những đẳng thức đáng nhớ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B) (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Mở rộng: ( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc d Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, nhẩm nghiệm biểu thức chứa biến cần phân tích + Nếu f ( x) có tổng hệ số f ( x) có nhân tử x - Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len + Nếu f ( x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f ( x) có nhân tử x +1 Ta nhận thấy nghiệm f ( x) có x0 ln tách f ( x) thành nhóm có xuất nhân tử x - x0 e Tách hạng tử dựa vào nghiệm tam thức bậc hai Tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ¹ 0) có nghiệm x1; x2 ax + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) f Phương pháp đặt ẩn phụ g Sử dụng máy tính casio để nhẩm nghiệm, tách nhân tử… Máy tính Casio với nhiều tính tiện lợi hỗ trợ nhiều q trình làm tốn tính tốn phép toán cộng trừ nhân chia biểu thức phức tạp Cùng với việc sử dụng tính SOLVE, CALC, TABLE có nhiều kỹ hỗ trợ giúp tìm nhân tử chung từ phương trình hệ từ hai phương trình hệ h Phối hợp đa dạng phương pháp Lưu ý: - Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử cách thích hợp (có thể giao hốn kết hợp hạng tử để nhóm) cho sau nhóm, nhóm đa thức, biểu thức chứa biến phân tích thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng đẳng thức Khi đa thức, biểu thức phải xuất nhân tử chung - Với đa thức, biểu thức chứa biến có nhiều cách nhóm hạng tử cách thích hợp - Khi phân tích đa thức, biểu thức chứa biến thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối (khơng phân tích nữa) - Khi đa thức có nhiều ẩn, ta thực thao tác hoàn toàn tương tự ẩn x - Đối với phương trình từ bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử quan trọng giúp ta dễ dàng giải toán éf ( x) = f ( x ) g ( x ) = Û ê êg ( x) = ê ë - Khi giải hệ phương trình phương pháp phân tích thành nhân tử ta phân tích từ phương trình hệ, phối hợp hai phương trình hệ tìm nhân tử chung để giải toán thuận lợi Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Phần thứ hai: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung 4 x + y ( x − 1) = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  3 y + x ( y − 1) = Nhận xét: Ta thấy nhân tử chung xuất phương trình thứ hệ Thực thao tác chuyển vế phát nhân tử chung nhóm nhân tử chung ta giải dễ dàng tốn Giải: Điều kiện xác định: ∀x; y ∈ ¡ 4 x + y ( x − 1) = Hệ phương trình cho Û  ( y − 1) 3 ( y + 1) + x  =   x =   4 x + 3x − 10  y = 4 x + y ( x − 1) =   x = −2   y =1  ⇔  y = ⇔ ⇔   3 y = −3 − x  y = 3 y = −3 − x       x =  x =   −19  y =  5   −19  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y)  ;1÷, ( −2;1) ,  4; ÷  4   3  x + y = y + 16 x (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  2 1 + y = 5(1 + x ) (2) Nhận xét: Nhân tử chung chưa thấy xuất từ phương trình hệ, nhiên 3  x + y = y + 16 x  x − 16 x = ( y − ) y ⇔ thực thao tác biến đổi  2 2 + y = 5(1 + x )   y − = x sau thực thao tác từ phương trình (2) lên phương trình (1) ta có nhân tử chung x Giải Điều kiện xác định: ∀x; y ∈ ¡ Phương trình (2) tương đương với y − = x (3) Thay vào phương trình (1) ta có: x = x − 16 x = x y ⇔ x3 − x y − 16 x = ⇔ x ( x − xy − 16 ) = ⇔   x − xy − 16 = 10 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len ( x + y ) − x − xy + y + x − y + + ( x + y ) + xy − = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − x2 + y + x − y − = 3 ⇔ ( x + y ) ( x + y − 1) + ( x + y ) − 1 −  x − ( y − 1)  + ( x + y − 1) =     ⇔ ( x + y − 1) { ( x + y) } + ( x + y ) + ( x + y ) + 1 − ( x − y + 1) + =   ⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) + ( x + y ) + + x + y  =   x + y −1 = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + + x + y = ( **) Kết hợp phương trình (1) phương trình (**) ta ( x + y ) + x + 10 y − xy + = 2 14 16    25    25  ⇔  x + xy + y ÷+ ( x + x + 1) +  y + 10 y +  ÷  + −  ÷ =    14    14   2  14  25  625  ⇔x 5+ y ÷ + ( x + 1) +  y+ ÷ +6− = ( ***) 16     Vì phương trình (***) vơ nghiệm nên x + y − = thay vào (1) ta + 4x ( − x ) − = ⇔ x = VII 1 ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm 2 1 1  ; ÷ 2 2 Phối hợp đa dạng phương pháp  xy − x + y = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  3 4 x + 12 x + x = − y + y + Hệ phương trình tương đương với −3 y ( xy + y − 3) + 3x − y = −9 3xy − 3x + y = ⇔   3 4 x + 12 x + x = − y + y + 4 x + 12 x + x = − y + y + ( 3) ( 4) Lấy (3) cộng với (4) theo vế ta được: 52 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len x + 12 x + 12 x − xy + y − y + = ⇔ ( x + 1) + y − y ( y + x + 1) = ⇔ ( x + y + 1)  ( x + 1) − ( x + 1) y + y  =   ⇔ ( x + y + 1) ( x + − y ) = x + y + = ⇔ 2 x + − y = - Với x + y + = ⇒ y = − x − thay vào (1) ta có x + 3x + = (vô nghiệm) - Với x + − y = ⇔ y = + x thay vào (1) ta có  −3 + 17  x = x2 + 3x − = ⇔   x = −3 − 17   −3 + 17 + 17   −3 − 17 − 17  ; ; Vây hệ có nghiệm: ( x; y ) =  ÷;  ÷ 4    ( x + 1) x + + y ( x − ) − y − y + x − = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2 − x + y + y + = −2 x + ( x + 1) x + + y ( x − ) − y − y + x − = (1) Giải:  (2) 2 − x + y + y + = −2 x + Điều kiện : −1 ≤ x ≤ 1; y ∈ ¡ Phương trình (1) có dạng: ⇔ ( )( ( ) x + + ( x + 1) ( y + 1) − ( y + 1) = x + − y − x + + x + ( y + 1) + ( y + 1)  x + + x + ( y + 1) + ( y + 1) = ⇔  x + = y + ( 2') ) =0 ( 1')  x = −1 x + + y + + ( y + 1) = ⇔   y = −1 Thay vào phương trình (2) khơng thỏa mãn  y2 + y = x Từ phương trình (2’) x + = y + ⇔   y ≥ −1 Phương trình(1’) ⇔ ( ) thay vào phương trình (2) ta − x + x + = −2 x + ⇔ − x − + 4x + − + 2x = 53 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len ⇔ −2 x + 1− x +1 ( ) 4x 4x + + 4x + + + 2x =   1− x  ÷= ⇔ 2x +  − x + ÷ 4x + + 4x + + ÷   ⇔ x = ⇒ y = (do y ≥ −1) Vậy nghiệm hệ phương trình (0;0) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : ( ) ( )  xy + x − y ( ) xy − + x = y + y   ( x + 1) y + xy + x − x =  ( )  x, y ≥ Giải: Điều kiện:   xy + ( x − y ) Phương trình (1) ⇔ ⇔ ( xy + ( x − y ) ( x − y) ( y + xy + ( x − y ) ( ) ( 1) ( 2) ( x, y ∈ ¡ ) xy − ≥ ( ) xy − − y + xy − ) ) xy − + y + ( ) x − y =0 x− y =0 x+ y   y + xy −  ÷ ⇔ ( x − y)  + ÷ = ( 3) x + y  xy + ( x − y ) xy − + y ÷   4   = ( x − 1) +  x + + Từ (2) ta có y + xy = x − x + ÷− ≥ x +1 x +1  y + xy − ⇒ + >0 x + y xy + ( x − y ) xy − + y ( ( ) ) Từ (3) suy x = y Thay vào phương trình (2) ta x =1 x3 − x − 3x + = ⇔   x = ± 17  + 17 Kết hợp điều kiện có x = 1, x = 54 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  + 17 + 17  ; ( x; y ) = ( 1;1) , ( x; y ) =  ÷ 2   ìï x + y + - - x + x - x + y - = ï Ví dụ : Giải hệ phương trình ïí ïï x - xy ( y + 1) + x - 10 y = y ( y - 1) ïỵ ìï x + y + ³ ï Giải: Điều kiện xác định: í ïï - x ³ ỵ ìï x + 2y + - - x + 2x2 - 8x + 2y - = ï Ta có hệ Û ïí ïï ( x - 2y) x2 + 2xy + 2y - 2y + = ïỵ ìï x + y + - - x + x - x + y - = ïï ï Û íé x - 2y = ïï ê ïï ê x + xy + y - y + = ê ë ïỵ 2 2 Dễ thấy x + 2xy + 2y - 2y + = Û x + 2xy + y + y - 2y + + = ( ) ( ) ( ) Û ( x + y ) + ( y - 1) + = 0: vơ nghiệm với " x, y Ỵ R ìï x + 2y + - - x + 2x2 - 8x + 2y - = ï Do hệ Û í ïï x = 2y ïỵ ìï 2x + - - x + 2x - 7x - = (*) ï Û í ïï x = 2y ïỵ Giải phương trình: 2x + - - x + 2x - 7x - = (*) £ x£ +) Phương trình ⇔ 2x + - + 1- - x + 2x2 - 7x - = 2x - x- + + ( x - 4)(2x + 1) = ⇔ 2x + + 1+ - x éx - = ê ⇔ê ê + ê 2x + + 1+ - x + (2x + 1) = ê ë + + (2x + 1) > nên x = Þ y = Dễ thấy 2x + + 1+ - x +) Điều kiện: - 55 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 4;2)  x − x y = x − x + y + Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  x − y + x − y − 15 = 3 x + ( x, y ∈ ¡ ) ( )  Giải: Điều kiện xác định: x − x y = x − x + y + ⇔ x ( x − y ) + ( x − y ) = x + ⇔ ( x − y ) ( x + 1) = x + ⇔ x − y − = ⇔ y = x − (vì x + > 0, ∀x ) Thế y = x − vào phương trình x − y + ( x − y ) − 15 = 3 x + ta có x − x + x − = 3 x + ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = ( x + ) + 3 x + ( *) 3 Xét hàm số f ( t ) = t + 3t , t ∈ ¡ Ta có f ' ( t ) = 3t + > ∀ t ∈ ¡ Suy f ( t ) đồng biến ¡ Phương trình ( *) ⇔ f ( x − 1) = f ( ) x + ⇔ x − = x + ⇔ x − x + x − = ⇔ ( x + 1) = ( x − 1) ⇔ x + = ( x − 1) ⇔ x = 3 3  +1  x ; y = ;3 ) 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ÷ −1 − −   9 x + xy + x − y + y = ( x, y ∈ ¡ Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  x − y + + = x − y + x − y ( )  Giải: Điều kiện xác định x ≥ y ≥ Xét phương trình (2) Nếu x = y (2) vơ nghiệm nên x > y (2) ⇔ x − y + − x − y + + ( x − y ) = − 6x + y + ( 1− x + y ) ( 1+ x − y ) = ⇔ x − y + + 7x − y +1 −1 ⇒y= )   ⇔ ( 1− x + y )  + ( 1+ x − y )  =  x − y + + x − y    x > y ≥ nên  + ( 1+ x − y )  > suy − 3x + y =  x − y + + x − y  Thay y = x − vào phương trình (1) ta 1 1   x + x  x − ÷+ x −  x − ÷+ x − = 3 3   56 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len 8  ⇔ ( 18 x − x ) +  x − ÷+ x − − = 3  ⇔ 2x ( 9x − 4) + ( x − 4) + x − − =   ⇔ ( 9x − 4)  2x + + = ⇔ 9x − = ⇔ x = x ≥ ÷  9 x − +1 ÷   ( ) 4 1 ⇒ y = Vậy nghiệm hệ phương trình  ; ÷ 9 9 9 2  x +y ( x + y)  xy x + y + = xy ) ( x, y ∈ ¡ ) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  (  4 − y + 22 − x = x + 22 Giải: Điều kiện xác định: x + y ≠ 0; xy ≠ 0; x ≤ ; y ≤ 3 (1) ⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) + ( x + y) + ( x + y) − xy  = Với x = x + y =1 ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + ( x + y ) − xy = +) y = − x vào (2) ta được: + x + 22 − x = x + ⇔ 12 + x − 4( x + 4)  + 3 22 − x − (14 − x)  = x − x −  x = −1 ⇔ (t / m) x =  Trường hợp hệ có nghiệm: ( x; y ) = (− 1; − 1); ( x; y) = ( 2;2 ) +) Xét ( x + y ) + ( x + y )3 + ( x + y ) − xy = Có: ( x + y) + ( x + y)3 + ( x + y) − xy = ( x + y) + ( x + y ) + x + y ( x + y )2 ≥ ( x + y) + ( x + y) + 1  = ( x + y )2  ( x + y ) + ( x + y ) + ÷ 2   1 1  = ( x + y )   x + y + ÷ + ÷ > (do x + y ≠ ⇒ ( x + y ) > 0)  2 4÷   Vậy trường hợp vơ nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = (− 1; − 1); ( x; y) = ( 2;2 ) 57 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len  y − x + + = x + + − x ( 1) Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:  3 2 ( 2) 2 x − y + x y = xy − 3x + y Giải: Điều kiện: −1 ≤ x ≤  y − x + + = x + + − x ( 1) Đặt  3 2 ( 2) 2 x − y + x y = xy − 3x + y Ta có (2) ⇔ x( x − y ) + y ( x − y ) + 3( x − y ) = ⇔ (2 x + y + 3)( x − y ) = ⇔ y = x (vì x + y + > , với −1 ≤ x ≤ ) Thay y = x vào (1) ta được: x − x + + = x + + − x (3) Xét hàm số f ( x ) = x − x − x + − − x + + 2, x ∈ [-1;2] 1 + Ta có f ' ( x ) = x − − x +1 2 − x 1 + > 0, ∀x ∈ (−1;2) Và f '' ( x ) = + 4( x + 1) x + 4(2 − x) − x Do hàm số f ' ( x ) đồng biến khoảng ( −1;2 ) , nên phương trình f ' ( x ) = có 1 nhiều nghiệm Mặt khác f '  ÷ = 2 Ta có bảng biến thiên f ( x ) : x -1 2 f’(x + ) f(x) 1 f ÷ 2 1 Vì f  ÷ = + − < , nên từ bảng biến thiên suy phương trình f ( x ) = 2 có nhiều nghiệm, f ( ) = f ( 1) = , phương trình (3) có nghiệm x = 0; x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( 0;0 ) ( 1;1)  x ( y + − x ) + y ( x − y − 1) = x y  Ví dụ 9: Giải hệ phương trình  2  y − x − = x − ( x − y − )  x ( y + − x ) + y ( x − y − 1) = x y ( 1)  Giải:  2  y − x − = x − ( x − y − ) ( ) 58 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Điều kiện xác định: x ≥ 1; y ∈ ¡ 2 2 Ta có: ( 1) ⇔ xy − x y + x − y − ( x − xy + y ) = x = ⇔ ( x − y ) ( − xy − x + y ) = ⇔ ( x − y ) ( − x ) ( + y ) = ⇔  y = −1   x = y TH1: x = thay vào phương trình ( ) : y − = ⇔ y = ± ( )( ) Hệ phương trình có nghiệm 0; ; 0; − TH2: y = −1 thay vào phương trình ( ) ⇒ −3 x − = x − ( x + ) vô nghiệm x ≥ vế phải âm; vế trái dương 2 TH3: x = y phương trình ( ) trở thành x − x − = x − ( x − x − ) ( *) Do x − x − = ⇔ x = ± khơng nghiệm phương trình ( *) x2 − 3x − x − 3x − = x −1 ⇔ −1 = x −1 −1 ( *) ⇔ x − 4x − x − 4x − x = x−2 x−2 ⇔ = ⇔ x − 4x − x −1 +1  x − x − = x − + 1( **) Với x = ⇒ y = , nghiệm hệ phương trình ( 2;2 ) x −5 ( **) ⇔ x − x − = x − − ⇔ ( x − ) ( x + 1) = x −1 +    ⇔ ( x − 5)  x + − = ⇔ x − ( ) x+ ÷ x −1 +    ⇔ x = ( x ≥ 1) ( )( x −1 +1  ÷= x −1 +  ) Vậy nghiệm hệ phương trình : 1; ; 1; − ; ( 2;2 ) ; ( 5;5 )  y x + x2 y + x2 + y2 − y − x − =  Ví dụ 10: Giải hệ phương trình  x − x − (với x, y ∈ ¡ ) = − x y − ( )   x + 2x + y ≥ Giải: Điều kiện:  x ∈ ¡ ( )  y x + x y + x + y − y − x − = ( 1)   x − 2x − = ( 1− x) y − ( 2)   x + 2x + ( ) 59 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len ( 1) ⇔ ( x + 1)  y + y ( x − 1) + x − 2 = ⇔ ( x + 1) ( y + 1) ( y − + x ) =  x = −1  ⇔  y = −1( l )  y = − x 9 hệ phương trình có nghiệm x = −1; y = 16 16 Với y = − x vào phương trình ( ) ta được: x2 − x − ( x + 2) ( x − 4) = − x − x − = ( 1− x) − x − ⇔ ( ) x + 2x + x + 2x + 2− x +2  x = −2 ⇔ ( x − ) − x + = ( x − 1) ( x + x + 3) TH1: x = −2 ⇒ y = , hệ phương trình có nghiệm x = −2; y = TH2: ( x − ) − x + = ( x − 1) ( x + x + 3) ⇔ ( − x ) − x + = ( − x ) ( x + x + 3) Với x = −1 ⇒ y = ( ) ( ( ⇔ ( − x + 2) ) ( ) ( ) ) 2 − x + = ( − x − + ) ( − x − 1) +  ( *)   Xét f ( t ) = ( t + ) ( t + ) = t + 2t + 2t + ¡  2 f ' ( t ) = 3t + 4t + =  t + ÷ + > 0∀t ∈ ¡ ⇒ Hàm số đồng biến ¡  3  x ≤ −1 ( *) ⇔ f ( − x − 1) = f − x ⇔ − x − = − x ⇔  x + 2x + = − x ( ⇔x= ) −3 − 13 + 13 ⇒y= 2  −3 − 13 + 13  9  ; Vậy nghiệm hệ phương trình là:  ÷; ( −2;4 ) ;  −1; ÷ 2   16   60 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình: 2 x − 11x − y + = a  4 x − 22 x + 21 + y + y + y = ( x + 1) x −  y − + y + = x + x + xy + y b  2  x + y + = y − x +  x2 + + y(x + y − 5) = ( x, y∈ ¡ ) c  y ( x + xy ) + y = x + 15 y +   x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x + d   xy + x + = x  x3 + y = y + 16 x e  2 1 + y = ( + x )  xy ( x + y ) − = 3xy − ( x + y ) f  2  x y − xy − y + ( x + y ) =  xy + = g  3 8( x − y ) + 9( x − y ) = h i j k l m  x + y ( x − ) − = y − x + 2 y  4 y ( x − ) + x = x −  xy − x + y = ( y + 1) x + y    y − + 3x + y − = 3x − 2 xy  2 x + y + x + y =   x + y = x2 − y   xy ( x + y ) + = ( x + y )  2 5 x y − xy + y − ( x + y ) =  xy + x + y = x − y   x y − y x − = x − y  x3 + y = 91  2 4 x + y = 16 x + y 61 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len n o p q r ( ) 3 x x + + y y + = ( x + y )    x3 − y + ( x − y ) = ( y − x ) + 10   x + xy − y + y − = y − − x   3 − y + x + y − = x + ( xy − 3) y + + x = x + ( y − x) y +   x + 16 − 2 y + = − x  xy + x + y = x − y   x y − y x − = x − y xy  2  x + y + x + y = 16   x + y = x2 − y  ( )  xy + ( x − y )( xy − 2) + x = y + y  s  ( x + 1)( y + xy + x − x ) =  xy + ( x − y )( xy − 2) + x = y + y  t  ( x + 1)( y + xy + x − x ) =   3x (1 + x + y ) = u   y (1 − ) = x+ y  2 x + x = x y + y v   x + 12 x + 12 y + = y − x − III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI - Bản báo cáo sáng kiến nhằm phục vụ cho việc học tập học sinh khối 10, 11,12 Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, học sinh khối 12 thi học sinh giỏi cấp, thi đai học đạt hiệu tốt Học sinh khối lớp 10,11 tiếp cận cách giải tập hệ phương trình đại số khó khăn, tiếp cận với cách vận dụng theo phương pháp phân tích thành nhân tử theo phương pháp đặt nhân tử chung, tách nhóm, đặt ẩn phụ, thêm bớt xuất liên hợp đưa nhân tử chung, sử dụng đẳng thức, xuất tam thức bậc hai, dạng đẳng cấp bậc 2, bậc đặc biệt sử dụng máy tính Casio để kết hợp giải hệ tự tin, thích thú giải tốt tập làm tập khác tương tự 62 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len cách thuyết phục Học sinh lớp 12 tự tin giải tốn hệ phương trình đại số để ơn thi THPT Quốc gia, hiệu đạt tốt mong đợi Các đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh: học sinh tiếp thu tốt, có khả nghiên cứu sáng tạo cao, với khả tự học vốn có, hướng dẫn định hướng giáo viên, kết đạt tốt, học sinh say mê nghiên cứu, tìm tòi tài liệu, hứng thú, chủ động sáng tạo thực lời giải tập - Bản báo cáo sáng kiến đưa cách tiếp cận giải tốn hệ phương trình đại số theo phương pháp phân tích thành nhân tử cách sáng tạo , dự đoán mối liên hệ giả thiết biết kết luận cần tìm cách thức tổ chức hoạt động nhằm giúp giáo viên tham khảo lựa chọn dạy nội dung hệ phương trình đại số Từ ta mở rộng vận dụng tương tự cho dạy học phần khác mơn tốn THPT Chính lẽ tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên dạy khối 10,11 nói chung dạy khối 12, dạy ôn thi THPT Quốc gia - Năm học 2015- 2016 dạy học giải số tập hệ phương trình đại số theo phương pháp phân tích thành nhân tử cho học sinh trình dạy lớp 10,11 khối lớp 12 ơn thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh khối không chun học sinh đón nhận thích thú, gặp tốn có liên quan đến kiến thức hệ phương trình đại số em tự tin hơn, đặc biệt học sinh sinh giỏi khối lớp 12 em chủ động, linh hoạt áp dụng -Tơi trình bày sáng kiến kinh nghiệm SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ buổi sinh hoạt chun mơn tổ Tốn – Tin trường THPT chun Lê Hồng Phong đồng nghiệp ủng hộ, đón nhận áp dụng q trình dạy tốn hệ phương trình đại số - Bản báo cáo tài liệu tham khảo hữu ích cho em học sinh chuẩn bị thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi khối lớp 12 cấp IV ĐỀ XUẤT- KIẾN NGHỊ Để hoàn thành báo cáo sáng kiến kinh nghiệm tác giả nhận quan tâm giúp đỡ Sở Giáo dục- Đào tạo Nam Định, Ban giám hiệu trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định đồng nghiệp tổ Toán- Tin trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Tác giả xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ quý báu Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm chuẩn bị chu đáo song không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận nhiều đóng góp ý kiến quý báu thầy cô bạn, bổ xung thêm nhiều tập phong phú, đa dạng để báo cáo sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Ký ghi rõ họ tên) 63 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len CAO THỊ MAI LEN 64 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Xác nhận, đánh giá xếp loại) 65 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách tập đại số 10( ban ban nâng cao nhà xuất giáo dục phát hành) Một số đề thi đại học, THPT Quốc gia từ năm 2006 đến Các đề thi học sinh giỏi tỉnh đề thi thử đại học, THPT Quốc gia trường THPT toàn quốc Một số trang web toán Laisac.com; VNMATH.com; Thư viện Bài giảng điện tử Violet.vn v.v 66 ... thứ hai: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung 4 x + y ( x − 1) = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ... giải đưa ra, ta sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử với phương trình hệ, coi phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn, ẩn lại tham số mục đích tìm mối liên hệ hai ẩn x y để phân tích phương. .. cộng đại số, thế, nhân chia liên hợp có phải kết hợp hai phương trình tìm nhân tử chung Các hệ phương trình giải phương pháp phân tích thành nhân tử đa dạng, xu thời đại cơng nghệ thơng tin có phương