Sự phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phương Khanh SỰ PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS-TS Mỵ Vinh Quang Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn quý Thầy Cô giảng viên trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh giảng dạy trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng cho trình viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, nhận xét đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, trường THPT Bình Chánh, trường THPT Phan Đăng Lưu giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học Tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đến gia đình , bạn bè, đồng nghiệp hỗ trợ giúp đỡ nhiều để hoàn thành luận văn Đặc biệt, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp giảng dạy hướng dẫn hoàn thành luận văn Trân trọng cảm ơn 3 LỜI MỞ ĐẦU Cho K trường mở rộng hữu hạn Q D vành số nguyên đại số K Ta biết D nói chung miền nhân tử hóa Cụ thể D định lý số học không nữa, số phân tích thành tích phần tử nguyên tố theo nhiều cách khác Bởi vậy, số học vành D khó nghiên cứu Tuy nhiên, dựa theo ý tưởng Dedekind: “ Mỗi ideal thật D có phân tích thành tích ideal tối đại ”, xây dựng số học vành số nguyên đại số Bởi lý trên, định chọn đề tài là: “ Sự phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số” Mục đích luận văn nghiên cứu phân tích ideal thành tích ideal tối đại số vành số nguyên đại số, từ xây dựng số học vành số nguyên đại số Bố cục luận văn chia làm chương Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương trình bày kiến thức liên quan đến đề tài : phần tử nguyên miền, ideal miền Dedekind, khái niệm liên hợp trường số đại số bậc n thặng dư bậc hai Chương 2: CÁC IDEAL TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ Nội dung chương nghiên cứu tính chất ideal vành số nguyên đại số D; chứng minh ideal thật D biểu diễn dạng tích ideal nguyên tố D biểu diễn Chương : SỰ PHÂN TÍCH MỘT IDEAL THÀNH TÍCH CÁC IDEAL NGUYÊN TỐ TRONG TRƯỜNG BẬC HAI Mục đích chương mô tả ideal tối đại vành D K trường bậc hai; mô tả thuật toán phân tích phần tử D thành tích ideal tối đại Từ áp dụng khảo sát cách chi tiết vành D = { a + b 10 | a,b  Z} vành D = { a + b  15 | a,b  Z} Kính thưa quý Thầy, Cô, khả thời gian hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý Thầy, Cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn chỉnh 4 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 PHẦN TỬ NGUYÊN TRÊN MỘT MIỀN 1.1.1 Định nghĩa Cho A, B miền nguyên với A  B Phần tử b  B gọi nguyên A thỏa mãn phương trình đa thức xn + an-1xn-1+ + a1x + a0 = với a0 , a1 , …., an-1  A Như phần tử a  A nguyên A nghiệm x – a  A[x] 1.1.2 Định nghĩa Một số phức mà nguyên Z gọi số nguyên đại số Tập tất số nguyên đại số kí hiệu  1.1.3 Định nghĩa Cho A, B miền nguyên với A  B Nếu b  B nguyên A ta nói B nguyên A 1.1.4 Tính chất a) Cho A  B  C tháp miền nguyên Nếu C nguyên A C nguyên B b) Cho A, B miền nguyên với A  B B A-module hữu hạn sinh Khi B nguyên A c) Cho A, B miền nguyên với A  B; b1,b2, ,bn B Khi b1,b2, ,bn nguyên A  A[b1,b2, ,bn] A_module hữu hạn sinh d) Cho A, B miền nguyên với A  B Nếu b1,b2  B nguyên A b1 + b2 , b1 - b2 b1 b2 nguyên A 1.1.5 Định lý Cho A, B miền nguyên với A  B Khi tập phần tử B mà nguyên A miền nguyên B chứa A 1.1.6 Hệ Tập tất số nguyên đại số miền nguyên 1.1.7 Định nghĩa Cho A, B miền nguyên với A  B Ta gọi bao đóng nguyên A B miền nguyên B bao gồm tất phần tử B mà nguyên A Bao đóng nguyên A B kí hiệu AB Nếu K trường thương A bao đóng nguyên A K, kí hiệu AK, gọi bao đóng nguyên A Nếu AK = A ta nói A vành đóng nguyên 1.1.18 Tính chất Cho A, B miền nguyên với A  B Khi A  AB  B 1.2 Các ideal vành Dedekind 1.2.1 Định nghĩa Một miền nguyên D thỏa tính chất sau - D vành Noether - D đóng nguyên - Mọi ideal nguyên tố D ideal tối đại gọi vành Dedekind 1.2.2 Mệnh đề Cho P ideal thật miền nguyên D Khi P ideal nguyên tố D với hai ideal A,B D mà AB  P A  P B  P 1.2.3 Định lý Trong miền Noether, ideal khác không chứa tích hữu hạn ideal nguyên tố Chứng minh Giả sử miền Noether D có ideal không thỏa tính chất Gọi S tập ideal này, S   Do D Noether nên S có phần tử tối đại A Mặt khác, A không chứa tích hữu hạn ideal nguyên tố nên A không ideal nguyên tố Theo mệnh đề 1.2.2 có ideal B,C cho BC  A; B  A; C  A Ta đặt B1 = A + B, C1 = A + C A  B1, A  C1; A  B1, C1 Do A phần tử tối đại nên B1, C1  S Thế nên có ideal nguyên tố P1 , , Pk cho P1 , , Ph  B1 , Ph1 , , Pk  C1 Nhưng B1C1   A  B  A  C   A nên P1 , , Pk  A Mâu thuẩn việc A  S Vậy miền Noether, ideal khác không chứa tích hữu hạn ideal nguyên tố 1.2.4 Hệ Trong miền Dedekind, ideal khác không chứa tích hữu hạn ideal nguyên tố 1.2.5 Định nghĩa Cho vành Dedekind D K trường thương D Một tập A khác rỗng K với tính chất sau: i)   A,   A      A ii)   A, r  D  r  A iii)   D,   :  A  D gọi ideal phân D Nhận xét 1/ Nếu A ideal phân D A  D A ideal D I 2/ Nếu A ideal phân D I =  A ideal D A   I Như ideal phân A D viết dạng A  Chú ý  cách viết không 3/ Do D vành Dedekind nên ideal I D hữu hạn sinh Giả sử I  1 , ,  n A=  I=  1 , , n =  1 , , n   Do ideal phân D hữu hạn sinh I J   4/ Nếu A,B ideal phân D A  , B  ;  ,   D \{0} , A+B AB ideal phân D với mẫu số tương ứng  1.2.6 Định lý Cho vành Dedekind D K trường thương D Với ideal nguyên tố P D ta định nghĩa C =   K |  P  D Khi P ideal phân D 7 1.2.7 Bổ đề Cho P ideal nguyên tố vành Dedekind D Khi ~ ~ D  P D  P Chứng minh ~ ~ ~ Dễ thấy D  P Để kết luận D  P ta cần P chứa phần tử ~   P   D Lấy   P \ {0} Theo định lý 1.2.3 có ideal nguyên tố P1 , , Pk ( k  1) mà P1 Pk  <  > Chọn k số nguyên dương nhỏ thỏa điều kiện Do P1 Pk  <  >  P P ideal nguyên tố nên ta có Pi  P; với số i , i  {1, 2, …, k} Có thể đánh số lại cần thiết ta giả sử P1  P Nhưng D vành Dedekind nên P1 ideal tối đại, P1 = P Bây ta xét trường hợp k=1 k  + Nếu k = P = P1 = <  > Vì   ta đặt  = 1=     K Giả sử   D, =    <  >  P = <  > = D mâu thuẩn việc P ideal nguyên tố D Do   D Mặt khác P=  <  > = = D ~    P ~    P \ D k=1 + Nếu k  2, theo cách chọn k số nguyên dương nhỏ ta có P2 Pk  <  > Do có phần tử   P2 Pk   <  >   K Khi    D   D   =    <  > vô lý Vì   ta đặt  = ~   P  P =  ~    P \ D k  Vậy  P1   P1 P2 Pk =  <  > = hay  P  D ~ D  P 1.2.8 Bổ đề ~ P P D Chứng minh ~ ~ + Trước hết ta chứng minh P P  D hay P P = P ~ Do P ideal D nên xem ideal phân với mẫu số Vì P P ~ ~ ideal phân D nên P P ideal phân D Hơn nữa, P P  D nên ideal D Khi Vì ~ ~  P  P  PP ~ PP  D P ideal nguyên tố, D vành Dedekind  P ideal tối đại nên ~ ~ P P  D hay P P = P ~ + Tiếp theo P P  P ~ ~ ~ Giả sử P P = P, ta chứng minh P đóng với phép nhân Lấy   P , ~   P , ~ ~  P  P P = P,  P  P P = P   P  P  D ~    P ~ ~ Do P đóng với với phép nhân Điều chứng tỏ P miền nguyên chứa ~ D nghiêm ngặt Vì D vành Noether nên P ideal phân hữu hạn sinh ~ Do nên P lại D- module hữu hạn sinh Theo tính chất 1.1.4b) ~ P nguyên D Tuy nhiên, D dedekind nên D đóng nguyên Từ ta có ~ ~ P = D Vô lý P chứa D cách nghiêm ngặt ~ ~ Vậy P P  P hay P P  D 1.2.9 Định lý Trong vành Dedekind D, ideal A khác khác D phân tích thành tích ideal nguyên tố D Hơn nữa, phân tích Chứng minh + Trước hết ta chứng minh phân tích Gọi S tập ideal khác khác D mà không phân tích thành tích ideal nguyên tố Giả sử S   , S có phần tử tối đại A D vành Noether Theo định lý 1.2.3 tồn ideal nguyên tố P1 , , Pk ( k  1) cho P1 Pk  A Gọi k số nguyên dương nhỏ mà tích P1 Pk  A Nếu k = P1  A  D Vì P1 nguyên tố, D Dedekind nên P1 tối đại Như P1 = A vô lý A  S Do k  Theo bổ đề 1.2.8 ta có P1 P1 = D  P1 P1 P2 Pk = D P2 Pk  P1 A  P1 P1 P2 Pk = P2 Pk (*) Từ chứng minh bổ đề 1.2.7 ta có D  P1 A = DA  P1 A Lúc này, A = P1 A từ (*) ta P2 Pk  A mâu thuẩn cách chọn k Do A  P1 A Do tính tối đại A S nên P1 A ideal khác khác D không thuộc S Ta có P1 A = Q2 Qk , với Q2 , , Qk ideal nguyên tố D Lúc ta thấy A = AD = A P1 P1 = P1 Q2 Qk tích ideal nguyên tố, điều mâu thuẩn cách chọn A  S Vậy S =  phân tích hợp lý + Ta chứng minh phân tích Giả sử B ideal khác khác D có phân tích B = P1 Pk = Q1 Ql 10 với P1 , , Pk , ideal nguyên tố  P1 Pk  Q1 Vì Q1 ideal nguyên tố nên có Pi  Q1 , cách đánh số lại cần thiết ta giả sử P1  Q1 Do P1 ideal nguyên tố, D vành Dedekind nên P1 tối đại, từ suy P1 = Q1 Do ta có B P1 = P1 P1 Pk = P2 Pk B P1 = B Q1 = Q1 Ql Suy P2 Pk = Q2 Ql Nếu k  l , không tổng quát ta giả sử k < l Bằng cách tương tự việc chứng minh P1 = Q1 , ta có Pi = Qi ; i=2,…,k Ta có P2 Pk = Q2 Qk = Q2 Qk Qk 1 Ql = P2 Pk Qk 1 Ql  P2 Pk P2 Pk = P2 Pk P2 Pk Qk 1 Ql  D = Qk 1 Ql  Ql vô lý Do k = l Pi = Qi ; i=1,…,k Vậy phân tích ideal khác khác D thành tích ideal nguyên tố D * Nhận xét 1/ Nếu A ideal thật D A có phân tích A = Q1 Ql , Q1 , , Ql ideal nguyên tố Gọi P1 , , Pn tất ideal nguyên tố phân biệt nhóm Q1 , , Ql Giả sử Pi xuất lần, A = P1a Pn a với số nguyên dương thỏa a1 +…+ an = h Nếu A = D = a1 = … = an = Như vậy, ideal khác D biểu diễn dạng tích lũy thừa ideal nguyên tố D 2/ Giả sử A,B ideal khác vành Dedekind D Khi AB ideal khác D Gọi P1 , , Pn tất ideal nguyên tố phân biệt xuất phân tích A,B AB Khi A= n n P i i 1 ,B= n P i 1 i bi , AB = n P i 1 ci i , bi , ci số nguyên không âm 11 Ta có n  Pi ci = AB = i 1 n  Pi i 1 n  Pi bi = i 1 n P i 1  bi i Do phân tích nên ci = + bi , i = 1,2, …,n Vậy A= n P , i i 1 B= n P i 1 bi i n P AB =  bi i i 1 1.2.10 Định nghĩa Giả sử A,B ideal khác vành Dedekind D Ta nói A ước B, kí hiệu A|B có ideal C D cho A.C = B Nhận xét: Nếu A= n P i i 1 B = n P i 1 bi i A|B   bi ; i= 1,…,n 1.2.11 Định lý Tập tất ideal phân khác không vành Dedekind D với phép nhân lập thành nhóm Abel với phần tử đơn vị = D, phần tử nghịch đảo A= n P i i 1 A-1 = n P i 1  i Pi , i=1,…n ideal nguyên tố phân biệt , i=1,…,n số nguyên Chứng minh + Trước hết ta chứng minh ideal phân khác D biểu diễn dạng tích lũy thừa ideal nguyên tố phân biệt D Giả sử A ideal phân khác D Chọn   D\{0},   D\{0} hai mẫu số ideal phân A Khi  A = B  A = C với B,C ideal khác D 12 Giả sử n  =  =  Pi ri B= P C= i 1 n ti i i 1 n P i 1 n si i P i 1 i ui với P1 , , Pn ideal nguyên tố phân biệt ri , si , ti , ui ( i  1, , n ) số nguyên không âm Khi đó,  C =  (  A) =  (  A) =  B nên n n  Pi ri ui = P i 1 si  ti i i 1 Theo định lý 1.2.9 ri  ui  si  ti hay si  ri  ui  ti ; i  1, , n Do đó,ta định nghĩa phân tích ideal phân A khác D dạng tích lũy thừa ideal nguyên tố phân biệt D sau A= n P i 1 si  ri i định nghĩa hợp lý không phụ thuộc cách chọn mẫu số A.Theo định nghĩa này, với ideal nguyên tố P D ta có  = D = = P PP nên P = P 1 Nếu P1 , , Pn ideal nguyên tố phân biệt mà n  Pi = i 1 n P i 1 i bi với , bi , i  1, , n số nguyên ( nguyên âm, nguyên dương 0)  n M  n  n M  n bi P = P  i   i   Pi   Pi  i 1  i 1  i 1  i 1 với M số nguyên thỏa M + > M + bi > , i  1, , n Theo định lý 1.2.9 M + = M + bi > 0; i  1, , n  = bi ; i  1, , n Do ta thấy biểu diễn ideal phân khác không dạng tích lũy thừa ideal nguyên tố phân biệt, với số mũ nguyên, 13 Bây giờ, tập ideal phân khác D ta định nghĩa phép nhân sau Nếu n  Pi , B = A= i 1 n P i 1 bi i với P1 , , Pn ideal nguyên tố phân biệt , bi , i  1, , n số nguyên ( nguyên âm, nguyên dương 0) n P AB =  bi i i 1 Như vậy, tập tất ideal phân khác không vành Dedekind D với phép nhân lập thành nhóm Abel với phần tử đơn vị = D, phần tử nghịch đảo n P A= i i 1 A-1 = n P  i i 1 Pi , i=1,…n ideal nguyên tố phân biệt , i=1,…,n số nguyên 1.2.12 Định nghĩa n P Cho A = i 1 i với Pi , i=1,…n ideal nguyên tố phân biệt vành Dedekind, (i=1,…n) số nguyên Đặt ord P  A  = Với ideal nguyên tố P  Pi ,i=1,…n ta định nghĩa ord P  A  = Nhận xét _ A gọi ideal nguyên D ord P  A   0; với ideal nguyên tố P _ Nếu ord P  A = 0; với ideal nguyên tố P A = D i _ ordP   = ordP  P k  = k _Tập tất ideal nguyên ideal phân khác không vành Dedekind D với phép nhân lập thành nhóm Abel với phần tử đơn vị = D, phần tử nghịch đảo A= n P i 1 i 14 A-1 = n P i 1  i Pi , i=1,…n ideal nguyên tố phân biệt , i=1,…,n số nguyên 1.2.13 Định nghĩa Cho A,B ideal phân khác không vành Ta nói A ước B, kí hiệu A|B có ideal nguyên C D cho B =AC Nhận xét A|B  ord P  A  ord P  B  với ideal tố P  B  A 1.2.14 Tính chất i) ord P  AB  = ord P  A + ord P  B  ii) ordP  A  B  = { ord P  A , ord P  B  } 1.2.15 Định nghĩa Cho K trường thương vành Dedekind D Với   K \{0} ta định nghĩa ord P   = ord P    với ideal nguyên tố P D 1.2.16 Tính chất a)   A  ord P    ord P  A , với ideal nguyên tố P D b) với   K * ,   K * ord P   = ord P   + ord P    c) với  ,  ,  +   K * ord P      { ord P   , ord P    } d) với  ,  ,  +   K * thỏa ord P    ord P    ord P     = { ord P   , ord P    } 15 1.2.17 Định lý Cho K trường thương vành Dedekind D Khi đó, với tập hữu hạn ideal nguyên tố P1 Pk D tập số nguyên tương ứng a1 , , ak tồn   K cho i/ ord P    , i=1,…,k ii/ ord P    , với ideal nguyên tố P  P1 Pk 1.2.18 Định nghĩa Cho K trường thương vành Dedekind D A ideal nguyên ideal phân khác không D Khi với a,b,c  A ta viết a  b (mod A)  A | a  b Nhận xét i/ A | a  b  a  b  A  a-b  A  a + A = b + A ii/ a  a (mod A) iii/ a  b (mod A)  b  a (mod A) iv/ a  b (mod A), b  c (mod A)  a  c (mod A) v/ a  b (mod A)  ac  bc (mod A) 1.2.19 Định lý Cho D vành Dedekind a) Cho P1 , , Pn ideal nguyên tố phân biệt D; 1 , ,  n  D a1 , , an số nguyên dương Khi tồn   D thỏa   i  mod Pi a  ; i=1,…,n b) Cho I1 , , I n ideal D đôi nguyên tố 1 , ,  n  D Khi tồn   D thỏa   i  mod I i  ; i=1,…,n i i 1.2.20 Định lý Cho D vành Dedekind A ideal nguyên phân D Khi A sinh nhiều hai phần tử 1.3 Các khái niệm liên hợp trường số đại số bậc n 1.3.1 Định lý Cho K mở rộng bậc n Q( [K:Q] = n ) Khi có n đơn cấu trường  k : K  C  k  1, , n  1.3.2 Định nghĩa Cho   K kí hiệu irrQ   đa thức tối tiểu  Q irrQ   = x k  ak 1 x k 1   a1 x  a0 ; a0 , a1 , , ak 1  Q 16 Cho   K với K trường số đại số bậc n Q Nếu Q   : Q   k ta nói  số đại số bậc k, irrQ   = x k  ak 1 x k 1   a1 x  a0 =  x  1  x     x   k  có k nghiệm tất nghiệm gọi phần tử liên hợp  Q Số phần tử liên hợp = k  n Ta gọi  ( ),  ( ), ,  n ( ) tập K_liên hợp đầy đủ  Q đa thức fld K   = n   x      k k 1 đa thức trường phần tử  K 1.3.3 Tính chất Cho   K với K trường số đại số bậc n Q Khi a) fld K    Q[ x] b) fld K   = ( irrQ   ) với s = c) d) e) f)   OK fld K    Z [ x] s  n deg irr Q      OK tất K_ liên hợp  số nguyên đại số Tất K_ liên hợp    Q Tất K_ liên hợp  đôi khác K = Q(  ) 1.3.4 Định nghĩa Cho K trường số đại số bậc n Q Cho 1 , , n n phần tử K;  k : K  C  k  1, , n  n đơn cấu trường Với i=1,…n ta kí hiệu i1   (i )  i , i 2   (i ) , … , i n    n (i ) liên hợp  K Khi ta định nghĩa D  1 , 2 , , n   11 21 n1     2 2 2 n 2 =        n   n    n  n  Và với   K ta kí hiệu        17  D ( ) = D 1,  ,  , , 1.3.5 Tính chất a) D   = n 1     =               i j  1   2 n n 1          1 n 1      n n 1          với  1   ,   2 , ,   n liên hợp  1 i  j  n K b) K = Q(  )  D    1.3.6 Định lý Cho K trường số đại số bậc n Q Khi a) Nếu 1 , , n  K D( 1 , , n )  Q b) Nếu 1 , , n  OK D( 1 , , n )  Z c) Nếu 1 , , n  K D( 1 , , n )   1 , , n độc lập tuyến tính Q 1.4 THẶNG DƯ BẬC HAI 1.4.1 Định nghĩa Cho p số nguyên tố lẻ Xét phương trình x  a  mod p  ; (a, p ) = (1) Khi + Nếu phương trình (1) có nghiệm ta nói a thặng dư bậc hai theo modun p + Nếu phương trình (1) vô nghiệm ta nói a bất thặng dư bậc hai theo modun p a + Nếu a thặng dư bậc hai theo modun p ta ký hiệu   =  p a (ký hiệu   gọi ký hiệu Legendre)  p a + Nếu a bất thặng dư bậc hai theo modun p ta kí hiệu   = - p  1.4.2 Tính chất a a)    a  p p 1 (mod p)  18 a b b) Nếu a  b (mod p)   =    p  p 1 c)    (với p số nguyên lẻ)  p p 1  1 d)     (1)  p  a a a   a  a   a  e)  k       k  p   p  p   p   f) Nếu p q số nguyên tố lẻ phân biệt ta có p 1 q 1 q q 2    (1)    p  p Ta kết thúc chương với định lý sau 1.4.5 Định lý Cho G nhóm Abel tự với sở 1 , 2 , , n cho phần tử C biểu diễn dạng x11  x22   xnn ; x1 , x2 , , xn  Z Nếu H nhóm G với sở 1 ,2 , ,n hay H = { y11  y2  yn n | y1 , y2 , , yn  Z } Với i  H  G ta có i = n c  j 1 ij j ; i=1,2,…,n; cij  Z Đặt C = [ cij ]  M n  Z  Khi [ G:H ] = | det C | 19 CHƯƠNG CÁC IDEAL TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ Ta kí hiệu K mở rộng bậc n Q, [K:Q] = n, D = OK =   K vành số nguyên đại số K 2.1 Cơ sở ideal 2.1.1 Mệnh đề Mỗi phần tử đại số  viết dạng  =  c với  số nguyên đại số (    ) c số nguyên hữu tỷ (c  Z ) Chứng minh Do  phần tử đại số nên  nghiệm đa thức đơn khởi với hệ số Q, xn + an-1xn-1+ + a1x + a0 = với a0 , a1 , …., an-1  Q n n-1   + an-1  + + a1  + a0 = Gọi c  Z mẫu chung tất Do cn (  n + an-1  n-1+ + a1  + a0) = (c  )n + c.an-1 (c  )n-1+ + cnao =  n n-1 n  + c.an-1  + + c ao = ; với  = c     số nguyên đại số  =  c 2.1.2 Định lý i/ Trường thương D K ii/ D vành đóng nguyên Chứng minh i/ Gọi F trường thương D a b + Ta chứng minh F  K : lấy x   F ; a, b  D Do D  K K a b trường nên x   K  F  K + Ta chứng minh K  F : lấy   K   phần tử đại số   =  , c  Z Vì:  c với 20 c  Z  D nên c  D  =  c    K = D   D Nên:  =  c F KF Vậy F = K ii/ D vành đóng nguyên Lấy   D K   nguyên D Mà D nguyên Z   nguyên Z      Hơn   K      K = D   D  DK  D Hiển nhiên D  D K  DK = D Vậy D vành đóng nguyên 2.1.3 Bổ đề Mọi ideal I  {O} D chứa số nguyên hữu tỉ khác không Chứng minh Lấy   I,   Do Irr(  ) Z[x] nên có c0, c1, …., ck-1  Z cho  k + ck-1  k-1 + … + c1  + c0 = Ta thấy k=1  c1  + c0 =   + c0 = ( Irr(  ) đơn khởi)  c0 = -   k> , giả sử c0 = dẫn đến  = nghiệm Irr(  )  c0  Do c0 = - (  k + ck-1  k-1 + … + c1  )  Hơn - (  k + ck-1  k-1 + … + c1  )  I  c0  I  Z Vậy I  Z  {0} 2.1.4 Bổ đề Nếu K trường số đại số có số nguyên đại số  cho K = Q(  ) Chứng minh Do K trường số đại số nên có số đại số  thỏa K = Q(  ) [...]... CHƯƠNG 2 CÁC IDEAL TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ Ta kí hiệu K là một mở rộng bậc n của Q, [K:Q] = n, D = OK =   K là vành các số nguyên đại số của K 2.1 Cơ sở của một ideal 2.1.1 Mệnh đề Mỗi phần tử đại số  đều viết được dưới dạng  =  c với  là số nguyên đại số (    ) và c là số nguyên hữu tỷ (c  Z ) Chứng minh Do  là phần tử đại số nên  là nghiệm của một đa thức đơn khởi với hệ số trong... phép nhân trên lập thành một nhóm Abel với phần tử đơn vị là = D, phần tử nghịch đảo của n P A= ai i i 1 là A-1 = n P  ai i i 1 trong đó Pi , i=1,…n là các ideal nguyên tố phân biệt và ai , i=1,…,n là các số nguyên 1.2.12 Định nghĩa n P Cho A = i 1 i ai với Pi , i=1,…n là các ideal nguyên tố phân biệt của vành Dedekind, ai (i=1,…n) là các số nguyên Đặt ord P  A  = ai Với bất kỳ ideal nguyên. .. ideal nguyên tố phân biệt, với số mũ nguyên, là duy nhất 13 Bây giờ, trên tập các ideal phân khác của D ta định nghĩa phép nhân như sau Nếu n  Pi ai , B = A= i 1 n P i 1 bi i với P1 , , Pn là các ideal nguyên tố phân biệt và ai , bi , i  1, , n là các số nguyên ( nguyên âm, nguyên dương hoặc có thể bằng 0) thì khi đó n P AB = ai  bi i i 1 Như vậy, tập tất cả các ideal phân khác không của vành. .. không của vành Dedekind D với phép nhân lập thành một nhóm Abel với phần tử đơn vị là = D, phần tử nghịch đảo của A= n P ai i i 1 là A-1 = n P i 1  ai i trong đó Pi , i=1,…n là các ideal nguyên tố phân biệt và ai , i=1,…,n là các số nguyên Chứng minh + Trước hết ta chứng minh mọi ideal phân khác của D đều biểu diễn được dưới dạng tích của các lũy thừa của các ideal nguyên tố phân biệt... đó,ta có thể định nghĩa sự phân tích của ideal phân A khác của D dưới dạng tích của các lũy thừa của các ideal nguyên tố phân biệt của D như sau A= n P i 1 si  ri i và định nghĩa này hợp lý vì không phụ thuộc cách chọn mẫu số của A.Theo định nghĩa này, do với mọi ideal nguyên tố P của D ta đều có  = D = = P 0 PP nên P = P 1 Nếu P1 , , Pn là các ideal nguyên tố phân biệt mà n  Pi ai =... trường số đại số bậc n trên Q Khi đó a) fld K    Q[ x] b) fld K   = ( irrQ   ) với s = c) d) e) f)   OK thì fld K    Z [ x] s  n deg irr Q      OK thì tất cả các K_ liên hợp của  là những số nguyên đại số Tất cả các K_ liên hợp của  bằng nhau khi và chỉ khi   Q Tất cả các K_ liên hợp của  đôi một khác nhau khi và chỉ khi K = Q(  ) 1.3.4 Định nghĩa Cho K là một trường số đại số. .. nói  là một số đại số bậc k, khi đó irrQ   = x k  ak 1 x k 1   a1 x  a0 =  x  1  x   2   x   k  có k nghiệm và tất cả các nghiệm này đều gọi là các phần tử liên hợp của  trên Q Số phần tử liên hợp = k  n Ta gọi  1 ( ),  2 ( ), ,  n ( ) là tập các K_liên hợp đầy đủ của  trên Q và đa thức fld K   = n   x      k k 1 là đa thức trường của phần tử  trên K 1.3.3... (  k + ck-1  k-1 + … + c1  )  0 Hơn nữa - (  k + ck-1  k-1 + … + c1  )  I  c0  I  Z Vậy I  Z  {0} 2.1.4 Bổ đề Nếu K là một trường số đại số thì có một số nguyên đại số  sao cho K = Q(  ) Chứng minh Do K là một trường số đại số nên có một số đại số  thỏa K = Q(  ) ... các số nguyên ( nguyên âm, nguyên dương hoặc có thể bằng 0) thì khi đó  n M  n ai  n M  n bi P = P  i   i   Pi   Pi  i 1  i 1  i 1  i 1 với M là một số nguyên thỏa M + ai > 0 và M + bi > 0 , i  1, , n Theo định lý 1.2.9 thì M + ai = M + bi > 0; i  1, , n  ai = bi ; i  1, , n Do đó ta có thể thấy sự biểu diễn của một ideal phân khác không dưới dạng tích của các lũy thừa của các. .. 1.2.17 Định lý Cho K là trường các thương của vành Dedekind D Khi đó, với bất kỳ tập hữu hạn các ideal nguyên tố P1 Pk của D cùng tập các số nguyên tương ứng a1 , , ak luôn tồn tại   K sao cho i/ ord P    ai , i=1,…,k ii/ ord P    0 , với mọi ideal nguyên tố P  P1 Pk 1.2.18 Định nghĩa Cho K là trường các thương của vành Dedekind D và A là một ideal nguyên hoặc ideal phân khác không của D Khi