PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NHAN QUỐC MINH PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011 LỜI CẢM ƠN B Tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn quý Thầy Cô khoa Toán - tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thầy Cô tổ đại số trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trực tiếp giảng dạy trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tản cho trình viết luận văn Đặc biệt xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Mỵ Vinh Quang người trực tiếp hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Cô phòng Khoa học Công nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Trung học phổ thông Trung An, huyện Cờ Đỏ, Thành phố Cần Thơ giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập Tôi tỏ lòng biết ơn đến gia đình, anh em bạn bè hỗ trợ giúp đỡ tinh thân vật chất để hoàn thành luận văn MỤC LỤC B LỜI CẢM ƠN T T MỤC LỤC T T BẢNG KÍ HIỆU T T LỜI MỞ ĐẦU T T Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN T T 1.1.Các khái niệm mở rộng trường T T 1.1.1.Định nghĩa: T T 1.1.2 Khái niệm mở rộng tập, mở rộng đơn mở rộng lặp T T 1.1.3 Phần tử đại số T T 1.1.4 Mở rộng đại số T T 1.2.Phần tử nguyên T T 1.2.1.Định nghĩa T T 1.2.2 Định lý: T T 1.3.Bao đóng nguyên vành 10 T T 1.3.1 Các khái niệm 10 T T 1.3.2 Các tính chất 10 T T 1.4.Các phần tử liên hợp đầy đủ 12 T T 1.5.Các ideal O K 13 T R R0 T 1.5.1 Định thức hệ phần tử 13 T T 1.5.2 Định thức phần tử 13 T T 1.5.3 Tính chất 14 T T 1.6.Miền Dedekind 17 T T 1.7.Hàm chuẩn hàm Euler 22 T T Chương 2: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ T NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K 27 T 2.1 Chuẩn ideal nguyên tố 27 T T 2.2 Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc k 30 T T 2.3 Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc 36 T T 2.4 Phân tích thành nhân tử trường vòng 41 T T KẾT LUẬN 50 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 T T BẢNG KÍ HIỆU B £ - tập số phức ¤ - tập số hữu tỉ ¢ - tập số nguyên [ E : F ] - bậc mở rộng AB - bao đóng nguyên A B P P Ω - vành đóng nguyên ¢ £ OK - vành số nguyên đại số trường K irr (α , F ) - đa thức tối tiểu α F Fl (α , ¤ ) - đa thức trường α ¤ D (α ) - định thức phần tử α D ( I ) - định thức ideal I N ( I ) - chuẩn ideal I ∅ - tập rỗng ord P ( A ) - số mũ P phân tích A N (α ) - chuẩn phần tử α Tr (α ) - vết phần tử α I - số phần tử tập I indθ - số θ p a - p | a, p /| a ζ m - nguyên thuỷ bậc m M n ( ¢ ) - vành ma trận vuông cấp n ¢ ■ - kết thúc phép chứng minh LỜI MỞ ĐẦU B Cho K trường mở rộng hữu hạn ¤ O K vành số nguyên đại R R số K Ta biết O K nói chung miền nhân tử hoá Cụ thể R R O K định lý số học không nữa, số phân tích R R thành tích số nguyên tố theo nhiều cách khác Bởi số học O K R R khó nghiên cứu Tuy nhiên, dựa theo ý tưởng Dedekind “mỗi iđean O K R R phân tích thành tích iđean nguyên tố”, xây dựng số học vành số nguyên đại số Bởi định chọn đề tài “Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc k” áp dụng số trường mở rộng bậc cao số học vành Bố cục luận văn chia thành chường : • Chương 1: Các kiến thức Trong chương tình kiến thức liên quan đến đề tài: Các khái niệm mở rộng trường, phần tử nguyên, bao đóng nguyên vành, phần tử liên hợp đầy đủ, ideal O K , miền Dedekind, hàm R R chuẩn hàm Euler • Chương : phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc k Trong chương phân tích ideal thành tích nhân tử nguyên tố vành số nguyên đại số bậc k áp dụng phân tích dó vành số nguyên đại số bậc trường vòng Vì khả thời gian hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong qúy Thầy Cô bạn đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn chỉnh Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN B Trong chương trình bày khái niệm mở rộng trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, tính chất chúng Chúng ta chứng minh ideal vành số nguyên đại số phân tích thành tích ideal nguyên tố từ xây dựng số học vành số nguyên đại số 1.1.Các khái niệm mở rộng trường B 1.1.1.Định nghĩa: B Cho F, E trường, F trường E E gọi mở rộng F Khi E không gian vectơ F, dim F E = [ E : F ] bậc mở rộng E F • Nếu [ E : F ] = ∞ E mở rộng vô hạn F • Nếu [ E : F ] = n E mở rộng hữu hạn (bậc n) F Cho tháp mở rộng trường F ⊂ E ⊂ G Ta có [ G : F ] = [ G : E ] [ E : F ] Hơn { xi }i =1,n sở E F {x y } i j i =1, n j =1, m {y } j j =1, n sở G E sở G F 1.1.2 Khái niệm mở rộng tập, mở rộng đơn mở rộng lặp B Cho E mở rộng F, X tập E F ( X ) giao tất trường E vừa chứa F X, F ( X ) gọi mở rộng F X F ( X ) trường nhỏ trường E chứa F X Đặc biệt •  f (a)  F (a) = f , g ∈ F [ x ] , g ≠  gọi X = {a} F ( X ) =   g (a)  mở rộng đơn • X = • {a1 , a2 , , an } , n ≥  f (a1 , a2 , , an )  F(X ) = F (a1 , a2 , , an ) = f , g ∈ F [ x1 , x2 , , xn ] , g ≠     g (a1 , a2 , , an ) gọi mở rộng lặp 1.1.3 Phần tử đại số B Định nghĩa Cho E mở rộng trường F Lấy α ∈ E , α gọi đại số F tồn f ( x) ∈ F [ x ] , deg f ≥ cho f (α ) = • Số phức đại số ¤ gọi số đại số • Cho α phần tử đại số F, tồn f ( x) ∈ F [ x ] , f ( x) đơn khởi, bất khả quy F [ x ] nhận α làm nghiệm Đa thức f ( x) gọi đa thức tối tiểu α F kí hiệu irr (α , F ) • Nếu α đại số bậc n F  F (α ) : F  =n 1, α , α , , α n −1 sở F (α ) F F (α ) = {a + a1α + + an−1α n−1 ∈ F } 1.1.4 Mở rộng đại số B a Các định nghĩa • Cho E mở rộng F, E mở rộng đại số F phần tử α ∈ E đại số F Mở rộng không đại số gọi mở rộng siêu việt • Mở rộng chuẩn tắc Cho E mở rộng F, E mở rộng chuẩn tắc F đa thức p ( x) ∈ F [ x ] bất khả quy F [ x ] , có nghiệm α ∈ E p ( x) phân tích thành tích đa thức bậc E [ x ] (E chứa tất nghiệm p ( x) ) Từ khái niệm ta kết sau ∀α ∈ E , irr (α , F ) phân rã E • Mở rộng tách  p ( x) ∈ F [ x ] tách F nghiệm bội F  F ⊂ E , α ∈ E gọi tách F irr (α , F ) tách  F ⊂ E , E mở rộng tách ∀α ∈ E , α tách F  Nếu charF = đa thức bất khả quy F [ x ] tách Suy mở rộng E F tách b Định lý phần tử nguyên thuỷ Định lý F ⊂ E , E mở rộng hữu hạn tách F E mở rộng đơn Nghĩa tồn α ∈ E cho F (α ) = E Phần chứng minh định lý độc giả sẻ tìm thấy Saban Alaca and Kenneth S Williams [2, định lý 5.6.1, định lý 5.6.2, pp 102 – 104] 1.2.Phần tử nguyên B 1.2.1.Định nghĩa B  Cho A B miền nguyên A ⊂ B Phần tử b ∈ B gọi nguyên A b nghiệm đa thức đơn khởi, hệ số thuộc A  Một số phức nguyên ¢ gọi nguyên đại số  ∀b ∈ B, b nguyên A B gọi nguyên A 1.2.2 Định lý: B Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B Nếu B A_môđun hữu hạn sinh B nguyên A 1.2.3 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b ∈ B , b nguyên A A [b ] A_môđun hữu hạn sinh 1.2.4 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b1 , , bn ∈ B b1 , , bn nguyên A A [b1 , , bn ] A_môđun hữu hạn sinh Chứng minh định lý 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6 độc giả tìm thấy Saban Alaca and Kenneth S Williams [3, định lý 4.1.3, định lý 4.1.9, pp 77 – 80] 10 1.2.5 Định lý Cho A, B, C miền nguyên A ⊂ B ⊂ C Nếu B nguyên A C nguyên B C nguyên A Chứng minh Lấy c ∈ C suy c nguyên B, tồn b0 , , bn −1 ∈ B cho Suy c nguyên A [b0 , , bn−1 ] , A [b0 , , bn−1 , c ] c n + bn−1c n−1 + + b0 = A [b0 , , bn −1 ] _môđun hữu hạn sinh Mặt khác b0 , , bn −1 ∈ B nên A [b0 , , bn −1 ] A_môđun hữu hạn sinh Suy A [b0 , , bn−1 , c ] A_môđun hữu hạn sinh ■ Vậy C nguyên A 1.3.Bao đóng nguyên vành B 1.3.1 Các khái niệm B • Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B AB = {b ∈B| b nguyên A} P PR R vành B chứa A gọi bao đóng nguyên A B • Cho A miền nguyên, K trường thương A Bao đóng nguyên A K gọi bao đóng nguyên A Kí hiệu AK P P • Miền nguyên A gọi vành đóng nguyên AK = A P P Cho tháp mở rộng trường ¤ ⊂ K ⊂ £ , [ K : ¤ ] = n £ { α ∈ £ α nguyên ¢ } gọi bao đóng nguyên ¢ • Ω = ¢= £ • α ∈ Ω gọi số nguyên đại số • a ∈ ¢ gọi số nguyên hữu tỉ K { α ∈ K | α nguyên ¢ } gọi vành số nguyên đại số • O= ¢= K trường K Chú ý: ¢ = Ω ∩ ¤ OK = Ω ∩ K 1.3.2 Các tính chất B i) Mỗi số đại số viếc dạng α = số a số nguyên hữu tỉ u u số nguyên đại a 38 ∑∏ ( x − θ ) n = f '( x ) n j i =1 j =1 j ≠i Từ suy f ' (θi ) = ∏ (θ n j =1 j ≠i i − θ j ), i = 1, 2, , n Khi ∏∏ (θ n n f ' (θi ) ∏= =i n =i =j j ≠i i −θ j ) = ∏ (θi − θ j ) 1≤i < j ≤ n ∏ (θ 1≤ j [...]... TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH B 5 CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K Trong chương 1 chúng ta đã chứng minh được mỗi ideal trong O K đều phân R R tích được thành tích các ideal nguyên tố Tiếp theo trong chương 2 này chúng tôi sẻ mô ta sự phân tích của (p là số nguyên tố) thành tích các nhân tử nguyên tố trên vành các số đại số bậc k và áp dụng sự mô tả đó trên vành các số nguyên số đại số bậc 3 và trên trường... K ( Pi ) , i Nếu ∃i ∈ {1, 2, K , r} sao cho ei > 1 thì p được là số nguyên tố rẽ nhánh trong K Nếu ei = 1, ∀i = {1, 2, K , r} thì p được gọi là không rẽ nhánh trong K 2.1.8 Định lý Dedekind Cho K là trường số đại số bậc n Khi đó số nguyên tố p là rẽ nhánh trong K khi và chỉ khi p d ( K ) 30 2.2 Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k B 6 1 Trong phần này chúng tôi mô tả cách phân. .. tôi mô tả cách phân tích p (p là số nguyên tố) thành tích các ideal nguyên tố trên vành các số nguyên đại số bậc k 2.2.1 Định nghĩa (chỉ số của θ ) Cho K là một trường số đại số và θ ∈ OK sao cho K = ¤ (θ ) Khi đó chỉ số của θ , k hiệu là indθ là số nguyên dương sao cho D (θ ) = ( indθ ) d ( K ) 2 2.2.2 Định lý Cho K là một trường số đại số bậc n Lấy θ ∈ OK sao cho { K = ¤ (θ ) Khi đó 1, θ , θ 2... ta áp dụng định lý 2.2.4 và 2.2.5 để mô tả sự phân tích của (p là số nguyên tố) thành tích các ideal nguyên tố trên vành các số nguyên đại số bậc 3 2.3 Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc 3 B 7 1 2.3.1 Định lý Cho K là trường số đại số Khi đó ta có d ( K ) ≡ 0 hoặc 1( mod 4 ) Chứng minh Cho {ω1, ω2 , , ωn } là cơ sở nguyên của K gọi ωi( ) = ωi , ωi( ) , , ωi( 1 liên hợp của... α = α aα ∈ Ω mà aα ∈ K suy ra aα ∈ Ω ∩ K = OK Do đó = aα trong đó a aα ∈ K ' a ■ iii) OK là vành đóng nguyên ( OKK = OK ) Chứng minh Với α ∈ OKK ta có α ∈ K và α nguyên trên OK nên OK [α ] nguyên trên OK , mà OK nguyên trên ¢ nên OK [α ] nguyên trên ¢ Do đó α nguyên trên ¢ hay α ∈ OK ■ iv) Nếu α ∈ Ω thì mọi liên hợp với α trên ¤ cũng thuộc Ω Do đó, ∀α ∈ K , α ∈ OK khi và chỉ khi irr (α , ¤ ) ∈ ¢... Cho K là trường số đại số bậc n, P là ideal nguyên tố của O K và p là số nguyên tố nằm dưới P Khi đó tồn tại số nguyên dương e sao cho R R P e | p , P e+1 /| p , e được gọi là chỉ số rẽ nhánh của P trong K và k hiệu là e K (P) R R 2.1.7 Định nghĩa Cho K là trường số đại số bậc n, p là số nguyên tố và P1 , P2 , K , Pr là các ideal nguyên tố nằm trên p Khi đó p = P1e1 K Prer trong đó = ei e= 1, 2, K ,... phân tích được duy nhất thành tích các ideal nguyên tố Chứng minh Giả sử tồn tại ideal I khác 0 của D, I không phân tích được thành các ideal nguyên tố K hiệu S là tập tất cả các ideal như vậy, suy ra S ≠ ∅ Do D là miền Dedekind nên S có phần tử tối đại A Do A không là ideal nguyên tố nên A không là ideal tối đại, suy ra tồn tại ideal tối đại P sao cho A ⊂ P Mặt khác theo định lý 1.6.2 A ⊃ P1 Pk... sơ R R nguyên của K Khi đó K được gọi là trường số Monogenic và cơ sơ nguyên {1, θ , θ 2 ., θ n−1} được gọi là cơ sở luỹ thừa của K Định lý sau chỉ cho ta cách phân tích p (p la số nguyên tố) thành tích các ideal nguyên tố trên vành số nguyên đại số bậc k 2.2.4 Định lý Cho K = ¤ (θ ) là một trường số đại số có cấp là n Cho p là số nguyên tố và = f ( x) irr (θ , ¤ ) ∈ ¢ [ x] Định nghĩa ánh xạ tự nhiên... Trong vành OK mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại Chứng minh Giả sử tồn tại ideal nguyên tố khác 0 nhưng không tối đại Gọi S là tập tất cả các ideal nguyên tố khác 0, không tối đại, S ≠ ∅ Vì OK là vành Noether nên S có 17 phần tử tối đại Gọi P 1 là phần tử tối đại của S Vì P 1 ∈ S nên P1 không là ideal tối R R R R R R đại trong OK , do đó tồn tại P2 là ideal tối đại của OK sao cho P1 ⊂ P2 ⊂ OK Suy... ra P2 Pk = Q2 Ql Lập luận tương tự như trên ta suy ra= Q2 P= P3 , Nếu k < l, sau k lần ta có D = Qk +1 Ql (!) 2 , Q3 Vậy k = l và= 1, k Pi Q= i, i ■ 1.6.6 Hệ quả Cho A là ideal phân của D khác 0 và khác D Khi đó ta có = A P 1k1 Pmkm , km ∈ ¢ * , Pi là các ideal nguyên tố đôi một khác nhau 1.6.7 Định nghĩa • Cho A là ideal (ideal phân) của D, P là ideal nguyên tố Chỉ số của P trong A được k hiệu