PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K

HỒ CHÍ MINH --- NHAN QUỐC MINH PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ... Cụ thể trong ORKRđịnh lý cơ bản của số học có thể sẽ không còn đúng nữa, một số có thể phân tích thành tích c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

NHAN QUỐC MINH

PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đối với quý Thầy Cô trong khoa Toán - tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Thầy Cô tổ đại số trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tản cho quá trình viết luận văn này

Đặc biệt tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Mỵ Vinh Quang người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong phòng Khoa học Công nghệ

và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Trung học phổ thông Trung An, huyện Cờ Đỏ, Thành phố Cần Thơ đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập

Tôi tỏ lòng biết ơn đến gia đình, anh em và bạn bè đã hỗ trợ và giúp đỡ tôi

về tinh thân cũng như vật chất để tôi hoàn thành luận văn này

1.1.2 Khái niệm mở rộng bởi 1 tập, mở rộng đơn và mở rộng lặp0T 70T

1.1.3 Phần tử đại số0T 80T

1.1.4 Mở rộng đại số0T 80T

1.2.Phần tử nguyên0T 90T

1.2.1.Định nghĩa0T 90T

1.2.2 Định lý:0T 90T

1.3.Bao đóng nguyên của một vành0T 100T

1.3.1 Các khái niệm cơ bản0T 100T

1.3.2 Các tính chất0T 100T

1.4.Các phần tử liên hợp đầy đủ0T 120T

1.5.Các ideal trong ORKR0T 130T

1.5.1 Định thức của một hệ phần tử0T 130T

1.5.2 Định thức của một phần tử0T 130T

1.5.3 Tính chất0T 140T

1.6.Miền Dedekind0T 170T

1.7.Hàm chuẩn và hàm Euler0T 22

- bao đóng nguyên của A trong B

Ω - vành đóng nguyên của ¢ trong £

LỜI MỞ ĐẦU

Cho K là một trường mở rộng hữu hạn ¤ và ORKRlà vành các số nguyên đại

số trong K Ta biết rằng ORKRnói chung không phải là miền nhân tử hoá Cụ thể trong

ORKRđịnh lý cơ bản của số học có thể sẽ không còn đúng nữa, một số có thể phân tích

thành tích các số nguyên tố theo nhiều cách khác nhau Bởi vậy số học trong ORKR là

khó nghiên cứu Tuy nhiên, dựa theo ý tưởng của Dedekind “mỗi iđean của ORKRđều phân tích được thành tích duy nhất của các iđean nguyên tố”, chúng ta vẫn có thể xây dựng được số học trên vành các số nguyên đại số Bởi vậy chúng tôi quyết định

chọn đề tài “Phân tích thành nhân tử trên vành số nguyên đại số bậc k” và áp dụng

của nó trên một số trường mở rộng bậc cao và số học trên các vành này

Bố cục của luận văn được chia thành 2 chường :

• Chương 1: Các kiến thức cơ bản

Trong chương này chúng tôi tình bài các kiến thức cơ bản liên quan đến đề tài: Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường, phần tử nguyên, bao đóng nguyên của

một vành, các phần tử liên hợp đầy đủ, các ideal trong ORKR , miền Dedekind, hàm chuẩn và hàm Euler

• Chương 2 : phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k Trong chương này chúng tôi phân tích ideal <p> thành tích nhân tử nguyên tố

trên vành các số nguyên đại số bậc k và áp dụng sự phân tích dó trên vành các số

nguyên đại số bậc 3 và trên trường vòng

Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong qúy Thầy Cô và các bạn đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về mở rộng trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, và các tính chất của chúng Chúng

ta đi chứng minh mỗi ideal trong vành các số nguyên đại số đều được phân tích thành tích các ideal nguyên tố từ đó xây dựng số học trên vành các số nguyên đại

• Nếu [E F: ]= ∞ thì E là mở rộng vô hạn của F

• Nếu [E F: ]= thì E là mở rộng hữu hạn (bậc n) của F n

Cho tháp mở rộng trường F ⊂ ⊂ Ta có E G

[G F: ] [= G E: ] [ E F: ]

Hơn nữa nếu { }x i i=1,n là cơ sở của E trên F và { }y j j 1,n

= là cơ sở của G trên E thì

1.1.2 Khái niệm mở rộng bởi 1 tập, mở rộng đơn và mở rộng lặp

Cho E là mở rộng của F, X là tập con của E ( ) F X là giao tất cả trường con

của E vừa chứa F và X, ( ) F X được gọi là mở rộng của F bởi X ( ) F X là trường

con nhỏ nhất trong các trường con của E chứa F và X

Đặc biệt

Định nghĩa Cho E là mở rộng của trường F Lấy α∈ , E α được gọi là đại

số trên F nếu tồn tại f x( )∈F x[ ], deg f ≥ sao cho ( ) 01 f α =

• Số phức đại số trên ¤ được gọi là số đại số

• Cho α là phần tử đại số trên F, khi đó tồn tại duy nhất f x( )∈F x[ ], ( )

f x đơn khởi, bất khả quy trong F x và [ ] nhận α làm nghiệm Đa thức ( )

f x được gọi là đa thức tối tiểu của α trên F và được kí hiệu là

• Mở rộng tách được

 p x( )∈F x[ ] tách được trên F nếu nó không có nghiệm bội trên F

 F ⊂E,α∈ E gọi là tách được trên F nếu irr(α,F) tách được

 F ⊂ , E E là mở rộng tách được nếu ∀ ∈α E,α đều tách được trên

 Một số phức nguyên trên ¢ được gọi là nguyên đại số

 ∀ ∈ b nguyên trên A thì b B, B được gọi là nguyên trên A

1.2.5 Định lý Cho A, B, C là các miền nguyên và A B C⊂ ⊂ Nếu B nguyên trên A và C nguyên trên B thì C nguyên trên A

c +b c− − + + = Suy ra c nguyên trên b A b[ 0, ,b n−1], do đó A b[ 0, ,b n−1,c]

là A b[ 0, ,b n−1]_môđun hữu hạn sinh Mặt khác b0, ,b n−1∈ nên B A b[ 0, ,b n−1] là

A_môđun hữu hạn sinh Suy ra A b[ 0, ,b n−1,c] là A_môđun hữu hạn sinh

10B

1.3 Bao đóng nguyên của một vành

25B

1.3.1 Các khái niệm cơ bản

• Cho A, B là các miền nguyên, A B ⊂ AP

B

PR R= {b ∈B| b nguyên trên A}

là vành con của B chứa A và được gọi là bao đóng nguyên của A trong B

• Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A Bao đóng nguyên của A trong K gọi là bao đóng nguyên của A Kí hiệu là AP

• α∈ Ω gọi là số nguyên đại số

• a ∈¢ gọi là số nguyên hữu tỉ

ii) K là trường các thương của ORKR

Giả sử K’ là trường các thương của ORKR ta chứng minh K = K’

Thật vậy với mọi α∈K' thì u ( ,u v O K)

v

thì α đại số trên ¤ theo tính chất (i) tồn tại a ∈¢ sao cho a

K

O

α∈ ta có α∈ và K α nguyên trên O nên K O K[ ]α nguyên trên O , K

mà O nguyên trên ¢ nên K O K[ ]α nguyên trên ¢ Do đó α nguyên trên ¢ hay

Vậy mọi liên hợp với α trên ¤ đều thuộc Ω

Tiếp theo ta chứng minh ∀ ∈ , α K α∈O K khi và chỉ khi irr( , )α ¤ ∈¢[ ]x

Thật vậy do irr( , )α ¤ ∈¢[ ]x nên α∈O K

trong đó α α1, 2, ,αn là các liên hợp của α trên ¤ Theo định lý Vi-ét ta có

1.4 1 Định lý Cho ¤ ⊂K ⊂£ , K là mở rộng hữu hạn bậc n của ¤ Khi đó

có đúng n đơn cấu trường từ K vào £ , kí hiệu là σ σ1, 2, ,σn

Chứng minh:

K là mở rộng hữu hạn bậc n của ¤ , K tách được trên ¤ (do char¤ = 0)

Suy ra tồn tại θ∈ sao cho K K = ¤ ( )θ Do irr( , )θ ¤ bậc n nên irr( , )θ ¤ có n

Suy ra có tối đa n đơn cấu trường từ K vào £

Ngược lại, với k=1,n , công thức (*) là 1 đơn cấu trường từ K vào £

1.4.2 Định nghĩa Cho α∈K , ta định nghĩa dãy σ α σ α1( ), 2( ), ,σ αn( ) là dãy các phần tử liên hợp đầy đủ của α

2

1 1

11

n n

i j n n

Nếu α là phần tử sinh của K thì ta có σ α σ α1( ), 2( ), ,σ αn( ) đôi một khác nhau,

do đó D( )α ≠ 0

Nhận xét Cho β β1, 2, ,βn∈ và K

1.5.4 Bổ đề Cho I <O k, I ≠0 khi đó tồn tại c ≠ 0 thuộc vào I ∩ ¢

1.5.6 Định lý Cho I <O k, I ≠0, khi đó tồn tại α1, ,αn ∈ sao cho x I I ∈

thì x được viết duy nhất dươi dạng x=c1α1+c2α2+ + c nαn, c i ∈¢

Chứng minh

Kí hiệu S ={ (x1, , x n) x i∈I D x, ( 1, , x n) >0} Theo bổ đề 1.5.5 thì

S ≠ ∅ nên tồn tại (α1, ,αn)∈ sao cho S D(α1, ,αn) bé nhất Vì

( 1, , n) 0

D α α ≠ nên α1, ,αn độc lập tuyến tính trên ¤ , do đó α1, ,αn là cơ sở

của K Vì vậy với x I∈ ta có x=c1α1+ + c2αn,c i∈¤

Vì D(α1, ,αn)≠ nên hệ có nghiệm duy nhất là 0 ( c1− k c , 2 , cn) Từ đó ta có

1

, , ,, , ,

n n

Hệ α1, ,αn được gọi là cơ sở của I

Một cơ sở của O gọi là cơ sở nguyên của K K

Vậy theo định lý 1.56 thì mọi ideal khác 0 của O K đều có cơ sở

1.5.9 Định lý Cho I là ideal khác 0 của O K

n

i ij j ij j

detB = detC =1 (det , detB C∈¢ )Vậy D(α1, ,αn)=D(β1, , βn)

ii) α1, ,αn là cơ sở nên

1

,

n

j ij i ij i

1.5.10 Định nghĩa Cho I <O k, I ≠0, ta định nghĩa D I( )= D(α1, ,αn)

Giả sử tồn tại ideal nguyên tố khác 0 nhưng không tối đại Gọi S là tập tất cả

các ideal nguyên tố khác 0, không tối đại, S ≠ ∅ Vì O là vành Noether nên S có

phần tử tối đại Gọi PR 1 Rlà phần tử tối đại của S Vì PR 1 R∈ S nên PR 1 R không là ideal tối đại trong O , d K o đó tồn tại PR 2 Rlà ideal tối đại của O sao cho K P1⊂P2 ⊂O K Suy ra tồn tại α∈P2\P1 mà α∈O K nên ∃b k−1, ,b0∈¢ để 1

ii) D là miền Noether

iii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 của D đều là ideal tối đại

Ví dụ

• Miền các ideal chính là miền Dedekind

• D=O K là miền Dedekind

1.6.2 Định lý Trong miền Noether D, mọi ideal khác 0 đều chứa tích của một

hoặc nhiều ideal nguyên tố

Chứng minh

Giả sử tồn tại ideal khác 0, không chứa tích của một hoặc nhiều ideal nguyên

tố Kí hiệu S là tập tất cả các ideal như vậy, S ≠ ∅ Suy ra S có phần tử tối đại là A

Do A không là ideal nguyên tố của D nên tồn tại các ideal B, C của D sao cho BC là con của A nhưng B, C không là con của A Vì A A B ⊂ + nên A B S+ ∉ suy ra

1.6.3 Định nghĩa Cho D là miền nguyên, K là trường các thương của D Tập

con khác rông I của K được gọi là ideal phân của D nếu:

i) ∀α β, ∈I,α β+ ∈ I

ii) ∀ ∈ ∀ ∈α I, β D, αβ∈ I

iii) ∀ ∈θ D,θ ≠0 sao cho Iθ ⊂ D

Cho P là ideal nguyên tố của D Ta định nghĩa ° P={α∈KαP⊂D} Ta

chứng minh được °P là ideal phân của D

1.6.4 Bổ đề Cho D là vành Dedekind, P là ideal nguyên tố của D Khi đó

°

PP = D

Chứng minh

Ta chứng minh °PP P= hoặc °PP D=

Thật vậy ta có °PP là ideal phân của D Với α∈P°,β∈ ta có P αβ α∈ P⊂ do D

đó °PP D ⊂ , từ đó suy ra °PP là ideal của D Vì 1.P P D= ⊂ nên 1∈ hay P°

°

P⊂ PP Mặt khác do P là ideal nguyên tố nên P là ideal tối đại, do đó °PP P=

hoặc °PP D= Với α∈ , ta có P D α ⊂ ⊂ cho nên P D α∈ suy ra P° D⊂ P°

Ta chứng minh ∃ ∈θ P D° \

Lấy β∈P\ 0{ } khi đó 0≠ β ⊂ và theo 1.6.2 ta có P β ⊃ P P k1 k ( ≥1) (*), trong đó P1, , P k là các ideal nguyên tố Không mất tính tổng quát, giả sử k là số

dương bé nhất có tính chất (*) Vì P P1 k ⊂ β ⊂ nên tồn tại P P i ⊂ Do P P i

nguyên tố nên P i tối đại suy ra P i = , gP iả sử P1= P

Vây từ chứng minh trên ta có °P D≠

Tiếp theo ta chứng minh °PP D=

Giả sử °PP D≠ suy ra °PP=P Khi đó ta chứng minh °P là một miền nguyên

Lấy α β, ∈ ta có P°

(α β+ )P⊂αP+βP⊂ ⇒ + ∈ D α β P°

( )αβ P=α β( )P ⊂αP⊂ ⊂ ⇒P D αβ∈ (vì P° βP⊂PP° = ) P

suy ra °P là một miền nguyên Vì D là miền Noether nên °P là D_moodun hữu hạn

sinh Do đó theo định lý 1.2.1 suy ra °P nguyên trên D mà D là miền Dedekind nên

D đóng nguyên nên °P D⊂ (!)

1.6.5 Định lý Trong miền Dedekind, mọi ideal khác 0 của D đều phân tích

được duy nhất thành tích các ideal nguyên tố

Chứng minh

Giả sử tồn tại ideal I khác 0 của D, I không phân tích được thành các ideal nguyên tố Kí hiệu S là tập tất cả các ideal như vậy, suy ra S ≠ ∅ Do D là miền Dedekind nên S có phần tử tối đại A Do A không là ideal nguyên tố nên A không là ideal tối đại, suy ra tồn tại ideal tối đại P sao cho A P⊂

Mặt khác theo định lý 1.6.2 A⊃P P1 k ⇒ ⊃P P P k1 k( ≥1) (*) Do P là ideal

nguyên tố nên tồn tại P sao cho i P i ⊂P, giả sử P1⊂ suy ra P P1= P

Nếu k = 1 thì P1= ⊃ ⊃ P A P1 do đó A= P1 (trái với cách chọn A)

Vậy k ≥2 Gọi k là số bé nhất thoả mãn (*)

• Cho A là ideal (ideal phân) của D, P là ideal nguyên tố Chỉ số của P trong

A được kí hiệu là ord P( )A , ord P( )A là số mũ của P trong sự phân tích của A

• Cho A, B là hai ideal (ideal phân) của D Ta nói B là ước của A được kí hiệu là B|A nếu tồn tại ideal C sao cho A = BC

Nhận xét Cho A, B là hai ideal (ideal phân) của D Khi đó

B A⇔ ⊂A B ⇔ord P( )A ≥ord P( )B , P∀ nguyên tố

1.6.8 Tính chất

1) ord P( )AB =ord P( )A +ord P( )B

2) ord P(A+B)=min{ord P( )A ord, P( )B }

min ord P B , ord P B ≤ord P A+B (2)

Từ (1) và (2) suy ra ord P(A+B)=min{ord P( )A ord, P( )B } ■

Cho α∈K,α ≠0, ta định nghĩa ord P( )α =ord P( )α cho mỗi ideal nguyên tố P của D

1.6.10 Tính chất

i) ord P( )αβ =ord P( )α +ord P( )β

ii) ord P(α β+ )≥min{ord P( )α ,ord P( )β }

iii) Nếu ord P( )α ≠ord P( )β thì ord P(α β+ )=min{ord P( )α ,ord P( )β }

ord α β+ =ord α β+ ≥ord α +ord β

Mà ord P( α + β )=min{ord P( )α ,ord P( )β }=min{ord P( )α ,ord P( )β }

nên ord P(α β+ )≥min{ord P( )α ,ord P( )β }

iii) Giả sử ord P( )α <ord P( )β khi đó min{ord P( )α ,ord P( )β }=ord P( )α

theo (ii) ord P(α β+ )≥ord P( )α Ta lại có

Vậy ord P(α β+ )=ord P( )α =min{ord P( )α ,ord P( )β } ■

1.6.11 Định lý Cho D là miền Dedekind, P1, , P là các ideal nguyên tố đôi m một khác nhau, a i∈¢,i =1,n Khi đó tồn tại α∈ K để

i

ord α =a ord α ≥ ∀ ≠ P P

= gọi là chuẩn của ideal I

1.7.2 Định lý Nếu A ideal của D thì N A( ) D

n n ij

0 0

i

n

d d

¢

M M OL

1.7.3 Định lý Cho A, B là hai ideal của D khi đó N AB( )=N A N B( ) ( )

Để chứng minh định lý trên ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề Cho A là ideal nguyên (phân) của D, B là ideal của D Khi đó ∃ ∈ α A sao cho A= α +AB

Chứng minh

Gọi P1, , P n là tập các ideal nguyên tố có mặt trong sự phân tích tiêu chuẩn

của A hoặc của AB Theo định lý 1.6.12 tồn tại α thuộc vào K sao cho

Tiếp theo ta sẽ chứng chứng minh định lý

Nếu A hoặc B bằng D thì kết quả trên là hiển nhiên vì N D( ) D 1

D

Giả sử A và B đều khác D Khi đó ta có

ord α y −y ≥ord AB nên ord P(y j −y s)+ord P( )α ≥ord P( )A +ord P( )B

Có hai khả năng xãy ra

Nếu P= thì P i ord P( )α =ord P( )A do đó ord P(y j −y s)≥ord P( )B

Nếu P≠ thì P i ord P( )B =0,ord P(y j −y s)≥ nên 0 ord P(y j −y s)≥ord P( )B

Từ đó ta có ord P(y j −y s)≥ord P( )B ,∀ do đó P y j − ∈ suy ra y s B y j = y s

Như vậy các phần tử {x i +αy j + AB i, =1, ,k j=1,l} đôi một khác nhau

Hàm ϕ định nghĩa như trên được gọi là hàm Euler

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm Euler Chung tôi không chứng minh các tính chất này ở đây, độc giả tìm thấy chứng minh của các tính chất này tại

Lê Quang Hào [2, pp 34 – 39]

1.7.6 Tính chất Hàm Euler có tính chất nhân Nghĩa là nếu ,( , ) 1 A B = ,

2.1.1 Định lý Nếu P là ideal nguyên tố của D thì tồn tại duy nhất một số

nguyên tố p sao cho P p và khi đó N P( )= p f, 1≤ ≤ f n

Chứng minh

Do P là ideal nguyên tố của D nên P∩ ≠¢ 0 là ideal nguyên tố của ¢ , suy

ra tồn tại số nguyên tố p sao cho P∩ =¢ p Ta có p∈ ∩ ⇒ ∈ ⇒P ¢ p P P p

Giả sử có số nguyên tố q sao cho P q , p ≠ , khi đó ta có P q q + p Ta lại có

(p q, )= nên tồn tại ,1 u v ∈¢ sao cho 1 pu qv= + ∈ p + q , do đó p + q = D

Nhận xét Ta có N P( ) D p f

P

= = , P là idean nguyên tố nên P là ideal tối đại từ đó suy ra D P là trường đặc số p

2.1.2 Định lý Cho P là ideal nguyên tố, p là số nguyên tố nằm dưới P Khi

đó, với , a b ∈¢ , a≡b(modp) khi và chỉ khi a≡b(modP)

Chứng minh

Nếu a≡b(modp) thì a≡b(modP) Thật vậy do a≡b(mod p) nên

a b − M do đó a b p − ∈ p ⊆ suy ra P a≡b(modP)

Ngược lại a≡b(modP) nên a b− ⊆ do đó P N a b N P( − M) ( ) hay (a b− )nMp f,

1≤ ≤ Do p f n số nguyên tố nên ta có a b p− M suy ra a≡b(mod p) ■

Với p là số nguyên tố nằm dưới ideal nguyên tố P Xét tương ứng

Giả sử I không là ideal nguyên tố, khi đó ta có I =P P A1 2 với ,P i i =1, 2 là

ideal nguyên tố của D, A D< Khi đó ta có N I( )=N P N P N A( ) ( ) ( )1 2 suy ra

N P N P N A = p

điều này không thể xãy ra vì N P( )1 >1, N P( )2 > 1