Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga LI CM N Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin khúa lun Mụun hu hn sinh trờn vnh giao hoỏn cựng vi s c gng ca bn thõn, em ó nhn c s hng dn v giỳp tn tỡnh ca cụ giỏo Th.s Nguyn Th Kiu Nga ng thi, em cng nhn c s giỳp ng viờn ca cỏc thy, cụ giỏo v ca cỏc bn sinh viờn khoa Toỏn Em xin gi li cm n sõu sc ti cụ giỏo Th.s Nguyn Th Kiu Nga ó giỳp v hng dn tn tỡnh em hon thnh khúa lun ca mỡnh Em xin chõn thnh cm n Ban ch nhim khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn khoa ó to iu kin giỳp em hon thnh khúa lun ny H Ni, ngy thỏng nm Sinh viờn Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -1- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga LI CAM OAN Khúa lun ny l kt qu ca bn thõn em qua quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Bờn cnh ú, em c s quan tõm, to iu kin ca cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, c bit l s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo Th.s Nguyn Th Kiu Nga Trong nghiờn cu hon thnh khúa lun ny em cú tham kho mt s ti liu ó ghi phn ti liu tham kho Vỡ vy, em xin khng nh ti Mụun hu hn sinh trờn vnh giao hoỏn khụng cú s trựng lp vi cỏc ti ca cỏc tỏc gi khỏc Sinh viờn Lờ Th Thu Hin MC LC Trang Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -2- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Li núi u Chng Vnh Mụun 1.1 Vnh 1.2 Mụun 10 1.3 Mụun 14 1.4 Mụun thng 16 1.5 Tng trc tip, tớch trc tip, hng t trc tip ca mụun 17 1.6 ng cu mụun .19 Chng Mụun t 23 2.1 Mụun sinh bi mt tp, sinh, c lp v ph thuc tuyn tớnh C s ca mụun 23 2.2 Mụun t 24 2.3 iu kin tng ng 25 2.4 Mt s tớnh cht c bn 27 2.5 Bi 30 Chng Mụun hu hn sinh .34 3.1 nh ngha mụun hu hn sinh 34 3.2 iu kin tng ng vi mụun hu hn sinh .34 3.3 Mụun Noether 35 3.4 Mụun hu hn sinh trờn vnh giao hoỏn 39 3.5 Mụun hu hn sinh trờn vnh a phng 43 3.6 Mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -3- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga 3.7 Bi KT LUN TI LIU THAM KHO LI NểI U i s l mt ngnh chim v trớ quan trng khoa hc Toỏn hc Nú gúp phn thỳc y s phỏt trin ca Toỏn hc hin i Ngy nay, nhu cu hc hi ca sinh viờn khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo dy Toỏn v nhiu ngi khỏc Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -4- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga quan tõm n toỏn hc núi chung v mụn i s núi riờng, ngy cng tng Tuy nhiờn, i sõu nghiờn cu mụn i s thỡ cn cú s hiu bit mt cỏch sõu sc v cu trỳc i s Ngy nay, ngi ta coi i tng ch yu ca i s l cỏc cu trỳc i s nh: nhúm, vnh, trng, mụun Trong ú, mụun l mt nhng khỏi nim quan trng nht ca i s hin i Chớnh vỡ th, em mnh dn chn ti nghiờn cu Mụun hu hn sinh trờn vnh giao hoỏn vi mong mun c nghiờn cu v tỡm hiu sõu hn v b mụn i s v bc u lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc Ni dung khúa lun gm: Chng 1: Vnh Mụun Chng ny em trỡnh by mt s khỏi nim: vnh, vnh giao hoỏn, mụun, tớnh cht ca mụun, mụun con, mụun thng, tng trc tip, tớch trc tip v hng t trc tip ca mụun Chng 2: Mụun t Trỡnh by mt s ni dung: sinh, c lp tuyn tớnh, ph thuc tuyn tớnh, khỏi nim v tớnh cht ca mụun t v iu kin tng ng ca mụun t Chng 3: Mụun hu hn sinh Trỡnh by mt s ni dung: khỏi nim v mụun hu hn sinh v iu kin tng ng, Mụun Noether v iu kin tng ng Mụun hu hn sinh trờn vnh giao hoỏn v trờn vnh a phng Trong quỏ trỡnh thc hin ti ngoi s n lc ca bn thõn, em cũn nhn c s ch bo hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo Th.s Nguyn Th Kiu Nga v s quan tõm, giỳp ca cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn Em xin gi Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -5- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga li cm n chõn thnh n cỏc thy, cỏc cụ Mc dự cú c gng song iu kin thi gian v kh , nng ca bn thõn cũn nhiu hn ch nờn khúa lun khụng th trỏnh thiu xút Vỡ vy, em kớnh mong cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn úng gúp ý kin em hon thin v phỏt trin khúa lun sau ny CHNG : VNH MễUN 1.1 Vnh 1.1.1 nh ngha: Mt hp R c gi l mt vnh nu R cựng vi hai phộp toỏn hai ngụi gi l phộp cng v phộp nhõn tha cỏc iu kin sau õy: Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -6- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga (i) R l mt nhúm Abel i vi phộp cng (ii) Phộp nhõn cú tớnh cht kt hp (iii) Phộp nhõn phõn phi v hai phớa i vi phộp cng, tc l: (x + y)z = xz + yz ; z(x + y) = zx + zy; x, y, z R Nhúm (R, +) c gi l nhúm cng ca vnh Phn t trung lp ca nú c kớ hiu bi 0, phn t i ca x R c kớ hiu (-x) Kớ hiu x y := x + (-y) 1.1.2 nh ngha Vnh R c gi l giao hoỏn nu phộp nhõn ca nú giao hoỏn Vnh R c gi l cú n v nu phộp nhõn ca nú cú n v, tc l cú phn t R cho 1x = x1 = x, x R Chỳ ý : Phn t n v ca mt vnh nu tn ti thỡ nht Tht vy : Nu v u l n v ca R, ta cú = 1.1 = 1.1.3 Vớ d Vớ d : Mi hp s  , Ô , Ă , Ê u lp thnh mt vnh (giao hoỏn, cú n v) i vi hai phộp toỏn cng v nhõn cỏc s Vớ d : Mn(R) l hp cỏc ma trn vuụng cp n, vi phn t ca ma trn l cỏc s thc, cựng vi phộp (+) v (.) ma trn l mt vnh Vi n vnh ny khụng giao hoỏn, n = vnh ny giao hoỏn Vớ d : Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -7- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga S l tựy ý, X vnh M(S, X) = {f : S X / f l ỏnh x} l mt vnh vi phộp cng v phộp nhõn xỏc nh nh sau : (f + g)(x) = f(x) + g(x) , x S (f.g)(x) = f(x).g(x), x S Phn t khụng l ỏnh x f : S X xa Nu vnh X giao hoỏn thỡ M(S, X) l giao hoỏn Vnh X cú n v thỡ M(S, X) cú n v l g : S X x a 1.1.4 Mt s tớnh cht c bn Gi s R l mt vnh Tớnh cht 1: 0.x = x.0 = 0, x R Tớnh cht 2: (-x)y = x(-y) = -(xy), x, y R Tớnh cht 3: (y z) = xy xz, (x y)z = xz yz, x, y, z R Tớnh cht 4: (lut phõn phi tng quỏt) m (x1 + x2 + + xm)(y1 + + yn) = n x y i i=1 j=1 j , xi, yj R Tớnh cht 5: (nx)y = x(ny) = n(xy) , x, y R ; n Z Tớnh cht 6: Nu R l vnh giao hoỏn thỡ n (x + y)n = n! i!(n-i)!x y i=0 Lê Thị Thu Hiền K34B Toán i n-i , x, y R, n N -8- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga 1.2 Mụun 1.2.1 nh ngha: Cho R l vnh cú n v Mt mụun trỏi trờn R (hay R mụun trỏi) l mt nhúm Abel cng M cựng vi mt ỏnh x RìMM (a, x) a ax, tha cỏc iu kin sau õy: (M1) a(x + y) = ax + ay, (M2) (a + b)x = ax + bx, (M3) (ab)x = a(bx), (M4) 1x = x, vi a, b R; x, y M Mt mụun phi trờn R (hay R mụun phi) l mt nhúm Abel cng M cựng vi ỏnh x MìRM (x, a) a xa tha cỏc iu kin sau õy: (M1) (x + y)a = xa + ya, (M2) x(a + b) = xa + xb, (M3) x(ab) = (xa)b, (M4) x1 = x, vi a, b R; x, y M Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -9- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Khi ú vnh R gi l vnh c s, cỏc phn t ca R gi l cỏc vụ hng, cỏc phn t ca R mụun gi l cỏc vect, cỏc ỏnh x x RìMM MìRM v (a, x) a ax (x, a) a xa gi l phộp nhõn vụ hng Nhn xột : Nu R l vnh giao hoỏn thỡ khỏi nim v mụun trỏi, mụun phi trờn R l trựng Sau õy ta xột cỏc R mụun trỏi gi tt l cỏc R mụun Nu R l mt trng thỡ mt R mụun gi l mt khụng gian vect trờn R hay R khụng gian vect 1.2.2 Vớ d Vớ d : Cỏc vộct mt phng xut phỏt t gc O c nh lp thnh mt mụun trờn trng s thc Ă Tht vy : Gi M = { vộct mt phng xut phỏt t mt gc ta O c nh} Ta biu din mi vộct nh mt on thng nh hng Ta nh ngha uuur uuur uuur tng ca vộct bng quy tc hỡnh bỡnh hnh : OA + OB = OC r Khi ú (M, +) l mt nhúm Abel vi phn t khụng l vộct , phn t uuur uuur uuur uuur i ca vộct OA l vộct i xng ca OA qua O, kớ hiu l: OA , OA M uuur uuur R, OA M, suy OA c xỏc nh nh sau: uuur L vộct cựng chiu vi OA v cú di bng tớch ca vi di vộct uuur OA nu > Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -10- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Gi s E l mụun hu hn sinh Khi ú E/Et l mụun t Tn ti mụun t F ca E cho E = Et F S chiu ca mụun ú c xỏc nh mt cỏch nht Chng minh Trc ht ta chng minh rng mụun E/Et khụng xon Kớ hiu x = x + Et , x E Gi s phn t b R, b cho bx = bx + Et = = Et Khi ú bx Et ngha l c R, c cho cbx = Do ú x Et v x = E/Et khụng xon Mt khỏc, mụun E/Et hu hn sinh Bõy gi gi thit rng M l mụun hu hn sinh khụng xon Gi s {v 1, , vn} l ti i cỏc phn t M hu hn cỏc phn t sinh ó cho {y 1, , yn} cho {v1, , vn} c lp tuyn tớnh Nu y l mt cỏc phn t sinh thỡ tỡm c cỏc phn t a, b 1, , bn R khụng bng tt c, cho ay + b1v1 + + bnvn = Khi ú a (nu khụng thỡ >< vi tớnh c lp tuyn tớnh ca {v1, , vn}) Do ú ay nm {v1, , vn} Vy vi mi j = 1, , m ta tỡm c phn t a j R, aj cho ajyj nm {v1, , vn} Gi s a = a1 am ta cú aM {v1, , vn} v a nh x x a ax l n cu m nh c cha mt mụun t Theo nh lớ 3.4.3.1 thỡ nh ca ỏnh x ny l mt mụun t Hn na nh ca ỏnh x ny ng cu vi M nờn M l mụun t p dng b vo ng cu E E/Et ta c s phõn tớch E = Et F Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -49- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga S chiu ca F c xỏc nh mt cỏch nht vỡ i vi mi s phõn tớch tựy ý ca E ta u cú mụun F ng cu vi E/F 3.4.3.4 Mt s khỏi nim - S chiu ca mụun t F nh lớ 3.4.3.3 c gi l hng ca mụun E - Gi s E l mt mụun trờn R, x E nh x a a ax l ng cu t R lờn mụun sinh bi x v ht nhõn ca ng cu ú l mt ideal cớnh sinh bi mt phn t m R bt kỡ Ta gi m l chu kỡ ca phn t x - Phn t c R, c c gi l m ca mụun E (tng ng ca phn t x) nu cE = (tng ng cx = 0) - Gi s p l mt phn t nguyờn t, p R Kớ hiu E(p) l mụun ca E gm tt c cỏc phn t x cú m dng pr (r 1) Mụun cha E(p) c gi l p mụun ca E - Gi s m R, m Kớ hiu Em l ht nhõn ca ỏnh x x a mx Nú gm tt c cỏc phn t R mụun E cú m m - Cho E l R mụun E l R mụun xyclic nu nú ng cu vi mụun thng R/(a) i vi phn t a R r r r - Gi s r1, r2, , rs Ơ * Mụun kiu (p , p , , p s ) l p mụun E ng cu vi tớch trc tip ca cỏc mụun xyclic R/( p ri ) (i = 1, , s) Nu phn t nguyờn t p ó chn c nh thỡ cú th núi mụun cú kiu (r 1, , rs) (i vi p) B 2: Gi s E l mt mụun tun hon cú m pr (r 1) ú p l mt phn t nguyờn t no ú Gi s x1 E l mt phn t cú chu kỡ pr, E = E/(x1) Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -50- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga v y1 , , y m l cỏc phn t c lp E Vi mi i, tn ti i din yi E ca lp y i cỏc phn t x, y1, , ym c lp Chng minh Gi s phn t y E cú chu kỡ pn (n 1) no ú v y l i din ca lp y E Khi ú, pny (x1) v ú pny = pscx1, c R, p Mc, s r Nu s = r thỡ y cựng chu kỡ vi y Nu s < r thỡ pscx1 cú chu kỡ pr-s v ú y cú chu kỡ l pn-r+s Ta cú n + r s r (vỡ pr l m ca E) Vy s n v y ps-ncx1 l i din ca y cú chu kỡ = pn Gi s yi l i din ca y i cú cựng chu kỡ vi y i Ta chng minh rng cỏc phn t y1, , ym, x1 l c lp Gi s a1, , am, a R cho ax1 + a1y1 + + amym = Khi ú a1 y1 + + a m y m = Theo gi thit a i y i =0 , i = 1, ,n Nu p ri l chu kỡ ca y i thỡ p ri Ma i aiyi = 0, i = 1,n Do ú ax1 = Nh vy tớnh c lp tuyn tớnh c chng minh B c chng minh 3.4.3.5 nh lớ Gi s E l mt mụun tun hon hu hn sinh Khi ú E l tng trc E p ly theo mi phn t nguyờn t p m E(p) Mi mụun E(p) cú tip E = p Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -51- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga th vit di dng E(p) = R/(p v1 ) R/(p v2 ) R/(p vs ) ú v1 vộct dóy v1, v2, , vộct c xỏc nh mt cỏch nht Chng minh Gi s a l mt m no ú ca E, a = bc, ú (b, c) = Gi s x, y R cho xb + yc = Ta chng minh c rng E = E b Ec Tht vy: v E v = xbv + ycv, ú xbv Ec vỡ cbxv = xav = Tng t ycv Eb Kt hp Eb Ec = ta c E = Eb Ec Bõy gi ta phi chng minh rng E(p) l tng trc tip cú dng ó ch Ta núi cỏc phn t y1, y2, , ym mt mụun no ú l c lp nu vi h thc bt kỡ a1y1 + a2y2 + + amym = 0, ú R, ta u cú: aiyi = 0, i = 1,m Ta thy cỏc phn t y1, y2, , ym l c lp mụun (y1, y2, , ym) cú s phõn tớch thnh tng trc tip (y1, y2, , ym) = (y1) (y2) (ym) ca cỏc mụun xyclic (yi) , i = 1,m Bõy gi thu c s phõn tớch E(p) thnh tng trc tip, trc ht ta chỳ ý rng mụun E(p) hu hn sinh Khụng gim tng quỏt ta gi s E = E(p) r Gi s x1 E cú chu kỡ p cho r1 cc i, E = E/ (x1 ) Khi ú dim E p < dimE p Tht vy: nu y1 , , y m l cỏc phn t c lp tuyn tớnh E p trờn R/pR thỡ t b dimEp m + 1, vỡ ta luụn luụn cú th tỡm c mt phn t (x1) cú chu kỡ p v khụng ph thuc vo y1, , ym Do Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -52- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga ú dim E p < dimE p Vỡ vy ta cú th chng minh c rng s phõn tớch thnh tng trc tip theo quy np Nu E thỡ cỏc phn t x , x , , x s cú cỏc chu kỡ tng ng p r2 , p r3 , , p rs cho r2 r3 rs Theo b 2, tn ti cỏc i din x2, x3, , xs E cho xi cú chu kỡ p ri ( i = 1,n ) v x1, x2, , xs c lp Vỡ chu kỡ p ri ó chn cc i, nờn ta cú bt ng thc r1 r2 ta thu c s phõn tớch mong mun Tớnh nht chớnh l h qu ca nh lớ sau: 3.4.3.6 nh lớ Gi s E l mt mụun tun hon hu hn sinh, E Khi ú E ng cu vi tng trc tip ca hng t R/ (q1 ) R/ (q ) R/ (q r ) ú q1, q2, , qr l cỏc phn t ca R v q1/q2, q2/q3, , qr-1/qr Dóy cỏc ideal (q1), (q2), , (qr) c xỏc nh mt cỏch nht bi cỏc iu kin trờn Chng minh p dng nh lớ 3.4.3.5 ta phõn tớch E thnh tng trc tip ca cỏc p mụun con, chng hn E(p1) E(p2) E(pk) (k 2) ri sau ú phõn tớch E(pi) (i = r 1,k ) thnh tng trc tip ca cỏc mụun xyclic cú chu kỡ piij (i, j = 1,k ) Mt cỏch hỡnh thc ta biu th iu ú bi biu sau: E(p1): r11 r12 E(p2): r21 r22 Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -53- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga E(pk): rk1 rk2 Gi thit rng cỏc dũng ngang cú cựng di, ngoi ớt nht mt chỳng gm cỏc phn t u mt s dũng no ú cú th cú nhng m rij = Cỏc dũng ú ta ó b cỏc phn t khụng, s mụ t kiu ca mụun i vi cỏc phn t nguyờn t vit bờn trỏi Cỏc m rij nm theo th t tng dn i c nh, i = 1,k Gi s q1, q2, , qr tng ng vi cỏc ct ca ma trn m, núi khỏc i ta t: q1 = p1r11 p 2r21 p krk1 q = p1r12 p 2r22 p krk q r = p1r1r p 2r2 r p rkkr Tng trc tip cỏc mụun xyclic biu din bi ct th nht ng cu vi R/(q 1) vỡ tng trc tip cỏc mụun xyclic m chu kỡ nguyờn t vi cng l mt mụun xyclic Chỳ ý tng t cng ỳng i vi mi ct Ngoi ra, qi Mqi-1 , i = 2,k Bõy gi ta i chng minh tớnh nht Gi s p l mt phn t nguyờn t tựy ý Gi thit rng E = R/(pb) , b R, b Khi ú Ep l mụun ca bR/(pb), iu ú suy t s phõn tớch nht thnh nhõn t R Nhng ht nhõn ca phộp hp thnh ca ỏnh x R bR bR/(pb) chớnh l (p) Nh vy, ta cú ng cu R/(p) bR/(pb) Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -54- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Gi s mụun E c biu din thnh tng trc tip ca r hng t nh ó núi nh lớ Phn t v = (v1) (v2) (vr) , vi R/(qi), v Ep v ch pvi = 0, i = 1,r Do ú Ep l tng trc tip ca cỏc ht nhõn phộp nhõn vi p mi hng t Nhng Ep l mt khụng gian vộct trờn R/(p) v nh vy s chiu ca nú bng s cỏc hng t R/(qi) m p M(q i ) Gi thit rng p l mt phn t nguyờn t chia ht q qi Mp, i = 1,r Gi s E cú s phõn tớch thnh tng trc tip ca s hng t tha iu kin ca nh lớ, chng hn E = R/(q1) R/(q2) R/(qs) Khi ú phn t p phi chia ht ớt nht r phn t qj nờn r s Do tớnh i xng, r = s v chia ht qj, j Ta xột cỏc mụun pE Ta vit qi = pbi Khi ú : pE R/(b1) R/(b2) R/(br), bi/bi+1, i = 1,r-1 Mt s cỏc bi phi l c ca n v, nhng theo quy np nhng phn t khụng phi l c ca n v s xỏc nh mt cỏch nht ideal chớnh ca mỡnh Do ú nu (b1) = (b2) = = (bj) = nhng (bj+1) thỡ dóy cỏc ideal (bj+1), , (br) c xỏc nh mt cỏch nht Nh vy nh lớ c chng minh B 3: Gi s Lsa l tt c cỏc dng thay phiờn s tuyn tớnh trờn F, J s l cỏc s ideal ca R sinh bi tt c cỏc phn t f(y1, , ys) ú f La v y1, y2, , ys M Khi ú Js = (a1, , as) Chng minh Trc ht ta chng minh Js (a1, , as) Tht vyL y M cú th vit di dng: Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -55- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga y = c1a1e1 + c2a2e2 + + crarer ú nu y1, , ys M v f l mt dng thay phiờn a tuyn tớnh trờn F, thỡ phn t f(J1, J2, , Js) bng tng cỏc hng t dng: ci1 ci2 cis a i1 a i2 a is f(ei1 ,ei2 , ,eis ) mt hng t nh trờn ch khỏc v ch ei1 , ei2 , , eis khỏc m trng hp ú nú chia ht cho a1a2 as Do ú trng hp Js (a1, a2, , as) Ngc li, ta chng minh tn ti dng thay phiờn s tuyn tớnh cho ỳng tớnh cht Ta cú F = (e1, e2, , er) Fr i vi mt mụun Fr no ú Gi s fi: F R, (i = 1,r ) l ỏnh x tuyn tớnh, m fi(ei) = ij, ngoi fi nhn giỏ tr trờn Fr i vi v1, v2, , vộct F t f(v1, , vs) = det(fi(vj)) , i, j = 1,s Khi ú f l mt dng a tuyn tớnh thay phiờn nhn giỏ tr f(e 1, e2, , es) = v f(a1e1, a2e2, ,ases) = a1a2 as B c chng minh xong 3.4.3.6 nh lớ Gi s F l mt mụun t trờn R v M l mt mụun hu hn sinh khỏc khụng ca nú Khi ú tn ti c s B ca mụun F, cỏc phn t ca c s ú e1, e2, , er v cỏc phn t khỏc khụng a1, a2, , ar R cho: i) Cỏc phn t a1e1, a2e2, , arer lp thnh c s ca M trờn R ii) | ai+1 , i = 1,r-1 Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -56- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Dóy cỏc ideal (a1), (a2), , (ar) xỏc nh mt cỏch nht bi cỏc iu kin trờn Chng minh i) Gi s HomB(F, R) vi HomB(F, R) = {f: F R l cỏc B ng cu} t J = (M) thỡ J l mt ideal ca R Chn cho ideal 1(M) ti i cỏc ideal {J} Gi s 1(M) = (a1) a1 Tht vy: Trong M cú phn t 0, biu din phn t ú qua mt c s no ú ca F trờn R phi cú ta ly hỡnh chiu lờn ta ú ta c phim hm m giỏ tr trờn M Gi s x1 M cho 1(x1) =a1 Vi phim hm g tựy ý ta phi cú g(x1) (a1) (suy t tớnh ti i ca 1(M)) Biu th x1 qua mt c s tựy ý ca F ta thy tt c cỏc h t ca nú phi chia ht cho a1 (nu cú h t no ú khụng chia ht cho a1 thỡ ta chiu lờn h t ú v thu c phim hm khụng tn ti) Vỡ vy x = a1e1 , e1 F Bõy gi ta chng minh F = Re1 ker1 Vỡ 1(e1) = nờn Re1 ker1 = (*) Ngoi ra, x F, x - 1(x)e1 ker1 (**) T (*), (**) F = Re1 ker1 Ta cú ker1 l mụun t vỡ nú l mụun ca mt mụun t t F1 = ker1 v M1 = M ker1 Khi ú M = Rx1 M1 Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -57- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Vy M1 l mụun ca F1, ngoi s chiu ca nú nh hn s chiu ca M mt n v i) c chng minh ii) Tớnh nht ca dóy cỏc ideal (a1), (a2), , (ar) c xỏc nh nh lớ 3.4.3.6 l hin nhiờn Vỡ cỏc ideal (a1) xỏc nh nht, ideal (a1a2) cng xỏc nh nht v ú thng ca chỳng l (a2) cng xỏc nh nht Tip tc quỏ trỡnh trờn thỡ dóy cỏc ideal (a 1), (a2), , (ar) c xỏc nh nht. iu phi chng minh Bi Bi 1: Chng minh rng M l mt R mụun hu hn sinh v ch M l mt R* = R/Ann(M) mụun hu hn sinh Gii: Ta thy M l mt R mụun hu hn sinh v c sinh bi {x 1, x2, ,xn} n v ch khi, x M, i (i = 1,n ) cho x = i x i = i=1 n x i i i=1 tc l, v ch M l R* = R/Ann(M) mụun hu hn sinh v c sinh bi {x1, x2, ,xn} Chỳ ý: Linh t ca phn t x M l ideal sau õy ca vnh R Ann(x) = AnnR(x) = {a R : ax = 0, x M} Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -58- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Ann(M) l mt ideal phớa ca vnh R M tha nhn mt cu trỳc R/Ann(M) mụun vi phộp nhõn vụ hng c nh ngha nh sau: (a + Ann(M))x = ax vi a R, x M Bi 2: Chng minh rng  - mụun Ô cỏc s hu t khụng l hu hn sinh Gii: Gi s  - mụun Ô l hu hn sinh v c sinh bi S = {x1, x2, , xn} Khi ú x1 cú th biu din di dng tng hu hn x1 = 1x1 + i x i , i  (i = 1, n ) i i x i àx = i x i vi = - x1 = 21x1 + 1 i i Gi s x1 = 1x1 + i x i , i  (i = 1, n } Khi ú i à i x i = x1 = à1x1 + i x + x i i i i i i = (2 i i + i )x i = x i i i ú i = 2i1 + ài (i = 2, ,n) iu ny chng t S\{x1} cng l h sinh ca Ô Tip tc quỏ trỡnh ny sau n -1 bc ta c {xn} l h sinh ca Ô Vụ lớ, vỡ h nh vy khụng th sinh Ô Vy  - mụun Ô l khụng hu hn sinh Bi 3: Cho M l R mụun, N l mụun ca M, M/N v N l cỏc R mụun hu hn sinh Chng minh rng M l R mụun hu hn sinh Gii Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -59- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Do N l hu hn sinh nờn x1, x2, , xn N tha Ni = Rxi , i = 1, n N = N1 + + Nn = Rx1 + + Rxn Tng t, M/N l R mụun hu hn sinh nờn xn+1, , xm M M/N = R x n+1 + + R x m , x i = x i + N Ta cú a M thỡ a M/N, rn+1, , rm R cho : a = rn+1 x n+1 + + rm x m = rn+1x n+1 + + rm x m Suy a (rn+1xn+1 + + rmxm) N Do ú b N, gi s b = r1x1 + + rnxn a (rn+1xn+1 + + rmxm) = r1x1 + + rnxn hay a = r1x1 + + rnxn + rn+1xn+1 + + rmxm a Rx1 + + Rxm Khi ú M Rx1 + + Rxm Ngc li Rx1 + + Rxm M (hin nhiờn) Vy M = Rx1 + + Rxm hay M l hu hn sinh Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -60- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga KT LUN Mụun hu hn sinh trờn vnh giao hoỏn l khỏi nim quan trng ca i s hin i Cỏc tớnh cht ca mụun hu hn sinh nh B Nakayama cú nhiu ng dng v c s dng nh cụng c c lc vic nghiờn cu cỏc lp mụun c bit khỏc Do hn ch v mt thi gian cng nh nng lc bn thõn cũn thiu xút m cỏc liờn quan nh dóy khp, mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh, cha c cp n khúa lun Hi vng õy l nhng cỏc bn sinh yờu thớch i s tip tc quan tõm sau ny Vi thi gian chun b cha nhiu v bc u lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc nờn khúa lun khụng trỏnh thiu xút Em rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy, cụ giỏo cng nh ca cỏc bn sinh viờn khúa lun hon thin hn Em xin chõn thnh cm n cụ giỏo Th.s Nguyn Th Kiu Nga ó ch bo hng dn ch bo tn tỡnh v to mi iu kin thun li em hon thnh khúa lun Em xin chõn thnh cm n! Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -61- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga TI LIU THAM KHO Nguyn T Cng, Giỏo trỡnh i s hin i, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, [2007] Nguyn Hu Vit Hng, i s i cng, Nh xut bn giỏo dc, [1998] Nguyn Tin Quang Nguyn Duy Thun, C s lớ thuyt Mụun v vnh, Nh xut bn giỏo dc, [2001] Dng Quc Vit, Mt s cu trỳc hin c bn ca i s hin i, Nh xut bn i hc s phm, [2006] Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -62- Khóa luận tốt nghiệp Lê Thị Thu Hiền K34B Toán GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga -63- [...]... ca f CHNG II: MễUN T DO 2.1 Mụun sinh bi mt tp, tp sinh Tp c lp tuyn tớnh, ph thuc tuyn tớnh C s ca mụun 2.1.1 Mụun sinh bi mt tp, tp sinh Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -20- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga nh ngha: Gi s M l R mụun, S M Giao ca tt c cỏc mụun con ca M cha S c gi l mụun con ca M sinh bi tp S, kớ hiu l S Ta núi S l tp sinh ca S, hay S sinh ra S, S chớnh l mụun con nh... con xon ca mụun E Nu Et = 0 thỡ ta núi E l mụun khụng xon 3.2 Mụun hu hn sinh 3.2.1 nh ngha: Gi s S l tp sinh ca M Nu S hu hn ta núi rng M l R mụun hu hn sinh Núi cỏch khỏc, M l hu hn sinh nu cú cỏc phn t s 1,,sn M sao cho M = Rs1 ++ Rsn Nu M = (a) thỡ M c gi l R mụun xiclic Nu M l R mụun hu hn sinh v X = { x 1,.,xn } l tp sinh ca M n Khi ú M = { x / i R, xi X} i i i=1 Ni ) Cho M l R mụun,... chiu hu hn u l mụun hu hn sinh Trng hp c bit, mụun xiclic l mụun hu hn sinh 3.2.2 iu kin tng ng vi mụun hu hn sinh Mnh : R mụun M hu hn sinh khi v ch khi i vi mi tp {A i / iI} cỏc mụun con ca M, tha món: M = hn Io I sao cho M = A Io i A I i , u tn ti mt tp con hu Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -35- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Chng minh : () Gi s M l hu hn sinh, M = Ru1 + Ru2 ++... x biu th tuyn tớnh qua cỏc phn t ca S Nhn xột: +) x biu th tuyn tớnh qua cỏc phn t ca S l duy nht +) S l mt tp sinh ca M khi v ch khi mi phn t ca M u biu th tuyn tớnh qua cỏc phn t ca S 2.1.2.2 Tp sinh cc tiu: Tp sinh S ca mụun M c gi l cc tiu nu mi tp con thc s ca nú u khụng phi l mt tp sinh ca M 2.1.2.3 Tp c lp tuyn tớnh: Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -21- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị... {x} Gi s M = Ry, y M Chng minh rng {y} cng l mt c s ca M b) Cho R l vnh giao hoỏn v M l R mụun t do vi c s l {x 1, x2} Gi s {r1x1, r2x2} l mt h sinh ca M, r1, r2 R Chng minh rng {r1x1, r2x2}cng l mt c s ca M Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -32- Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga Gii: a)T M = Ry ta suy ra {y} l mt h sinh ca M Gi s {y} ph thuc tuyn tớnh Khi ú tn ti a 0 sao cho ay = 0 (a... mụun con ca M, c gi l mụun con xiclic sinh bi phn t m Vớ d 4: M l nhúm Abel cng, M xem nh mt  - mụun thỡ cỏc mụun con ca M chớnh l cỏc nhúm ca M Vớ d 5: Nu vnh R c xem nh l R mụun, N l ideal trỏi R, khi ú N l mụun con ca R 1.3.4 Tớnh cht: Tớnh cht 1: Giao ca mt h bt kỡ nhng mụun con ca R mụun M l mụun con ca M Tớnh cht 2: Cho M l R mụun S l tp con ca R mụun M Giao ca tt c cỏc mụun con ca M cha S... nht : F Y Khi ú F l mụun t do vi c s U Chng minh : U l h sinh ca F Tht vy : Gi X l mụun con ca F sinh ra bi U, X = U.Khi ú : U X u i a ui l n cu chớnh tc c m rng duy nht thnh ng cu g : F X Xột n cu chớnh tc h : X F x a x Khi ú = hg : F F l m rng ca Mt khỏc idF : F F l m rng ca hf = idF nờn h l ton cu T ú h(X) = X = F, tc l U l h sinh ca F U c lp tuyn tớnh Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -28-... mụun t do trờn R sinh ra bi mt phn t khỏc 0 ng cu vi R Gii: Gi s M l R mụun t do v M = m= Rm (hin nhiờn m 0 vỡ nu m = 0 thỡ M = {0}) Xột ỏnh x f: R M r a rm D thy f l ng cu vỡ: Imf = {f(r) = rm / rm R} = Rm = M nờn f l ton cu Kerf = {r R / f(r) = rm = 0} Vỡ M = m, m l c s ca mụun t do M nờn suy ra {m} l c lp tuyn tớnh Do ú Kerf = {0} suy ra f l n cu Vy f l ng cu Bi 3 a)Cho R l vnh giao hoỏn v M l... (vụ lớ) Nu n 0, m 0 nờn t (1) suy ra = m suy ra {, } ph thuc tuyn tớnh n Do ú nu trong Ô cú mt c s thỡ c s l tp hp cú mt phn t Nhng tp hp cú mt phn t {} khụng sinh ra Ô Suy ra Ô khụng l  - mụun t do Vớ d 6 Vnh a thc A[x] trờn vnh giao hoỏn A l mt A mụun t do vi c s {1, x, x2, x3, } 2.3 Cỏc iu kin tng ng 2.3.1 Mnh : Cho M l R mụun M l mụun t do vi c s U khi v ch khi cỏc m phn t x ca M biu... mt tp con ca M Ta núi rng X l mt c s ca M nu X sinh ra M v X c lp tuyn tớnh Nhn xột: Nu X , l c s ca M thỡ x M, x c biu din duy nht di dng: x = x iJ I i i , xi X, i R, I hu hn Ngc li, nu X , X M , x M c biu th duy nht di dng: x= x , xi X, i R, I hu hn thỡ X l c s ca M Tht vy: iJ I i i Lê Thị Thu Hiền K34B Toán -22- Khóa luận tốt nghiệp X sinh ra M v x iJ I i GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều