Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0.
3.4.1 Định lí 1 (Định lí Hamilton – Cayley mở rộng).
Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán R. Giả sử M có một hệ sinh gồm n – phần tử; I là một iđeal của R và Φ là một tự đồng cấu R – môđun của M sao cho Φ(M) ⊆ IM. Thế thì tồn tại các ai∈ Ii với i = 1, n để Φn + a1
n-1
Φ + ... + an = 0 là một tự đồng cấu không của M.
Chứng minh:
Nhận xét rằng, với a ∈ R ta có một tự đồng cấu của M a: M → M gọi là đồng cấu nhân.
x a ax
Như vậy vành cơ sở R cũng được xem như một vành các đồng cấu nhân của M. Giả sử Φ là một tự đồng cấu bất kì của M, ta xét tập
R[Φ] = {amΦm+ am-1Φm-1+ ... + a1Φ+ ao / ai∈ R}.
Khi đó R[Φ] lập thành một vành giao hoán có đơn vị, với các phần tử của nó đều là các tự đồng cấu của M.
Bây giờ với f ∈ R[Φ] và x ∈ M ta hiểu f.x = f(x). Với phép nhân mới này, M trở thành R[Φ] – môđun.
Nếu M là môđun 0 thì Φ là đồng cấu 0 và định lí được chứng minh.. Giả sử M là môđun khác 0.
Giả sử {x1,…..,xn} là một hệ sinh của M. Do n i ij j j=1 (x ) = a x Φ ∑ với 1 ≤i ≤ n và aij ∈ I. Viết tường minh là:
1 11 1 12 2 1n n (x ) = a x + a x + ...+ a x Φ Φ(x ) = a x + a x + ...+ a x2 21 1 22 2 2n n ... Φ(x ) = a x + a x + ...+ a xn n1 1 n 2 2 nn n. trong đó aij∈ I, i = 1, n, j = 1, n. Hệ này quy về dạng ma trận: 11 12 1n 21 22 2n n1 n 2 nn a - a ... a a a - ... a ... a a ... a - Φ Φ Φ 1 2 n x x ... x = 0. Đặt B = 11 12 1n 21 22 2n n1 n 2 nn a - a ... a a a - ... a ... a a ... a - Φ Φ Φ
Gọi [Bij] là ma trận phụ đại số của B, tức là phần tử Bij của ma trận này là phần bù đại số ở dòng i cột j của ma trận B. Khi đó ta có: [Bij]c B = det(B).E, với [Bij]c
là ma trận chuyển vị của ma trận [Bij]. Từ đó suy ra det(B)E 1 2 n x x ... x = 0, hay 1 2 n det(B) x = 0 det(B) x = 0 ... det(B) x = 0
Lại do {x1,...,xn} là hệ sinh của M nên từ hệ này ta có det(B) là một đồng cấu 0. Khai triển det(B) ta được:
n n-1
1 n
+ a +...+ a = 0
Φ Φ , với các ai∈ Ii với i = 1, n.
Hệ quả 1:
Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán R và cho I là một ideal của R thỏa mãn IM = M. Khi đó tồn tại a ≡ 1(mod I) làm cho aM = 0.
Chứng minh:
Áp dụng định lý Hamilton – Cayley mở rộng bằng cách lấy Φ là tự đồng cấu đồng nhất. Rõ ràng Φ(M) = M =IM ⊆ IM. Do đó Φ thỏa mãn một phương trình dạng:
n n-1
1 n
+ a +...+ a = 0
Φ Φ , với các ai∈ Ii với i = 1, n.
Giả sử {x1, .... ,xn} là một hệ sinh của M, với mỗi xi ta có: 0 = n n-1 1 n-1 n i (Φ + a Φ + ...a Φ+ a )(x ) = n n-1 i 1 i n-1 i n i (x ) + a (x ) +...a (x ) + a (x ) Φ Φ Φ = xi + a1xi + ... + an-1xi + ... + anxi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= (1 + a1 + ... + an)xi .
Như vậy tồn tại a = (1 + a1 + ... + an) hay a = 1(mod I) sao cho với mỗi xi ta có axi = 0 tức aM = 0.
Định nghĩa:
Căn Jacobson J(R) của một vành giao hoán R là giao của tất cả các ideal cực đại của R.
Bổ đề:
Cho R là một vành giao hoán. Khi đó căn Jacobson của vành R là: J(R) = {x ∈ R/ 1 –xy là khả nghịch với mọi y ∈ R}
Chứng minh:
Giả sử x ∈ J(R) và 1 – xy không khả nghịch ⇒ x ∈ m, với mọi ideal cực đại m.
⇒ (1 – xy) ≠ R ⇒ (1 – xy) ⊂ m ⇒ 1 = xy + (1 – xy) ∈ m. Vô lí. Vậy 1 – xy là khả nghịch.
Ngược lại, giả sử 1 – xy là khả nghịch với mọi y ∈ R và x ∉ m, với mọi ideal cực đại m.
Do x ∉ m nên (x) + m = R ⇒ tồn tại y ∈ R, z ∈ m sao cho 1 = yx + z ⇒ z = 1 – xy khả nghịch và z ∈ m ⇒ 1 ∈ m. Vô lí. Suy ra x ∈ m, với mọi ideal cực đại m. Vậy x ∈ J(R).
Bổ đề được chứng minh.
Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành giao hoán R và I là một ideal của R chứa trong căn Jacobson J(R) của R. Thế thì từ IM = M sẽ kéo theo M = 0.
Chứng minh:
Áp dụng hệ quả 1, cùng giả thiết IM = M ta có xM = 0 với x = 1(mod I) hay x – 1 ∈ I. Do I ⊂ J(R) nên x – 1 ∈ J(R) (*).
Quay trở lại hệ quả 2, từ (*) kết hợp với bổ đề suy ra x = 1 – (x – 1)(- 1) là một phần tử khả nghịch trong R. Lại do xM = 0, nên: M = x-1xM = 0.
Hệ quả 3:
Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành giao hoán R, N là một môđun con của M và ideal I ⊆ J(R). Thế thì M = IM + N kéo theo M = N.
Chứng minh:
Xét môđun thương MN là một R – môđun hữu hạn sinh.
Theo giả thiết ta có MN=(IM+ N)N. Điều này có nghĩa là I( )M =M
N N. Áp dụng Bổ đề Nakayama ta có MN = 0, do đó M = N.
3.4.2 Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương.
3.4.2.1 Định nghĩa 1:
Vành giao hoán có đơn vị R được gọi là một vành địa phương nếu tập tất cả những phần tử không khả nghịch của R tạo thành một ideal của R.
3.4.2.2 Ví dụ.
ii) Tập các phân số hữu tỉ tối giản có mẫu số là số lẻ là một vành địa phương.
3.4.2.3 Định lí 1.
Vành R là một vành địa phương khi và chỉ khi R có duy nhất một ideal cực đại.
Chứng minh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu R có duy nhất một ideal cực đại m thì m là tập hợp của mọi phần tử không khả nghich của R. Thật vậy:
Nếu tồn tại a ∈ R không khả nghịch mà a ∉ m, thì tồn tại một ideal cực đại m’ của R để a ∈ m’, suy ra m ≠ m’. Điều này trái với giả thiết m là ideal cực đại duy nhất của R.
Vậy R là một vành địa phương.
Ngược lại, giả sử R là một vành địa phương với m là ideal bao gồm tất cả các phần tử không khả nghịch của R. Dễ thấy rằng m ≠ R. Gọi m’ là một ideal cực đại của R. Khi đó vì mọi phần tử thuộc m’ đều không khả nghịch nên m’ ∈ m. Vậy m’ = m. Điều này chứng tỏ R chỉ có duy nhất một ideal cực đại.
Nhận xét:
Ta kí hiệu vành địa phương R với ideal cực đại duy nhất m là (R, m).
Ví dụ
Vì với mỗi số nguyên tố p ta có ideal p¢là ideal cực đại trong ¢ nên ¢ có vô số các ideal cực đại và do đó nó không phải là một vành địa phương.
Chú ý: Cho một vành địa phương (R, m) và M là một R – môđun. Khi đó k =
R
véctơ. Khi M là một R – môđun hữu hạn sinh thì MmM là một k – không gian véctơ hữu hạn chiều.
3.4.2.4 Định lí 2: Cho (R, m) là một vành địa phương và M là một R –
môđun hữu hạn sinh. S là một hệ sinh cực tiểu của M khi và chỉ khi S* là ảnh của S trong M* = MmM là một cơ sở của k = Am - không gian véctơ M*.
Chứng minh:
S* là cơ sở của M* khi và chỉ khi S* là hệ sinh cực tiểu của M* và vì vậy S phải là hệ sinh cực tiểu của M. Bây giờ giả sử S là một hệ sinh cực tiểu của M, khi đó S* là một hệ sinh của M*. Nếu S* không cực tiểu, thì sẽ tồn tại một tập con thực sự X của S để X* là một hệ sinh cực tiểu của M*. Lúc này ta có RX + mM = M. Do vành R là vành địa phương, nên m chính là J(R) căn Jacobson của R. Theo hệ quả 3 của phần 1, thì RX = M và do đó X cũng là một hệ sinh của M. Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của S. Vậy điều giả sử là sai.
Định lí được chứng minh.
3.4.2.5 Định lí 3: Các hệ sinh cực tiểu của môđun hữu hạn sinh trên một
vành địa phương có cùng một số phần tử.
Chứng minh:
Từ định lí 1 (định lí 3.4.2.3) ta suy ra số phần tử sinh cực tiểu của M đúng bằng số chiều của k – không gian véctơ M*. Định lí được chứng minh.
3.4.3 Môđun trên vành các ideal chính.
Trong phần này, ta giả thiết R là vành chính. Mỗi môđun và đồng cấu xét ở đây (nếu không nói gì thêm) đều là các môđun trên R và các R – đồng cấu.
3.4.3.1 Định lý 1: Giả sử F là một môđun tự do và M là một môđun con nàm đó của nó. Khi đó M là môđun tự do và số chiều của nó nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của F.
Chứng minh
Để cho đơn giản ta chứng minh trường hợp F có cơ sở hữu hạn {xi}, i = 1, …,n.
Giả sử Mr là giao của M với môđun (x1, …,xn) là môđun sinh bởi các phần tử x1, …,xn.
Khi đó M1 = M ∩ (x1) là môđun con của (x1) và vì vậy có dạng (a1x1) đối với phần tử a1∈ R bất kì. Do đó hoặc M1 = 0 hoặc M1 là môđun tự do 1 chiều.
Giả thiết theo quy nạp rằng Mr là môđun tự do có số chiều ≤ r.
Giả sử A là tập gồm tất cả các phần tử a ∈ R sao cho tồn tại phần tử x ∈ M viết dưới dạng:
x = b1x1 + … + brxr + axr+1 trong đó bi ∈ R. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khi đó A là một ideal và do đó A là một ideal chính sinh bởi một phần tử ar+1 nào đó.
Nếu ar+1 = 0 thì Mr+1 = Mr và bước quy nạp đã xong.
Nếu ar+1≠ 0 thì giả sử phần tử w ∈ Mr+1 sao cho hệ tử của nó theo xr+1 = ar+1. Nếu phần tử x ∈ Mr+1 thì hệ tử của nó theo xr+1 chia hết cho ar+1 nên tồn tại phần tử c ∈ R sao cho x – cw ∈ Mr.
Do đó : M = Mr + (w)
Mặt khác, Mr ∩ (w) = 0 và như vậy M = Mr ⊕ (w). Định lí được chứng minh.
3.4.3.2 Hệ quả: Mọi môđun con E’ của một môđun hữu hạn sinh E là một môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh:
Ta có thể biểu diễn E như môđun thương của một môđun tự do hữu hạn sinh. Nếu v1, …, vn là các phần tử sinh của E thì ta lấy môđun tự do F với cơ sở {x1, …, xn} và ánh xạ biến xi thành vi. Nghịch ảnh của E’ trong F là một môđun tự do hữu hạn sinh (theo định lí 3.4.3.1).
Do đó E’ là một môđun hữu hạn sinh.
Bổ đề 1: Giả sử E, E’ là các môđun, trong đó E’ là môđun tự do.
Giả sử f: E → E’ là toàn cấu. Khi đó tồn tại môđun tự do F của E mà fF cảm sinh một đẳng cấu từ F lên E’ sao cho E = F ⊕ kerf.
Chứng minh
Giả sử {x’i}i∈I là cơ sở của môđun E’. Kí hiệu xi , i ∈ I là phần tử ∈ E mà f(xi) = x’
i. Giả sử F là môđun con của E sinh bởi các phần tử xi, i ∈ I. Khi đó ta có {xi}i∈I, độc lập tuyến tính ⇒ F là môđun tự do.
Với x ∈ E, ∃ ai ∈ R sao cho f(x) = a xi i'
i I∈
∑ . Khi đó x - a xi i'
i I∈
∑ ⊂ kerf. ⇒ E = kerf + F.
Mặt khác, kerf ∩ F = 0 nên E = kerf ⊕ F.
Giả sử E là môđun hữu hạn sinh. Khi đó E/Et là môđun tự do. Tồn tại môđun con tự do F của E sao cho E = Et⊕ F. Số chiều của môđun con đó được xác định một cách duy nhất.
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh rằng môđun E/Et không xoắn. Kí hiệu x = x + Et , x ∈ E.
Giả sử phần tử b ∈ R, b ≠ 0 sao cho bx = bx + Et = 0 = Et. Khi đó bx ∈ Et nghĩa là ∃ c ∈ R, c ≠ 0 sao cho cbx = 0. Do đó x ∈ Et và x = 0 ⇒ E/Et không xoắn. Mặt khác, môđun E/Et hữu hạn sinh.
Bây giờ giả thiết rằng M là môđun hữu hạn sinh không xoắn. Giả sử {v1, …, vn} là tập tối đại các phần tử ∈ M trong tập hữu hạn các phần tử sinh đã cho {y1, …, yn} sao cho tập {v1, …, vn} độc lập tuyến tính.
Nếu y là một trong các phần tử sinh thì tìm được các phần tử a, b1, …, bn∈ R không bằng 0 tất cả, sao cho ay + b1v1 + … + bnvn = 0.
Khi đó a ≠ 0 (nếu không thì >< với tínhđộc lập tuyến tính của {v1, …, vn}) Do đó ay nằm trong {v1, …, vn}.
Vậy với mỗi j = 1, ..., m ta tìm được phần tử aj ∈ R, aj ≠ 0 sao cho ajyj nằm trong {v1, ..., vn}.
Giả sử a = a1....am ta có aM ⊂ {v1, …, vn} và a ≠ 0.
Ánh xạ x a ax là đơn cấu mà ảnh được chứa trong một môđun tự do. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Theo định lí 3.4.3.1 thì ảnh của ánh xạ này là một môđun tự do. Hơn nữa ảnh của ánh xạ này đẳng cấu với M nên M là môđun tự do.
Số chiều của F được xác định một cách duy nhất vì đối với mọi sự phân tích tùy ý của E ta đều có môđun F đẳng cấu với E/F.
3.4.3.4 Một số khái niệm.
- Số chiều của môđun tự do F trong định lí 3.4.3.3 được gọi là hạng của môđun E.
- Giả sử E là một môđun trên R, x ∈ E. Ánh xạ a a ax là đồng cấu từ R lên môđun sinh bởi x và hạt nhân của đồng cấu đó là một ideal cính sinh bởi một phần tử m ∈ R bất kì. Ta gọi m là chu kì của phần tử x.
- Phần tử c ∈ R, c ≠ 0 được gọi là mũ của môđun E (tương ứng của phần tử x) nếu cE = 0 (tương ứng cx = 0).
- Giả sử p là một phần tử nguyên tố, p ∈ R. Kí hiệu E(p) là môđun con của E gồm tất cả các phần tử x có mũ dạng pr (r ≥ 1). Môđun con chứa trong E(p) được gọi là p – môđun con của E.
- Giả sử m ∈ R, m ≠ 0. Kí hiệu Em là hạt nhân của ánh xạ x a mx. Nó gồm tất cả các phần tử ∈ R – môđun E có mũ m.
- Cho E là R – môđun. E là R – môđun xyclic nếu nó đẳng cấu với môđun thương R/(a) đối với phần tử a ∈ R.
- Giả sử r1, r2, ..., rs∈ ¥*. Môđun kiểu (p , p , ..., p )r1 r2 rs là p – môđun E đẳng cấu với tích trực tiếp của các môđun xyclic R/(pri) (i = 1, ..., s). Nếu phần tử nguyên tố p đã chọn cố định thì có thể nói môđun có kiểu (r1, ..., rs) (đối với p).
Bổ đề 2: Giả sử E là một môđun tuần hoàn có mũ pr (r ≥ 1) trong đó p là một
và y , ..., y1 m là các phần tử độc lập ∈ E. Với mọi i, tồn tại đại diện yi ∈ E của lớp yicác phần tử x, y1, ..., ym độc lập.
Chứng minh
Giả sử phần tử y∈ Ecó chu kì pn (n ≥ 1) nào đó và y là đại diện của lớp y
trong E. Khi đó, pny ∈ (x1) và do đó pny = pscx1, c ∈ R, p Mc, s ≤ r. Nếu s = r thì y cùng chu kì với y.
Nếu s < r thì pscx1 có chu kì pr-s và do đó y có chu kì là pn-r+s. Ta có n + r – s ≤ r (vì pr là mũ của E).
Vậy s ≥ n và y – ps-ncx1 là đại diện của y có chu kì = pn.
Giả sử yi là đại diện của yi có cùng chu kì với yi . Ta chứng minh rằng các phần tử y1, ..., ym, x1 là độc lập.
Giả sử a1, ..., am, a ∈ R sao cho ax1 + a1y1 + ... + amym = 0. Khi đó