môđun hữu hạn sinh trên vành chính

1 Mục lục Trang Mở đầu .2 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vµnh chÝnh 1.2 Môđun xoắn 1.3 Linh hãa tö môđun 1.4 TÝch trùc tiÕp, tæng trùc tiÕp 1.5 D·y khíp 1.6 Môđun hữu h¹n sinh 1.7 Môđun tự 1.8 Môđun nội xạ 1.9 Nguyªn lý Zermelo .7 1.10 Nguyên lý quy nạp siêu hạn 1.11 Sự phân tích môđun chơng môđun vành 2.1 Môđun tự vành .8 2.2 Môđun hữu hạn sinh vành 12 KÕt luËn 22 Tài liệu 23 tham khảo Mở đầu Môđun vành đề tài đà đợc nghiên cứu nhiều từ trớc đến Có thể thấy cấu trúc môđun xuất hầu hết lý thuyết toán học đại, có khả thống cách chất với cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben, không gian véctơvà có khả linh hoạt tơng đối lớn Ta thấy môđun nhng gắn với lớp vành sở khác th× cÊu tróc cđa nã cã nhiỊu sù thay đổi Trong khóa luận tốt nghiệp này, sở kiến thức lý thuyết môđun đà đợc học tìm hiểu tài liệu, trình bày số vấn đề lý thuyết môđun vành Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận đợc chia làm hai chơng Chơng Kiến thức chuẩn bị: Trình bày (không chứng minh) kiến thức sở lý thuyết môđun có liên quan đến kết chứng minh Chơng Chơng Môđun vành chính: Trình bày số tính chất môđun vành chính, cụ thể môđun tự môđun hữu hạn sinh vành Đồng thời phân tích số môđun vành Khóa luận đợc thực trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình, chu đáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả trình hoàn thành khóa luận Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy giáo, cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ Đại số đà nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Xin cảm ơn tập thể 47 B Toán đà động viên thời gian làm khóa luận Mặc dù đà có nhiều cố gắng nhng trình độ thời gian có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận đợc lời bảo thầy cô giáo góp ý bạn đọc để khóa luận đợc hoàn thiện Vinh, tháng 05 năm 2010 Tác giả CHNG KIN THC CHUN B Trong chơng trình bày (không chứng minh) số khái niệm kết đợc dùng Chơng Trong toàn chơng, vành đợc giả thiết giao hoán có đơn vị 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi vành R l nguyên v mi iđêan R iđêan 1.1.2 Ví dụ Vành số nguyên  vành 1.1.3 Mệnh đề Giả sử phần tử khác 0, không khả nghịch vành R có phân tích tiêu chuÈn α = p1e1 pkek Khi ®ã R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ⊕ R / Rpkek 1.2 Môđun xoắn 1.2.1 Định nghĩa Giả sử R miền nguyên M Rmôđun Một phần tử x M đợc gọi phần tử xoắn tồn phần tö ≠ a ∈ R cho ax = Tập phần tử xoắn M đợc kí hiệu (M) 1.2.2 Mệnh đề Cho R miền nguyên M Rmôđun Khi (M) môđun M 1.2.3 Định nghĩa Giả sử M môđun miền nguyên R Tập (M) phần tử xoắn M đợc gọi môđun xoắn M Nếu (M) = {0M} M đợc gọi môđun không xoắn Nếu (M) = M M đợc gọi môđun xoắn 1.2.4 Mệnh đề Giả sử R miền nguyên M Rmôđun Khi ta có khẳng định sau: (i) (M) R-môđun xoắn (ii) M / (M) R-môđun không xoắn 1.3 Linh hóa tử môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun (i) Với x M, ta kí hiệu Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0} (ii) Linh hãa tử môđun M, kí hiệu Ann(M), tập tất phần tử a R cho ax = víi mäi x ∈ M Ann(M) = {a∈R | ax = 0, ∀x∈M} 1.3.2.NhËn xÐt Ann(x) vµ Ann(M) iđêan vành R 1.4 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 1.4.1 Định nghĩa Cho I tập khác rỗng (M)I họ R-môđun số hóa I Kí hiệu M = I M tích Đềcác (M)I Trên M trang bị phép cộng phép nhân với vô hớng nh sau: ( xα ) α∈I + ( yα ) α∈I = ( xα + yα ) α ∈I a ( xα ) α ∈I = ( axα ) α∈I , , víi mäi a ∈ R vµ mäi ( xα ) α∈I ; ( yα ) α ∈I M Khi hai phép toán vừa xác định làm cho M trở thành R-môđun M đợc gọi tích trực tiếp họ R-môđun (M)I Trong M = I M ta lấy tập I M bao gồm tất phần tử M với thành phần hầu hết, trừ số hữu hạn Khi I M R-môđun đợc gọi tổng trực tiếp họ môđun (M)I 1.4.2 Chú ý (i) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiÖu αΠ∈I M α bëi N I (ii) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiƯu α⊕∈I M α bëi N(I) 1.4.3 MƯnh ®Ị Cho R vành giao hoán, có đơn vị, I J tập khác rỗng, (M)I (N)I họ R-môđun Khi ( ) HomA M α , Π N β ≅ α ∈I β ∈J Π ( α , β ) ∈IxJ HomA ( M , N ) 1.4.4 Định lí Cho R-môđun M N môđun Khi N hạng tử trực tiÕp cđa M th× M / N ≅ F , F môt môđun M 1.5 DÃy khớp 1.5.1 Định nghĩa Một dÃy đồng cấu R-môđun fi f i+1 M i  → M i +1 → M i + đợc gọi dÃy khớp nÕu Im fi = Ker fi+1, víi mäi i Mét d·y khíp cã d¹ng f g  → M N P đợc gọi dÃy khớp ngắn 1.5.2 Định nghĩa DÃy khớp f g  → M  → N P đợc gọi chẻ M Im f = Ker g mét h¹ng tư trùc tiÕp cđa M NÕu mét d·y khớp chẻ môđun không hai đầu mút dÃy ta nói chẻ 1.5.3 Định nghĩa Cho R vành giao hoán có đơn vị Một tập khác rỗng S A đợc gọi tập đóng nhân A S với a, b S ab ∈ S f g 1.5.4 MƯnh ®Ị Cho d·y khớp R-môđun N M L S tập đóng nhân A Khi ta có dÃy khớp S -1Rmôđun sau: s f s g S −1 N  → S −1M S L 1 1.6 Môđun hữu hạn sinh Cho M R-môđun S tập R-môđun M Khi giao tất môđun M chứa S môđun M Môđun đợc gọi môđun M sinh S Nếu môđun sinh S M M ta bảo S hệ sinh M Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M môđun hữu hạn sinh Khi M có hệ sinh gồm phần tử M đợc gọi môđun đơn sinh, hay môđun xyclic 1.7 Môđun tự 1.7.1 Định nghĩa Tập S R-môđun M đợc gọi tập độc lập tuyến tính từ đẳng thức a1x1 + + anxn = víi x1, , xn S đôi khác nhau, ta rút a = = an = NÕu tr¸i lại S đợc gọi tập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M có hệ sinh độc lập tuyến tính đợc gọi môđun tự tập S đợc gọi së cđa M 1.7.2 VÝ dơ (i) Vµnh R môđun tự với sở {1} Tổng quát hơn, với I tập số bất kỳ, R (I) R-môđun tự với sở {ei| i I} ei có thành phần thứ i 1, thành phần lại Cơ sở đợc gọi sở tự nhiên hay sở tắc A(I) (ii) Mỗi không gian vectơ trờng K K-môđun có sở (iii) Vành  tất lớp số nguyên mod  -môđun Tuy nhiên x = víi mäi x ∈ ¢ nên  sở nên không môđun tự (iv) Xét vành R =  Gọi M N lần lợt R-môđun R sinh R Hai môđun không tự R 2.3 = 1.7.3 Định lý Nếu M R-môđun tự với sở S M R(S) 1.7.4 Định lý Một R-môđun hữu hạn sinh đẳng cấu với môđun thơng R n, với n số nguyên dơng 1.7.5 Mệnh đề DÃy khớp R-môđun M N F chẻ F môđun tự 1.7.6 Định nghĩa Cho M môđun tự vành giao hoán có đơn vị R Khi lực lợng sở M đợc gọi hạng R-môđun M kí hiệu r(M) 1.7.7 Mệnh đề Cho R vành giao hoán M, N, P môđun tự vành R Khi có dÃy khớp ngắn Rmôđun N M → P  →0 th× r(M) = r(N) + r(P) 1.8 Môđun nội xạ 1.8.1 Định nghĩa Một R-môđun I đợc gọi nội xạ I đơn cấu : M ' M với đồng cấu : M '  → I cho λµ = θ R-môđun, tồn đồng cấu :M 1.8.2 Mệnh đề Nếu I R-môđun nội xạ M ' M R-môđun ®ång cÊu R-m«®un tõ M’ ®Õn I ®Ịu më réng đợc thành đồng cấu R-môđun từ M đến I 1.8.3 Định nghĩa Một nhóm Aben D đợc gọi chia đợc với d D / 0, tån t¹i c ∈ D cho d = nc 1.8.4 Mệnh đề Một nhóm Aben chia đợc  môđun nội xạ 1.9 Nguyên lý Zermelo Mọi tập hợp thứ tự tốt 1.10 Nguyên lý quy nạp siêu hạn Giả sử (X, ) tập thứ tự tốt tính chất phần tử X thỏa mÃn hai điều kiện sau: (i) Phần tử có tính chất (ii) Nếu y X mà y < x (x X) cã tÝnh chÊt τ th× suy x cịng cã tính chất Khi phần tử X có tính chất 1.11 Sự phân tích môđun Một R-môđun M đợc gọi không phân tích đợc M biểu diễn đợc dới dạng tổng trực tiếp hai R-môđun không tầm thờng chơng môđun vành 2.1 Môđun tự vành Ta biết rằng, vành bất kỳ, môđun môđun tự môđun tự Chẳng hạn, lấy R =  R R-môđun tự Xét M R-môđun R sinh phần tử R M R-môđun tự (xem Ví dụ 1.7.2).Tuy nhiên vành tình hình khác hẳn, môđun môđun tự vành lại môđun tự Ta có định lý sau 2.1 Định lý Giả sử R vành Khi môđun R-môđun tự R-môđun tự Chứng minh Giả sử T môđun tự vành R với sở I Khi T đẳng cấu với R-môđun tự R (I) theo nguyên lý Zermelo ta cã thĨ trang bÞ cho I mét thø tù tèt Bëi vËy, ta lu«n xem T = R(I) víi I tập thứ tự tốt Giả sử M môđun khác môđun không T {ei}iI sở tự nhiên T Kí hiệu Ti môđun sinh {e j}j i đặt Mi = Ti M Xét phÐp chiÕu pi : R ( I )  →R xi ( xi ) iI Với i I ta có pi(Mi) iđêan R Do R vành nên tồn ∈ R ®Ĩ pi(Mi) = Rai LÊy bi ∈ Mi cho pi(bi) 10 = với quy định rằng: nÕu = th× chän bi = Khi ta thu đợc họ {bi}iI Sử dụng nguyên lý quy nạp siêu hạn (xem Mục 1.10), ta chứng tá r»ng hä {bj}j ≤ i sinh Mi víi i I Để làm đợc điều ta chứng minh: a) Nếu i0 phần tử I bi sinh M i 0 Râ rµng < bi > ⊂ M i Mặt khác bi M i suy bi ∈ Ti = < ei >, 0 0 0 tồn a R cho bi = aei 0 Gi¶ sư x ∉ < bi > Khi ®ã víi mäi b ∈ R th× x ≠ b bi = ab ei ∈ Ti nªn x 0 0 ∉ M i , suy M i ⊂ < bi > VËy M i sinh bëi bi 0 0 b) NÕu mäi k ∈ I mµ k < i (iI) ta có Mk đợc sinh {bj}j k Mi đợc sinh {bj}j i Thật vậy, giả sử x Mi, ta cã pi(x) = αai, α ∈ R Do vËy ta nhận đợc: pi(x - bi) = pi(x)- pi(bi) = - = Thành phần thứ i phần tử x - bi nên x - αbi ∈ Mk, víi k < i Theo gi¶ thiÕt b»ng quy n¹p x - αbi ∈ ⊂ , dÉn ®Õn x ∈ , suy Mi ⊂ Do ®ã: Mi = ≤ i VËy Mi = víi mäi i ∈ I TiÕp theo ta sÏ chøng minh hä {bi}i∈I sinh M DÔ thấy với y M, tồn sè tù nhiªn m cho y cã thĨ viÕt đợc dới dạng y = 1ei1 + 2ei2 + + α m eim víi i1 < i2 < < im Do y Ti y ∈ M i ⊂ < { bi } i∈I > VËy M =< { bi } i∈I > m m 13 Tríc hÕt v× Re1 ∩ T1 = {0} nên R1e1 T1 = {0} Mặt khác, víi x ∈ M, th× f1(x) ∈ f1(M) = Rα1, nên f1(x) = với R Ta viết x M dới dạng: x = f1(x) e1 + (x - f1(x) e1) = λα1 e1+ x - λα1 e1 Ta cã λα1e1 ∈ Rα1e1, vµ x ∈ M, u = α1e1 ∈ M nªn x - e1 M Hơn f1(x - λα1e1) = f1(x) - λα1f1(e1) = λα1 - λα1 = nên suy x-1e1 T1 Từ ta có: x - λα1 e1 ∈ M ∩ T1 = M1 Vậy M = R1e1 M1 Bây giả sử g: T R ánh xạ tuyến tính tùy ý, ta cÇn chøng minh r»ng: c) g(M1) ⊆ Rα1 ThËt vậy, giả sử g(M1) R1, ta chọn ánh xạ tuyÕn tÝnh: h: T = Re1 ⊕ T1 R cho trùng với f1 Re1 trùng với g T1, thì: h(M) = h(R1e1 M1) = R1 + g(M1) R1 Điều mâu thuẫn với tính tối đại iđêan R1 Vậy (c) đợc chứng minh Trên ta đà xác định đợc phần tử e1, đồng thời có đợc tổng trực tiếp (a) (b) Bây ta chứng minh định lý quy nạp theo hạng M Giả sử định lý với n -1 Vì T môđun tự do, M môđun T có hạng n - 1, nên theo giả thiết quy nạp, tồn n - phần tử 2, , n R sở B cđa T1 chøa n - phÇn tư e 2, , en cho {α2e2, , αnen} lµ sở 14 M1, đồng thời i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 2, , n-1 Tõ (a) ta cã: {α1e1, α2e2, , nen} sở M từ (b) ta cã B = B ∪ { e1} sở T Để kết thúc ta cÇn chøng minh α1 chia hÕt α2 ThËt vËy, xÐt ánh xạ tuyến tính g: T R cho tập sở B T g(e 2)= vµ g(e) = víi mäi e ∈ B \ {e2} Ta đợc g(M1) = R2 Vậy theo (c) ta cã Rα2 ⊆ Rα1, suy α1 chia hÕt α2 Định lý đợc chứng minh 2.1.3 Mệnh đề Cho R vành giao hoán, có đơn vị iđêan R môđun tự R Khi vành R vành Chứng minh Giả sử I iđêan tùy ý R Víi mäi phÇn tư a, b∈ I, a ≠ 0, b ≠ 0, ta cã ab = ba hay ab - ba = Suy hai phÇn tư khác I phụ thuộc tuyến tính Vì sở I có phần tử Do I iđêan Vậy iđêan vành R iđêan nên để chứng minh R vành ta cần R miền nguyên Thật vậy, lấy a phần tử khác tùy ý R Vì iđêan R- môđun tự nên tập {a} độc lập tuyến tính Tức Ann(a) = Từ suy R ớc Do R miền nguyên Vậy R vành 2.2 Môđun hữu hạn sinh vành Trong mục này, tìm hiểu kết môđun hữu hạn sinh vành Trớc hết ta có định lý sau mà thực chất xem nh hệ Định lý 2.1.1 2.2.1 Định lý Cho M môđun sinh n phần tử vành R Khi môđun M có hệ sinh chứa không n phần tử 15 Chứng minh Giả sử {x1, , xn} hệ sinh M Khi dễ thấy ánh x¹ f : R n  →M n ∑a x cho bëi ( a1 , , an ) a i =1 i i toàn cấu R-môđun Nếu N môđun M B = f -1(N) môđun R n Do R vành nên B R-môđun tự hạng s n Nếu lấy {y1, , ys} sở B rõ ràng {f(y 1), , f(ys)} hệ sinh N Do N có hệ sinh chứa không n phần tử Từ định lý ta có hệ sau 2.2.2 Hệ Trên vành môđun môđun xyclic môđun xyclic Ta biết rằng, môđun môđun hữu hạn sinh không môđun hữu hạn sinh Thật vậy, cho R vành giao hoán có đơn vị Gọi A tích trực tiếp vô hạn vành R A = Π Ri , Ri = R, ∀i ∈ I Khi A A-môđun hữu hạn sinh, sinh i∈I Ri , Ri = R, ∀i ∈ I Khi phần tử { e = ( ,1, ,1, )} Gäi B = ⊕ i∈I B A-môđun A Tuy nhiên B A-môđun hữu hạn sinh Vì, B có hệ sinh hữu hạn: {b =(b ) ta gäi 1i i∈I { } , b2 = ( b2i ) i∈I , , bn = ( bni ) i∈I , } k = max i / i ∈ I , bmi ≠ 0, m = 1, n Khi phần tử b = ( ,0, ,0,1,0, ) B (thành phần thứ k + tất thành phần khác 0) Dễ thấy b tổ hợp tuyến tính { b1 , , bn } Điều mâu thuẫn với { b1 , , bn } hệ 16 sinh B Do B A-môđun không hữu hạn sinh Từ Định lý 2.2.1 ta có hệ sau 2.2.3 Hệ Trên vành môđun môđun hữu hạn sinh môđun hữu hạn sinh Định lý sau hệ Định lý 2.1.2 2.2.4 Định lý Giả sử M môđun hữu hạn sinh vành R Thế M đẳng cấu với R-môđun dạng R/ Rα1 ⊕ ⊕ R/ Rαn, ®ã α1, α2, , αn thuéc R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 Chøng minh Gi¶ sư M cã mét hệ sinh gồm n phần tử Khi ta có M Rn/ N (theo Định lý 1.7.4) với N môđun Rn Vì Rn R-môđun tự nên theo Định lý 2.1.2 tồn sở {e1, e2, , en} Rn m phần tử 1, 2, , αm cđa R víi m ≤ n cho {α1e1, 2e2, , mem} lập thành sở N vµ α i chia hÕt α i +1 víi i = 1, 2, , m-1 Ta đặt αm + = = αn = Khi ®ã: M ≅ Rn/N ≅ Re1/Rα1e1⊕ ⊕ Ren/ Rαnen R/R1 R/ Rn Từ Định lý 2.2.4 ta suy hệ sau giúp quy toán phân loại môđun hữu hạn sinh vành toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh 2.2.5 Hệ Cho M môđun hữu hạn sinh vành R Khi ®ã: (i) M = τ(M) ⊕ F víi τ(M) lµ môđun xoắn M F môđun tự (ii) M môđun tự M không xoắn 17 Chứng minh: Từ Định lý 2.2.4, ta suy M môđun hữu hạn sinh vành R M phân tích đợc thành tổng trực tiếp môđun xyclic M = M1 M2 Mn, ®ã Mi ≅ R / R α i víi α1, α2, , αn ∈ R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 DƠ thÊy r»ng tỉng trùc tiếp hạng tử Mi ứng với i môđun xoắn (M) M, tổng trực tiếp hạng tử Mi ứng với i = cho ta môđun tự M Do (i) đợc chứng minh Từ (i) ta thấy M không xoắn, tức (M) = 0, M = F môđun tự Ngợc lại, M môđun tự hữu hạn sinh nên M có sở hữu hạn, giả sử {1, 2, , n} Khi đó, mäi x ∈ τ(M), tån t¹i a ∈ R, a ≠ cho ax = Gi¶ sư x ≠ 0, ta cã: = ax = a(x1λ1 + x2λ2 + + xn λn) Suy x1 = x2 = = xn = hay x = mâu thuẫn với giả sử x Vậy (M) = {0} Hệ đợc chứng minh 2.2.6 Nhận xÐt Cã thĨ chøng minh 2.2.5 mét c¸ch trùc tiÕp mà không cần thông qua Định lý 2.2.4 Chứng minh Trớc hết ta chứng minh (ii) Giả sử M R-môđun không xoắn với hệ sinh {x 1, x2, , xn} Chän hƯ sinh nµy mét hƯ sinh độc lập tuyến tính cực đại {y1, y2, , yk} Gọi N môđun M sinh bëi {y 1, y2, , yk} V× {y1, y2, , yk} độc lập tuyến tính nên N Rmôđun tự Lại {y1, y2, , yk} hệ độc lập tuyến tính cực đại {x1, x2, , xn} nªn víi mäi i = 1, 2, , n hä {y 1, y2, , yk, xi} phô thuộc tuyến tính, tức tồn phần tử khác không R cho aixiN Đặt a = a1 an ≠ th× aixi∈ N víi mäi 18 i=1,2, , n Do aM N Từ suy aM Rmôđun tự Xét đồng cÊu λa : M  → aM cho bëi λa(m) = am víi mäi m ∈ M Râ rµng λa toàn cấu Do M R-môđun không xoắn nên a đơn cấu, tức M aM Do M R-môđun tự Ta phải chứng minh (i) Chú ý M/(M) Rmôđun không xoắn (xem Mục 1.2.4 (ii)), theo (ii) môđun tự Xét dÃy khíp ng¾n  →τ ( M )  → M  → M / τ ( M )  Bởi Mệnh đề 1.7.5, dÃy khớp chẻ ra, tøc lµ M = τ(M) ⊕ F víi F lµ môđun M Vì F M/(M) nên F môđun tự 2.2.7 Nhận xét Hệ 2.2.5 (i) không bỏ giả thiết hữu hạn sinh Chứng minh Đặt M = pP ¢ p vµ N = ⊕ p∈P ¢ p , trớc tiên ta chứng minh N môđun xoắn  -môđun M Thật vậy, ( a p ) p∈P ∈τ ( M ) th× có số nguyên dơng n cho n ( ap ) p∈P = , tøc lµ nap =  P với p P Vì (n, p) = víi mäi p > n nªn tõ ®ã suy ap = víi mäi p > n Nh vËy phÇn tư (a ) p p∈P chØ có hữu hạn thành phần khác 0, nghĩa ( a p ) pP N Đảo lại, giả sö ( a p ) p∈P ∈ N , có tập hữu hạn J P cho ap = với p J Đặt N = Π p∈J p th× dÏ thÊy r»ng n ( a p ) p∈P = Do ®ã ( a p ) p∈P ∈τ ( M ) 19 VËy τ ( M ) = N B©y giê ta chứng tỏ Hệ 2.2.5 (i) không bỏ giả thiết hữu hạn sinh cách N hạng tử trực tiếp M Để thực điều này, ta lần lợt chứng minh Hom  ( Ô , M) =0 Hom  ( Ô , M/N) Ô tập hợp số hữu tỉ Giả sử p số nguyên tố tùy ý, với f Hom  ( Ô ,  ) r Ô , ta có: f(r) = f (p(r|p))=p.f (r|p) = Tõ ®ã suy Hom  ( Ô ,  p) = Theo Mệnh đề1.4.2 ta có Hom  ( Ô ,M) pP Hom  ( Ô ,  p) = Để chứng minh Hom  ( Ô , M/N) 0, trớc tiên ta M/N nhóm Aben chia đợc Thật vậy, giả sử n số nguyên khác (ap)pP+ N phần tử tùy ý M/N Với p > n , ảnh n  p khả nghịch nên tồn b p  p cho ap= nbp Đặt bp= với p n (ap)pP n(bp)pP hai phần tử M có hữu hạn thành phần khác nhau, (ap)pP + N = n[(bp)pP+N] Điều chứng tỏ M/N nhóm Aben chia đợc Theo Mệnh đề 1.8.4, M/N  -môđun nội xạ Với p P n  , kí hiệu n p ảnh n  p Xét ánh xạ: g : M / N na (n ) p p∈P +N 20 Râ rµng g lµ  đồng cấu khác Vì M/N  -môđun nội xạ nên theo Mệnh đề 1.8.2 g cã thĨ më réng thµnh mét →M / N đồng cấu g1 : Ô Nh Hom  ( Ô , M/N) Bây N hạng tử trực tiếp M M/N đẳng cấu với môđun M (xem Mục 1.4.3) Do tồn đơn cấu h : M / N  →M Khi ®ã dƠ thÊy r»ng đồng cấu cảm sinh h* : Hom ( Ô , M / N ) Hom ( Ô , M ) f a hf đơn cấu, nhng điều không thể, nh ta vừa chứng minh trên, Hom  ( Ô ,M) = Hom  ( Ô ,M/N) Từ Hệ 2.2.5, ta thu đợc hệ sau 2.2.8 Hệ Một môđun vành có hạng môđun xoắn 2.2.9 Định lý Cho R vành chính, M R-môđun hữu hạn sinh N môđun M Khi M N có hạng M|N môđun xoắn Chøng minh Tríc hÕt ta sÏ chøng minh r»ng nÕu N Rmôđun M r(M) = r(N) + r(M/N) ThËt vËy, kÝ hiƯu S lµ tËp phần tử không ớc R Xét dÃy khớp ngắn R-môđun N  → M  → M / N  →0 , Mệnh đề 1.5.4, từ dÃy khớp ta thu đợc dÃy khớp ngắn S-1R-môđun sau: 21  → S −1 N  → S −1M  → S −1 ( M / N )  →0 Do M, N, M|N môđun có hạng nên S-1M, S-1N, S-1(M|N) S-1R-môđun tự Khi ®ã theo MƯnh ®Ị 1.7.7, ta cã: r(S-1M) = r(S-1N) + r(S-1(M/N)) Do ®ã r(M) = r(N) + r(M/N) Tõ ®ã suy r(M) = r(N) nÕu vµ chØ nÕu r(M/N) = theo Hệ 2.2.6, ta có M/N môđun xoắn 2.2.10 Định nghĩa Giả sử M môđun xoắn hữu hạn sinh vành R Với x M, tập Ann(x) = {a R| ax = 0} iđêan khác R Vì R vành chính, tồn phần tử R, cho Ann(x) = R α PhÇn tư α xác định nhất, sai khác nhân tử khả nghịch, đợc gọi cấp x ,kí hiệu 0(x) Cũng R vành chính, tồn nhất, sai khác nhân tử khả nghịch, phần tử khác không R cho Ann(M) = R β Ta gäi β lµ sè mị cđa M kí hiệu exp(M) 2.2.11 Nhận xét Từ Định nghÜa 2.2.10, ta dƠ dµng nhËn thÊy : (i) Sè mị cđa M chia hÕt cho cÊp cđa mäi phÇn tử (ii) Nếu M môđun xyclic sinh phần tử x exp(M) = 0(x) 2.2.12 Định lý Cho R vành M 1, M2 môđun xyclic vành R với số mũ lần lợt , Khi M1 M2 R-môđun xyclic nguyên tố Chứng minh Giả sử M1 đợc sinh phần tử x Khi M1 = Rx vµ tõ NhËn xÐt 2.2.11, ta cã Ann(x) = Ann(M1) = = Rα XÐt toµn cÊu 22 f : R  → M1 cho bëi f(a) = ax víi mäi a ∈ R Ta thÊy Ker f = Ann(x) = R, theo Định lý đồng cấu cảm sinh ta có M1 R/R Tơng tù M2 ≅ R/R β Bëi vËy ta chØ cần chứng minh R/R R/R R-môđun xyclic nguyên tố Thật vậy, nguyên tố với Định lý Trung Hoa vÒ d ta cã: R/R α ⊕ R/R β ≅ R/R R-môđun xyclic Để chứng minh điều ngợc lại, giả sử R/R R/R R môđun xyclic với phần tử sinh (a + R α , b + R β ) Khi tồn s R cho s(a + R α , b + R β ) = (1 + R α , + R β ) vËy sa = + tα víi t ∈ R Điều chứng tỏ a nguyên tố Mặt khác, sb R nên ta suy | sb, | s Thay s = u (uR) vào đẳng thức sa = + t ta đợc = (au) t Vậy nguyên tố 2.2.13 Mệnh đề Cho R vành M Rmôđun xyclic với số mũ Khi M R|R mô đun tự Chứng minh LËp ln t¬ng tù Mơc 2.2.12 ta cã M R/R Do M R/R -môđun tự 2.2.14 Định lý Mỗi môđun xoắn hữu hạn sinh M vành R cã ph©n tÝch M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn, Mi môđun xyclic cã sè mị exp(M i) = pi e i lµ lũy thừa phần tử bất khả quy pi R 23 Chứng minh.Từ Định lý 2.2.4 ta có M môđun hữu hạn sinh vành R M đẳng cấu với R-môđun d¹ng R / Rα1 ⊕ R / Rα ⊕ ⊕ R / Rα n ®ã α1, α2, , αn ∈ R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, , n1 Kết hợp điều với Mệnh đề 1.1.3, ta suy điều phải chứng minh Có thể chứng minh môđun xyclic M i xuất phân tích M cho Định lý 2.2.14 Bây ta chứng minh dạng M Để đơn giản, khuôn khổ khóa luận này, ta xét toán trờng hợp M có số mũ lũy thừa phần tử bất khả quy 2.2.15 Định nghĩa Cho R vành Với phần tử bất khả quy p R, ta kí hiệu Cp(M) tập phần tử M có cÊp lµ mét lịy thõa cđa p DƠ thÊy tõ định nghĩa trên, Cp(M) môđun M 2.2.16 Định lý Cho M môđun xoắn hữu hạn sinh vành R với số mũ exp(M) = có phân tích tiêu chuẩn = p1e1 p2e2 pkek Khi ®ã M = C p1 ( M ) ⊕ ⊕ C pk ( M ) , e ®ã exp ( C p ( M ) ) = p víi mäi i = 1, 2, , k i i i Hơn nữa, phân tích dạng M không kể đến thứ tự hạng tử Chứng minh Dễ thấy phân tích M cho Định lý 2.2.14, Cp(M) tổng trực tiếp hạng tử M i mà pi liên kết với p Nh vậy, M phân tích đợc thành tổng trực tiếp môđun dạng Cp(M) với p phần tử bất khả quy R, M viết đợc dới dạng 24 M = C p1 ( M ) ⊕ ⊕ C pk ( M ) Bây giả sử M cã ph©n tÝch M = Cq ( M ) ⊕ ⊕ Cq ( M ) l ®ã qj phần tử bất khả quy R, đôi không e' liên kết exp ( Cq ( M ) ) = q , víi j = 1, 2, , l Khi ®ã ta cã: j j j l l j =1 j =1 Rα = Ann( M ) = I Ann(Cq j ( M )) = I Rq j j = Rq1e '1 qle 'l e' Suy α = v.q1e ' qle ' víi v | Từ nhận thấy đợc k = l, đánh l số lại cần thiết, pi liªn kÕt víi qi víi mäi i = 1, 2, , k Do ®ã C pi ( M ) = Cqi ( M ) vµ ei = e’i víi i = 1, 2, , k Điều chứng tỏ dạng phân tích M tồn Định lý đà đợc chứng minh 2.2.17 Mệnh đề Cho R vành Khi phát biểu sau (i) R R-môđun không phân tích đợc (ii) Trờng thơng R R-môđun không phân tích đợc (iii) Nếu p phần tử bất khả quy R e số nguyên dơng R-môđun R|Rpe không phân tích đợc Và ngợc lại, R môđun xyclic không phân tích đợc, số mũ liên kết với lũy thừa phần tư bÊt kh¶ quy cđa R Chøng minh (i) Gi¶ sư cã ph©n tÝch R = X ⊕ Y víi X, Y môđun không tầm thờng R Khi tìm đợc phần tử khác không xX yY Ta có xyXY, R miỊn nguyªn nªn xy ≠ suy X∩Y ≠ {0}, mâu thuẫn (ii) Giả sử trờng thơng F cđa R cã ph©n tÝch F= X ⊕ Y, víi X, Y môđun không tầm thờng F Chọn phần tử 25 khác không a/bX c/d∈Y ®ã ≠ ac =(bc).(a/b)=(ad) (c/d)∈X∩Y Suy XY{0}, mâu thuẫn (iii) Giả sử ta có phân tích R/Rp e= X Y với X, Y Rmôđun không tầm thờng R/Rpe Khi rõ ràng X, Y iđêan vành thơng R/Rpe Vì R vành nên X, Y R-môđun xyclic Giả sử a b hai phần tử R cho ảnh chúng R/Rpe lần lợt sinh X Y Viết a = p s.a1, b = pt.b1 víi (a1,p) = (b1,p) = Khi dễ thấy ảnh p s pt R/Rpe tơng ứng phần tử sinh X Y Bây tùy theo s ≤ t hay s > t mµ ta cã X ⊇ Y hay X ⊂ Y Nh vËy kh«ng thĨ có XY={0}, X, Y môđun không tầm thờng Ta gặp mâu thuẫn Vậy R/Rpe R-môđun không phân tích đợc Để chứng minh khẳng định cuối cùng, giả sử M Rmôđun xyclic không phân tích đợc với số mũ exp(M) = 0.Khi ®ã dÔ thÊy M ≅ R/R α (xem chøng minh Định lý 2.2.12) Giả sử = u p1e1 pkek phân tích tiêu chuẩn thành tích nhân tử bất khả quy Bởi Mệnh đề 1.1.3, ta cã R / Rα ≅ R / Rp1e1 R / Rpkek Vì M không phân tích đợc nên phải có k =1, ®ã α liªn kÕt víi p1e KÕt ln Dựa vào tài liệu tham khảo, Khóa luận đà trình bày đợc số tính chất môđun vành Cụ thể Khóa luận đà hoàn thành đợc việc sau : 26 Trình bày số tính chất môđun tự vành Trình bày số tính chất môđun hữu hạn sinh vành Tài liệu tham khảo 27 [1] Nguyễn Tự Cờng (2003), Giáo trình Đại số đại, nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bá Thị Lệ Hằng (2009), Một số tính chất môđun phẳng, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [3] Hoàng Xuân Sính (1992), Đại số đại cơng, nxb Giáo dục [4] Dơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, nxb đại học S phạm ... sinh B Do B A -môđun không hữu hạn sinh Từ Định lý 2.2.1 ta có hệ sau 2.2.3 Hệ Trên vành môđun môđun hữu hạn sinh môđun hữu hạn sinh Định lý sau hệ Định lý 2.1.2 2.2.4 Định lý Giả sử M môđun hữu. .. toán phân loại môđun hữu hạn sinh vành toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh 2.2.5 Hệ Cho M môđun hữu hạn sinh vành R Khi đó: (i) M = (M) F với (M) môđun xoắn M F môđun tự (ii) M môđun tự M không... Khi giao tất môđun M chứa S môđun M Môđun đợc gọi môđun M sinh S Nếu môđun sinh S M M ta bảo S lµ mét hƯ sinh cđa M NÕu M cã hƯ sinh hữu hạn ta nói M môđun hữu hạn sinh Khi M có hệ sinh gồm phần