Môđun hữu hạn sinh trên vành chính và ứng dụng luận văn thạc sĩ

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN MNH TIN MễUN HU HN SINH TRấN VNH CHNH V NG DNG LUN VN THC S TON HC Ngh An 12.2011 Mc lc Trang Mc lc M u Chng S phõn tớch nhúm aben hu hn sinh 1.1 S phõn tớch cỏc nhúm xyclic 1.2 Mụun t v nhúm aben t 1.3 S phõn tớch ca nhúm aben hu hn sinh 11 Chng Mụun trờn vnh chớnh 22 2.1 Mụun t trờn vnh chớnh 22 2.2 Mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh 27 Kt lun 37 Ti liu tham kho 38 M u Mi nhúm aben cú cu trỳc t nhiờn l mt  mụun Mt khỏc vnh s nguyờn  l mt vnh chớnh Vỡ vy lý thuyt mụun trờn vnh chớnh cú th ỏp dng cho cỏc nhúm aben Tuy nhiờn, nhng c tớnh ca vnh c s  , ta cú th thu c nhng mụ t sõu sc hn cho lp cỏc mụun trờn nú Cng cú th núi khỏi nim mụun l mt m rng ca khỏi nim nhúm aben v khỏi nim khụng gian vộct Da vo cỏc ti liu tham kho, Lun trỡnh by mt s kt qu v phõn tớch nhúm aben hu hn sinh v mt s kt qu v cu trỳc cỏc mụun trờn vnh chớnh Lý thuyt v phõn tớch nhúm aben hu hn sinh cú th c trỡnh by nh mt h qu ca lý thuyt mụun trờn vnh chớnh Tuy nhiờn, lun ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc kt qu v nhúm aben trc Chỳng ta s thy rng nhng k thut ca nú cú th soi sỏng cho nhng k thut ca lý thuyt mụun trờn vnh chớnh Lý thuyt mụun trờn vnh chớnh k tha c nhiu thnh qu ca lý thuyt nhúm aben Cỏc kt qu v mụun trờn vnh chớnh trỡnh by lun c nhỡn nhn t cỏc kt qu v nhúm aben ó trỡnh by trc ú T cỏc kt qu v mụun trờn vnh chớnh, chỳng ta cú th nhn li c cỏc kt qu v nhúm aben hu hn sinh Mc ớch ca lun l da vo cỏc ti liu tham kho trỡnh by li mt s kt qu v nhúm aben hu hn sinh v mt s kt qu v mụun trờn vnh chớnh t ú thy c lý thuyt nhúm aben hu hn sinh cú th c trỡnh by c lp nhng cng cú th c suy t lý thuyt mụun trờn vnh chớnh Ngoi phn M u, Kt lun v Ti liu tham kho, Lun c chia lm hai chng Chng 1: Nhúm aben hu hn sinh Trong chng ny, chỳng tụi s trỡnh by cỏc kt qu v cu trỳc nhúm aben hu hn sinh Kt qu chớnh l cú th biu din mi nhúm aben hu hn sinh mt cỏch nht di dng tng trc tip ca nhng nhúm xyclic khụng phõn tớch c Chng 2: Mụun trờn vnh chớnh Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by v mụun trờn vnh chớnh Cỏc kt qu chng ny c nhỡn nhn t cỏc kt qu v nhúm aben ó trỡnh by Chng Mt khỏc t cỏc kt qu chng ny, chỳng ta cú th suy cỏc kt qu tng ng Chng nh nhng h qu Lun c hon thnh vo thỏng 12 nm 2011 ti trng i hc Vinh di s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo TS Nguyn Th Hng Loan Nhõn dp ny tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n cụ, ngi ó hng dn tn tỡnh, chu ỏo sut thi gian hc v nghiờn cu Cng nhõn dp ny tỏc gi xin chõn thnh cm n sõu sc n thy PGS TS Ngụ S Tựng; thy PGS.TS Lờ Quc Hỏn; thy PGS.TS Nguyn Thnh Quang; cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, trng i hc Vinh, cỏc bn bố lp cao hc Toỏn 17 Chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s ó cú nhng ý kin úng gúp quý bỏu tỏc gi hon thnh lun ny Mc dự ht sc c gng nhng lun khụng trỏnh nhng sai sút Tỏc gi rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn Ngh An, thỏng 12 nm 2011 Tỏc gi Chng S phõn tớch nhúm aben hu hn sinh Trong chng ny, chỳng tụi s trỡnh by mt s kt qu v cu trỳc nhúm aben hu hn sinh, tc l lp nhúm aben vi mt h sinh hu hn Kt qu chớnh l cú th biu din mi nhúm aben hu hn sinh mt cỏch nht di dng tng trc tip ca nhng nhúm xyclic khụng phõn tớch c 1.1 S phõn tớch cỏc nhúm xyclic 1.1.1 nh ngha Mt nhúm aben X c gi l khụng phõn tớch c nu X khụng th biu din di dng tng trc tip ca hai nhúm khụng tm thng 1.1.2 Mnh Nhúm cng  cỏc s nguyờn l khụng phõn tớch c Chng minh Gi s cú biu din  = X Y vi X, Y l nhng nhúm khụng tm thng ca  Khi ú tỡm c cỏc phn t khỏc khụng a X v b Y Vỡ X, Y l nhng nhúm ca  , nờn ab X Y Nhng iu ny trỏi vi iu kin X Y = { 0} Vy  l nhúm khụng phõn tớch c 1.1.3 Mnh Nu p l mt s nguyờn t v m l mt s nguyờn dng, thỡ nhúm cng  pm cỏc s nguyờn mụun pm l khụng phõn tớch c Chng minh Gi s  pm = X Y l mt phõn tớch ca  pm thnh tng trc tip ca nhng nhúm khụng tm thng Khi ú tn ti hai s nguyờn dng s, t nh hn m cho X , Y l nhng nhúm xyclic c sinh s t theo th t bi p , p Bõy gi tựy theo s t hay s > t m ta s cú X Y hay X Y V nh vy thỡ iu kin X Y = { 0} khụng th xy ra, mõu thun 1.1.4 nh ngha Mt nhúm xyclic cú cp l ly tha ca mt s nguyờn t c gi l nhúm xyclic nguyờn s 1.1.5 nh lớ Gi s s nguyờn n > cú phõn tớch tiờu chun l m   m  m m pr r n = p pr r Khi ú n p 1 Chng minh Ta chng minh quy np theo r Vi r = , nh lớ hin nhiờn m m m ỳng Gi s r > t p = p p r1 v q = pr r Khi ú n = pq v 1 p, q nguyờn t cựng nhau, nờn  n  p  q Theo gi thit quy np  p  m  m  n  m  m  m pr r p p r1 Vy p p r1 1 r1 r1 1.1.6 Nhn xột Ta bit rng, ch cú hai loi nhúm xyclic l nhúm xyclic cp vụ hn (mi nhúm xyclic cp vụ hn u ng cu vi nhúm cng cỏc s nguyờn  ) v nhúm xyclic cp hu hn (mi nhúm xyclic hu hn cp m u ng cu vi nhúm cng  m cỏc s nguyờn mụun m) T nhng kt qu trờn ta suy rng ch cú hai loi nhúm xyclic khỏc khụng phõn tớch c l nhúm nhúm xyclic vụ hn v nhúm xyclic nguyờn s Mi nhúm nhúm xyclic hu hn khỏc u phõn tớch c thnh tng trc tip ca nhng nhúm xyclic nguyờn s 1.2 Mụun t v nhúm aben t 1.2.1 nh ngha (i) Cho M l mt R mụun Mt { xi } iI , xi M c gi l mt h sinh ca M nu vi mi phn t x M u l t hp tuyn tớnh trờn R ca h { xi } iI , ngha l vi mi x M thỡ x = xi , a R, J I , J < i iJ (ii) Nu M cú mt h sinh gm hu hn phn t thỡ M c gi l mụun hu hn sinh 1.2.2 nh ngha Tp S ca mt R mụun M c gi l mt c lp tuyn tớnh, nu t mi ng thc r1 x1 + L + rn xn = vi x1 , K , xn S ụi mt khỏc nhau, ta rỳt r1 = L = rn = Nu trỏi li thỡ S c gi l mt ph thuc tuyn tớnh Nu mụun M l mụun hoc M cú mt h sinh S c lp tuyn tớnh thỡ nú c gi l mụun t v S c gi l mt c s ca M 1.2.3 Vớ d Vnh R l mt mụun t trờn chớnh nú vi c s { 1} Tng quỏt hn, vi I l mt ch s bt kỡ, R ( I ) l mt R mụun t vi c s { ei | i I } , ú ei cú thnh phn th i bng 1, cỏc thnh phn cũn li bng C s ny gi l c s t nhiờn hay c s chớnh tc ca R ( I ) Mi mt khụng gian vect trờn mt trng K u l mt K mụun t do, vỡ nú luụn cú c s Ta bit rng mi nhúm aben l mt  - mụun, vỡ vy ta cú nh ngha sau õy 1.2.4 nh ngha Cho G l mt nhúm aben Khi ú: (i) G c gi l nhúm aben t nu G l mt  - mụun t (ii) Mi c s ca  - mụun t G c gi l mt c s ca nhúm aben G Hai c s bt k ca mt khụng gian vect cú cựng lc lng, iu ú cú cũn ỳng i vi mụun t hay khụng, ta cú mnh sau 1.2.5 Mnh Nu M l mt mụun t trờn vnh giao hoỏn R thỡ hai c s bt k ca M cú cựng lc lng Chng minh Gi s m l mt iờan cc i ca R Khi ú R/m l mt trng, v mụun thng M/mM l mt R/m-mụun, tc l mt R/m-khụng { } gian vect Bõy gi gi s xi iI l mt c s ca M Vi mi a R v x M , kớ hiu nh ca chỳng R/m v M/mM tng ng l a v x Vỡ hai c s bt kỡ ca mt khụng gian vect cú cựng lc lng nờn chng { } minh nh lý, ta ch cn chng t rng xi iI l mt c s ca R/m-khụng { } gian vect M/mM Rừ rng xi iI l mt h sinh ca M/mM, ta cũn phi chng minh nú c lp tuyn tớnh Gi s cú ng thc iI xi = vi R bng vi tt c, tr mt s hu hn i I Khi ú iI xi mM , vỡ vy tỡm c cỏc bi m, bng vi hu ht i I cho ax = bx iI i i iI i i { } Do xi iI l mt c s ca M, iu ú dn n = bi , tc l = vi { } mi i I Vy h xi iI c lp tuyn tớnh, v chng minh ca nh lý c hon thnh Chỳ ý rng kt qu trờn cú th khụng ỳng nu R l vnh khụng giao hoỏn Kt qu ny dn n khỏi nim sau õy, l mt m rng ca khỏi nim chiu khụng gian vect 1.2.6 nh ngha (i) Cho M l mt mụun t trờn vnh giao hoỏn R Khi ú lc lng ca mt c s bt k ca M c gi l hng ca M, ký hiu l r(M) (ii) Cho G l mt nhúm aben t Khi ú hng ca  - mụun G c gi l hng ca nhúm aben G, kớ hiu l r(G) Cu trỳc ca mụun t c mụ t qua nh lý sau õy 1.2.7 nh lý R-mụun M l t nu v ch nu tn ti mt ch s I cho M R(I) Chng minh Nu cú mt I v mt ng cu R mụun f : R I ữ M , thỡ cú th kim tra khụng khú khn rng M l mt mụun t vi c s { f ( ei ) i I } , ú { ei i I } l c s chớnh tc ca R I { ữ ữ } Ngc li, gi s M cú mt c s l S = si i I , ú S l h sinh c lp tuyn tớnh ca M, mi phn t x M biu din c nht di dng x = a s + + a s i i 1 in in vi R, si S, j = 1, , n j j ú dn n M = iI Rs Bõy gi ta nhn thy rng vi mi i I , ton cu R-mụun i ài : R Rsi a a asi cng l mt ng cu, tớnh c lp tuyn tớnh ca si I ữ Vy M = Rsi R iI 1.2.8 Nhn xột T chng minh ca nh lý trờn ta suy nu M l mt R-mụ un t vi c s S thỡ M R(S) Do ú, nu G l mt nhúm aben vi c s S thỡ G  (S) c bit mi nhúm aben t hng n u ng cu vi  n 1.2.9 Mnh Cho M l mt mụun trờn vnh giao hoỏn R Khi ú tn ti mt R mụun t F v mt ton cu R mụun f : F M Ngoi ra, nu M l hu hn sinh v sinh bi n phn t thỡ F l mt R mụun t vi mt c s hu hn gm n phn t 1.2.10 Nhn xột T mnh trờn ta suy mi R-mụun u ng cu vi thng ca mt R-mụun t c bit, mt R-mụun l hu hn sinh v ch nú ng cu vi thng ca Rn vi n l mt s nguyờn dng no ú Do ú, mi nhúm aben vi d phn t sinh u ng cu vi mt nhúm thng ca mt nhúm aben t hng d Sau õy l mt kt qu c sc v 10 cỏc nhúm ca mt nhúm aben t 1.2.11 nh lý Cho F l mt nhúm aben t hng n Khi ú mi nhúm G ca F u cú mt nhúm aben t hng r ( G ) = m n Hn na, tn { } { } ti mt c s S = u1, , un ca F v mt c s T = v1, , vm ca G cho vi = tiui vi i = 1, , m ú t1, , tm l nhng s nguyờn dng tha ti chia ht ti+1 vi mi i = 1, , m Chng minh Ta chng minh bng quy np theo n Vi n = , nh lý ỳng mt cỏch hin nhiờn Gi s n > v nh lý c chng minh n c thay bng n Ta loi tr trng hp tm thng G = v coi G { } Gi s V = y1, , yn l c s ca F Khi ú mi phn t g G iu biu din c nht di dng g = k1 ( g ) y1 + + kn ( g ) yn vi ki ( g ) Â, i = 1, , n V gi k ( g ) l s nguyờn dng nh nht tt c cỏc { } s nguyờn dng ca k1 ( g ) , , kn ( g ) Vi mi c s V ca F , ta t k ( V ) = { k ( g ) g G} Gi l hp tt c cỏc c s ca G v gi t = { k ( C ) / C } Khi ú tn ti v1 G v mt c s U cho t1 l mt h s biu din ca v1 qua c s U ỏnh s li cỏc phn t ca U , nu cn thit, ta cú th coi rng v1 = t1x1 + k2 x2 + + kn xn , ú k , , kn  Chia k , , kn ki = t qi + ri , ri < t ( i = 2, , n ) 1 t cho t , ta u = x + q x + + qn xn , 1 2 c thỡ 27 (i) Cỏc phn t 1e1 , 2e2 , , n en lp thnh mt c s ca M ; (ii) i chia ht i +1 vi mi i = 1, , n Chng minh Nu M = thỡ kt qu l tm thng Ta chng minh nh lý vi M Xem F = R ( I ) , gi G l tt c cỏc dng tuyn tớnh trờn F , ú ta nhn c cỏc iờan { f (M ) | f G} Gi s f1 ( M ) l mt phn t ti i ca ny Do R l vnh chớnh nờn f1 ( M ) = R1 , gi u l mt phn t ca M cho f1 (u ) = Vi g G ta s ch rng g (u ) R1 Tht vy, t g (u ) = v gi s R1 + R = R , ú tn ti , R cho + = Xột dng tuyn tớnh f = f1 + g , ta cú f (u ) = f1 (u ) + g (u ) = + = f ( M ) T ú suy f ( M ) R R1 Do tớnh ti i ca R1 , nờn f ( M ) = R1 Do ú R1 = R iu ny dn n R1 Vy vi mi dng tuyn tớnh g : F R ta cú g (u ) R1 p dng kt qu va ri vo cỏc phộp chiu pi : R ( I ) R ( xi )iI a xi Ta cú pi (u ) R1 vi mi i I iu ny cú ngha l cỏc ta ca u phi l bi ca Gi s u = (1 i )iI = ( i )iI t e1 = ( i )iI , ta cú u = 1e1 v = f1 (u ) = f1 (e1 ) Vỡ R l mt nguyờn nờn suy f1 (e1 ) = Ly F1 = f11 (0) , ta s chng minh (a) F = Re1 F1 Cho x Re1 F1 thỡ x = re1 , vi r R v x F1 nờn f1 ( x) = vy ta cú = f1 ( x) = f1 (re1 ) = rf1 (e1 ) = r.1 = r Vy x = , nờn Re1 F1 = { 0} Hin nhiờn Re1 + F1 F 28 Vi mi x F ta vit di dng x = f1 ( x)e1 + ( x f1 ( x)e1 ) Re1 + F1 vỡ f1 ( x)e1 Re1 , cũn x f1 ( x)e1 F1 f1 ( x f1 ( x)e1 ) = f1 ( x) f1 ( x) f1 (e1 ) = f1 ( x) f1 ( x).1 = Nờn F = Re1 + F1 suy F = Re1 F1 (b) M = R1e1 M vi M = M F1 Ta cú R1e1 M = { 0} vỡ Re1 F1 = { 0} Mt khỏc, vi mi x M thỡ f1 ( x) f1 ( M ) = R1 nờn f1 ( x) = r1 , vi r R Ta vit x di dng x = f1 ( x)e1 + ( x f1 ( x)e1 ) = r1e1 + ( x r1e1 ) Suy x R1e1 + M vỡ r1e1 R1e1 v x r1e1 M (do x M , e11 = u M nờn x r1e1 M , hn na f1 ( x r1e1 ) = f1 ( x ) r1 f1 (e1 ) = r1 r1 = nờn x r1e1 F1 suy x r1e1 M F1 = M ) Vy M = R1e1 M Ta gi s g : F R l mt dng tuyn tớnh tựy ý, ta cn chng minh (c) g ( M ) R1 Tht vy, gi s g ( M ) R1 Ta chn dng tuyn tớnh f : F = Re1 F1 R cho f trựng vi f1 trờn Re1 v trựng vi g trờn F1 thỡ f ( M ) = f ( R1e1 M ) = R1 + g ( M ) R1 iu ny mõu thun vi tớnh ti i ca iờan R1 Vy (c) c chng minh Nh vy trờn ta ó xỏc nh c cỏc phn t , e1 ng thi cú cỏc tng trc tip (a) v (b) Bõy gi ta s chng minh nh lý bng quy np theo hng ca M Gi s nh lý ỳng vi n Do F1 l mt mụun t do, M l mt mụun ca F1 cú hng bng n , nờn theo gi thit quy np tn ti n phn t , , n ca R v mt c s ca F1 cha n phn t e2 , , en cho { 2e2 , , nen } l mt c s ca M , ng thi i chia ht cho i +1 vi mi 29 i = 1, , n T (a) v (b) ta cú { 1e1 , 2e2 , , nen } l mt c s ca M v { e1 , e2 , , en } l mt c s ca F Ta s chng minh chia ht Tht vy, xột dng tuyn tớnh g : F R cho trờn c s { e2 , , en } ca F thỡ g (e2 ) = v g (e) = vi mi e { e3 , , en } Ta c g ( M ) = R Nờn theo (c) ta cú R R1 , suy chia ht nh lý c chng minh 2.2 Mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh Chỳng ta bit rng mụun ca mụun hu hn sinh cha hn l hu hn sinh Chng hn, xột vnh a thc vụ hn bin R = K [ x1 , x2 , , xn , ] vi K l mt trng Ta cú R l mt vnh giao hoỏn, n v l nờn R l mt R mụun hu hn sinh cú mt h sinh l { 1} Mi iờan ca R cng l mt R mụun ca mụun R Xột iờan I = ( x1 , x2 , , xn , ) Nú l iờan khụng hu hn sinh ca R vỡ vy nú cng l mt mụun khụng hu hn sinh Tuy nhiờn, xột mt mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh ta cú kt qu sau 2.2.1 nh lý Nu M l mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh R thỡ mi mụun ca nú l hu hn sinh Chng minh Do R l vnh chớnh nờn R l mt vnh Noether M M l R mụun hu hn sinh trờn vnh Noether thỡ M l mt R mụun Noether Gi s N l mt mụun ca M Nu N khụng hu hn sinh thỡ tn ti dóy vụ hn cỏc phn t x1 , x2 , , xn , thuc N cho nu t m M m = i =1 Rxi thỡ ta cú M j ỉ M j +1 vi mi j Nh vy ta cú mt dóy tng vụ hn khụng dng cỏc mụun 30 M M ììì M m ììì Mõu thun vi M l R mụun Noether, suy N phi hu hn sinh T nh lý trờn ta cú h qu sau õy 2.2.2 H qu Mi nhúm ca nhúm aben hu hn sinh l nhúm aben hu hn sinh Mụun ca mụun xyclic núi chung cng khụng phi l mụun xyclic Tht vy, ta xột R l mt vnh giao hoỏn cú n v m R khụng l vnh chớnh Khi ú R l R mụun xyclic sinh bi { 1} Tuy nhiờn R khụng l vnh chớnh nờn tn ti iờan I ca R khụng l iờan chớnh Do ú I l R mụun khụng phi l mụun xyclic i vi mụun trờn vnh chớnh, t nh lý 2.2.1 ta cú h qu sau 2.2.3 H qu Trờn vnh chớnh mi mụun ca mt mụun xyclic l mụun xyclic Chng minh Cho M l mt mụun xyclic trờn vnh chớnh R , gi s M sinh bi phn t x Theo nh lý 2.2.1 mi mụun N ca M l hu hn sinh nờn gi s N cú mt h sinh gm n phn t { a1 x , a2 x , , an x} , vi a1 , , an R Mi y N thỡ ta cú y = b1a1 x + ììì+ bn an x = (b1a1 + ììì+ bn an ) x , (ai , bi R, i = 1, , n) Do R l vnh chớnh nờn tn ti UCLN (a1 , , an ) = d v nh vy ta cú b1a1 + ììì+ bn an = (b1c1 + ììì+ bncn )d nờn y = (b1c1 + ììì+ bn cn ).dx ú UCLN (c1 , , cn ) = Nờn tn ti cỏc phn t , , n R cho 1c1 + ììì+ ncn = Nh vy iờan sinh bi (c1 , , cn ) cha n v nờn nú l R T ú suy N = R.dx , ngha l N l mt mụun xyclic Vy ta cú iu phi chng minh 31 T h qu trờn ta cú h qu sau 2.2.4 H qu Mi nhúm ca nhúm xyclic l nhúm xyclic Nu M l mt mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh R thỡ nú cú th phõn tớch c thnh tng trc tip cỏc mụun xyclic, kt qu ny c xỏc nh qua nh lý sau 2.2.5 nh lý Mi mụun hu hn sinh M trờn vnh chớnh R l tng trc tip ca cỏc mụun xyclic Ngha l, nu R mụun M cú mt h sinh n phn t thỡ tn ti cỏc phn t a1 , a2 , , an R cho Ra1 Ra2 Ran v M R / Ra1 R / Ra2 ììì R / Ran Chng minh Vỡ M l mt mụun trờn vnh chớnh R nờn tn ti mt R mụun t F vi mt c s hu hn gm n phn t v mt ton cu R mụun f : F M t H : = ker f Ta cú M F / H Theo nh lý 2.1.4, tn ti mt c s ( ei ) i =1 ca F v cỏc phn t n a1 , , an R m Ra1 Ra2 Ran v H sinh bi a1e1 , , an en Do vy M F / H R / Ra1 ììì R / Ran Nh vy, nu M l mt mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh R thỡ nú c phõn tớch thnh tng trc tip ca cỏc mụun xyclic M = M1 L M n ú M i R / Rai , a1 , K , an R v chia ht +1 , i = 1, K , n 32 T nh lý trờn ta nhn c nh lý 1.3.3 Chng 1: Mi nhúm aben hu hn sinh u phõn tớch c thnh tng trc tip ca mt s hu hn nhúm xyclic khụng phõn tớch c Gi s M l mt mụun trờn mt nguyờn R Tp ( M ) := { m M : r R \ { 0} , rm = 0} cỏc phn t xon ca M c gi l { } mụun xon ca M Nu ( M ) = M thỡ M c gi l mụun khụng xon; cũn nu ( M ) = M thỡ M c gi l mụun xon D thy rng tng trc tip ca nhng hng t Mi ng vi chớnh l mụun xon ( M ) ca M; cũn tng trc tip ca nhng hng t Mi ng vi = cho ta mt mụun t ca M Vỡ vy t nh lý trờn ta cú h qu sau giỳp ta quy bi toỏn phõn loi mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh v bi toỏn phõn loi mụun xon hu hn sinh 2.2.6 H qu Cho M l mt mụun hu hn sinh trờn mt vnh chớnh R Khi ú (i) M = ( M ) F vi ( M ) l mụun xon ca M v F l mt mụun t (ii) M l mt mụun t nu v ch nu nú khụng xon Chỳ ý rng t h qu ny ta cng suy H qu 1.3.4: Nu X l mt nhúm aben hu hn sinh thỡ (i) X = ( X ) F , ú F l mt nhúm aben t ca X (ii) X l mt nhúm aben t nu v ch nu ( X ) = 2.2.7 nh ngha Cho M l mt mụun xon, hu hn sinh trờn vnh chớnh R (i) Khi ú mi x thuc M , Ann( x) = { r R | xr = 0} l mt iờan 33 chớnh khỏc ca R nờn tn ti phn t khỏc Ann( x) = R Phn t xỏc nh nht (sai khỏc mt nhõn t kh nghch) c gi l cp ca x , ký hiu l o( x) (ii) Do R l vnh chớnh nờn Ann( M ) cng l mt iờan chớnh ca R nờn tn ti nht R (sai khỏc mt nhõn t kh nghch) Ann( M ) = R Ta gi l s m ca M , ký hiu l exp( M) 2.2.8 Nhn xột (i) Rx R / Ann( x) = R / Ro( x) (ii) S m ca M chia ht cho cp ca mi phn t ca nú v chia ht cho s m ca mi mụun ca nú Nu M l mt mụun xyclic sinh bi phn t x thỡ exp( M)= o(x) T nh lý Trung Hoa v phn d ta cú kt qu sau õy 2.2.9 B Cho R l mt vnh chớnh v a R l mt phn t khỏc v e e khụng kh nghch Gi s a cú phõn tớch tiờu chun l a = p1 pk Khi ú k R/ Ra R / Rp1e R / Rpke k T nh lý 2.2.5 v b trờn ta cú kt qu sau Chỳ ý rng t kt qu ny ta suy Mnh 1.3.1, Chng v nhúm aben hu hn sinh 2.2.10 nh lý Cho M l mụun xon, hu hn sinh trờn vnh chớnh R Khi ú M cú phõn tớch M = M1 L M n ú Mi l mụun xyclic cú s m exp( M i ) = piei l ly tha ca mt phn t bt kh qui pi R 2.2.11 nh ngha Cho M l mt mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh R Mi phn t bt kh quy p ca R ta ký hiu C p ( M ) l hp tt c cỏc phn t ca M cú cp l mt ly tha ca p Ta d dng chng minh c C p ( M ) l mt mụun ca M Trong 34 phõn tớch ca M nh lý 2.2.10 thỡ C p ( M ) chớnh l tng trc tip ca nhng hng t Mi m pi liờn kt vi p Nh vy, M phõn tớch c thnh tng trc tip ca nhng mụun dng C p ( M ) vi p l mt phn t bt kh qui ca vnh R Cng ging nh trng hp nhúm aben m chỳng ta ó trỡnh by Chng 1, õy ta cng mun chng minh phõn tớch ca M nh lý 2.2.10 l nht n gin, trc ht ta quy bi toỏn v trng hp M cú s m l ly tha ca mt phn t bt kh quy Ta cú nh lý sau 2.2.12 nh lý Cho M l mt mụun xon hu hn sinh trờn vnh chớnh R e e vi s m exp ( M ) = cú phõn tớch tiờu chun = p p k Khi ú k M = C p ( M ) C p ( M ) , k e i vi mi i = 1, , k Hn na, phõn tớch dng exp C M = p ú p ( )ữ i i ny ca M l nht nu khụng k n th t cỏc hng t Chng minh Trc ht, theo nh lý 2.2.10 ta thy rng luụn cú th vit M di dng M = C p ( M ) C p ( M ) k Gi s M cũn cú phõn tớch khỏc: M = Cq ( M ) Cq ( M ) , l ú cỏc q j l nhng phn t bt kh quy ca R, ụi mt khụng liờn kt, ' e v exp Cq ( M ) ữ = q j vi j = 1, , l Khi ú ta cú ữ j j e' e' e' l l j A = Ann ( M ) = I Ann Cq ( M ) ữữ = I Aq j = Aq q l l j j=1 j =1 35 e' e' Suy = vq q l vi v T õy nhn c k = l , v ỏnh s li nu cn l thit, pi liờn kt vi qi vi mi i = 1, , k Do ú C pi ( M ) = Cqi ( M ) v ei = e'j vi mi i = 1, , k iu ny chng t dng phõn tớch ang cp ca M l tn ti v nht nh lý c chng minh T nh lý trờn ta thy rng chng minh tớnh nht ca s phõn tớch ca mụun M nh lý 2.2.10 ta ch cn chng minh trng hp M cú s m l ly tha ca mt phn t bt kh quy Trc ht ta cn n b sau 2.2.13 B Cho M, N l hai mụun xon hu hn sinh ng cu trờn vnh e chớnh R vi exp ( M ) = exp ( N ) = p , p l phn t bt kh quy ca R Gi s M v N cú phõn tớch thnh tng trc tip nhng mụun xyclic M = M M , k N = N N l e' e ú exp M = p i , exp N ữ = p j vi e1 ek v e '1 e 'l i j ( ) Khi ú k = l v ei = e 'i vi mi i = 1, , k Chng minh Gi s Mi = Rxi v N j = Ry j vi i = 1, , k , j = 1, , l Khi ú e e' xi = p i v y ữ = p j Gi s h : M N l mt ng cu, v j ( ) e zi = h xi Hin nhiờn l N = Rz1 Rzk v z = p i vi mi i = 1, , k i ( ) Ta cú ( ) 36 e' e' l l e Rp = Ann ( N ) = I Ann Ry j ữ = I Rp j = Rp l , j =1 j=1 e k v tng t Rpe = I Ann Rzi = Rp T ú ta suy e = e1 = e '1 Bõy gi i=1 ( ) ( ) e gi s y1 = a1z1 + + ak zk vi R Do y1 = p , nờn nhng ch s i m ei = e phi cú ớt nht mt ch s i0 cho ai0 nguyờn t cựng vi p Khụng gim tng quỏt, ta coi rng a1 v p nguyờn t cựng e Khi ú tn ti r, s R ra1 + sp = Ta cú ) ( ry = + spe z + r a z + + z = z + z + + z , 1 22 k k 22 k k hay z1 = ry1 ra2 z2 rak zk Nh vy y1, z2 , , zk cng l mt h sinh ca N Hn na, k b y = b2 z2 + + b z Ry Rz ữữ, 11 k k i=2 k nu thỡ bi y = a z + + a z , ta nhn c 11 k k ( ) ( ) a b z + a b b z + + a b b z = 11 21 2 k k k e Suy a1b1z1 = , ú p a1b1 Vỡ a1 nguyờn t cựng vi p, nờn pe b T ú ta cú b1y1 = Nh vy N = Ry1 Rz2 Rzk , v t õy ta thu c Rz2 Rzk Ry2 Ryl Bõy gi s dng quy np ta d dng suy iu phi chng minh 2.2.14 nh lý Cho M l mt mụun xon hu hn sinh trờn vnh chớnh e R v gi s rng exp ( M ) = p vi p l mt phn t bt kh quy ca R Khi ú 37 tn ti nht mt dóy s nguyờn e = e1 ek v cỏc mụun e xyclic M1, , M k ú exp Mi = p i , ( i k ) cho ( ) M = M M k Chng minh S tn ti ca s phõn tớch c suy t nh lý 2.2.10 v tớnh nht ca dóy s nguyờn dng e = e1 ek c suy t B 2.2.13 T nh lý 2.2.12 v nh lý 2.2.14 ta cú kt qu sau 2.2.15 nh lý Cho M l mt mụun xon hu hn sinh trờn mt vnh e e chớnh R vi s m cú phõn tớch tiờu chun exp ( M ) = p p k Khi ú tn ti k nht cỏc dóy s nguyờn dng ei = ei1 ei2 eil , i = 1, , k cho e k li M = Mij , ú mi Mij l mt mụun xyclic cú s m p ij i i=1 j =1 T nh lý 2.2.15 v nh lý 2.2.5 ta suy nh lý sau (chng minh ca nh lý ny cú th lm tng t nh chng minh ca nh lý 1.3.9 Chng v nhúm aben hu hn sinh) 2.2.16 nh lý Cho M l mt mụun xon hu hn sinh trờn mt vnh chớnh R, v gi s exp ( M ) = Khi ú tn ti nht, sai khỏc nhng nhõn t kh nghch, mt dóy cỏc phn t khỏc 0, khụng kh nghch ca R 1, , , n = vi i i+1, i = 1, , n cho M cú phõn tớch n M= M , i =1 i 38 ( ) ú Mi l mụun xyclic ca M cú s m exp Mi = i vi mi i = 1, , n T cỏc kt qu trờn, ta cú nh lý sau õy cho phộp mụ t hon ton cu trỳc ca mt mụun hu hn sinh trờn mt vnh chớnh R 2.2.17 nh lý Cho M l mt mụun hu hn sinh trờn mt vnh chớnh R Khi ú (i) Tn ti nht mt s nguyờn r v mt dóy cỏc phn t khỏc 0, khụng kh nghch n ca R, sai khỏc nhng nhõn t kh nghch, vi , i = 1, , n cho M R / R1 R / R n Rr i i +1 (ii) Tn ti nht mt s nguyờn r v mt dóy cỏc ly tha ca e e nhng phn t bt kh quy p , , p k ca R, chớnh xỏc n nhng nhõn t k kh nghch, cho e e M R / Rp R / Rp k Rr k T nh lý trờn ta suy nh lý 1.3.6 v nh lý 1.3.9 v phõn tớch nhúm aben hu hn sinh m chỳng tụi ó trỡnh by Chng 39 Kt lun Da vo cỏc ti liu tham kho, Lun ó trỡnh by li mt s kt qu v nhúm aben hu hn sinh v mt s kt qu v mụun trờn vnh chớnh t ú thy c lý thuyt nhúm aben hu hn sinh cú th c trỡnh by c lp nhng cng cú th c suy t lý thuyt mụun trờn vnh chớnh C th l lun ny, chỳng tụi ó trỡnh by nhng sau Trỡnh by mt s kt qu v cu trỳc nhúm aben hu hn sinh Kt qu chớnh l: cú th biu din mi nhúm aben hu hn sinh mt cỏch nht di dng tng trc tip ca nhng nhúm xyclic khụng phõn tớch c (nh lý 1.3.6 v nh lý 1.3.9) Trỡnh by mt s kt qu v mụun t trờn vnh chớnh v mụun hu hn sinh trờn vnh chớnh (nh lý 2.1.1, nh lý 2.1.4, nh lý 2.2.17) Cỏc kt qu phn ny c nhỡn nhn t cỏc kt qu v nhúm aben ó trỡnh by phn trc Tuy nhiờn cỏc chng minh l hon ton c lp v t 40 cỏc kt qu phn ny, chỳng tụi suy cỏc kt qu tng ng i vi nhúm aben ó trỡnh by phn trc nh nhng h qu Ti liu tham kho Ting Vit [1] Lờ Quc Hỏn (2008), Nhp mụn lý thuyt na nhúm v lý thuyt nhúm, Trng i hc Vinh [2] H Vn Sn (2010), Mt s tớnh cht ca iờan chớnh, Lun thc s Toỏn hc, Trng i hc Vinh [3] Dng Quc Vit (ch biờn) (2008), C s lý thuyt module, Nh xut bn i hc S phm [4] Dng Quc Vit (ch biờn) (2009), Bi lý thuyt module, Nh xut bn i hc S phm Ting Anh [5] M.F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company 41 [6] H Matsumura (1986), Commuatative ring theory, Cambridge University Press [7] R.Y.Sharp (1990), Steps in commutative algebra, Cambridge Univ Press [...]... vành giao hoán, đơn vị là 1 nên R là một R − môđun hữu hạn sinh có một hệ sinh là { 1} Mỗi iđêan của R cũng là một R − môđun con của môđun R Xét iđêan I = ( x1 , x2 , , xn , ) Nó là iđêan không hữu hạn sinh của R vì vậy nó cũng là một môđun con không hữu hạn sinh Tuy nhiên, khi xét một môđun hữu hạn sinh trên vành chính ta có kết quả sau 2.2.1 Định lý Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành chính. .. trực tiếp của những hạng tử Mi ứng với ai ≠ 0 chính là môđun con xoắn τ ( M ) của M; còn tổng trực tiếp của những hạng tử Mi ứng với ai = 0 cho ta một môđun con tự do của M Vì vậy từ định lý trên ta có hệ quả sau giúp ta quy bài toán phân loại môđun hữu hạn sinh trên vành chính về bài toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh 2.2.6 Hệ quả Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành chính R Khi đó (i)... là R − môđun xyclic sinh bởi { 1} Tuy nhiên do R không là vành chính nên tồn tại iđêan I của R không là iđêan chính Do đó I là R − môđun con không phải là môđun xyclic Đối với môđun trên vành chính, từ Định lý 2.2.1 ta có hệ quả sau 2.2.3 Hệ quả Trên vành chính mọi môđun con của một môđun xyclic là môđun xyclic Chứng minh Cho M là một môđun xyclic trên vành chính R , giả sử M sinh bởi phần tử x Theo... cấu với một hạng tử trực tiếp của một R − môđun tự do Xét vành ¢ 6 , gọi M và N lần lượt là các ¢ 6 − môđun con của ¢ 6 sinh bởi các phần tử 2 vµ 3 của ¢ 6 thì ¢ 6 = M ⊕ N Do đó M và N là những môđun xạ ảnh Nhưng M và N không phải là ¢ 6 − môđun tự do Trên vành chính, ta có hệ quả sau 2.1.2 Hệ quả Mọi môđun xạ ảnh trên vành chính R là môđun tự do Chứng minh Vì mọi R − môđun xạ ảnh đều là hạng tử trực... mọi môđun con của nó là hữu hạn sinh Chứng minh Do R là vành chính nên R là một vành Noether Mà M là R − môđun hữu hạn sinh trên vành Noether thì M là một R − môđun Noether Giả sử N là một môđun con của M Nếu N không hữu hạn sinh thì tồn tại dãy vô hạn các phần tử x1 , x2 , , xn , thuộc N sao cho nếu đặt m M m = ∑ i =1 Rxi thì ta có M j Ø M j +1 với mọi j ≥ 1 Như vậy ta có một dãy tăng vô hạn. .. Định lý Mỗi môđun hữu hạn sinh M trên vành chính R là tổng trực tiếp của các môđun con xyclic Nghĩa là, nếu R − môđun M có một hệ sinh n phần tử thì tồn tại các phần tử a1 , a2 , , an ∈ R sao cho Ra1 ⊇ Ra2 ⊇ ⊇ Ran và M ≅ R / Ra1 ⊕ R / Ra2 ⊕ ×××⊕ R / Ran Chứng minh Vì M là một môđun trên vành chính R nên tồn tại một R − môđun tự do F với một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử và một toàn cấu R − môđun f :... tuyến tính g : F → R sao cho trên tập cơ sở { e2 , , en } của F thì g (e2 ) = 1 và g (e) = 0 với mọi e ∈ { e3 , , en } Ta được g ( M 1 ) = Rα 2 Nên theo (c) ta có Rα 2 ⊆ Rα1 , suy ra α1 chia hết α 2 Định lý được chứng minh  2.2 Môđun hữu hạn sinh trên vành chính Chúng ta biết rằng môđun con của môđun hữu hạn sinh chưa hẳn là hữu hạn sinh Chẳng hạn, xét vành đa thức vô hạn biến R = K [ x1 , x2... tương ứng ở Chương 1 như những hệ quả 2.1 Môđun tự do trên vành chính Với một môđun tự do trên vành R bất kỳ thì môđun con của nó chưa hẳn đã là môđun tự do Chẳng hạn, xét vành R = ¢ 6 thì R là một ¢ 6 − môđun tự do Gọi M là ¢ 6 − môđun sinh bởi phần tử 2 thì M là môđun con của R nhưng M không phải là môđun tự do vì không có cơ sở do mọi x ∈ M thì x = n.2 nên 3.x = n.3.2 = 0 Tuy nhiên nếu R là một vành. .. dừng các môđun con 30 M 1 ⊂ M 2 ⊂ ×××⊂ M m ⊂ ××× Mâu thuẫn với M là R − môđun Noether, suy ra N phải hữu hạn sinh  Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau đây 2.2.2 Hệ quả Mọi nhóm con của nhóm aben hữu hạn sinh là nhóm aben hữu hạn sinh Môđun con của môđun xyclic nói chung cũng không phải là môđun xyclic Thật vậy, ta xét R là một vành giao hoán có đơn vị 1 mà R không là vành chính Khi đó R là R − môđun. .. quả này ta suy ra ngay Mệnh đề 1.3.1, Chương 1 về nhóm aben hữu hạn sinh 2.2.10 Định lý Cho M là môđun xoắn, hữu hạn sinh trên vành chính R Khi đó M có phân tích M = M1 ⊕ L ⊕ M n trong đó Mi là môđun con xyclic có số mũ exp( M i ) = piei là lũy thừa của một phần tử bất khả qui pi ∈ R 2.2.11 Định nghĩa Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành chính R Mỗi phần tử bất khả quy p của R ta ký hiệu C p ( ... hữu hạn sinh vành ta có kết sau 2.2.1 Định lý Nếu M môđun hữu hạn sinh vành R môđun hữu hạn sinh Chứng minh Do R vành nên R vành Noether Mà M R − môđun hữu hạn sinh vành Noether M R − môđun Noether... chứng minh  2.2 Môđun hữu hạn sinh vành Chúng ta biết môđun môđun hữu hạn sinh chưa hữu hạn sinh Chẳng hạn, xét vành đa thức vô hạn biến R = K [ x1 , x2 , , xn , ] với K trường Ta có R vành. .. phân loại môđun hữu hạn sinh vành toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh 2.2.6 Hệ Cho M môđun hữu hạn sinh vành R Khi (i) M = τ ( M ) ⊕ F với τ ( M ) môđun xoắn M F môđun tự (ii) M môđun tự không