Chúng ta biết rằng môđun con của môđun hữu hạn sinh chưa hẳn là hữu hạn sinh. Chẳng hạn, xét vành đa thức vô hạn biến R K x x= [ ,1 2, . . . , xn, . . .] với K là một trường. Ta có R là một vành giao hoán, đơn vị là 1 nên R là một R−môđun hữu hạn sinh có một hệ sinh là { }1 . Mỗi iđêan của R cũng là một R−môđun con của môđun R. Xét iđêan I =( ,x x1 2, . . . , xn, . . .). Nó là iđêan không hữu hạn sinh của R vì vậy nó cũng là một môđun con không hữu hạn sinh.
Tuy nhiên, khi xét một môđun hữu hạn sinh trên vành chính ta có kết quả sau.
2.2.1. Định lý. Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành chính R thì mọi môđun con của nó là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Do R là vành chính nên R là một vành Noether. Mà M là R−
môđun hữu hạn sinh trên vành Noether thì M là một R−môđun Noether. Giả sử N là một môđun con của M . Nếu N không hữu hạn sinh thì tồn tại dãy vô hạn các phần tử x x1, 2, . . . , xn, . . . thuộc N sao cho nếu đặt
1
m
m i i
M =∑= Rx thì ta có Mj ØMj+1 với mọi j≥1. Như vậy ta có một dãy tăng vô hạn không dừng các môđun con
1 2 m
M ⊂M ⊂ ×××⊂M ⊂ ×××
Mâu thuẫn với M là R−môđun Noether, suy ra N phải hữu hạn sinh.
Từ định lý trên ta có ngay hệ quả sau đây.
2.2.2. Hệ quả.Mọi nhóm con của nhóm aben hữu hạn sinh là nhóm aben hữu hạn sinh.
Môđun con của môđun xyclic nói chung cũng không phải là môđun xyclic. Thật vậy, ta xét R là một vành giao hoán có đơn vị 1 mà R không là vành chính. Khi đó R là R−môđun xyclic sinh bởi { }1 . Tuy nhiên do R
không là vành chính nên tồn tại iđêan I của R không là iđêan chính. Do đó I
là R−môđun con không phải là môđun xyclic. Đối với môđun trên vành
chính, từ Định lý 2.2.1 ta có hệ quả sau.
2.2.3. Hệ quả. Trên vành chính mọi môđun con của một môđun xyclic là môđun xyclic.
Chứng minh.Cho M là một môđun xyclic trên vành chính R, giả sử M sinh bởi phần tử x. Theo Định lý 2.2.1 mọi môđun con N của M là hữu hạn sinh nên giả sử N có một hệ sinh gồm n phần tử {a x a x1 , 2 , . . . , a xn } , với
1, . . . , n
a a ∈R. Mỗi y N∈ thì ta có y b a x= 1 1 + ×××+b a xn n =(b a1 1+ ×××+b a xn n) , ( ,a bi i∈R i, =1, . . . , )n .
Do R là vành chính nên tồn tại UCLN a( , . . . ,1 an)=d và như vậy ta có
1 1 n n ( 1 1 n n)
b a + ×××+b a = b c + ×××+b c d nên y =(b c1 1 + ×××+b c dxn n). trong đó
1
( , . . . , ) 1n
UCLN c c = . Nên tồn tại các phần tử λ1, . . . ,λ ∈n R sao cho
1 1c n nc 1
λ + ×××+λ = . Như vậy iđêan sinh bởi ( , . . . , )c1 cn chứa đơn vị nên nó là R. Từ đó suy ra N =R dx. , nghĩa là N là một môđun xyclic. Vậy ta có điều
Từ hệ quả trên ta có ngay hệ quả sau.
2.2.4. Hệ quả. Mọi nhóm con của nhóm xyclic là nhóm xyclic.
Nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành chính R thì nó có thể phân tích được thành tổng trực tiếp các môđun con xyclic, kết quả này được xác định qua định lý sau.
2.2.5. Định lý. Mỗi môđun hữu hạn sinh M trên vành chính R là tổng trực tiếp của các môđun con xyclic. Nghĩa là, nếu R−môđun M có một hệ sinh n phần tử thì tồn tại các phần tử a a1, 2, . . . , an∈R sao cho
1 2 ... n Ra ⊇Ra ⊇ ⊇Ra và 1 2 / / / n M ≅R Ra ⊕R Ra ⊕ ×××⊕R Ra .
Chứng minh. Vì M là một môđun trên vành chính R nên tồn tại một R−
môđun tự do F với một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử và một toàn cấu R−
môđun :f F →M. Đặt H: ker= f . Ta có M ≅F H/ . Theo Định lý 2.1.4, tồn tại một cơ sở ( ) 1
n i i e = của F và các phần tử 1, . . . , n a a ∈R mà 1 2 ... n Ra ⊇Ra ⊇ ⊇Ra
và H sinh bởi a e1 1, . . . ,a en n. Do vậy
1
/ / / n
M ≅F H ≅R Ra ⊕×××⊕R Ra .
Như vậy, nếu M là một môđun hữu hạn sinh trên vành chính R thì nó được phân tích thành tổng trực tiếp của các môđun con xyclic
1 n
M =M ⊕ ⊕L M
Từ định lý trên ta nhận được ngay Định lý 1.3.3 ở Chương 1: Mọi nhóm aben hữu hạn sinh đều phân tích được thành tổng trực tiếp của một số hữu hạn nhóm xyclic không phân tích được.
Giả sử M là một môđun trên một miền nguyên R. Tập
( )M : {m M r R: \ 0 ,{ } rm 0}
τ = ∈ ∃ ∈ = các phần tử xoắn của M được gọi là
môđun con xoắn của M. Nếu τ( )M ={ }0M thì M được gọi là môđun không xoắn; còn nếu τ( )M =Mthì M được gọi là môđun xoắn. Dễ thấy rằng tổng trực tiếp của những hạng tử Mi ứng với ai ≠0 chính là môđun con xoắn τ( )M
của M; còn tổng trực tiếp của những hạng tử Mi ứng với ai = 0 cho ta một môđun con tự do của M. Vì vậy từ định lý trên ta có hệ quả sau giúp ta quy bài toán phân loại môđun hữu hạn sinh trên vành chính về bài toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh.
2.2.6. Hệ quả.Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành chính R. Khi đó
(i) M=τ( )M ⊕Fvới τ( )M là môđun con xoắn của M và F là một môđun tự do.
(ii) M là một môđun tự do nếu và chỉ nếu nó không xoắn.
Chú ý rằng từ hệ quả này ta cũng suy ra ngay Hệ quả 1.3.4: Nếu X là một nhóm aben hữu hạn sinh thì
(i) X=τ( )X ⊕F, trong đó F là một nhóm con aben tự do của X. (ii) X là một nhóm aben tự do nếu và chỉ nếu τ( )X =0.
2.2.7. Định nghĩa. Cho M là một môđun xoắn, hữu hạn sinh trên vành chính
R.
chính khác 0 của R nên tồn tại phần tử α khác 0 để Ann( )x =Rα. Phần tử α
xác định duy nhất (sai khác một nhân tử khả nghịch) được gọi là cấp của x, ký hiệu là ( )o x .
(ii) Do R là vành chính nên Ann( )M cũng là một iđêan chính của R nên tồn tại duy nhất β ∈R (sai khác một nhân tử khả nghịch) để Ann( )M =Rβ .
Ta gọi β là số mũ của M , ký hiệu là exp(M).
2.2.8. Nhận xét. (i) Rx R≅ / Ann( )x =R Ro x/ ( ).
(ii) Số mũ của M chia hết cho cấp của mọi phần tử của nó và chia hết cho số mũ của mọi môđun con của nó. Nếu M là một môđun xyclic sinh bởi phần tử x thì exp(M)= o(x).
Từ Định lý Trung Hoa về phần dư ta có kết quả sau đây.
2.2.9. Bổ đề. Cho R là một vành chính và a∈R là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Giả sử a có phân tích tiêu chuẩn là a = 1
1e... ek. k p p Khi đó R/ Ra ≅ 1 1 / e ... / ek. k R Rp ⊕ ⊕R Rp
Từ Định lý 2.2.5 và bổ đề trên ta có ngay kết quả sau. Chú ý rằng từ kết quả này ta suy ra ngay Mệnh đề 1.3.1, Chương 1 về nhóm aben hữu hạn sinh.
2.2.10. Định lý. Cho M là môđun xoắn, hữu hạn sinh trên vành chính R. Khi đó M có phân tích
1 n
M =M ⊕ ⊕L M
trong đó Mi là môđun con xyclic có số mũ exp( ) ei i i
M = p là lũy thừa của một phần tử bất khả qui pi∈R.
2.2.11. Định nghĩa. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành chính R. Mỗi phần tử bất khả quy p của R ta ký hiệu C Mp( ) là tập hợp tất cả các
phần tử của M có cấp là một lũy thừa của p.
phân tích của M ở Định lý 2.2.10 thì C Mp( ) chính là tổng trực tiếp của những
hạng tử Mi mà pi liên kết với p. Như vậy, M phân tích được thành tổng trực tiếp của những môđun con dạng C Mp( ) với p là một phần tử bất khả qui của
vành R. Cũng giống như trong trường hợp nhóm aben mà chúng ta đã trình bày trong Chương 1, ở đây ta cũng muốn chứng minh phân tích của M trong Định lý 2.2.10 là duy nhất. Để đơn giản, trước hết ta quy bài toán về trường hợp M có số mũ là lũy thừa của một phần tử bất khả quy. Ta có định lý sau.
2.2.12. Định lý. Cho M là một môđun xoắn hữu hạn sinh trên vành chính R
với số mũ exp( )M =α có phân tích tiêu chuẩn α = p1e1....pkek . Khi đó
( ) ... ( ) 1 M C= p M ⊕ ⊕Cpk M , trong đó exp Cp ( )M pei i i ÷
= với mọi i=1,...,k. Hơn nữa, phân tích dạng này của M là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các hạng tử.
Chứng minh. Trước hết, theo Định lý 2.2.10 ta thấy rằng luôn có thể viết M
dưới dạng ( ) ... ( ) 1 M C= p M ⊕ ⊕Cpk M . Giả sử M còn có phân tích khác: ( ) ... ( ) 1 M C= q M ⊕ ⊕Cql M ,
trong đó các qjlà những phần tử bất khả quy của R, đôi một không liên kết,
và exp Cq ( )M qej'j j ÷ ÷ = với j=1,...,l. Khi đó ta có ( ) ( ) ' 11... .' ' 1 1 e e e l l j l A Ann M Ann Cq M Aqj Aq ql j j j α ÷÷ = = = = = = I I
Suy ra ' ' 1... 1 e e l vq ql
α = với v1. Từ đây nhận được k l= , và đánh số lại nếu cần
thiết, pi liên kết với qi với mọi i=1,...,k. Do đó Cp ( )M Cq ( )M
i = i và
'
e ei = jvới mọi i=1,...,k. Điều này chứng tỏ dạng phân tích đang đề cập của
M là tồn tại và duy nhất. Định lý được chứng minh.
Từ định lý trên ta thấy rằng để chứng minh tính duy nhất của sự phân tích của môđun M trong Định lý 2.2.10 ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp M có số mũ là lũy thừa của một phần tử bất khả quy. Trước hết ta cần đến bổ đề sau.
2.2.13. Bổ đề.Cho M, N là hai môđun xoắn hữu hạn sinh đẳng cấu trên vành chính R với exp( )M =exp( )N =pe, p là phần tử bất khả quy của R. Giả sử
M và N có phân tích thành tổng trực tiếp những môđun con xyclic
... , 1 ... 1 M M Mk N N Nl = ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ trong đó ( ) ÷ = = '
exp Mi pei, exp Nj pej với e1≥ ≥... ekvà e' ...1≥ ≥e l' .
Khi đó k l= và e ei = 'i với mọi i=1,...,k.
Chứng minh. Giả sử Mi =Rxi và Nj =Ryj với i=1,..., , 1,...,k j= l. Khi đó
( )xi pei ο = và y pej' j ο ÷ = . Giả sử h M: →N là một đẳng cấu, và ( )
z h xi = i . Hiển nhiên là N Rz= 1⊕ ⊕... Rzkvà ο( )zi = peivới mọi i = 1, ..., k. Ta có
( ) ÷ = = = = = = I I ' ' 1 1 e e l l j e l Rp Ann N Ann Ryj Rp Rp j j , và tương tự = ( ) = = I 1 1 e k e Rp Ann Rzi Rp
i . Từ đó ta suy ra e e= =1 e'1. Bây giờ
giả sử y1=a z1 1+ +... a zk k với a Ri∈ . Do ο( )y1 = pe, nên trong tập những chỉ số i mà e ei = phải có ít nhất một chỉ số i0sao cho
0
ai nguyên tố cùng nhau với p. Không giảm tổng quát, ta coi rằng a1và p nguyên tố cùng nhau. Khi đó tồn tại r s R, ∈ để ra sp1+ e =1. Ta có
( ) ... ...
1 1 e 1 2 2 2 1 2 2
ry = ra sp z r a z+ + + +ra zk k = +z ra z + +ra zk k,
hay z1=ry ra z1− 2 2− −... ra zk k. Như vậy y z1 2, ,...,zkcũng là một hệ sinh của
N . Hơn nữa, nếu ÷÷
= + + ∈ ∩ ∑ = 2 2 ... 1 1 1 k2 b y b z b zk k Ry Rzk i , thì bởi ... 1 1 y a z= + +a zk k, ta nhận được ( ) ... ( ) 0 1 1 1 2 1 2 2 1 a b z + a b b z− + + a b b zk − k k = .
Suy ra a b z1 1 1=0, do đó p a be 1 1. Vì a1nguyên tố cùng nhau với p, nên
1
e
p b . Từ đó ta có b y1 1=0. Như vậy N Ry= 1⊕Rz2⊕ ⊕.... Rzk, và từ đây ta thu được Rz2⊕ ⊕... Rzk ≅Ry2⊕ ⊕... Ryl.
Bây giờ sử dụng quy nạp ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.
2.2.14. Định lý. Cho M≠0 là một môđun xoắn hữu hạn sinh trên vành chính R và giả sử rằng exp( )M =pevới p là một phần tử bất khả quy của R. Khi đó
tồn tại duy nhất một dãy số nguyên e e= ≥1 ....≥ek ≥1 và các môđun con
xyclic M1,...,M k trong đó exp( )M pei, 1( i k)
i = ≤ ≤ sao cho
... 1
M M= ⊕ ⊕Mk.
Chứng minh. Sự tồn tại của sự phân tích được suy từ Định lý 2.2.10 và tính duy nhất của dãy số nguyên dương e e= ≥1 ....≥ek ≥1 được suy ra từ Bổ đề
2.2.13.
Từ Định lý 2.2.12 và Định lý 2.2.14 ta có ngay kết quả sau.
2.2.15. Định lý. Cho M≠0 là một môđun xoắn hữu hạn sinh trên một vành chính R với số mũ có phân tích tiêu chuẩn exp( ) 1...
1
e
e k
M = p pk . Khi đó tồn tại duy nhất các dãy số nguyên dương e ei = i1≥ei2≥ ≥... eil, 1,....,i= k sao cho
1 1
l k i M= ⊕ ⊕i j Mij
= = , trong đó mỗi Mij là một môđun con xyclic có số mũ eij pi .
Từ Định lý 2.2.15 và Định lý 2.2.5 ta suy ra định lý sau (chứng minh của định lý này có thể làm tương tự như chứng minh của Định lý 1.3.9 trong Chương 1 về nhóm aben hữu hạn sinh).
2.2.16. Định lý. Cho M≠0 là một môđun xoắn hữu hạn sinh trên một vành chính R, và giả sử exp( )M =α . Khi đó tồn tại duy nhất, sai khác những nhân tử khả nghịch, một dãy các phần tử khác 0, không khả nghịch của R
α α1 2, ,...,αn=α với αi αi+1, 1,...,i= n−1 sao cho M có phân tích
1
n M= ⊕i Mi
trong đó Mi là môđun con xyclic của M có số mũ exp( )Mi =αi với mọi
1,...,
i= n.
Từ các kết quả trên, ta có định lý sau đây cho phép mô tả hoàn toàn cấu trúc của một môđun hữu hạn sinh trên một vành chính R.
2.2.17. Định lý. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành chính R. Khi đó
(i) Tồn tại duy nhất một số nguyên r và một dãy các phần tử khác 0,
không khả nghịch α1...αn của R, sai khác những nhân tử khả nghịch, với
, 1,..., 1
1 i n
i i
α α + = − sao cho M R R≅ / α1⊕ ⊕... R R/ αn⊕Rr.
(ii) Tồn tại duy nhất một số nguyên r và một dãy các lũy thừa của
những phần tử bất khả quy p1e1,...,pkek của R, chính xác đến những nhân tử khả nghịch, sao cho
≅ / 1e1⊕ ⊕... / ek ⊕ r.
M R Rp R Rpk R
Từ định lý trên ta suy ra ngay Định lý 1.3.6 và Định lý 1.3.9 về phân tích nhóm aben hữu hạn sinh mà chúng tôi đã trình bày trong Chương 1.
Kết luận
Dựa vào các tài liệu tham khảo, Luận văn đã trình bày lại một số kết quả về nhóm aben hữu hạn sinh và một số kết quả về môđun trên vành chính để từ đó thấy được lý thuyết nhóm aben hữu hạn sinh có thể được trình bày độc lập nhưng cũng có thể được suy ra từ lý thuyết môđun trên vành chính. Cụ thể là trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày những vấn đề sau.