tính chất của môđun tự do trên vành chính

1 Mục lục Trang Mở đầu CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 1.1 Vµnh chÝnh 1.2 Môđun xoắn 1.3 Linh hãa tư cđa môđun 1.4 TÝch trùc tiÕp, tæng trùc tiÕp 1.5 D·y khíp 1.6 Môđun hữu hạn sinh 1.7 Môđun tự 1.8 Môđun nội xạ 1.9 Nguyªn lý Zermelo .7 1.10 Nguyên lý quy nạp siêu hạn 1.11 Sự phân tích môđun chơng môđun vành 2.1 Môđun tự vành .8 2.2 Môđun hữu hạn sinh vành KÕt luËn 12 Tài liệu 13 tham khảo Mở đầu Môđun vành đề tài đà đợc nghiên cứu nhiều từ trớc đến Có thể thấy cấu trúc môđun xuất hầu hết lý thuyết toán học đại, có khả thống cách chất với cấu trúc vành, iđêan, nhóm Aben, không gian véctơvà có khả linh hoạt tơng đối lớn Ta thấy môđun nhng gắn với lớp vành sở khác th× cÊu tróc cđa nã cã nhiỊu sù thay đổi Trong khóa luận tốt nghiệp này, sở kiến thức lý thuyết môđun đà đợc học tìm hiểu tài liệu, trình bày số vấn đề lý thuyết môđun vành Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận đợc chia làm hai chơng Chơng Kiến thức chuẩn bị: Trình bày (không chứng minh) kiến thức sở lý thuyết môđun có liên quan đến kết chứng minh Chơng Chơng Môđun vành chính: Trình bày số tính chất môđun vành chính, cụ thể môđun tự môđun hữu hạn sinh vành Đồng thời phân tích số môđun vành Khóa luận đợc thực trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình, chu đáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả trình hoàn thành khóa luận Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy giáo, cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ Đại số đà nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Xin cảm ơn tập thể 47 B Toán đà động viên thời gian làm khóa luận Mặc dù đà có nhiều cố gắng nhng trình độ thời gian có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận đợc lời bảo thầy cô giáo góp ý bạn đọc để khóa luận đợc hoàn thiện Vinh, tháng 05 năm 2010 Tác giả CHNG KIN THC CHUN B Trong chơng trình bày (không chứng minh) số khái niệm kết đợc dùng Chơng Trong toàn chơng, vành đợc giả thiết giao hoán có đơn vị 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi vành R l nguyên v mi iđêan R iđêan 1.1.2 Ví dụ Vành số nguyên  vành 1.1.3 Mệnh đề Giả sử phần tử khác 0, không khả nghịch vành R có phân tích tiêu chuÈn α = p1e1 pkek Khi ®ã R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ⊕ R / Rpkek 1.2 Môđun xoắn 1.2.1 Định nghĩa Giả sử R miền nguyên M Rmôđun Một phần tử x M đợc gọi phần tử xoắn tồn phần tö ≠ a ∈ R cho ax = Tập phần tử xoắn M đợc kí hiệu (M) 1.2.2 Mệnh đề Cho R miền nguyên M Rmôđun Khi (M) môđun M 1.2.3 Định nghĩa Giả sử M môđun miền nguyên R Tập (M) phần tử xoắn M đợc gọi môđun xoắn M Nếu (M) = {0M} M đợc gọi môđun không xoắn Nếu (M) = M M đợc gọi môđun xoắn 1.2.4 Mệnh đề Giả sử R miền nguyên M Rmôđun Khi ta có khẳng định sau: (i) (M) R-môđun xoắn (ii) M / (M) R-môđun không xoắn 1.3 Linh hóa tử môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun (i) Với x M, ta kí hiệu Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0} (ii) Linh hãa tử môđun M, kí hiệu Ann(M), tập tất phần tử a R cho ax = víi mäi x ∈ M Ann(M) = {a∈R | ax = 0, ∀x∈M} 1.3.2.NhËn xÐt Ann(x) vµ Ann(M) iđêan vành R 1.4 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 1.4.1 Định nghĩa Cho I tập khác rỗng (M)I họ R-môđun số hóa I Kí hiệu M = I M tích Đềcác (M)I Trên M trang bị phép cộng phép nhân với vô hớng nh sau: ( xα ) α∈I + ( yα ) α∈I = ( xα + yα ) α ∈I a ( xα ) α ∈I = ( axα ) α∈I , , víi mäi a ∈ R vµ mäi ( xα ) α∈I ; ( yα ) α ∈I M Khi hai phép toán vừa xác định làm cho M trở thành R-môđun M đợc gọi tích trực tiếp họ R-môđun (M)I Trong M = I M ta lấy tập I M bao gồm tất phần tử M với thành phần hầu hết, trừ số hữu hạn Khi I M R-môđun đợc gọi tổng trực tiếp họ môđun (M)I 1.4.2 Chú ý (i) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiÖu αΠ∈I M α bëi N I (ii) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiƯu α⊕∈I M α bëi N(I) 1.4.3 MƯnh ®Ị Cho R vành giao hoán, có đơn vị, I J tập khác rỗng, (M)I (N)I họ R-môđun Khi ( ) HomA M α , Π N β ≅ α ∈I β ∈J Π ( α , β ) ∈IxJ HomA ( M , N ) 1.4.4 Định lí Cho R-môđun M N môđun Khi N hạng tử trực tiÕp cđa M th× M / N ≅ F , F môt môđun M 1.5 DÃy khớp 1.5.1 Định nghĩa Một dÃy đồng cấu R-môđun fi f i+1 M i  → M i +1 → M i + đợc gọi dÃy khớp nÕu Im fi = Ker fi+1, víi mäi i Mét d·y khíp cã d¹ng f g  → M N P đợc gọi dÃy khớp ngắn 1.5.2 Định nghĩa DÃy khớp f g  → M  → N P đợc gọi chẻ M Im f = Ker g mét h¹ng tư trùc tiÕp cđa M NÕu mét d·y khớp chẻ môđun không hai đầu mút dÃy ta nói chẻ 1.5.3 Định nghĩa Cho R vành giao hoán có đơn vị Một tập khác rỗng S A đợc gọi tập đóng nhân A S với a, b S ab ∈ S f g 1.5.4 MƯnh ®Ị Cho d·y khớp R-môđun N M L S tập đóng nhân A Khi ta có dÃy khớp S -1Rmôđun sau: s f s g S −1 N  → S −1M S L 1 1.6 Môđun hữu hạn sinh Cho M R-môđun S tập R-môđun M Khi giao tất môđun M chứa S môđun M Môđun đợc gọi môđun M sinh S Nếu môđun sinh S M M ta bảo S hệ sinh M Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M môđun hữu hạn sinh Khi M có hệ sinh gồm phần tử M đợc gọi môđun đơn sinh, hay môđun xyclic 1.7 Môđun tự 1.7.1 Định nghĩa Tập S R-môđun M đợc gọi tập độc lập tuyến tính từ đẳng thức a1x1 + + anxn = víi x1, , xn S đôi khác nhau, ta rút a = = an = NÕu tr¸i lại S đợc gọi tập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M có hệ sinh độc lập tuyến tính đợc gọi môđun tự tập S đợc gọi së cđa M 7 1.7.2 VÝ dơ (i) Vµnh R môđun tự với sở {1} Tổng quát hơn, với I tập số bất kỳ, R (I) R-môđun tự với sở {ei| i I} ei có thành phần thứ i 1, thành phần lại Cơ sở đợc gọi sở tự nhiên hay sở tắc A(I) (ii) Mỗi không gian vectơ trờng K K-môđun có sở (iii) Vành  tất lớp số nguyên mod  -môđun Tuy nhiên x = víi mäi x ∈ ¢ nên  sở nên không môđun tự (iv) Xét vành R =  Gọi M N lần lợt R-môđun R sinh R Hai môđun không tự R 2.3 = 1.7.3 Định lý Nếu M R-môđun tự với sở S M R(S) 1.7.4 Định lý Một R-môđun hữu hạn sinh đẳng cấu với môđun thơng R n, với n số nguyên dơng 1.7.5 Mệnh đề DÃy khớp R-môđun  → M  → N  → F chẻ F môđun tự 1.7.6 Định nghĩa Cho M môđun tự vành giao hoán có đơn vị R Khi lực lợng sở M đợc gọi hạng R-môđun M kí hiệu r(M) 1.7.7 Mệnh đề Cho R vành giao hoán M, N, P môđun tự vành R Khi có dÃy khớp ngắn Rmôđun  → N  → M  → P  →0 th× r(M) = r(N) + r(P) 1.8 Môđun nội xạ 1.8.1 Định nghĩa Một R-môđun I đợc gọi nội xạ I đơn cấu : M ' M với đồng cấu : M ' I cho = R-môđun, ®Ịu tån t¹i mét ®ång cÊu λ :M  1.8.2 Mệnh đề Nếu I R-môđun nội xạ M ' M R-môđun đồng cấu R-môđun từ M đến I mở rộng đợc thành đồng cấu R-môđun từ M đến I 1.8.3 Định nghĩa Một nhóm Aben D đợc gọi chia đợc với d D n ≠ 0, tån t¹i c ∈ D cho d = nc 1.8.4 Mệnh đề Một nhóm Aben chia đợc  môđun nội xạ 1.9 Nguyên lý Zermelo Mọi tập hợp thứ tự tốt 1.10 Nguyên lý quy nạp siêu hạn Giả sử (X, ) tập thứ tự tốt tính chất phần tử X thỏa mÃn hai điều kiện sau: (i) Phần tử có tính chất (ii) Nếu y X mà y < x (x X) cã tÝnh chÊt τ th× suy x cịng cã tính chất Khi phần tử X có tính chất 1.11 Sự phân tích môđun Một R-môđun M đợc gọi không phân tích đợc M biểu diễn đợc dới dạng tổng trực tiếp hai R-môđun không tầm thờng 9 chơng môđun vành 2.1 Môđun tự vành Ta biết rằng, vành bất kỳ, môđun môđun tự môđun tự Chẳng hạn, lấy R =  R R-môđun tự Xét M R-môđun R sinh phần tử R M R-môđun tự (xem Ví dụ 1.7.2).Tuy nhiên vành tình hình khác hẳn, môđun môđun tự vành lại môđun tự Ta có định lý sau 2.1 Định lý Giả sử R vành Khi môđun R-môđun tự R-môđun tự 2.1.2 Định lý Giả sử T môđun tự vành R M môđun T có hạng hữu hạn n Khi tồn n phần tư α1 , α , , α n cđa R sở T chứa n phần tư e1, e2, , en cho: (i) C¸c phần tử e11, e22, , enn lập thành c¬ së cđa M (ii) α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 2.1.3 Mệnh đề Cho R vành giao hoán, có đơn vị iđêan R môđun tự R Khi vành R vành 2.2 Môđun hữu hạn sinh vành 10 Trong mục này, trình bày kết môđun hữu hạn sinh vành Trớc hết ta có định lý sau mà thực chất xem nh hệ Định lý 2.1.1 2.2.1 Định lý Cho M môđun sinh n phần tử vành R Khi môđun M có hệ sinh chứa không n phần tử Từ định lý ta có hệ sau 2.2.2 Hệ Trên vành môđun môđun xyclic môđun xyclic 2.2.3 Hệ Trên vành môđun môđun hữu hạn sinh môđun hữu hạn sinh Định lý sau hệ Định lý 2.1.2 2.2.4 Định lý Giả sử M môđun hữu hạn sinh vành R Thế M đẳng cấu với R-môđun dạng R/ R1 R/ Rn, ®ã α1, α2, , αn thuéc R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 Từ Định lý 2.2.4 ta suy hệ sau giúp quy toán phân loại môđun hữu hạn sinh vành toán phân loại môđun xoắn hữu hạn sinh 2.2.5 Hệ Cho M môđun hữu hạn sinh vành R Khi đó: (i) M = (M) F với (M) môđun xoắn M F môđun tự (ii) M môđun tự M không xoắn 2.2.6 Nhận xét Có thể chứng minh 2.2.5 cách trực tiếp mà không cần thông qua Định lý 2.2.4 11 2.2.7 Nhận xét Hệ 2.2.5 (i) không bỏ giả thiết hữu hạn sinh Từ Hệ 2.2.5, ta thu đợc hệ sau 2.2.8 Hệ Một môđun vành có hạng môđun xoắn 2.2.9 Định lý Cho R vành chính, M R-môđun hữu hạn sinh N môđun M Khi M N có hạng M|N môđun xoắn 2.2.10 Định nghĩa Giả sử M môđun xoắn hữu hạn sinh vành R Với x M, tập Ann(x) = {a R| ax = 0} iđêan khác R Vì R vành chính, tồn phần tử R, cho Ann(x) = R Phần tử xác định nhất, sai khác nhân tử khả nghịch, đợc gọi cấp x, kí hiệu 0(x) Cũng R vành chính, tồn nhất, sai khác nhân tử khả nghịch, phần tử khác không R cho Ann(M) = R β Ta gäi β lµ sè mị cđa M kí hiệu exp(M) 2.2.11 Nhận xét Từ Định nghÜa 2.2.10, ta dƠ dµng nhËn thÊy : (i) Sè mị cđa M chia hÕt cho cÊp cđa mäi phÇn tử (ii) Nếu M môđun xyclic sinh phần tử x exp(M) = 0(x) 2.2.12 Định lý Cho R vành M 1, M2 môđun xyclic vành R với số mũ lần lợt , Khi M1 M2 R-môđun xyclic nguyên tố 2.2.13 Mệnh đề Cho R lµ mét vµnh chÝnh vµ M lµ mét Rmôđun xyclic với số mũ Khi M R|R mô đun tự 12 2.2.14 Định lý Mỗi môđun xoắn hữu hạn sinh M vành R có phân tích M = M1 M2 Mn, Mi môđun xyclic có số mũ exp(M i) = pi e i lũy thừa phần tử bất khả quy pi R 2.2.15 Định nghĩa Cho R vành Với phần tử bất khả quy p R, ta kí hiệu Cp(M) tập phần tử M có cấp lũy thừa p Dễ thấy từ định nghĩa trên, Cp(M) môđun M 2.2.16 Định lý Cho M môđun xoắn hữu hạn sinh vµnh chÝnh R víi sè mị exp(M) = α cã phân tích tiêu chuẩn = p1e1 p2e2 pkek Khi ®ã M = C p1 ( M ) ⊕ ⊕ C pk ( M ) , e ®ã exp ( C p ( M ) ) = p víi mäi i = 1, 2, , k i i i Hơn nữa, phân tích dạng M không kể đến thứ tự hạng tử 2.2.17 Mệnh đề Cho R vành Khi phát biểu sau (i) R R-môđun không phân tích đợc (ii) Trờng thơng R R-môđun không phân tích đợc (iii) Nếu p phần tử bất khả quy R e số nguyên dơng R-môđun R|Rpe không phân tích đợc Và ngợc lại, R môđun xyclic không phân tích đợc, số mũ liên kết với lũy thừa phần tử bất khả quy cđa R 13 KÕt ln Dùa vµo tµi liƯu tham khảo, Khóa luận đà trình bày đợc số tính chất môđun vành Cụ thể Khóa luận đà hoàn thành đợc việc sau : Trình bày số tính chất môđun tự vành 14 Trình bày số tính chất môđun hữu hạn sinh vành Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cờng (2003), Giáo trình Đại số đại, nxb Đại học Quốc gia Hà Nội 15 [2] Nguyễn Bá Thị Lệ Hằng (2009), Một số tính chất môđun phẳng, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [3] Hoàng Xuân Sính (1992), Đại số đại cơng, nxb Giáo dục [4] Dơng Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, nxb đại häc S ph¹m  ... chơng môđun vành 2.1 Môđun tự vành Ta biết rằng, vành bất kỳ, môđun môđun tự môđun tự Chẳng hạn, lấy R =  R R -môđun tự Xét M R -môđun R sinh phần tử R M R -môđun tự (xem Ví dụ 1.7.2).Tuy nhiên vành. .. tình hình khác hẳn, môđun môđun tự vành lại môđun tự Ta có định lý sau 2.1 Định lý Giả sử R vành Khi môđun R -môđun tự R -môđun tự 2.1.2 Định lý Giả sử T môđun tự vành R M môđun T có hạng hữu hạn... đến kết chứng minh Chơng Chơng Môđun vành chính: Trình bày số tính chất môđun vành chính, cụ thể môđun tự môđun hữu hạn sinh vành Đồng thời phân tích số môđun vành Khóa luận đợc thực trờng Đại